高中数学-直线与平面平行的性质

专题4 线面平行与面面平行的判定及性质一、直线与平面平行下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面【解析】由面面平行的定义可知选D.【例2】若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直【解析】A错误，a与α内的直线平行或异面．【例3】已知不重合的直线a ，b 和平面α，①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．【解析】 ①中a 与b 可能异面；②中a 与b 可能相交、平行或异面；③中a 可能在平面α内，④正确．【例4】已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，α⊄n ，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，故选B.【例5】已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题： ①n m n m //⇒⎩⎨⎧⊥⊥αα；①αα//n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；①n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα//其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】若⎩⎨⎧⊥⊥ααn m ，则m ①n ，即命题①正确；若⎩⎨⎧⊥⊥n m m α，则n ①α或n ①α，即命题①不正确；若⎩⎨⎧⊥αα//n m ，则m ①n ，即命题①正确；综上可得，真命题共有2个．故选C ．【例6】已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是（ ） A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2【解析】由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.【例7】在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ） A ．α、β都平行于直线l B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等C ．l 、m 是α内两条直线，且l ①β，m ①βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ①α，m ①α，l ①β，m ①β【解析】排除法，A 中α、β可以是相交平面；B 中三点可面平面两侧；C 中两直线可以不相交．故选D ，也可直接证明．【例8】经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．1个或2个【解析】这两点可以是在平面同侧或两侧．故选C ．达标训练11．（2019•延安一模）已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．（2019•湖北期中）平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无数多条直线都与β平行B ．直线a α⊂，b β⊂，且//a β，//b αC ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内D ．一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β3．（2019•深圳二模）己知正方体1111ABCD A B C D -，P 为棱1CC 的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ） A ．1//m D Q B ．//m 平面11B D QC ．1m B Q ⊥D ．m ⊥平面11ABB A4．（2019•聊城二模）在长方体1111ABCD A B C D -中，F ，F ，G ，H 分别为棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1//AD 平面EFGHB ．1//BD GHC ．//BD EFD ．平面//EFGH 平面11A BCD5．（2019•汕头月考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC AC ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B6．（2019•大连一模）已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，可以作为//αβ的充分条件的是（ ） A ．//m n ，m α⊂，n β⊂ B ．//m n ，m α⊥，n β⊥ C ．m n ⊥，//m α，//n βD ．m n ⊥，m α⊥，n β⊥7．（2019•汕头一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ）A ．11//AO D C B ．1AO BC ⊥C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D8．（2019•青云月考）如图，四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则（ ） A ．//MN PD B ．//MN PAC ．//MN ADD ．以上均有可能9．（2019•上饶一模）设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ，n α⊂．则“//αβ”是“//m β且//n β”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．（2018•沧州一模）如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2017•洛南期末）已知平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m βB ．//n αC ．//m nD ．m 与n 不相交12．（2018•杭州期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，M 、N 分别为线段PC 、PB 上一点，若:3:1PM MC =，且//AN 平面BDM ，则:PN NB =（ ）A ．4:1B ．3:1C ．3:2D ．2:113．（2018•厦门二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是11C D ，BC ，11A D 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．//MN APB ．1//MN BDC ．//MN 平面11BBD DD ．//MN 平面BDP14．（2018•辛集期中）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM tPC =，//PA 平面MQB ，则实数t 的值为（ ） A ．15B ．14 C ．13D ．1215．（2018•四川模拟）如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（ ） A ．直线//BE PFB ．直线//EF 平面PBCC ．平面BCE ⊥平面PAD D ．直线PB 与DC 所成角为60︒16．（2017•万州期末）平面α与ABC ∆的两边AB ，AC 分别交于点D ，E ，且::AD DB AE EC =，如图，则BC 与α的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行或相交D ．平行17．（2018•桃城模拟）如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条18．（2018•雁江月考）已知P 为ABC ∆所在平面外一点，平面//α平面ABC ，且α交线段PA ，PB ，PC 于点A '，B '，C '，若:2:3PA AA ''=，则:A B C ABC S S '''=△△（ ）A ．2:3B ．2:5C ．4:9D ．4:2519．（2018•香坊四模）对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件： ①存在直线l ，使得l α⊥，且l β⊥； ①存在平面γ，使得αγ⊥且βγ⊥； ①α内有不共线的三点到β的距离相等；①存在异面直线l ，m ，使得//l α，//l β，//m α，//m β． 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2018•西城期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足条件 时，1//A P 平面BCD （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可达标训练21．（2017•新课标①）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2011•浙江）若直线l 不平行于平面α，且l α⊂/，则（ ） A ．α内存在直线与l 异面 B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交 3．（2010•浙江）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m 4．（2010•江西）如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列命题 ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ①过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ①过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行． 其中真命题是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①5．（2008•湖南）已知直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥，αβ⊥，则（ ） A ．n β⊥ B ．//n β，或n β⊂ C ．n α⊥D ．//n α，或n α⊂6．（2007•北京）平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，//a α，//a β B ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α7．（2011•福建）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于 ．。

一、空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π=二、空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 hS S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=三、直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。

(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE12A 1B 1.同理QF 12AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.222r rl S ππ+=2、平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面相交直线，则这两个平面平行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点， 求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，∴A 1G FC .∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，∴平面A 1EF ∥平面BCGH .3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。

第四节 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ，a ⊂α， l ⊄α，∴l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α，l ⊂β，α∩β＝b ，∴l ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β， b ∥β， a ∩b ＝P ，a ⊂α， b ⊂α， ∴α∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定[典例]如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH.求证：P A∥GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO.又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.变结论在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF 的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点， 所以DE ∥GN .又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CD AB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52.答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ­ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离．∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ­ABM 的体积V ＝V M ­P AB ＝V C ­P AB ＝V P ­ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N ­BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N ­BCM 的体积V N ­BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ­ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE . ∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD . 又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.(2)取BA的中点N，连接DN，MN.∵M为AE的中点，∴MN∥BE.∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.又∵DM⊂平面MND，∴DM∥平面BEC.。

8．5.2直线与平面平行考点学习目标核心素养直线与平面平行的判定理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系直观想象、逻辑推理直线与平面平行的性质理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P135－P138的内容，思考以下问题：1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？1．直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α图形语言用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α.(2)直线b在平面α内，即b⊂α.(3)两直线a，b平行，即a∥b.2．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言■名师点拨(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.以上三个条件缺一不可．(2)定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.()(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．()(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.()(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案：D如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能解析：选B.因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α直线与平面平行的判定如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB═∥A1B1═∥D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法．[提醒] 线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．1．如图，下列正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C.在题图A ，B 中，易知AB ∥A 1B 1∥MN ，MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；在图D 中，易知AB ∥PN ，PN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP .2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD . 因为EA ＝BD ，AP ＝DQ ， 所以EP ＝BQ .又因为AB ＝CD ，所以PM ═∥QN ， 所以四边形PMNQ 是平行四边形， 所以PQ ∥MN .又因为PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，所以PQ∥平面CBE.线面平行性质定理的应用如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，所以AP∥GH.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A＝3.F在棱P A上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，所以FO∥CG.又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，即G是PF的中点，又EG∥FD，所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1.1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．不确定解析：选B.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.[A基础达标]1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b()A．相交B．平行C．异面D．共面或异面解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：选D.由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.5．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A.因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是对角线A1D、B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF 平行的平面有________________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 所以F 为A 1C 1的中点， 在△A 1C 1D 中，EF 为中位线， 所以EF ∥C 1D ，又EF ⊄平面C 1CDD 1， C 1D ⊂平面C 1CDD 1，所以EF ∥平面C 1CDD 1. 同理，EF ∥平面A 1B 1BA .故与EF 平行的平面有平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA . 答案：平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA7．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点， 所以EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 29．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，E 为PC 的中点，PF ＝2FD ，求证：BE ∥平面AFC .证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，取PF 的中点G ，连接EG ，ED ，ED 交CF 于点M ，连接MO .在△PCF 中，E ，G 分别为PC ，PF 的中点， 则EG ∥FC .在△EDG 中，MF ∥EG ，且F 为DG 的中点，则M 为ED 的中点． 在△BED 中，O ，M 分别为BD ，ED 的中点， 则BE ∥MO .又MO ⊂平面AFC ，BE ⊄平面AFC ，所以BE ∥平面AFC . 10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BDD 1B 1.解：如图，取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB . 因为OF ═∥12B 1C 1，BE ═∥12B 1C 1， 所以OF ═∥BE ，所以四边形OFEB 是平行四边形，所以EF ∥BO . 因为EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1， 所以EF ∥平面BDD 1B 1.[B 能力提升]11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，一定不在α内C．只有一条，一定在α内D．有无数条，一定在α内解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在α内．13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD 中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．14.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB ＝90°，所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .[C 拓展探究]15．如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 1为A 1C 1上的点．当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?解：如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.。

第40讲 直线、平面平行的判定与性质[学生用书P130]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (5)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( ) (6)若α∥β，直线a ∥α，则a ∥β.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×对于直线m ，n 和平面α，若n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：D(教材习题改编)如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α的位置关系可另等价表述，下列命题中正确的是( )A ．直线a 上有无数个点不在平面α内B ．直线a 与平面α内的所有直线平行C ．直线a 与平面α内的无数条直线不相交D ．直线a 与平面α内的任意一条直线都不相交解析：选D .因为a ∥平面α，直线a 与平面α无公共点，因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D .(教材习题改编)下列命题为真的是( ) A ．若直线l 与平面α有两个公共点，则l ⊄α B ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线 C ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥βD ．若α∩β＝b ，a ⊂α，则a 与β一定相交解析：选C .A 错误．直线l 和平面α有两个公共点，则l ⊂α. B 错误．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 异面或平行． C 正确．因为a 与β无公共点，则a ∥β. D 错误．a 与β有可能平行．故选C .(教材习题改编)设m ，n 表示直线，α、β表示平面，则下列命题为真的是( ) A .⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥α⇒m ∥n B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αα∥β⇒m ∥β C .⎭⎪⎬⎪⎫α∩β＝m n ∥α n ∥β⇒m ∥n D ．⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ∥αn ∥β⇒m ∥n 解析：选C .A 错误，因为m 可能与n 相交或异面． B 错误，因为m 可能在β内．D 错误，m 、n 可能异面或相交，故选C .(教材习题改编)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系为______．解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行线面、面面平行的相关命题的真假判断[学生用书P130][典例引领](1)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．【解析】(1)A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D 项正确．(2)①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．【答案】(1)D(2)②(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[通关练习]已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，因为a⊥α，且α∥β，所以a⊥β，又因为b⊂β，所以a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β＝b时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件，故选B.线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P131]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．主要命题角度有：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．[典例引领]角度一判断线面的位置关系(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【解析】 对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A .【答案】 A角度二 线面平行的证明如图，四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .【证明】 (1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ═∥AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，所以FH∥平面P AD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，所以OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面P AD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面P AD.角度三线面平行性质的应用如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．【解】(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为P A＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ， 所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点． 再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点， 且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42.PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．[通关练习]如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF的中点．(1)求证：MA∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.面面平行的判定与性质[学生用书P132][典例引领]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G═∥EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG.1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1═∥BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1.BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D.所以平面A1BD1∥平面AC1D.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理；如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．[通关练习]如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明：(1)由题设知BB1═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1═∥B1C1═∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.解决平行问题应注意三点(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．(3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[学生用书P303(单独成册)]1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α解析：选A.由m∥l1，m⊂α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．2．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是()①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n.A．①③ B.③④C．②④D．③解析：选D.①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α，β相交；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n或l∥n或l，n异面；③正确；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n或m∥n或m，n异面．3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD ＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF═∥15BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG═∥12BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是()A．①③ B.①④C．②③D．②④解析：选A.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是()A．1 B.2C．3 D．4解析：选B.由题易知①正确；②错误，l也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B.6.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD -A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的命题是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)． 所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )， 所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .所以BE ·BF ＝2VBC (定值)，即④是正确的．答案：①③④7．棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.答案：928．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉ β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．解析：如图1，因为AC ∩BD ＝P ，图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ， β∩平面PCD ＝CD ， 所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD， 即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD .图2所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别是线段A 1D ，BC 1的中点．延长D 1A 1到点G ，使得D 1A 1＝A 1G .证明：GB ∥平面DEF .证明：连接A 1C ，B 1C ，则B 1C ，BC 1交于点F . 因为CB ═∥D 1A 1，D 1A 1＝A 1G ，所以CB ═∥A 1G ，所以四边形BCA 1G 是平行四边形，所以GB ∥A 1C . 又GB ⊄平面A 1B 1CD ，A 1C ⊂平面A 1B 1CD ，所以GB ∥平面A 1B 1CD .又点D ，E ，F 均在平面A 1B 1CD 内，所以GB ∥平面DEF . 10.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE═∥12DC，又D1G═∥12DC，所以OE═∥D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.1.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为() A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选B.因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；由BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD，而AN≠DN，PN＝MN，所以BD≠AC.B错误．故选B.2．设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.答案：①或③3.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)4.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则PQ 的长度为________．解析：由题意知，AB ＝8，过点P 作PD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DQ ，则D 为AM 的中点，PD ＝12AB ＝4.又因为A 1Q QC ＝A 1D AD＝3，所以DQ ∥AC ，∠PDQ ＝π3，DQ ＝34AC ＝3，在△PDQ 中， PQ ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.答案：135．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论．解： (1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD -EFGH 为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.6．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE 的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.。

直线、平面平行的判定及其性质（讲义）知识点睛一、直线与平面平行（简称线面平行）1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线______，则该直线与此平面平行．几何语言：___________________________________．2.性质定理：一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的任一平面与此平面的______与该直线_________．几何语言：_________________________________．二、平面与平面平行（简称面面平行）1.判定定理：一个平面内的___________与另一个平面平行，则这两个平面平行．几何语言：____________________________________．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．几何语言：____________________________________．2.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．几何语言：____________________________________．推论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线都平行于另一个平面．几何语言：____________________________________．需注意：①在推证线面平行时，需要注意直线不能在平面内．②把线面平行转化为线线平行时，需要清楚经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．精讲精练1.如果直线a∥平面α，那么（）A．a只能平行于α内的一条直线B．a平行于α内的所有直线C．a平行于α内的任意一条直线D．a与α内的直线是异面直线或平行直线2.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能3.直线a∥平面α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（）A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有4.已知直线a∥平面α，直线b与平面α不平行，则（）A．a不平行于bB．a∥bC．a与b相交D．a∥b或a与b相交或a与b异面5.已知α∩β=b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是（）A．a∥b B．a⊥bC．a，b相交但不垂直D．a，b异面6.设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b7.a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出以下六个命题：①a ca bb c⎫⇒⎬⎭；②aa bbγγ⎫⇒⎬⎭；③ccααββ⎫⇒⎬⎭；④αγαββγ⎫⇒⎬⎭；⑤caa cαα⎫⇒⎬⎭；⑥aaγααγ⎫⇒⎬⎭．其中正确的命题是（）A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④8.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．09.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面BA1C1和直线AC的位置关系是（）A．AC∥平面BA1C1B．AC与平面BA1C1相交C．AC在平面BA1C1内D．上述答案均不正确第9题图第10题图10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形11.如下四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④12.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．第12题图第13题图13.过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．14.若空间四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长分别是8，12，过AB 的中点E 且平行于BD ，AC 的截面四边形的周长为________．第14题图第15题图15.如图，三棱锥A -BCD 中，AB =CD =a ，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是（）A ．4aB ．2aC ．32aD ．周长与截面的位置有关16.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD．17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB．当点M 在何位置时，BM∥平面AEF？18.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB中AB边上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．19.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．证明：CC1∥平面A1BD．20.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，A 1D 1的中点，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点．（1）求证：四边形BDFE 是梯形；（2）求证：平面AMN ∥平面EFDB ．21.如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】一、1．平行a b ，αα⊄⊂，且a b a ∥∥α⇒2．交线平行a a ∥，αβ⊂，=b a b∩∥αβ⇒二、1．两条相交直线=a b a P a b βββαααβ⊂⊂⇒，，∩，∥，∥∥==a b a b P m n m n Q a m b n，，∩，，，∩，∥，∥ααββ⊂⊂⊂⊂∥αβ⇒2．==a b a bαβαγβγ⇒∥，∩，∩∥a a αβαβ⊂⇒∥，∥【精讲精练】1．D2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．C 9．A 10．B 11．A 1213．614．2015．B 16．证明略（分析：可以取OD 的中点、AD 的中点或OB 的中点，利用线面平行的判定定理或面面平行的判定定理进行证明）17．M 为AC 的中点18．SG ∥平面DEF ，证明略（方法一：利用面面平行的判定定理直接证明；方法二：连接CG 交DE 于点H ，连接FH ，通过证明FH ∥SG 得到结论）19．证明略（分析：连接CA 交DB 于点H ，连接A 1H ，通过证明CC 1∥A 1H 得到结论）20．证明略21．证明略直线、平面平行的判定及其性质（随堂测试）1．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，AA 1的中点，求证：（1）BD 1∥平面AEC ；（2）平面BD 1F ∥平面AEC ．【参考答案】1．证明略（分析：（1）令AC 与BD 交于点O ，连接OE ，证明OE ∥BD 1即可得到结论；（2）证明D 1F ∥AE 或BF ∥CE ，再结合（1）利用面面平行的判定定理即可得到结论）直线、平面平行的判定及其性质（作业）1．下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．42．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3．设a，b是异面直线，a⊂平面α，则过b且与α平行的平面（）A．不存在B．有1个C．可能不存在，也可能有1个D．有2个以上4．设a，b为直线，α，β为平面，P是空间中一点，下面命题中正确的是（）A．若a⊄α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若P∈a，P∈β，a∥α，α∥β，则a⊂β5．设m，n为直线，α，β为平面，则能够使m∥α的条件是（）A．m∥n，n∥αB．α∩β=n，m∥n，m⊄αC．m∥β，α∥βD．m∥n，n⊂α6．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的有____________．第7题图第8题图8．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD 和AE的中点，则MN与平面CDE的关系是_____________．9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是B1C和BD的中点，求证：MN∥平面AA1B1B．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1，B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E-BCD的体积．求证：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；（2）平面MNP与平面ACD的交线∥AC．14．如图所示，在三棱锥P-ABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．求证：AB∥GH．【参考答案】1．B2．C3．C4．D5．B6．B7．①②③8．平行9．证明略10．点Q为CC1的中点11．证明略12．（1）证明略；（2）V E-BCD=1213．证明略14．证明略（提示：先证明AB∥CD，CD∥平面EFQ，再利用线面平行性质，得到CD∥GH，进而得到AB∥GH）。