高中数学课时作业：直线、平面平行的判定及其性质

课时作业44直线、平面平行的判定及其性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知甲命题：“如果直线a∥b，那么a∥α”；乙命题：“如果a∥平面α，那么a∥b”．要使上面两个命题成立，需分别添加的条件是()A．甲：b⊂α；乙：b⊂αB．甲：b⊂α；乙：a⊂β且α∩β＝bC．甲：a⊄α，b⊂α；乙：a⊂β且α∩β＝bD．甲：a⊄α，b⊂α；乙：b∥α解析：根据直线与平面平行的判定定理和性质定理，知C正确．答案：C2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故选B.答案：B3．如图，在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC 的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能解析：∵SG1SM＝SG2SN＝23∴G1G2∥MN，又∵M，N为AB，AC的中点，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC，选B.答案：B4．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内解析：∵a∥α，∴a与P确定平面β，则α∩β＝l且P∈l.则α内存在唯一的过P的直线l，使l∥a，选C.答案：C5．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN 与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR 相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN ∥平面PQR.答案：C6．在三棱锥P—ABC中，点D在P A上，且PD＝12DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF 的面积是( )A ．1B ．2C ．4 D.94解析：由于平面DEF ∥底面ABC ，因此DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF∥BC ，所以DE AB ＝DF AC ＝EF BC ，所以△DEF ∽△ABC ，所以S △DEF S △ABC ＝(13)2，而S △ABC ＝9，所以S △DEF ＝1，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 为AD 的中点，∴F 为CD 的中点，∴EF 为△ADC 的中位线，∴EF ＝12AC ，又正方体的棱长为2，∴AC ＝22，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 答案： 28．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析：①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案：①③9．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF ，∴面A 1MN ∥面AEF .若A 1P ∥面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)如图，一空间四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是三角形ADC 的重心，试在线段AE 上确定一点F ，使得GF ∥平面CDE .(题图) (答图)解：如图，连接AG 并延长，交CD 于点H ，则AG GH ＝21，连接EH .在AE 上取一点F ，使得AF FE ＝21，连接GF ，则GF ∥EH ，又EH⊂平面CDE ，∴GF ∥平面CDE .易知当AF ＝2FE 时，GF ∥平面CDE .11．(20分)如图所示，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证：平面AD 1E ∥平面BGF .解：∵E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点，∴D 1F 綊BE ，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.——创新应用——12．(20分)(2013·福建卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠P AD＝60°.→的方向相同时，画出四棱锥P—ABCD(1)当正视方向与向量AD的正视图．(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D—PBC的体积．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理知BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得PD⊥AD，从而在Rt△PDA中，由AD ＝4，∠P AD＝60°，得PD＝4 3.故正视图如图所示：(2)证明：取PB中点为N，连接MN，CN，DM.在△P AB 中，∵M 是P A 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3，又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ， ∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D —PBC ＝V P —DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝4 3∴V D —PBC ＝13PD ·S △DBC ＝8 3.。

课时作业42直线、平面平行的判定及其性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故选B.答案：B2．已知直线a∥平面α，如果平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有解析：可能存在也可能不存在，若存在只能是一条，因为若存在两条，则与平行公理相矛盾，所以选B.答案：B3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．其中为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④解析：①只有这两条直线相交时结论才成立；③只有当其中一个平面内的直线垂直于这两个平面的交线时这条直线才垂直另外一个平面，故只有②和④为真命题．答案：D4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.答案：D5．如图，在正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P 为所在棱的中点，则异面直线MP、AB在正方体的正视图中的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：在正视图中AB是正方形的对角线，MP是平行于对角线的三角形的中位线，所以两直线平行，故选B.答案：B6．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()A．①②B．①④C ．②③D ．③④解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP . 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是__________．解析：如图，连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC 、平面ABD8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过P 的直线m 与α、β分别相交于A 、C ，过P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为__________．解析：如图(1)，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，∴AB ∥CD .∴P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD .∴BD ＝245.如图(2)，同理可证AB ∥CD .∴P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，∴BD ＝24，综上所述，BD ＝245或24.答案：245或249．(2013·铜陵一模)如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是__________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是2；④CB1与BD为异面直线．解析：易知①②正确，AC1与底面ABCD所成角的正切值是2 2，故③错；由异面直线的判定可知④是正确的．答案：①②④三、解答题(共55分)10．(15分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.解：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.11．(20分)(2013·扬州检测)已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．(1)求证：B1D1⊥AE；(2)求证：AC ∥平面B 1DE ；(3)求三棱锥A －BDE 的体积．解：(1)证明：由题意知BD ∥B 1D 1，∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵CE ⊥平面ABCD ，∴CE ⊥BD .又AC ∩CE ＝C ，∴BD ⊥平面ACE .∵AE ⊂平面ACE ，∴BD ⊥AE ，∴B 1D 1⊥AE .(2)证明：如图，取BB 1的中点F ，连接AF 、CF 、EF .∵E 、F 是CC 1、BB 1的中点，∴CE 綊B 1F ，∴四边形B 1FCE 是平行四边形，∴CF ∥B 1E .∵E ，F 是CC 1、BB 1的中点，∴EF 綊BC ，又BC 綊AD ，∴EF 綊AD .∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥ED .∵AF ∩CF ＝F ，B 1E ∩ED ＝E ，∴平面ACF ∥面B 1DE .又AC ⊂平面ACF ，∴AC ∥平面B 1DE .(3)S △ABD ＝12AB ·AD ＝2.V A －BDE ＝V E －ABD ＝13S △ABD ·CE ＝13×2×1＝23.12．(20分)(2013·安徽六校联考)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，点E 在CD 上且CE ＝1(如图①)．把△DAE 沿AE 向上折起到D ′AE 的位置，使二面角D ′－AE －B 的大小为120°.(1)求四棱锥D ′－ABCE 的体积；(2)求CD ′与平面ABCE 所成角的正切值；(3)设M 为CD ′的中点，是否存在棱AB 上的点N ，使MN ∥平面D ′AE ？若存在，试求出N 点位置；若不存在，请说明理由．解：(1)取AE 的中点P ，连接DP ，D ′P .由DA ＝DE ，D ′A ＝D ′E ，得DP ⊥AE ，D ′P ⊥AE ，故∠D ′PD ＝60°，∴△DD ′P 为等边三角形，D ′在平面ABCD 内的射影H 为PD 的中点．DP ＝2，∴D ′H ＝62.又S ABCE ＝4，∴V D ′－ABCE ＝263.(2)在△CDH 中，由DH ＝22，CD ＝3，∠CDH ＝45°，利用余弦定理可得CH ＝262，∴tan ∠D ′CH ＝62262＝3913.(3)取CE的中点F，则MF∥D′E.在平面ABCE内过F作FN∥AE交AB于N.MF∩NF＝F，D′E∩AE＝E，∴平面MFN∥平面D′AE. 又MN⊂平面MFN，∴MN∥平面D′AE.此时AN＝EF＝12CE＝12，故存在点N使MN∥平面D′AE.。

a ⊄α ⎫a ∥b ⎭2.2 直线、平面平行的判定及其性质2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定预习课本 P54～57，思考并完成以下问题1．线面平行的判定定理是什么？2．判定线面平行的方法有哪些？3．面面平行的判定定理是什么？4．判定面面平行的方法有哪些？[新知初探]1．直线与平面平行的判定定理表示图形 文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行⎪b ⊂ α⎬⇒ a ∥α⎪[点睛] 用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线 a 在平面 α 外，即 a ⊄α； (2)直线 b 在平面 α 内，即 b ⊂ α； (3)两直线 a ，b 平行，即 a ∥b .2．平面与平面平行的判定⎭表示位置图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⎫⎪⎬⇒α∥β⎪[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()答案：(1)×(2)×(3)×2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．aα，b⊂α，a∥b解析：选D由线面平行的判定定理可知，D正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行C．平行或相交B．一定相交D．以上判断都不对解析：选C可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．直线与平面平行的判定[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.QN ， ＝ ， ＝ .∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点，且 ＝ ＝2，[证明] 连接 BC 1，则由 E ，F 分别是 BC ，CC 1 的中点，知 EF ∥BC 1. 又 AB 綊 A 1B 1 綊 D 1C 1，所以四边形 ABC 1D 1 是平行四边形， 所以 BC 1∥AD 1，所以 EF ∥AD 1.又 EF ⊄平面 AD 1G ，AD 1⊂ 平面 AD 1G ， 所以 EF ∥平面 AD 1G.利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．[活学活用]已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线 AE ，BD 上的点，且 AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面 CBE.证明：如图，作 PM ∥AB 交 BE 于点 M ，作 QN ∥AB 交 BC 于点 N ，连接 MN ，则 PM ∥PM EP QN BQAB EA CD BD∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ .又∵AB ＝CD ，∴PM 綊 QN ，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .又∵PQ ⊄平面 CBE ，MN ⊂ 平面 CBE ，∴PQ ∥平面 CBE.平面与平面平行的判定[典例] 已知，点 P 是△ABC 所在平面外一点，点 A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心．(1)求证：平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.(2)求 A ′B ′∶AB 的值．[解] (1)证明：如图，连接 P A ′，并延长交 BC 于点 M ，连接 PB ′，并延长交 AC 于点 N ，连接 PC ′，并延长交 AB 于点 Q ，连接 MN ，NQ .∵A ′，B ′，C △′分别是 PBC ，△P AC ，△P AB 的重心，P A ′ PB ′ A ′M B ′N∴A ′B ′∥MN .同理可得 B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂ 平面 ABC ，A ′B ′⊄平面 ABC ，∴A ′B ′∥平面 ABC.同理可证 B ′C ′∥平面 ABC.即 A ′B ′＝ MN .∵M ，N 分别是 BC ，AC 的中点，∴MN ＝ AB.∴A ′B ′＝ MN ＝ × AB ＝ AB ，(2)由(1)知 A ′B ′∥MN ，且 ＝＝ ， ∴A ′B ′1 1＝，即 A ′B ′∶AB 的值为 .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，B ′C ′⊂ 平面 A ′B ′C ′，∴平面 A ′B ′C ′∥平面 ABC.A ′B ′ P A ′ 2MN PM 323122 2 1 13 3 2 3AB 33两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．[活学活用]如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，E ，F ，G ，H 分别 是 AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1 的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面 EFA 1∥平面 BCHG. 证明：(1)∵GH 是 △A 1B 1C 1 的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又 B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面 BCHG ，BC ⊂ 平面 BCHG ，∴EF ∥平面 BCHG.∵A 1G 綊 EB ，∴四边形 A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面 BCHG ，GB ⊂ 平面 BCHG ， ∴A 1E ∥平面 BCHG.∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面 EFA 1∥平面 BCHG.平行中探索存在性问题[典例] 在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别是线段 BC ，CC 1 的中所以MD綊AC，OE綊AC，点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解]如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，1122因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项βB与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行C．直线AC在平面DEF内B．相交D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b ⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行C．平行或相交B．相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面P AB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB，∴EF∥平面P AB.同理可证EG∥平面P AB.又∵EF∩EG＝E，∴平面P AB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()A．3个C．9个B．6个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()A．0个C．无数个B．1个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D ，E ，F 分别是棱 AA 1，BB 1，CC 1 的中点， ∴在平行四边形 AA 1B 1B 与平行四边形 BB 1C 1C 中，DE ∥AB ，EF ∥BC ，∴DE ∥平面 ABC ，EF ∥平面 ABC.又 DE ∩EF ＝E ，∴平面 DEF ∥平面 ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为 P A ，PD ，PC ，PB 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面 EFGH ∥平面 ABCD ；②直线 P A ∥平面 BDG ；③直线EF ∥平面 PBC ；④直线 EF ∥平面 BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面 EFGH ∥平面 ABCD ；P A ∥平面 BDG ；EF ∥HG ，所以 EF ∥平面 PBC ；直线 EF 与平面 BDG 不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，S 是 B 1D 1 的中点，E ，F ， G 分别是 BC ，DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.证明：如图所示，连接 SB ，SD ，∵F ，G 分别是 DC ，SC 的中点，∴FG ∥SD .又∵SD ⊂ 平面 BDD 1B 1，FG ⊄平面 BDD 1B 1， ∴FG ∥平面 BDD 1B 1.同理可证 EG ∥平面 BDD 1B 1， 又∵EG ⊂ 平面 EFG ，FG ⊂ 平面 EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面 EFG ∥平面 BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD ，点 E 在 PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F ，使 BF ∥平面 AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点 F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当 F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面 AEC.证明如下：取 PE 的中点M ，连接 FM ，则 FM ∥CE.因为 FM ⊄平面 AEC ，EC ⊂ 平面 AEC ，所以 FM ∥平面 AEC.由EM＝PE＝ED，得E为MD的中点，连接BM，BD，12设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．连接OE，则BM∥OE.因为BM平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BM∥平面AEC.又因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，FM∩BM＝M，所以平面BFM∥平面AEC，所以平面BFM内的任何直线与平面AEC均没有公共点．又BF⊂平面BFM，所以BF与平面AEC没有公共点，所以BF∥平面AEC.2．2.3&2.2.4直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质预习课本P58～61，思考并完成以下问题1．线面平行的性质定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？3．面面平行还有哪些性质？[新知初探]1．直线与平面平行的性质(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：α∩β＝b ⎭β∩γ＝b ⎭a ∥α⎫⎪a ⊂ β ⎬⇒ a ∥b .⎪[点睛] 定理中有三个条件：①直线 a 和平面 α 平行，即 a ∥α；②直线 a 在平面 β 内，即a ⊂ β；③平面 α，β 相交，即 α∩β＝b .三个条件缺一不可．2．平面与平面平行的性质(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：α∥β⎫⎪α∩γ＝a ⎬⇒ a ∥b .⎪[点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线 a ∥平面 α，直线 a ∥直线 b ，则直线 b ∥平面 α( )(2)若直线 a ∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内任意一条直线都无公共点( )(3)若 α∥β，则平面 α 内有无数条互相平行的直线平行于平面 β( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂ 平面 α，CD 平面 α，则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是()A ．平行C ．平行或相交B ．平行或异面D ．异面或相交解析：选 B 由题意，CD ∥α，则平面 α 内的直线与 CD 可能平行，也可能异面．3．过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的顶点 A 1，C 1，B 的平面与底面 ABCD 所在的平面的交线为l ，则 l 与 A 1C 1 的位置关系是________．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.答案：平行线面平行性质的应用[典例]如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，∴AP∥GH.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．[活学活用]如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.面面平行性质的应用α，M ，N 分别在线段 AB ，CD 上，且 ＝.求证：MN ∥α. 连接 NP ，DE ，则 ＝ .∵AM CN AP CN ＝ ，∴＝.[典例] 如图所示，已知三棱柱 ABC-A ′B ′C ′中，D 是 BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，设平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ，平面 ADC ′∩平面 A ′B ′C ′＝b ，判断直线 a ，b 的位置关系，并证明．[解] 直线 a ，b 的位置关系是平行．∵平面 ABC ∥平面 A ′B ′C ′，平面 A ′D ′B ∩平面 ABC ＝a ， 平面 A ′D ′B ∩平面 A ′B ′C ′＝A ′D ′， ∴A ′D ′∥a ，同理可得 AD ∥b .又 D 是 BC 的中点，D ′是 B ′C ′的中点，∴DD ′綊 BB ′，而 BB ′綊 AA ′，∴DD ′綊 AA ′， ∴四边形 AA ′D ′D 为平行四边形， ∴A ′D ′∥AD ，因此 a ∥b .利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论．[活学活用]如图，平面 α∥平面 β，AB ，CD 是两异面直线，且 A ，C ∈β，B ，C ∈AM CNMB ND证明：如图，过点A 作 AE ∥CD ，AE ∩α＝E ，连接 BE ，在平面 ABE 内作MP ∥BE ，MP 交 AE 于 P ，AM APMB PEMB ND PE ND ∵平面 α∥平面 β，平面 ACDE ∩α＝ED ，平面 ACDE ∩β＝AC ，∴AC ∥ED ，∴PN ∥ED.∵PN ⊄α，ED ⊂ α，∴PN ∥α.∵PM ∥BE ，PM ⊄α，BE ⊂ α，∴PM ∥α.又PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.平行关系的综合应用[典例]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的证明：A1E＝EF＝FC.[证明](1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C交点E，F，并与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．＝MB1NBPB NBl l [活学活用]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CM CP.MB1PB∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴∴CM DN＝，CP DN＝，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.层级一学业水平达标1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，∥b，∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()α∥c ⎫⎪ α∥γ⎫⎪α∥c⎫⎪a∥γ⎫⎪⎭⎭B ．24 或 解析：选 B由 α∥β 得 AB ∥CD.分两种情况：若点 P 在 α，β 的同侧，则 ＝ ，∴PB＝ ，∴BD ＝ ；若点 P 在 α，β 之间，则有 ＝ ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.A ．GH ∥SAB ．GH ∥SDC ．GH ∥SCD ．以上均有可能解析：选 B因为 GH ∥平面 SCD ，GH ⊂ 平面 SBD ，平面 SBD ∩平面 SCD ＝SD ，所以 GH∥SD ，显然 GH 与 SA ，SC 均不平行，故选 B.3．在空间四边形 ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是 AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当 BD ∥平面 EFGH 时，下列结论中正确的是()A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是 CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且 DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选 D 由于 BD ∥平面 EFGH ，由线面平行的性质定理，有 BD ∥EH ，BD ∥FG ，则 AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且 BF ∶FC ＝DG ∶GC.4．已知 a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ 为三个不重合的平面，现给出四个命题：①③⎬⇒ α∥β； β∥c ⎪⎭⎬⇒ a ∥α； a ∥c ⎪ ②④ ⎬⇒ α∥β； β∥γ⎪⎭⎬⇒ a ∥β.β∥γ⎪其中正确的命题是()A ．①②③C ．②B ．①④D ．①③④解析：选 C ①α 与 β 有可能相交；②正确；③有可能 a ⊂ α；④有可能 a ⊂ β.故选 C. 5．已知平面 α∥平面 β，P 是 α，β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A ，C 两点，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于 B ，D 两点，且 P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则 BD 的长为( )A ．16C ．14D ．2024 5P A PBPC PD16 24 P A PB5 5 PC PD6.如图，在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF ∥平面 AB 1C ，则线段 EF 的长度等于________．EF ＝ AC ＝ 2.BD 上的点，且 ＝ ，求证：MN ∥平面 SBC.证明：在 AB 上取一点 P ，使AP ＝AM，连接 MP ，NP ，则 MP ∥SB.又 AM DN AP DN ＝ ，∴ ＝ ，∴NP ∥AD .解析：∵在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又 E 为 AD 的中点，EF ∥平 面 AB 1C ，EF ⊂ 平面 ADC ，平面 ADC ∩平面 AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为 DC 的中点，∴ 12答案： 27．过三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共 有________条．解析：记 AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1 的中点分别为 E ，F ，E 1，F 1，则直线 EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1 均与平面 ABB 1A 1 平行，故符合题意的直线共有 6 条．答案：68．已知 a ，b 表示两条直线，α，β，γ 表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若 α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且 a ∥b ，则 α∥β；②若 a ，b 相交且都在 α，β 外，a ∥α，b ∥β，则 α∥β；③若 a ∥α，a ∥β，则 α∥β；④若 a ⊂ α，a ∥β，α∩β＝b ，则 a ∥b .其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α 与 β 也可能相交；②正确，设 a ，b 确定的平面为 γ，依题意，得 γ∥α，γ∥β，故 α∥β；③错误，α 与 β 也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：②④9.如图，S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是 SA ，AM DNSM NBBP SM∵SB ⊂ 平面 SBC ，MP ⊄平面 SBC ，∴MP ∥平面 SBC.SM NB BP NB ∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC.又 BC ⊂ 平面 SBC ，NP ⊄平面 SBC ，∴NP ∥平面 SBC.又 MP ∩NP ＝P ，∴平面 MNP ∥平面 SBC ，而 MN ⊂ 平面 MNP ，∴MN ∥平面 SBC.10.如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ∉平面 ABCD ，过 BC 作平BCFE 交 AP 于点 E ，交 DP 于点 F ，求证：四边形 BCFE 为梯形．面证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂ 平面 APD ，BC 平面 APD ，∴BC ∥平面 APD.又平面 BCFE ∩平面 APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF.又 E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC.∴四边形 BCFE 是梯形．层级二 应试能力达标1．已知平面 α，β，直线 a ，b ，c ，若 a ⊂ α，b ⊂ α，c ⊂ α，a ∥b ∥c ，且 a ∥β，b ∥β，c∥β，则平面 α 与 β 的位置关系是()A ．平行C ．平行或相交B ．相交D ．以上都不对解析：选 C 由题意可知，平面 α 内不一定有两条相交直线与平面 β 平行，所以平面 α与 β 有可能平行，也有可能相交．2．已知直线 a ∥平面 α，直线 b ⊂ 平面 α，则()A ．a ∥bC ．a 与 b 相交B ．a 与 b 异面D ．a 与 b 无公共点解析：选 D 由题意可知直线 a 与平面 α 无公共点，所以 a 与 b 平行或异面，所以两者无公共点．3．已知平面 α∥平面 β，a ⊂ α，b ⊂ β，则直线 a ，b 的位置关系是()A ．平行C ．异面B ．相交D ．平行或异面解析：选 D ∵平面 α∥平面 β，∴平面 α 与平面 β 没有公共点．∵a ⊂ α，b ⊂ β，∴直线a ，b 没有公共点，∴直线 a ，b 的位置关系是平行或异面．4.如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC ，α 分别交线段 P A ，PB ，PC 于 A ′，B ′，C ′，若 P A ′∶AA ′＝2∶3，则 △A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为()A ．2∶5C ．4∶9B ．3∶8D ．4∶25解析：选 D∵平面 α∥平面 ABC ，平面 P AB ∩α＝A ′B ′，平面 P AB ∩平面 ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB.又∵P A ′∶AA ′＝2∶3，∴A ′B ′∶AB ＝P A ′∶P A ＝2∶5.同理 B ′C ′∶BC ＝A ′C ′∶AC ＝2∶5.∴ △A ′B ′C △′与 ABC 相似，∴△S A ′B ′C ′∶△S ABC ＝4∶25. 5.如图，四边形 ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且 AB ∥平面 α，M 是 AC 的中点，BD 与平面 αAC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.(2)由(1)易知PQ＝D1C＝m.同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.22交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是12答案：56.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且A C∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝BE AE BE AEAB AB AB AB答案：m∶n7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示．连接AC，CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.12a.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接所以 MN ∥EC ，MN ＝ EC ＝1，MN ，NF.因为 BF ∥平面 AA 1C 1C ，BF ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AA 1C 1C ＝MN ，所以 BF ∥MN .又 MB ∥平面 AEF ，MB ⊂ 平面 FBMN ，平面 FBMN ∩平面 AEF ＝FN ，所以 MB ∥FN ，所以 BFNM 是平行四边形，所以 MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.而 EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，12故 MN 是△ACE 的中位线．所以 M 是 AC 的中点时，MB ∥平面 AEF.。

《8.5.2 直线与平面平行》教案第1课时直线与平面平行的判定【教材分析】在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.难点：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.【教学过程】一、情景导入问题1.观察开门与关门，门的两边是什么位置关系．当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？【答案】平行.问题2.请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与l 平行的直线吗？【答案】平行，有.问题3.根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本135-137页，思考并完成以下问题 1、直线与平面平行的判定定理是什么？2、怎样用符号语言表示直线与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、直线与平面平行的判定定理四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的判断定理的理解 例1 下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内,则a ∥α ②若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α ③若直线l 与平面α平行,则l 与α内的任意一条直线都平行 ④若l 与平面α平行,则l 与α内任何一条直线都没有公共点 ⑤平行于同一平面的两直线可以相交A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①a⊄α,则a∥α或a与α相交,故①不正确;②当l与α相交时,满足条件,但得不出l∥α,故②不正确;③若l∥α,则l与α内的无数条直线异面,并非都平行,故③错误;若l∥α,则l与α内的任何直线都没有公共点,故④正确;若a∥α,b∥α,则a与b可以相交,也可以平行或异面,故⑤正确.解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1.设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β【答案】D.【解析】A,B,C错;在D中,α∥β,a⊂α,则a与β无公共点,所以a∥β,故D正确.故选D.题型二直线与平面平行的判断定理的应用例2 在空间四边形ABCD中,E，F分别是AB，AD的中点,求证:EF∥平面BCD.【答案】证明见解析【解析】∵AE=EB,AF=FB,∴EF∥BD.EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD.∴ EF ∥平面BCD解题技巧： (判定定理应用的注意事项) (1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.跟踪训练二1.如图,已知OA,OB,OC 交于点O,AD 12OB,E,F 分别为BC,OC 的中点.求证:DE∥平面AOC.【答案】证明见解析 【解析】 证明 在△OBC 中, 因为E,F 分别为BC,OC 的中点, 所以FE 12OB,又因为AD12OB,所以FE AD.所以四边形ADEF 是平行四边形. 所以DE ∥AF.又因为AF ⊂平面AOC,DE ⊄平面AOC. 所以DE ∥平面AOC. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本139页练习1、2、3题，143页习题8.5的4、5、6题.【教学反思】本节课，从内容上来说，学生基本掌握判定定理，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力.从方法上来说，通过本节课判定定理的学习，学生理解证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了，让学生初步感知空间问题可以转化为平面问题解决.《8.5.2 直线与平面平行》导学案第1课时直线与平面平行的判定【学习目标】知识目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线与平面平行的判定定理及其应用.【学习难点】：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本135-137页，填写。

2.2.3直线与平面平行的性质一、选择题1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C. 3．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行的性质定理知C正确．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD ＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 D解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC ＝DG∶GC.6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为()A.22B.32C ．1D. 2考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 答案 A解析 如图，连接AD 1，AB 1，∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝22.7.如图，四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2，点E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋3B ．3＋ 3C ．3＋23D ．2＋2 3考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 答案 C解析 ∵CD ∥AB ，CD ⊄平面SAB ，AB ⊂平面SAB ， ∴CD ∥平面SAB .又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.二、填空题8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.9．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有_____条．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 0或1解析 过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．10. 如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系答案平行四边形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．11．如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案45＋6 2解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝45＋6 2.三、解答题12．如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP 于点F，求证：四边形BCFE是梯形．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.∵平面BCFE∩平面P AD＝EF，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCEF是梯形．13.如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 中边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算解 如图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM .因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，PC ⊂平面P AC ， 所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC.在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1，所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.四、探究与拓展14.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 C解析 由题意知PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；C 是错误的，故选C.15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质证明平行问题解 若MB ∥平面AEF ，过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ， 连接MN ，NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ， BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ， 所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ， 平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ， 所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形， 所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1. 而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2， 所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1，故MN 是△ACE 的中位线． 所以当M 是AC 的中点时， MB ∥平面AEF .。

高一数学直线，平面平行的判定及其性质的知识点
1.直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：
(1)直线在平面内直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.
(2)直线和平面相交直线和平面有且只有一个公共点.
记作a=A
(3)直线和平面平行如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥.
2.直线和平面平行的判定
判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记线线平行，则线面平行)
证明直线和平面平行的方法有：
①依定义采用反证法
②利用线面平行的判定定理
③面面平行的`性质定理也可证明
3.直线和平面平行的性质定理
性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为线面平行，线线平行).
这为证线线平行积累了方法：
①排除异面与相交②公理4 ③线面平行的性质定理
【高一数学直线，平面平行的判定及其性质的知识点】。

课时作业46 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交解析：因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，所以直线a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D。

2．(2020·福州质检)下列说法中，错误的是(D)A．一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l与平面α平行,则过平面α内一点和直线l平行的直线在α内D．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线解析：如果已知直线与另一个平面不相交，则有两种情形：直线在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,即A中说法正确；选项B是两个平面平行的一种判定方法，即B中说法正确；由线面平行的性质定理知C中说法正确;选项D中说法是错误的，事实上，直线l不平行于平面α，可能有l⊂α,则α内有无数条直线与l平行．故选D。

3．（2019·全国卷Ⅱ）设α,β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析:对于A，α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交,所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.4．已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等，则l∥α；②若l⊥α,l∥β，则α⊥β;③若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是（D)A．①②B．①②③C．①③D．②③解析：对于①，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等,此时l不与α平行，所以①错误;对于②，因为l ∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所以m⊥α，又m⊂β,所以β⊥α，所以②正确；对于③，l∥α，故存在m⊂α,使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，③正确．故选D.5．在如图所示的三棱柱ABC。

高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。

二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。

三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

2重点难点教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。

教学难点:线与面的性质定理的应用。

3教学过程3.1 第一学时教学活动活动1【导入】问题引入一、问题引入木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A C .现在小刘要经过平面A C 内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?预设：(1)过P作一条直线平行于B C(2)过P作一条直线平行与BC。

(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。

)活动2【讲授】新课讲授二、知识回顾判定一条直线与一个平面平行的方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

(线线平行线面平行)三、知识探究(一)思考一：如果直线a与平面平行，那么直线a与平面内的直线有哪些位置关系?答：平行或异面。

思考2：若直线a与平面平行，那么在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?答：无数条;平行。

思考3：如果直线a与平面平行，经过直线a的平面与平面相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?答：平行;因为a∥，所以a与没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面内，所以a与b平行。

思考4：综上分析，在直线a与平面平行的条件下我们可以得到什么结论?答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。

课时作业(四十) [第40讲 直线、平面平行的判定与性质](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．[2012·四川卷] 下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2．直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( ) A ．α内的所有直线都与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内的直线都与a 相交 D ．直线a 与平面α有公共点3．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点4．如图K40－1，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND，则直线MN与平面BDC 的位置关系是________．能力提升 5．[2012·北京西城区二模] 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ，n α，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( ) A ．0个 B ．1个C ．0个或1个D ．1个或无数个7．[2012·湖北七市月考] 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”，“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． 其中是“可换命题”的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 8．下列命题：①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．其中正确的有( ) A ．①②④ B ．②④ C ．②③④ D ．③④9．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．2010．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．图K40－212．如图K40－2所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，点Q 在CD 上，则PQ ＝________．13．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线； ②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β； ④若m ，n 在平面α内的射影互相平行，则m ，n 互相平行． 14．(10分)[2012·鹰潭一中模拟] 如图K40－3，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，BC ＝1，D 为AC 中点，若规定主视方向．．．．为垂直于平面ACC 1A 1的方向，则可求得三棱柱左视图的面积为455；(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求三棱锥A－A1BD的体积．15．(13分)如图K40－4，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．图K40－4难点突破16．(12分)如图K40－5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.(1)求证：MN∥平面ADD1A1；(2)求异面直线AE和CD1课时作业(四十)【基础热身】1．C [解析] 对于A ，可以考虑一个圆锥的两条母线与底面所成角都相等，但它们不平行，A 错．对于B ，当三个点在同一条直线上，且该直线平行于一个平面时，不能保证两个平面平行；或者当其中两个点在平面一侧，第三点在平面异侧，且它们到平面距离相等，也不能保证两个平面平行，故B 错．对于C ，记平面外的直线为a ，两平面记为α，β，它们的交线为l .过a 作平面γ与平面α相交于b ，并使得b 不在β内，由a ∥α，可知a ∥b ，又a ∥β，故b ∥β.过b 的平面α与β相交于l ，由线面平行的性质定理可得b ∥l ，再由公理可得a ∥l .C 正确．对于D ，观察一个正方体共顶点的三个面，即可知D 错误．2．D [解析] 因为直线a 不平行于平面α，则直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内，所以选项A ，B ，C 均不正确．3．D [解析] 若l ∥α，则a ∥b ∥c ∥…，若l 与α相交于一点A 时，则a ，b ，c ，…都相交于点A .4．平行 [解析] 在平面ABD 中，AM MB ＝ANND ，∴MN ∥BD .又M N ⃘平面BCD ，BD 平面BCD ， ∴MN ∥平面BCD . 【能力提升】 5．A [解析] 若m ，n α，α∥β，则m ∥β且n ∥β；反之若m ，n α，m ∥β且n ∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分而不必要条件，故应选A.6．C [解析] 如果这两点所在的直线与平面α平行，则可作一个平面与平面α平行，若所在直线与平面α相交，则不能作平面与平面α平行．7．C [解析] 对于①，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”知，①是“可换命题”；对于②，由“垂直于同一直线的两条直线未必平行”知，②不是“可换命题”；对于③，由定理“平行于同一平面的两个平面平行”知，③是“可换命题”；对于④，由“平行于同一直线的两个平面未必平行”知，④不是“可换命题”．综上所述，选C.8．B [解析] 注意平面中成立的几何定理在空间中可能成立，也可能不成立；平行于同一平面的两直线可以相交、异面和平行；平行于同一直线的两平面可以相交．9．B [解析]P A AC ＝PB BD， 可求出BD 的长分别为245或24.10．l ⃘α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为l ⃘α.11．平行 [解析] 如图，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO ∥BD 1.又EO平面ACE ，BD 1⃘平面ACE ，故BD 1∥平面ACE .12.223a [解析] 如图，连接AC ，由平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，得MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， ∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝223a .13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可能平行于β，也可能在β内，故③是假命题，在④中，m ，n 也可以异面，故④为假命题．14．解：(1)如图，连接AB 1，交A 1B 于点O ，连接OD .易知OD ∥B 1C ，又OD平面A B D ，B 1C ⃘平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)主视方向为垂直于平面ACC 1A 1其高为2，面积为455，求得左视图长为255，即在三角形ABC 中，B 点到AC 的距离为255，根据射影定理可得∠ABC ＝90°，AC ＝5；则三棱锥A －A 1BD 以AA 1＝2为高，S △ABD ＝12，则V＝13×2×12＝13. 15．解：存在这样的点F 1，此时点F 为AB 的中点．证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD . ∴AD ∥CF . 又AD平面ADD 1A 1，C F ⃘平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⃘平面ADD 1A 1， DD 1平面ADD 1A 1， ∴CC 1∥平面ADD 1A 1.又CC 1，CF 平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ， ∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1. 【难点突破】16．解：(1)证明：取CD 的中点∵M ，N ，K 分别为AE ，CD 1，∴MK ∥AD ，NK ∥DD 1.M K ⃘平面ADD 1A 1，N K ⃘平面ADD 1A 1，∴MK ∥平面ADD 1A 1，NK ∥平面ADD 1A 1.又MK ∩NK ＝K ，∴平面MNK ∥平面ADD 1A 1. 又∵MN 平面MNK ， ∴MN ∥平面ADD 1A 1.(2)取A 1D 1的中点F ，连接AF ，EF ，则D 1F 綊CE ，从而四边形CEFD 1为平行四边形． ∴EF ∥CD 1.∴∠AEF 为异面直线AE 和CD 1所成的角．在△AEF 中，易得AF ＝5a 2，AE ＝17a2，EF ＝CD 1＝5a .由余弦定理，得cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF＝88585，∴异面直线AE 和CD 1所成角的余弦值为88585.。