安徽师范大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题理

安徽师范大学附中2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）设集合，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（1，3）C．（3，4）D．（1，2）∪（3，4）2．（3分）下列函数中与y=x有相同图象的一个是（）A．B．C．D．y=log a a x3．（3分）若函数，则f﹣1（2）的值为（）A．5 B．﹣5 C．D．44．（3分）已知方程x=3﹣3x，下列说法正确的是（）A．方程x=3﹣3x的解在（0，1）内B．方程x=3﹣3x的解在（1，2）内C．方程x=3﹣3x的解在（2，3）内D．方程x=3﹣3x的解在（3，4）内5．（3分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）设函数f（x）是定义在R上的函数，下列函数①y=﹣|f（x）|②y=xf（x2）③y= ﹣f（﹣x）④y=f（x）﹣f（﹣x）中是奇函数的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）下列说法正确的为（）A．幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点B．a，b，c均为不等于1的正实数，则log a b•log c a=log b cC．是偶函数D．若，则8．（3分）有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（）A．y=log a x（a＞1）B．y=ax+b（a＞1）C．y=ax2+b（a＞0）D．y=log a x+b（a＞1）9．（3分）已知f（x）=e|x﹣a|在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，2] C．[0，2] D．（2，+∞）10．（3分）已知奇函数f（x）在R上为减函数，g（x）=﹣xf（x），若a=g（﹣2），b=g（20.8），c=g（3）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c11．（3分）设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣6，﹣2]∪（2，+∞）B．[﹣6，﹣2]∪（8，+∞）C．[﹣6，+∞]D．（2，+∞）12．（3分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+ln x，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1二、填空题13．（4分）若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2）则f（8）的值为．14．（4分）若函数f（x+1）的定义域[﹣6，2]，则函数f（1﹣x）定义域是．15．（4分）已知函数f（x）=，g（x）=ax+1，其中a＞0．若f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是．16．（4分）已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数对（x，y）在映射f下的象为实数z，记作f（x，y）=z，对于任意的正整数m，n（m＞n）映射f由下表组出：使不等式f（2x，x）≤4成立的x的集合是．三、解答题17．（8分）计算下列各式的值．（1）；（2）（log43+log83）•log32．18．（8分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=∅，求a的范围．19．（10分）解关于x的不等式log a（4x﹣4）≥log a（2x+2）．20．（10分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＞0，且满足．（1）求f（1）的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若f（2）=1，解不等式．21．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2k≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x﹣1|）+k﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】集合={x|2﹣1≤2x≤23}={x|﹣1≤x≤3}，则A∩（∁R B）={x|﹣1＜x＜4}∩{x|x＞3或x＜﹣1}={x|3＜x＜4}=（3，4）．故选C．2．D【解析】对于A，它的定义域为R，但是它的解析式为y=|x|与y=x不同，故错；对于B，它的定义域为{x|x≠0}，与y=x不同，故错；对于C，它的定义域为{x|x＞0}，与y=x不同，故错；对于D，它的定义域为R，解析式可化为y=x与y=x同，故正确；故选D．3．B【解析】设f﹣1（2）=a，则点（a，2）必在函数图象上，即，解得a=﹣5，故选：B4．A【解析】由方程x=3﹣3x，令f（x）=3﹣x﹣3x，因为f（1）=3﹣1﹣3=﹣1＜0f（0）=3﹣0﹣1=2＞0，所以根据根的存在性定理可知函数f（x）=3﹣x﹣3x，在区间（0，1）内存在零点，即方程x=3﹣3x的解在区间（0，1）内，故选：A．5．B【解析】由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．6．B【解析】函数f（x）是定义在R上的函数，对于①y=F（x）=﹣|f（x）|，由于它满足F（﹣x）=﹣|f（﹣x）|=﹣|f（x）|=F（x），故该函数为偶函数．对于②y=F（x）=xf（x2），由于它满足F（﹣x）=﹣xf（x2）=﹣F（x），故该函数为奇函数．对于③y=F（x）=﹣f（﹣x），由于它满足F（﹣x）=﹣f（x），它不一定等于﹣F（x），故该函数不是奇函数．④y=F（x）=f（x）﹣f（﹣x），由于它满足F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），故该函数为奇函数．综上，只有②④中的函数为奇函数，故选：B．7．C【解析】对于A，幂函数的图象都经过（1，1），不一定过（0，0），比如函数y=x﹣2，故错；对于B，a，b，c均为不等于1的正实数，则log a b•log c a=log cb，故错；对于C，函数，定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），故f（x）是偶函数，故正确；对于D，∵4a﹣1＜0，则，故错．故选：C．8．C【解析】通过所给数据可知s随t的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选：C．9．B【解析】由题意得只需y=|x﹣a|在（2，+∞）递增即可，而函数y=|x﹣a|的对称轴是x=a，故a≤2，故选：B．10．D【解析】根据题意，g（x）=﹣x•f（x），且f（x）为奇函数，则有g（﹣x）=﹣（﹣x）f（﹣x）=﹣xf（x）=g（x），故函数g（x）为偶函数，又由奇函数f（x）在R上是减函数，则有当x＞0时，f（x）＜0且f′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）=﹣f（x）﹣x•f′（x）＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数；又由a=g（﹣2）=g（2），b=g（20.8）＜g（2），c=g（3），则有b＜a＜c；故选：D．11．A【解析】当x＜g（x）时，即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+）2+，∵x＞2 或x＜﹣1，∴f（x）＞f（﹣1）=2，因此这个区间的值域为：（2，+∞）；当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣4=x2﹣6，其最小值为f（0）=﹣6，其最大值为f（2）=﹣2．因此这区间的值域为：[﹣6，﹣2]．综合得：函数值域为：[﹣6，﹣2]∪（2，+∞）．故选：A．12．D【解析】∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+ln x的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选D．二、填空题13．2【解析】∵y=f（x）为幂函数，∴设f（x）=xα，∵y=f（x）的图象过点（4，2），∴4α=22α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（8）=2．故答案为：2．14．[﹣2，6]【解析】∵函数f（x+1）的定义域为[﹣6，2]，即﹣6≤x≤2，得﹣5≤x+1≤3，∴函数f（x）的定义域为[﹣5，3]．由﹣5≤1﹣x≤3，解得﹣2≤x≤6，∴函数f（1﹣x）的定义域是[﹣2，6]．故答案为：[﹣2，6]．15．（0，1）【解析】f（x）=，（1）若a＜0，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（2）若a=0，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（3）若a＞1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．（4）若0＜a＜1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）有两个交点．（5）若a=1，作出f（x）和g（x）的图象如图，显然f（x）与g（x）只有一个交点．综上，a的取值范围是（0，1）．故答案为（0，1）．16．{1，2}【解析】∵2x＞x恒成立，故f（2x，x）=2x﹣x，当x=1时，f（2x，x）=2﹣1=1≤4成立，当x=2时，f（2x，x）=22﹣2=2≤4成立，当x≥3时，f（2x，x）＞23﹣3=5，故使不等式f（2x，x）≤4成立的x的集合是：{1，2}，故答案为：{1，2}．三、解答题17．解：（1）原式=﹣+×=1；（2）原式=•log23•log32=．18．解：当A=φ时即2a＞a+3，a＞3，此时满足A∩B=∅当A≠∅时，2a≤a+3，即a≤3时有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此时A∩B=φ综合知，当a＞3或﹣≤a≤2时，A∩B=∅19．解：由题意：4x﹣4＞0，∴x＞1．当a＞1时，y=log a x是增函数，∴log a（4x﹣4）≥log a（2x+2）⇔4x﹣4≥2x+2，∴（2x﹣3）（2x+2）≥0，∴x≥log23；当0＜a＜1时，y=log a x是减函数，log a（4x﹣4）≥log a（2x+2）⇔4x﹣4≤2x+2，∴（2x﹣3）（2x+2）≤0，∴x≤log23，又∵x＞1，∴1＜x≤log23．∴当a＞1时，原不等式的解集为[log23，+∞）；当0＜a＜1时，原不等式的解集为（1，log23]．20．（1）解：令x=y=1可得f（1）=f（1）﹣f（1）=0，（2）证明：设x1＞x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）=f（），∵x1＞x2＞0，∴＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）解：∵f（2）=1，∴f（）=f（1）﹣f（2）=﹣1，∴f（4）=f（2）﹣f（）=2，∵，∴f（x2+3x）＜f（4）．∴，解得0＜x＜1．∴不等式的解集是（0，1）．21．解：（1）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=1，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=1，b=0（2）由（1）得：g（x）=x2﹣2x+1，f（x）==x+﹣2若不等式f（2x）﹣k•2k≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，则t≤（）2﹣2（）+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，2x∈[，2]，∈[，2]，当=1即x=0时，（）2﹣2（）+1取最小值0，故t≤0，（3）令t=|2x﹣1|，t≥0，f（|2x﹣1|）+k﹣3k=0，化为：f（t）+k﹣3k=0，则原方程可化为：t+﹣2+k﹣3k=0，即t2﹣（2+3k）t+（1+k）=0，若关于x的f（|2x﹣1|）+k﹣3k=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或，∴k＞0．。

安徽师范大学附属中学 期中考查高 三 数 学(理) 试 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.2 B ．3 C ．5 D ． 52．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.13y x =±D.3y x =±4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ）A ．18B ． 24C ．60D ． 90 5．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．4B ．22C ．24D ．86． 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ )A ．15B ．25 C ．35D ．457.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0,043y x ayx ，若132+++=x y x z 的最小值为23，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记222.02.0222.0)2.0(2)2(,5log )5(log f c f b f a ===，，则 （ ） A.c b a << B.b a c << C. c a b << D.a b c <<9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49 C ．49- D ．0 10．用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种 A ．4080 B.3360 C. 1920 D. 72011．设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos = ( )A.55-B.55C.552-D.552 12．已知正方体1111ABCD A BC D -，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.若点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变B.若点P 是平面1111A BC D 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是过1D 点的直线 C.若点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变 D.若点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．）13.设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)25(f .14.2321(2)x x +-展开式中的常数项为 ．15.如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于 ．16.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22，23为二选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分)已知函数)0,0(12sin2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π. （Ⅰ）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间； （Ⅱ）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.当]6,12[ππ-∈x 时，求函数)(x g 的值域.18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足.（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围．22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.20. (本小题满分12分)已知函数),(22)(R a R x ax e x f x∈∈--=. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）当0≥x 时，若不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当),1(+∞∈x 时，1)(1>+-xxe x xf 恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).选做题(两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算) 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数212)(--+=x x x f .（Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．） 13.2114. -2015.3π（或60°） 16. 2015四、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）由题意得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， ————————2分 又因为函数()f x 为奇函数，所以,66k k ππϕπϕπ-==+，且0ϕπ<<，所以6πϕ=，故函数为()2sin 2f x x =. ————————4分要使()f x 单调减，需满足2,224x x ππππ-≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为[,]24ππ--. ————————6分（2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ， ————————9分————————12分 18.（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 化简得sin B = 故233B ππ=或． ————————4分（2）因为b a ≤，所以3B π=， ————————6分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====， 得a=2sinA,c=2sinC ， ————————8分————————10分因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 所以)32,3[2∈-c a ． ————————12分19. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n n n n n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-=为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ————————6分（2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++，——————101,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴， 综上213n T ≤<成立. ————————12分 20.（1）当1a =时，''()22,()21,(1)21x x f x e x f x e f e =--=-=-，即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又(1)23f e =-，所以所求切线方程为(21)2y e x =--. ————————4分（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立min [()]0f x ⇔≥ 易知'()2x f x e a =-○1若0a ≤，则'()0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增； 又(0)0f =，所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=，符合题意. —————6分○2若0a >，由'()0f x =，解得ln 2a x =，则当(,ln )2a x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以ln2ax =时，函数()f x 取得最小值. ————————8分 则当02ln≤a ，即20≤<a 时，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意.————————10分当02ln>a ，即2>a 时，则当)2ln ,0(a x ∈时，)(x f 单调递增，0)0()(=<f x f ，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是].2,(-∞ ————————12分（没有综上扣一分）21.（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x -=-=> 当0a ≤时，2'210,()0,ax f x -≤≤()f x 上(0,)+∞单调递减.当0a >时，'()f x =x ∈时，'()0f x <，当)x ∈+∞时'()0f x >，故()f x在x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增. ————————5分（2）原不等式等价于11()0x f x e x--+>在(1,)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x--=-+=--+- 只需()g x 在(1,)+∞上恒大于0即可，又(1)0g =，故'()g x 在处1x =必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x -==-+-≥可得12a ≥. ————————8分 另一方面，当12a ≥时， 3'1112323312122()21x x x x x F x a e e e x x x x x ---+-=+-+≥+-+=+ 又(1,)x ∈+∞，320x x ∴+->，10x e ->，故'()F x 在(1,)+∞时恒大于0，当(1,)x ∈+∞时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥.故()g x 也(1,)x ∈+∞在单调递增()(1)0g x g ∴>=.即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0. 12a ∴≥. 综上，12a ≥. ————————12分（没有综上扣一分）选做题 22.解:（1）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=． 所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ————————5分（2） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)， 所以弦长22=OA ． ————————10分23. (1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分 (2)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+由绝对值的几何意义，只需11322aa-≤+⇒≥-————————10分。

安徽师范大学附属中学第2017-2018 学年第一学期期中考
查高一数学试卷
命题教师：审题教师: 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1、设集合A ={x |1 <x <：4},B =£x 1 x
—< 2 兰8^，则A CI(C R B)=() 2 J
A. (1, 4)
B. ( 1, 3)
C. ( 3, 4)
D.(1,2)U(3,4)
2、下列函数中，与y = x相同函数的是（)
A. y =拧
2
x
B. y =—小log a x
C. y = a x
D. y = log a a
x
X —1
3、若函数f（x ）= ，贝V f ~（2）的值为（）
x +2
1
A.5
B. -5
C.
D. 4
4
4、已知方程x =3 _3X，下列说法正确的是（）
A.方程x =3 _3x的解在（0, 1）内B•方程x =3 _3x的解在（1 , 2）内
C•方程x =3 -3x的解在（2, 3）内D•方程x =3 -3x的解在（3, 4）内
5、若函数y =log a x（a ■ 0,且a =1 ）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（
）
6、设函数f （x ）是定义在R上的函数，下列函数① y = — f （ x ）②y = xf （ x2）
③y - - f （ -x）④y = f （ x） - f （ -x）中是奇函数的个数（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个7、下列说法正确的为（。

2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s22．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．39．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++ 12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s2【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以a，所以平均数变，方差也变．【解答】解：由题意知，原来的平均数为，新数据的平均数变为a，（a=2）原来的方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2]，现在的方差S′2=[（ax1﹣a）2+（ax2﹣a）2+（ax3﹣a）2]=[a2（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=a2s2，∴求得新数据的方差为4s2．故选：C．【点评】本题说明了当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍．2．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同【分析】根据抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化．【解答】解：有抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化，将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是，故选：A．【点评】本题考查三种抽样方法和函数的值域，本题解题的关键是理解三种抽样方法在抽样过程中，每个个体被抽到的概率是相等的，这和选择的方法无关，只与样本容量和总体个数有关．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，由此2个人在不同层离开的概率．【解答】解：2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，则2个人在不同层离开的概率为=，故选：D．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，求出2个人在不同层离开的方法数为9×8，是解题的关键，属于中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．3【分析】根据题意画出相应的图形，连接CN，由PQ与圆C相切，利用切线的性质得到CN垂直于PQ，且CN等于圆C半径，可得出CN为CP的一半，得到∠CPQ为30°，进而求出直线PQ的斜率，确定出直线PQ的解析式，由M 为直线PQ上的点，将M（m，n）代入直线方程，用m表示出n，将所求式子利用基本不等式变形后，得到取等号时m与n的关系，将表示出的n代入求出m的值，进而得到n的值，即可确定出所求式子的最小值．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：连接CN，∵PQ与圆C相切，∴CN⊥PQ，且CN=1，又P（0，2），即CP=2，∴在Rt△PCN中，CN=PC，∴∠CPN=30°，∴直线PQ的倾斜角为120°，即斜率k=﹣，故直线PQ解析式为y=﹣x+2，∴M（m，﹣m+2），又≥2，当且仅当，即m=n时取等号，∴m=（﹣m+2）=﹣3m+2，即m=，n=，则的最小值为2=4．故选：A．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x ﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，集合是两条平行线，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA ⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．PC=2，PB=，BC=．∴S==．△PBC该几何体的表面积S=++++=6+．故选：C．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可．【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2 由半径是，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，可得出圆心到AB的距离是，再由（﹣1，0），（1，0）和D点构成的直角三角形中可知过（﹣1，0）的直线与x轴成45°当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°所以概率为：．故答案为：．【点评】本题主要考查集合概型，属于基础题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．【分析】过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当时，AB′取得最小值．【解答】解：过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，在△AEC中，由余弦定理得：=9+4cos2α﹣12sinαcosα，在Rt△AEB′中，由勾股定理得：AB'2=AE2+B′E2=9+4cos2α﹣12sinαcosα+4sin2α=13﹣6sin2α，∴当时，AB′取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．【分析】（1）根据所给数据，可得散点图．（2）利用公式，计算出b，a，即可得出y对x的线性回归方程．【解答】解：（1）散点图如下：由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近．（2）列出下表并用科学计算器进行有关计算．=550，57于是可得b==≈0.05886．a=﹣b=57﹣0.05886×550=27.57．因此所求的回归直线的方程为：=0.05886x+27.57．【点评】本题考查散点图，考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AD的中点N，连结MN、NF，推导出四边形MNFE是平行四边形，从而EM∥FN，由此能证明EM∥平面ADF．（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，由BD⊥AB，BD⊥EB，得BD⊥平面ABF，从而∠BQD是二面角D﹣AF ﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AF﹣B的大小．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结MN、NF，在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=AB，又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN EF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴EM∥FN，∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF．解：（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，∵BD⊥AB，BD⊥EB，∴BD⊥平面ABF，BQ是DQ在平面ABF内的射影，∴DQ⊥AF，∴∠BQD是二面角D﹣AF﹣B的平面角，在△BQD中，QD==，BQ=，∴cos，∴∠BQD=60°，∴二面角D﹣AF﹣B的大小为60°．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．理由如下：只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．在△DAQ和△CEP中，cos，cos，∵，，∴∠DAQ和∠CEP都大于30°，∴在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。

安徽省师范大学附属中学2017届 高三上学期期中考查试卷（理）第I 卷(选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A∩B=∅，则实数a 的取值范围是（ ）(A)(,1]-∞-(B)(,1]-∞(C)[1,)-+∞(D)[1,)+∞2、复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则21z z ∙=（ ）(A)1(B)2(C)3 (D)43、在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件4、某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（ ）5、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） (A)13，12(B)12，13(C)13，13(D)13，146、等比数列}{n a 中，,60,404321=+=+a a a a 78a a +=（ ）(A)135 (B)100 (C)95(D)807、已知向量==,若,则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)8、已知ABC ∆的三边长成公差为2的周长是（ ）(A)253+ (B)456+ (C)6(D)10(A)15(B)18 (C)21 (D)249、已知双曲线221(00)mx ny m n -=>>、的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为（ ） (A)33 (B)332 (C)36 (D)31 10、如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0,—1)，B (π,—1)，C (π,1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )=sin x 和余弦曲线g (x )=cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )(A)π21+(B)π221+(C)π1 (D)π2111、函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示..{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A∩B 中元素的个数为（ ）.(A)1(B)2(C)3(D)412、设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )(A)(－∞，0)(B)⎝⎛⎭⎫0，12 (C)⎣⎡⎭⎫12，＋∞(D).⎝⎛⎦⎤－∞，12第II 卷(非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数)5z i i i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +2.“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5C ． 45D ． 904. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()()|,|P A B P B A 分别是（ ） A ．601,912 B ．160,291 C ．560,1891 D ．911,21625. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．306. 已知点,,P A B 在双曲线22221x y a b-=上，直线AB 过坐标原点，且直线PA PB 、的斜率之积为13，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．27.在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．138. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()8,7--B ．[)8,7--C ．(]8,7--D ．[]8,7--10.函数4cos xy x e =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 当,x y 满足不等式组22472x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是面1111A B C D 上的动点．给出以下四个结论中，则正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线 ，且该曲线的长度是2；②若//DP 平面1ACB ，则DP 与平面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎫+∞⎪⎪⎣⎭；③若DP ，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 ）二、填空题（本大题 共4小题 ，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f =____________．14.若0,,cos 224ππααα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ____________． 15.在数列{}n a 及{}n b 中，1111b 1,1n n n n n n a a b a b a b ++=+=+==．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2017项和为 ____________．16.已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，有72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，第17题 至21题每题 12分，在第22、23题中任选一题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，12,cos 3AB B ==，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2,BD DC ACD =∆sin sin BAD CAD∠∠的值． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列： ②求X 的数学期望和方差． 附临界值表：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的22⨯列联表：19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，且1,2AB BC AD ===，顶点P 在平面ABCD 内的射影H 在AD 上，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A PC D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知焦点为F 的抛物线()21:20C x py p =>，圆222:1C x y +=，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q ．（1）当直线l的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且有两个零点记为12,x x ．（1）求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； （2）证明: 12ln ln 2x x +>．选做题 （在第22、23两题中任选一题作答，若两题都做，按第22题 记分.）22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求,A B 两点的极坐标和PAB ∆面积的最小值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-．（1）解不等式：()()12f x f x ++≤；（2）若0a <，求证：()()()2f ax af x f a -≥．参考答案一、选择题二、填空题 13. 13-14. 151615. 4034 16. 15 三、解答题17.（1）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又ADC S ∆=ADC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵11sin ,sin 22ABD ADC S AB AD BAD S AC AD CAD ∆∆=∠=∠，2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD ACCAD AB∠=∠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，∴AC =sin 242sin BAD ACCAD AB∠==∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由题 意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表如下：()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0，1，2，3．其中()()()32211233327235423360;1;25125551255512P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②由于23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2622183,31555525E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-=⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．12分19.解析：（1）∵PH ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，∴PH AB ⊥， ∵,,,AB AD ADPH H AD PH ⊥=⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵PH ⊥平面ABCD ， ∴x 轴//PH ．则()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0A C D ，设(),02,0AH a PH h a h ==<<>， ∴()0,,P a b ，()()()0,,,0,2,,1,1,0AP a h DP a h AC ==-=， ∵PA PD ⊥，∴()220AP DP a a h =-+=， ∵AC 与BD 所成角为60°． ∴()21cos ,222AC DP a ==-， ∴()222a h -=，∴()()210a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴()0,1,1P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0AP AC PC DC ===-=-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =，由n AP y z n AC x y ⎧=+=⎨=+=⎩，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-，设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由00m PC x z m DC x y ⎧=-=⎨=-=⎩，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1， ∴1cos ,3m nm n m n ==． ∵二面角A PC D --的平面角为钝角，∴二面角A PC D --的余弦值为13-．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）设点200,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()220x py p =>得，22x y p =，求导x y p '=， 因为直线PQ 的斜率为1，所以01x p =且2002x x p-=，解得p = 所以抛物线1C的方程为2x =．（2）因为点P 处的切线方程为：()20002x x y x x p p-=-，即200220x x py x --=，根据切线与圆切，得d r =1=，化简得4220044x x p =+，由方程组20022422002201440x x py x x y x x p ⎧--=⎪+=⎨⎪--=⎩，解得20042,2x Q x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以002P Q PQ x x =-=-=，点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到切线PQ的距离是d ==所以2220010211224p x p x S PQ d p x +-==⨯=，20122Q pS OF x x ==， 而由4220044x x p =+知，24200440p x x =->，得02x >，所以()()()()()() ()222242222 222000000000012422 20000 222442222422424443324x p x x x x x x xxx p xSS p x p p x x xxx+-+---+-=⨯===---=++≥-当且仅当224424xx-=-时取“=”号，即24x=+p=所以12SS的最小值为3．21.（1）()()21ln1lnax x a a xxf xx x--+-'==，由()10af x x e+'=⇒=，且当1ax e+<时，()0f x'>，当1ax e+>时，()0f x'<，所以()f x在1ax e+=时取得极值，所以10ae e a+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以()()()2ln1ln,0,x xf x m x f xx x-'=->=，函数()f x在()0,e上递增，在(),e+∞上递减，()1f e me'=-，()00x x→>时，();f x x→-∞→+∞时，()(),f x m f x→-有两个零点12,x x，故101,0mmeem⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）不妨设12x x<，由题意知1122lnlnx mxx mx=⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln,lnxx xx x m x x m x x mx x x=+=-⇒=-．需证12ln ln2x x+>，只需证明212x x e>，只需证明：()12ln2x x >，只需证明：()122m x x+>，即证：()122211ln2x x xx x x+>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+．也就是证明：1ln 201t t t -->+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >，则12ln ln 2x x +>得证．．．．．．．．．．．．12分22.（1）由53x ty t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=， 由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为()()2,0,0,2A B -，化为极坐标为()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d==∴min d ==AB = 所以PAB ∆面积的最小值是1222242S '==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.（1）由题意，得()()112f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式122x x -+-≤，当1x ≤时，原不等式等价于232x -+≤，即112x ≤≤； 当12x <≤时，原不等式等价于12≤，即12x <≤； 当2x >时，原不等式等价于232x -≤，即522x <≤． 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得()()()222222222f ax af x ax a x ax a ax ax a ax a f a -=---=-+-≥-+-=-=，所以()()()2f ax af x f a -≥成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

安徽师范大学附属中学期中考查高二数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列说法正确的是（）A．任意三点可确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．一条直线和一个点确定一个平面2、某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）第2题图A．B．C．D．3、已知水平放置的ΔABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中''''1,''B OC O A O===那么原ΔABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．仅有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．35、在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．2π3B．4π3C．5π3D．2π6、对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线'第3题图7、若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α 8、如图正方体中,o ,1o 为底面中心,以1oo 所在直线为旋转轴,线段1BC 形成的几何体的正视图为（ ）第8题图 9、给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足l =⊥⊥βαγβγα ,,,则γ⊥l ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l③已知a,b 是异面直线，βα,为两个平面，若αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα// ④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个 10、在棱长为2的正方体内有一四面体A －BCD ，其中 B ，C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示， 则四面体A －BCD 的体积为( )A.83 B ．2 C.43D ．1 11、设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ）A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个(A)(B)(C)(D)112、（理科）如图，正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点必在直线11A D 上 其中真命题个数为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．4（文科）异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )． A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππ C ．]3,6[ππD ．]32,6[ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.） 13、（理科）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线 段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .（文科）已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的半径是 . 14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标 出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ． 15、（理科）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中 心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一α∙AB∙βl个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R.设 两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则 tan(α＋β)的值是_____ _．（文科）已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P 到面ABC 的距离为 ．16、（理科）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是（文科）棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为_______________.三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17、（8分）如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示(单位：cm)。

2017届安徽师范大学附属中学期中考查高三理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.2 B ．3 C ．5 D ． 52．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.3y x =±C.13y x =±D.3y x =±4．公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项,,则等于（ ）A ．18B ． 24C ．60D ． 905．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．22C ．24D ．86． 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ )A ．B ．C ．D ．7.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0,043y x ayx ，若132+++=x y x z 的最小值为23，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 152535458．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记222.02.0222.0)2.0(2)2(,5log )5(log f c f b f a ===，，则 （ ） A.c b a << B.b a c << C.c a b << D.a b c <<9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49 C ．49- D ．0 10．用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种A ．4080 B.3360 C.1920 D. 72011．设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos = ( )A.55-B.55C.552-D.552 12．已知正方体，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.若点在直线上运动时，三棱锥的体积不变B.若点是平面上到点D 和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线C.若点在直线上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变D.若点在直线上运动时，二面角的大小不变 二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．）13.设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)25(f . 14.2321(2)x x+-展开式中的常数项为． 15.如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与1111ABCD A BC D -P 1BC 1A D PC -P 1111A B C D 1C P 1D P 1BC P 1BC 1P AD C --22(0)x py p =>(0,1)A -l ,P Q B (0,1),BP BQ ,QB BPx轴分别相交于两点．如果的斜率与的斜率的乘积为，则MBN ∠的大小等于．16.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22，23为二选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分)已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为. （Ⅰ）当时，求的单调递减区间； （Ⅱ）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足. （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围．19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；,M N QB PB 3-)0,0(12sin2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 2π)4,2(ππ-∈x )(x f )(x f y =x 6π21)(x g y =]6,12[ππ-∈x )(x g 22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+（Ⅱ）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.20. (本小题满分12分)已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）当),1(+∞∈x 时，1)(1>+-x xe x xf 恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).选做题(两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算) 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f .),(22)(R a R x ax e x f x∈∈--=1=a )(x f y =1=x 0≥x 0)(≥x f a（Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．） 13.2114. -20 15.3π（或60°） 16. 2015四、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）由题意得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， ————————2分 又因为函数()f x 为奇函数，所以,66k k ππϕπϕπ-==+，且0ϕπ<<，所以6πϕ=，故函数为()2sin 2f x x =. ————————4分 要使()f x 单调减，需满足2,224x x ππππ-≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为[,]24ππ--.————————6分 （2）由题意可得：， ————————9分⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx ,33432πππ≤-≤-∴x .从而2334sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ，()[]3,2-∈x g ()[]32，的值域为-∴x g —12分)34sin(2)(π-=x x g18.（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 化简得3sin 2B = 故233B ππ=或． ————————4分（2）因为b a ≤，所以3B π=， ————————6分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====， 得a=2sinA,c=2sinC ， ————————8分————————10分因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 所以)32,3[2∈-c a ． ————————12分 19. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n n n n n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-= 为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ————————6分 （2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+ 111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++ ，——————101,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴，综上213n T ≤<成立. ————————12分 20.（1）当1a =时，''()22,()21,(1)21x x f x e x f x e f e =--=-=-， 即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又(1)23f e =-，所以所求切线方程为(21)2y e x =--. ————————4分 （2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立min [()]0f x ⇔≥ 易知'()2x f x e a =-○1若0a ≤，则'()0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增； 又(0)0f =，所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=，符合题意. —————6分○2若0a >，由'()0f x =，解得ln 2a x =，则当(,ln )2a x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以ln 2ax =时，函数()f x 取得最小值. ————————8分则当，即时，则当时，，符合题意. ————————10分当，即时，则当时，单调递增，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是————————12分（没有综上扣一分）21.（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x-=-=> 当0a ≤时，2'210,()0,ax f x -≤≤()f x 上(0,)+∞单调递减.当0a >时，'()f x =，当x ∈时，'()0f x <，当1(,)2x a ∈+∞时'()0f x >，故()f x 在1(0,)2x a ∈上单调递减，在1(,)2x a∈+∞上单调递02ln≤a 20≤<a ),0[+∞∈x 0)0()(=≥f x f 02ln>a 2>a )2ln ,0(ax ∈)(x f 0)0()(=<f x f a ].2,(-∞增. ————————5分（2）原不等式等价于11()0xf x e x --+>在(1,)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x--=-+=--+-只需()g x 在(1,)+∞上恒大于0即可，又(1)0g = ，故'()g x 在处1x =必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x -==-+-≥可得12a ≥. ————————8分 另一方面，当12a ≥时， 3'1112323312122()21x xx x x F x a e e e x x x x x---+-=+-+≥+-+=+ 又(1,)x ∈+∞ ，320x x ∴+->，10xe->，故'()F x 在(1,)+∞时恒大于0，当(1,)x ∈+∞时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥. 故()g x 也(1,)x ∈+∞在单调递增()(1)0g x g ∴>=. 即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0.12a ∴≥. 综上，12a ≥. ————————12分（没有综上扣一分） 选做题22.解:（1）曲线的普通方程为，即，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程化简得．所以，曲线的极坐标方程是． ————————5分 （2）直线的直角坐标方程为，由得直线与曲线C 的交点坐标为， 所以弦长． ————————10分C 22(2)4x y -+=2240x y x +-=2240x y x +-=θρcos 4=C θρcos 4= l 40x y +-=2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩l (2,2),(4,0)22=OA23. (1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分(2)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-————————10分。

安师大附中2017-2018学年度上学期测考卷高二数学（理科）试题 第I 卷（选择题）一、选择题1.直线1L ：3)1(=-+y a ax 与2L ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为 A.3- B.1 C.230-或 D.31-或 2.已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A ．1016⎛⎫⎪⎝⎭ ， B ．1016⎛⎫⎪⎝⎭， C ．（1,0） D ．（0,1） 3.点()y x M ,在函数82+-=x y 的图象上，当x ∈[2，5]时，11++x y 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-35,61 D ．[]4,2 4.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．25.已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．(B ．(-C ．(-D ．(-6.设两圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C 等于（ ）A. 4B.C. 8D. 7.已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（ ）A. B. C.D.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距）A. 223144x y -=B. 221124x y -=C. 221412x y -=D. 223144x y -= 9.过双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E , O 为坐标原点，若2,OFE EOF ∠=∠则b =（ ）A.12B. C. 2 D.10.已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 3211.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.12. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A. B.C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ）条件．14. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120 的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为 ． 15.圆22221x y +=与直线10mx y +-=的位置关系是相离，则m 的取值范围是__________． 16. 给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π； ②已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-； ③已知1F 、2F 为双曲线C ： 22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，且原点到过椭圆C 的上顶点与右顶点的直线的距离为7． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0,,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ．18.已知:p 2228200,:210(0)x x q x x a a --<-+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）与直线l ： x m=（R m ∈），四点3,1（）， 3,1-（），()-，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ， N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ： ()22116x y ++=，点()1,0A ，点(),0B a （3a >），以B 为圆心， BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q.（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点 C ，且与曲线τ交于 ,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ， OCN ∆ 面积为0,02πρα><<，求12S S 的取值范围. 21.已知圆C:x 2+y 2-8y+12=0,直线l 经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程. (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围.22.已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求 （1）直线BC 的方程；（2）弦BC的长度.参考答案1.D2.A3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.D10.D11.D12.C 13 .充分不必要条件14.115.11m -<< 16. ②③ 17.（1）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===，即2243a b =．① 取过两端的直线1x ya b +=，即0bx ay ab +-=7= ①入②，224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224{ 143y k x x y =-+=， 得()2222433264120k x k x k +-+-=，①设点()()1122,,,B x y E x y ，则()11,A x y -， 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得， ()221221y x x x x y y -=-+．将()()11224,4y k x y k x =-=-代入整理得， 得()121212248x x x x x x x -+=+-，②由①得22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++，代入②整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q ． 18.222:8200210,:21011p x x x q x x a a x a --<⇔-<<-+-≤⇔-≤≤+， ∵,p q q p ⇒≠，∴{|210}{|11}x x x a x a -<<⊄-≤≤+，故有12{110 0a a a -≤-+≥>，解得9a ≥，因此，所求实数的取值范围是[)9,+∞． 19.（Ⅰ）解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点()3,1， ()3,1-一定在椭圆C 上， 即22911a b +=，①若点()0-在椭圆C 上，则点()0-必为椭圆C 的左顶点，而3＞()0-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C上，点()0-在直线l 上， 所以22331a b+=，② 联立①②可解得212a =， 24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线l的方程为x =-设()0P y -，0y ⎛∈ ⎝⎭， 当00y ≠时，设()11M x y ，， ()22N x y ，，显然12x x ≠，联立221122221124{1124x y x y+=+=，， 则222212120124x x y y --+=，即121212121·3y y x xx x y y -+=--+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为0013-=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即y x ⎛=⎭， 显然l '恒过定点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 当00y =时，直线MN即x =-l '为x轴亦过点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述， l '恒过定点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 20.（1）∵BA BP =， BQ BQ =， PBQ ABQ ∠=∠， ∴QAB ∆≌QPB ∆，∴QA QP =，∵,4CP CQ QP QC QA QC QA =+=++=，由椭圆的定义可知， Q 点的轨迹是以C ， A 为焦点， 24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=. （2）由题可知，设直线 l ： 1x my =-，不妨设 ()11,M x y ， ()22,N x y ∵112211,,22OMC ONC S S OC y S S OC y ∆∆==⨯⨯==⨯⨯111222y S y S y y ==-， ∵221{ 143x my x y =-+=，∴()2234690m y my +--=， 21441440m ∆+>， ∴122122634{934my y m y y m +=+=-+， ∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， ∴12S S 121,33y y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.21.(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=4, 所以圆心为C(0,4),半径为2，所以CD 的中点坐标为E(-1,2),且所以圆E 的半径故所求圆E 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.(2)由题意得直线l 的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. 因为直线l 与圆C 相离, 所以有圆心C 到直线l2>,解得3k 4<. 所以k 的取值范围3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

安徽师范大学附属中学 期中考查高 三 数 学(理) 试 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.2 B ．3 C ．5 D ． 52．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =±C.13y x =± D.3y x =± 4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ）A ．18B ． 24C ．60D ． 90 5．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．4B ．22C ．24D ．86． 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ )A ．15B ．25 C ．35D ．457.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0,043y x ayx ，若132+++=x y x z 的最小值为23，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记222.02.0222.0)2.0(2)2(,5log )5(log f c f b f a ===，，则 （ ） A.c b a << B.b a c << C. c a b << D.a b c <<9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49 C ．49- D ．0 10．用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种 A ．4080 B.3360 C. 1920 D. 72011．设当θ=x 时，函数x x y cos 2sin -=取得最大值，则θcos = ( )A.55-B.55C.552-D.552 12．已知正方体1111ABCD A B C D -，则下列说法不正确．．．的是（ ） A.若点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变B.若点P 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是过1D 点的直线C.若点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变D.若点P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变 二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．）13.设)(x f 是周期为2的偶函数，当10≤≤x 时, )1(2)(x x x f -=,则=-)25(f .14.2321(2)x x +-展开式中的常数项为 ．15.如图，已知抛物线的方程为22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接,BP BQ ，设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-，则MBN ∠的大小等于 ．16.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.三、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22，23为二选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. (本小题满分12分)已知函数)0,0(12sin 2)sin(3)(2πϕωϕωϕω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π. （Ⅰ）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间； （Ⅱ）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.当]6,12[ππ-∈x 时，求函数)(x g 的值域.18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足.（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围．22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+19. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.20. (本小题满分12分)已知函数),(22)(R a R x ax e x f x∈∈--=. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）当0≥x 时，若不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当),1(+∞∈x 时，1)(1>+-xxe x xf 恒成立，求a 的取值范围. (其中，e=2.718…为自然对数的底数).选做题(两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算) 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分．）13.21 14. -2015.3π（或60°） 16. 2015四、解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，第22题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1）由题意得：())cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， ————————2分 又因为函数()f x 为奇函数，所以,66k k ππϕπϕπ-==+，且0ϕπ<<，所以6πϕ=，故函数为()2sin 2f x x =. ————————4分要使()f x 单调减，需满足2,224x x ππππ-≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为[,]24ππ--. ————————6分（2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ， ————————9分————————12分 18.（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 化简得sin B =故233B ππ=或． ————————4分（2）因为b a ≤，所以3B π=， ————————6分由正弦定理2sin sin sin 2a c bA C B====， 得a=2sinA,c=2sinC ， ————————8分————————10分因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<， 所以)32,3[2∈-c a ． ————————12分19. （1）1n =时，11a = ————————1分2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得111()(2)0,0,2,{}n n nnn n n n a a a a a a a a ---+--=>∴-=为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. ————————6分（2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n -==--+-+111111(1)()()1335212121n T n n n ∴=-+-++-=--++， ——————101,n T ∴< 又111230,n n n T a a T -≥=>∴， 综上213n T ≤<成立. ————————12分 20.（1）当1a =时，''()22,()21,(1)21xxf x e x f x e f e =--=-=-，即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又(1)23f e =-，所以所求切线方程为(21)2y e x =--. ————————4分（2）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立min [()]0f x ⇔≥易知'()2xf x e a =-○1若0a ≤，则'()0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增； 又(0)0f =，所以当[0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ≥=，符合题意. —————6分○2若0a >，由'()0f x =，解得ln 2a x =，则当(,ln )2a x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(ln,)2ax ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 所以ln2ax =时，函数()f x 取得最小值. ————————8分 则当02ln≤a ，即20≤<a 时，则当),0[+∞∈x 时，0)0()(=≥f x f ，符合题意.————————10分当02ln>a ，即2>a 时，则当)2ln ,0(a x ∈时，)(x f 单调递增，0)0()(=<f x f ，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是].2,(-∞ ————————12分（没有综上扣一分）21.（1）由题意得：2'121()2,0ax f x ax x x x -=-=> 当0a ≤时，2'210,()0,ax f x -≤≤()f x 上(0,)+∞单调递减. 当0a >时，'()f x =x ∈时，'()0f x <，当)x ∈+∞时'()0f x >，故()f x在x ∈上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增. ————————5分（2）原不等式等价于11()0x f x e x--+>在(1,)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()ln x x g x f x e ax x e a x x--=-+=--+- 只需()g x 在(1,)+∞上恒大于0即可，又(1)0g =，故'()g x 在处1x =必大于等于0. 令'1'211()()2,(1)0,x F x g x ax e g x x -==-+-≥可得12a ≥. ————————8分 另一方面，当12a ≥时， 3'1112323312122()21x x x x x F x a e e e x x x x x ---+-=+-+≥+-+=+又(1,)x ∈+∞，320x x ∴+->，10x e ->，故'()F x 在(1,)+∞时恒大于0， 当(1,)x ∈+∞时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增()(1)210F x F a ∴>=-≥. 故()g x 也(1,)x ∈+∞在单调递增()(1)0g x g ∴>=.即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0. 12a ∴≥. 综上，12a ≥. ————————12分（没有综上扣一分）选做题 22.解:（1）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=． 所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ————————5分（2） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)， 所以弦长22=OA ． ————————10分23. (1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分(2)即12122122a x x a x x+-≤+⇒+-≤+由绝对值的几何意义，只需11322aa-≤+⇒≥-————————10分。