安徽师范大学附属中学2020-2021学年高一第一学期期末考试数学试题及答案

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．集合{|13}P x Z x =∈-<，{}2R |9M x x=∈，则P ∩M 等于 A.{}1,2B.{}0,1,2C.1,0,1,2D.{|03}x x ≤≤ 2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是A.17πB.18πC.20πD.28π3．已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（ ）A.{}2,4,5B.{}1,2,5C.{}1,6D.{}1,34．已知命题p ：x R ∀∈，0x >，则p ⌝（ ）A.x R ∃∈，0x ≤B.x R ∀∈，0x ≤C.x R ∃∉，0x ≤D.x R ∃∈，0x >5．已知函数()123,042,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨---≤⎪⎩，若方程()()230f x bf x -+=有8个相异实根，则实数b 的取值范围为（） A.()2,4 B.723,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()23,4 D.72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()44x f x x e =--（e 为自然对数的底）的零点所在的区间为A.() 1,2B.() 0,1C.(1,0)-D.(2,1)-- 7．已知a b R ∈、，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A.11a b <B.ln ln a b >C.22a b >D.22a b > 8．函数y ＝sin （4π-2x ）的单调增区间是（ ） A.3[8k ππ-，38k ππ+]（k ∈Z ） B.[8k ππ+，58k ππ+]（k ∈Z ） C.[8k ππ-，38k ππ+]（k ∈Z ） D.3[8k ππ+，78k ππ+]（k ∈Z ） 9．已知函数，给出下面四个结论：①的定义域是； ②是偶函数； ③在区间上单调递增； ④的图像与的图像有4个不同的交点.其中正确的结论是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 10．已知函数()lg ,? 011,?0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()()1f f -=A.2-B.0C.1D.1-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知全集U＝R，A＝{x|x2<x}，，则A∩(∁U B)等于（）A. B.C. D.2. 已知命题p:∃x0∈R，x0+6>0，则￢p是（）A.∃x0∈R，x0+6≥0B.∃x0∈R，x0+6≤0C.∀x∈R，x+6≥0D.∀x∈R，x+6≤03. 已知，则β−α的取值范围是（）A. B. C.D.4. 已知，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c 5. 集合M＝{x|x＝2a+4b, a∈Z, b∈Z}，N＝{y|y＝8c+4d, c∈Z, d∈Z}，则（）A.M＝NB.M∩N＝⌀C.M⊆ND.N⊆M6. 函数的最小值为（）A.2B.C.D.7. 关于函数．下列说法错误的是（）A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, +∞)上单调递减C.f(x)的值域为(0, 1]D.不等式f(x)>e−2的解集为(−∞, −2)∪(2, +∞)8. 某银行出售12种不同款式的纪念币，甲、乙、丙三人都各自收集这些纪念币．下列说法正确的（）A.若甲、乙、丙三人各自收集8款纪念币，则至少有1款纪念币是三人都拥有B.若甲、乙、丙三人各自收集9款纪念币，则至少有2款纪念币是三人都拥有C.若甲、乙两人各自收集8款纪念币，则至少有4款纪念币是两人都拥有D.若甲、乙两人各自收集7款纪念币，则他们两人合起来一定会收集到这12款不同的纪念币9. 函数f(x)=ln|1+x1−x|的大致图象是（）A. B.C. D.10. “a≤0”是“方程ax2+2x+1＝0至少有一个负数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11. 某人在10月1日8:00从山下A处出发上山，15:00到达山顶B处，在山顶住宿一晚，10月2日8:00从B处沿原上山路线下山，15:00返回A处．这两天中的8:00到15:00，此人所在位置到A处的路程S（单位：千米）与时刻t（单位：时）的关系如图所示：给出以下说法：①两天的平均速度相等；②上山途中分3个阶段，先速度较快，然后匀速前进，最后速度较慢；③下山的前一半时间的平均速度小于2千米/小时；④下山的速度越来越慢；⑤两天中存在某个相同时刻，此人恰好在相同的地点．其中正确说法的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.512. 记方程①：x2+ax+1＝0，方程②：x2+bx+2＝0，方程③：x2+cx+4＝0，其中a，b，c是正实数．若b2＝ac，则“方程③无实根”的一个充分条件是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）的值为________．能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都是单调递增，则ℎ(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是________．设a>0，函数在区间(0, a]上的最小值为m，在区间[a, +∞)上的最小值为n．若m+n＝16，则a的值为________．已知a，b都是正数，且(a+1)(b+1)＝4，则ab的最大值是________，a+2b的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）已知集合，集合B＝{x|x2−ax+10> 0}，设p:x∈A，q:x∈B．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)＝x−2+|3−x|．（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若f(x)的最小值为m，正数a，b满足ab＝m，求的最小值．已知函数f(x)＝4x−a∗2x+2+3(a∈R)．（1）若f(x)>2x，求a的取值范围；（2）求函数f(x)在[0, 1]的最小值．已知奇函数．（1）当m为何值时，函数f(x)为奇函数？并证明你的结论；（2）判断并证明函数f(x)的单调性；（3）若g(x)＝x∗f(x)+x2−18，解不等式：g(x)<0．设a>0，函数．（1）当−a≤x≤a时，求证：；（2）若g(x)＝f(x)−b恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，求实数b的值．随着我国人民生活水平的提高，家用汽车的数量逐渐增加，同时交通拥挤现象也越来越严重，对上班族的通勤时间有较大影响．某群体的人均通勤时间，是指该群体中成员从居住地到工作地的单趟平均用时，假设某城市上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，采用公交方式通勤的群体（公交群体）的人均通勤时间为40分钟，采用自驾方式通勤的群体（自驾群体）的人均通勤时间y（单位：分钟）与自驾群体在S中的百分数x(0<x<100)的关系为：．（1）上班族成员小李按群体人均通勤时间为决策依据，决定采用自驾通勤方式，求x 的取值范围（若群体人均通勤时间相等，则采用公交通勤方式）．（2）求该城市上班族S的人均通勤时间g(x)（单位：分钟），并求g(x)的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高一（上）冬季联赛数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】集合的包含关系判断及应用交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】函数的值域及其求法命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】函数的图象变换【解析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断【解答】解∵f(x)=ln|1−x1+x|，∴f(−x)=ln|1+x1−x |=−ln|1−x1+x|=−f(x)，∴f(x)为奇函数，排除C当x=e+1，则f(e+1)=ln|e+2e|=ln|e+2|−ln e>0，故排除B，当x=0时，f(0)=0，故排除A10.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）【答案】1【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】f(x)＝x和g(x)＝2x，答案不唯一．【考点】函数单调性的性质与判断函数解析式的求解及常用方法函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】1或9【考点】函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】1,【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）【答案】由，得1≤log3x<3，即A＝{n∈N∗|2≤x≤5}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B，转化为不等式是x2−ax+10>0在A＝{x∈N∗|3≤x<8}上恒成立，进一步可得对于∀x∈{2，2，4，5，2，在x∈{2, 3, 3, 5, 6, 4}上的最小值为x＝3时的函数值，所以a<19．故实数a的取值范围是．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】函数f(x)＝x−2+|3−x|．若f(x)≤3，则有或，解得x<6或3≤x≤5，即x≤3．故原不等式的解集为{x|x≤5}；函数，当x≥7时，f(x)≥1，即m＝1．正数a，b满足ab＝2，∴，令，当且仅当a＝b＝1时t取最小值为2．又∵在区间，∴在t＝2时取得最小值3，故的最小值为3（此时a＝b＝8）．【考点】基本不等式及其应用绝对值不等式的解法与证明函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】，因为（当且仅当时，所以，所以，得．记函数f(x)在[0, 1]的最小值g(a)x，则函数变为y＝t7−4a∗t+3(3≤t≤2)，因为ℎ(t)＝t2−3a∗t+3在t≤2a时单调递减，在t≥2a时单调递增，所以①当2a≤1，即时，ℎ(t)＝t2−7a∗t+3在1≤t≤6单调递增，所以g(a)＝ℎ(1)＝4−4a；②当6<2a<2，即时，g(a)＝ℎ(2a)＝3−4a8；③当2a≥2，即a≥6时2−4a∗t+5在1≤t≤2单调递减，所以g(a)＝ℎ(2)＝3−8a；综上，．【考点】函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】当时，函数f(x)为奇函数易知函数f(x)的定义域为R，且，＝，所以，函数f(x)为奇函数．在R上任取x1，x2，且x3<x2，因为x1<x6，所以x2−x1>8，又因为，，所以，>−1，+1>0，故，即，所以，所以，所以，函数函数f(x)在R上单调递增．由（1）（2）可知，g(x)＝x∗f(x)+x3−18为偶函数，且在(−∞, 0]单调递减，+∞)单调递增，又g(−4)＝g(4)＝3，所以g(x)<0的解集为(−4, 7)．【考点】函数奇偶性的性质与判断奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】当−a≤x≤a时，，所以，当−a≤x≤a时，，进而可得2a≤f2(x)≤8a，即；由于函数是偶函数，故方程f(x)−b＝6的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有．由（1）可知，当−a≤x≤a时，，当x>a时，在x>a上单调递增，且当时，当x<−a时，在x<−a上单调递减，且当时，又因为b是其中的一个零点，所以，所以．【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】当0<x≤35时，自驾群体的人均通勤时间为30分钟，此时小李采用自驾通勤方式，当35<x<100时，因为小李采用自驾通勤方式，即x4−75x+1225<0，解得，所以，综上，，即x的取值范围为(0，）．设上班族S中有n人，则自驾群体中有nx%人，当0<x≤35时，，当35<x<100时，，所以，当7<x≤35时，g(x)≥g(35)＝36.5，当35<x<100时，，因为36.5>36.375，所以，当时，g(x)的最小值为36.375（分钟）．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021高中必修一数学上期末试卷(含答案)(3)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－15．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2786．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10939．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2022-2023学年第一学期高一年级教学质量诊断测试数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U =R ，集合{}16,{33}A x x B x x =-≤≤=-<<∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}36xx ≤≤∣ B.{13}xx -<≤∣C.{13}xx <≤∣ D.{31}xx -<≤-∣【答案】A 【解析】【分析】由图可得阴影部分表示()U A B ð，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为()U A B ð，因为{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{3U B x x =≤-ð或}3x ≥，(){}36U B A xx ⋂=≤≤∣ð，故选：A2.若函数()f x =，则()f x 的定义域为（）A.[]2,4 B.][(),24,⋃-∞+∞C.()2,4 D.()(),24,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2680x x -+≥，解不等式即可得出定义域.【详解】要使函数()f x =有意义，则2680x x -+≥，则()()240x x --≥，解得：2x ≤或4x ≥，所以函数()f x =的定义域为][(),24,⋃-∞+∞，故选：B3.若命题“[]1,2x ∀∈，210x a +-≤”为真命题，则a 的取值范围是（）A.2a ≥B.2a ≤C.5a ≥ D.5a ≤【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解21y x =+的最大值即可.【详解】由已知[]1,2x ∀∈，210x a +-≤，则()2max1a x ≥+，即5a ≥，所以a 的取值范围是5a ≥.故选：C .4.已知0.2log 3a =，0.20.3b =，ln πc =，则（）A.a b c << B.a c b<< C.b a c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =，所以a b c <<，故选：A.5.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-，若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.53-B.13-C.53D.13【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以由()()()()()()()1212f x f x f x f x f x f x f x +=-=-⇒+=-+⇒+=，函数该函数的周期为2，131111433333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B6.若π1tan 43⎛⎫+=- ⎪⎝⎭θ，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++（）A.3B.35C.15D.35-【答案】D 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】π11tan 1tan tan 2431tan 3θθθθ+⎛⎫+=-⇒=-⇒=-⎪-⎝⎭，()()()()22222πsin 1sin2cos sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==-=-++-+2tan 13tan 15θθ-==-+，故选：D7.设二次函数()()2232=-++f x a x ax 在R 上有最大值，最大值为()m a ，当()m a 取最小值时，a 的值为（）A.0B.1C.D.4【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数分析可得()()29816,242m a a a a a -+-<-=，换元令2t a =-，整理得()9474t t y ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可得：20a -<，即2a <，且()()2232=-++f x a x ax 的对称轴为()322ax a =-，故()()()239816,22242a a a f a a a m a ⎛⎫-+-=< ⎪ ⎪--⎝⎭=，令20t a =-<，则2a t =+，可得()()()2928216949772444t t t tt y -+++-⎡⎤=-+-≥⨯=⎢⎥-⎣⎦=，当且仅当4t t-=-，即2,0t a =-=时，等号成立，即当0a =时，()m a 取最小值2.故选：A.8.已知锐角α，β满足sin sin 2cos cos αββα+<，设tan tan =⋅a αβ，()log a f x x =，则下列结论正确的是（）A.π2αβ+>B.sin cos αβ>C.()()sin cos f f αβ>D.()()cos sin f f αβ>【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合基本不等式分析可得()tan tan 0,1a αβ=∈，对A ：结合两角和的正切公式分析可得()tan 0αβ+>，即可得π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；对B ：由π2αβ<-，结合正弦函数单调性以及诱导公式可得sin cos αβ<；对C ：由sin cos αβ<，结合对数函数的单调性分析判断；对D ：根据选项B 、C 的思路，先证sin cos βα<，再结合对数函数的单调性分析判断.【详解】因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为锐角，则sin ,cos ,sin ,cos ααββ均为正数，即sin sin 0,0cos cos αββα>>，又∵2sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos 4αββααβαβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤，当且仅当sin sin cos cos αββα=，即αβ=时等号成立，结合sin sin 2cos cos αββα+<，可得0tan tan 1αβ<<，即01a <<，对A ：∵tan 0,tan 0,0tan tan 1αβαβ>><<，则()tan tan tan 01tan tan αβαβαβ++=>-，且()0,παβ+∈，∴π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，A 项不正确；对B ：∵π02αβ<+<，则π2αβ<-，注意到π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22β骣琪-Î琪琪桫，且sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴πsin sin cos 2αββ⎛⎫<-=⎪⎝⎭，B 错误；对C ：由01a <<，则()log a f x x =在定义域内是减函数，且0sin cos αβ<<，所以()()sin cos f f αβ>，C 正确；对D ：∵π02αβ<+<，则π2βα<-，注意到π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ0,22α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴π0sin sin cos 2βαα⎛⎫<<-=⎪⎝⎭，结合()log a f x x =在定义域内是减函数，则()()sin cos f f βα>，D 不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：对于锐角α，β，则有：（1）若π2αβ+<，则sin cos <αβ；（2）若π2αβ+=，则sin cos αβ=；（3）若π2αβ+>，则sin cos αβ>；此结论在三角形中应用较多.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列说法正确的是（）A.0,1x x >≠，则1lg lg y x x=+的最小值是2B.0x ≥，则y =的最小值是52C.0x ≥，则1242xxy =+⋅的最小值是1D.2214sin cos y x x=+的最小值为9【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，B ，C ，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；对于D ，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.【详解】对于A,令()lg 0t x t =≠，则1()f t t t=+()0t ≠，由对勾函数知，()f t 在()(),1,1,-∞-+∞单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减；所以当0t <时，()()1()(1)121f t f ≤-=-+=--，当0t >时，1()(1)121f t f ≥=+=，故A 错误；对于B ，令)2t t =≥，则24x t =-，2451()t f t t t t-+==+，由对勾函数的性质知，()f t 在[)2,+∞单调递增，当2t =时，()f t 取得最小值为15(2)222f =+=，所以当0x ≥时，则y =的最小值是52，故B 正确；对于C ，令()21xt t =≥，则1()4f t t t =+⋅，由对勾函数的性质知，()f t 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，当12t =时，()f t取得最小值为1115()122242f=+=⨯，所以当0x≥时，则1242xxy=+⋅的最小值是52，故C错误；对于D，()22222222224sin cos14sin cos14tan5 sin cos sin cos tanx xx xy xx x x x x++=+=+=++59≥=，当且仅当2214tantanxx=，即tan2x=±时，等号成立，所以2214sin cosyx x=+的最小值为9，故D正确.故选：BD.10.下列命题中正确的是（）A.命题：“0x∀≥，20x≥”的否定是“0x∃<，20x<”B.函数()41xf x a-=+（0a>且1a≠）恒过定点()4,2C.已知函数()21f x+的定义域为[]1,1-，则函数()f x的定义域为[]1,3-D.若函数)1-=-f x，则()()221f x x x x=--≥-【答案】BCD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.【详解】A选项，“20,0x x∀≥≥”的否定是“20,0x x∃≥<”，A错误；B选项，0a>且1a≠，当4x=时，0(4)12f a=+=，故函数4()1xf x a-=+（0a>且1a≠）恒过定点(4,2)，B正确；C选项，由[1,1]x∈-得：[]211,3x+∈-，故函数()f x的定义域为[]1,3-，C正确；D选项，))21)112f x-=-=--11-≥-，故()()221f x x x x=--≥-，D正确.故选：BCD.11.已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递增，且()2f x+为偶函数，则（）A.直线2x=是()f x的对称轴B.()2,0是()f x 的对称中心C.()()14f f ->D.不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】由题意可得()f x 图象的对称轴为直线2x =，即可判断A ，B ；结合对称性可得()f x 在[)2,+∞上单调递减，从而()()()154f f f -=<，即可判断C ；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，可得3242x x +-<-，解不等式即可判断D ．【详解】因为()2f x +为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以()f x 图象的对称轴为直线2x =，故A 正确，B 错误；又()f x 在(],2-∞上单调递增，所以()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以()()()154f f f -=<，故C 错误；由不等式()()34f x f x +>结合()f x 的对称性及单调性，得3242x x +-<-，即22(32)(42)x x +-<-，即(51)(33)0x x -->，解得15x <或1x >，所以不等式()()34f x f x +>的解集为()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：AD ．12.把函数()()cos 0πf x x x ωωω=+<<的图象向左平移π6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在ππ,124⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D.若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】先利用辅助角公式化简()f x ，再通过图像平移求得新的函数，从而利用图象关于y 轴对称求得2ω=，由此得到()f x 的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.【详解】由题意可得：()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对A ：函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到πππππ2sin 2sin 66666y f x x x ωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵ππ2sin 66y x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，即ππ2sin 66y x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()21πππ,662k k ω-+=∈Z ，则64,k k ω=-∈Z ，注意到0πω<<，则1,2k ω==，故()f x 的最小正周期为2ππT ω==，A 正确；对B ：由A 可知：()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，B 正确；对C ：令222,26πππππ2k x k k -≤+≤+∈Z ，解得,3πππ6πk x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令0k =，且ππ,124x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得ππ6,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，故()f x 在6ππ,12⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增，在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 错误；对D ：∵π,12x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则ππ20,266x a ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则ππ262a +>，解得π6a >，即实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法定睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．（2）整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程．②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知0a >，且1a ≠，函数()log 23a y x =-+的图象恒过点P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则()8f ＝__________．【答案】【解析】【分析】由log 10a =，知231x -=，即2x =时，y =，由此能求出点P 的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.【详解】 log 10a =，∴231x -=，即2x =时，y =∴点P 的坐标是P 由题意令()a y f x x ==，图象过点2,a =解得：12a =12()y f x x∴==12(8)8f ==故答案为：【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14.()2sin50sin101cos10⎡⎤+=⎣⎦______.【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、辅助角公式以及三角恒等变换的知识求得正确答案.【详解】()2sin50sin101cos10⎡⎤+⎣⎦cos 2sin50sin101cos1010⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 103sin1cos cos 02sin50sin10cos1010⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎭⎣=⎝⎦⎥ ()102sin50sin10cos10102sin 30cos +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⨯=2sin 40co 2sin50sin10cos100s1⎡+=⎤⎢⎥⎣⎦⨯cos sin 40sin5010sin 2co 10cos1010s =+⨯⨯cos cos50sin5010sin 2co 10cos1010s =+⨯()sin 50201=⨯+6sin 20== .15.已知正数,m n 满足320m n mn +-=，则m n +的最小值为__________.【答案】2+2【解析】【分析】首先将条件变形为132m n+=，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求m n +的最小值.【详解】因为320m n mn +-=，所以132m n+=，0,0m n >>，所以()113131442222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当3n m n m =，即n =，即12m +=，32n =时等号成立，所以m n +的最小值是2+.故答案为：2+16.若[]0,2πx ∈，()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，则关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 恰好有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______.【答案】,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由原方程可得()f x a =或()1f x a =-，从而得到y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，画图可建立不等式求解即可.【详解】由()()()22120+-+-=fx a f x a a ，得()f x a =或()1f x a =-，因为关于x 的方程()()()22120+-+-=f x a f x a a 有6个不同的解，所以y a =和1y a =-与()y f x =的图象共有6个不同的交点，由图可知21222122a a <<⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，解得212a <<，所以a的取值范围为,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：,12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭四、解答题：（本题共6小题，70分.）17.设全集是R ，集合{}()225|,1,A x a x a B =<<-=．（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a -≤≤（2）a ≤【解析】【分析】（1）分A =∅和A ≠∅讨论，特别是A ≠∅时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；（2）根据q 是p 的充分不必要条件得到B A ，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.【小问1详解】若A B ⊆,当A =∅时，22a a ≥-，解得12a -≤≤，当A ≠∅时，222125a a a a ⎧<-⎪≥⎨⎪-≤⎩，解得2a <≤，综合得1a -≤≤【小问2详解】条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若q 是p 的充分不必要条件，则BA ，2125a a ≤⎧∴⎨-≥⎩且等号不能同时成立，解得a ≤18.已知α，β为锐角，35=cos α，()5cos 5αβ+=-.（1）求sin2α的值；（2）求cos β的值.【答案】（1）24sin225α=（2【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【小问1详解】因为α为锐角，35=cos α，所以4sin 5α===，则3424sin22sin cos 25525==⨯⨯=ααα；【小问2详解】由于α，β为锐角，则0αβ<+<π，又()()cos sin 55αβαβ+=-⇒+===，所以()cos cos βαβα⎡⎤=+-⎣⎦()()cos cos sin sin αβααβα=+++3455555=-⨯+⨯=.19.已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈（1）若[)1,x ∈-+∞，求函数()f x 的最小值；（2）解不等式()21f x x <+.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置分类讨论即可；（2）利用因式分解法，结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论求解即可.【小问1详解】因为函数()221f x x mx m =+-+的对称轴为2mx =-，所以ⅰ）当12m -≥-，即2m ≤时，()2min 4824--⎛⎫=-= ⎪⎝⎭m m mf x f ，ⅱ）当12m-<-，即m>2时，()()min 123=-=-f x f m ；【小问2详解】由()21f x x <+，可得22121x mx m x +-+<+，即()2220x m x m +--<，所以()()20-+<x x m 所以ⅰ）当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，ⅱ）当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，ⅲ）当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -.20.已知函数9()log (91)(R)xf x kx k =+-∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若方程9()log 13x m f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=，得到关于k 的方程，由x 的任意性可求得k 的值；（2）先将问题转化为方程13133xx x m+=+有解，再利用换元法将问题转化为y m =与()21g t t t =-+在()0,∞+上有交点，从而得解.【小问1详解】因为9()log (91)(R)xf x kx k =+-∈，910x +>在R 上恒成立，所以()f x 的定义域为R ，又因为()f x 是偶函数，所以R x ∀∈，有()()f x f x -=，即99log (91)log (91)x x kx kx -++=+-对R x ∀∈恒成立，则9999912log (91)log (91)log log 991x xxx xkx x --+=+-+===+对R x ∀∈恒成立，即(21)0x k -=对R x ∀∈恒成立，因为x 不恒为0，所以12k =.【小问2详解】由（1）得()()129999191()log 91log 91log 9log 23x x xxxf x x +=+-=+-=91log 33x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程9()log 13x m f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭有解，即方程991log 3log 133x x x m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解，又因为对数函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以方程13133xx xm+=+有解，令3x t =，则0t >，方程化为11mt t t+=+，即方程21m t t =-+在()0,∞+上有解，令()21g t t t =-+，则y m =与()g t 在()0,∞+上有交点，因为()g t 开口向上，对称轴为12x =，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，则()1324g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以34m ≥，即3,4⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭m ..21.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当13π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）()π2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据()f x 的图象，依次求得,,,A B ωϕ的值，从而求得()f x .（2）根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，根据三角函数单调区间的求法求得()g x 的单调递增区间.【小问1详解】由图可知51512,322A B -+====，7πππ2π,π,2212122T T ωω=-====，则()()2sin 23f x x ϕ=++，由ππ2sin 35126f ϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得ππππsin 1,2π,2π6623k k ϕϕϕ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭，Z k ∈,由于π2ϕ<，所以π3ϕ=，则()π2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到πππ2sin 232sin 23436y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()π2sin 436g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4,2π66x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当πππ4662x -≤-≤以及3ππ42π26x ≤-≤时函数单调递增，即()g x 单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.已知函数()f x ，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()()00f x t f x f t +=+成立，则称()f x 是“t 跃点”函数，且称0x 是函数()f x 的“t 跃点”.（1）求证：函数()23xf x x =+是“1跃点”函数；（2）若函数()323g x x ax =--在()0,∞+上是“1跃点”函数，求实数a 的取值范围；（3）是否同时存在实数m 和正整数n ，使得函数()cos2=-h x x m 在[]0,n π上有2023个“6π跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m 和n ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）32m =或12-，2023n =；1m =，1011n =；【解析】【分析】（1）根据题意令00000()(1)()(1)2323xF x f x f x f x =+--=⋅+-，利用零点存在定理即可证明；（2）由题意可得2(1)()(1)3(32)30g x g x g x a x +--=+-+=，可整理得13(33)2a x x=⨯++，然后用基本不等式求解即可；（3）根据题意可得到1πsin 226m x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，然后依据112m -=或1-，1122-=m ，11122-<-<m 或11122<-<m ，分类讨论求解即可.【小问1详解】()()0021200001313321x x f x x x x ++=++=⋅+++，所以()02003xf x x =+，()14f =，令()()()()00000112323xF x f x f x f x =+--=⋅+-，因为()010F =-<，()150=>F ，所以由零点存在定理可得()00F x =在[]0,1有解，所以存在[]00,1x ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，即函数()23xf x x =+是“1跃点”函数.【小问2详解】由题意得()()()11+--g x g x g ()()323211332=+-+--++++x a x x ax a()233230=+-+=x a x ，因为()0,x ∈+∞，所以1319333222⎛⎫⎛⎫=⨯++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a x x ，当且仅当1x =取等号，所以a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】()ππππcos 2cos 2cos 06633h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1πsin 226m x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，令πππ2,2π666x n μ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，即1sin 2-=m μ在ππ,2π66n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上关于μ要有2023个解；①当112m -=或1-时，即32m =或12-时，2023n =；②当1122-=m ，即1m =时，1011n =；③当11122-<-<m 或11122<-<m ，即112m -<<或312m <<时，方程1sin 2-=m μ关于μ在每个周期内有两个解，故不可能满足有2023个解，综上，32m =或12-，2023n =；1m =，1011n =.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

上学期期末考试高一数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）1.若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值为( )A． B．－ C． D．－2.已知f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在区间 [－1，3]上的解集为（）A. (1，3)B. (－1，1)C. (－1，0)∪(1，3)D. (－1，0)∪(0，1)3.若cos(2π－α)＝，则sin等于( )A．－ B．－ C． D．±4.设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于( )A．{x|1<x<4} B．{x|3<x<4} C．{x|1<x<3} D．{x|1<x<2}∪{x|3<x<4}5.下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )6.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是( )A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝7.使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )A．B．C．D．8.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在上单调递减9.已知函数y＝3cos(2x＋)的定义域为[a，b]，值域为[－1,3]，则b－a的值可能是( )A．B．C．D．π10.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于( )A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin11.若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(－∞，，0)上有 ( )A．最小值－8 B．最大值－8 C．最小值－6 D．最小值－412.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16第II卷非选择题（共90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a,4a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．14.若不等式(m2－m)2x－()x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．15.函数y＝sin2x＋2cos x在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是________.16.函数y＝sinωx(ω＞0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为________.三、解答题(共6小题,共70分)17.（12分）已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.(1)作出y＝f(x)的图象；(2)求y＝f(x)的解析式；(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求的所有可能的值及相应的a的取值范围.Ma18. （10分）已知函数f(x)＝cos(2x－)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.19. （12分）已知函数g(x)＝A cos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象．求：(1)函数f(x)在上的值域；(2)使f(x)≥2成立的x的取值范围．20. （12分）已知f(x)＝x2＋2x tanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈(－，)．(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．21．（12分）已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋b.(1)若b＝－1，函数y＝f(x)在x∈[2,3]上有一个零点，求a的取值范围；(2)若a＝b，且对于任意a∈[2,3]都有f(x)＜0，求x的取值范围．22. （12分）已知抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)与x轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3,0)，求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．高一数学试题答案1.D2. C3.A4. B5.A6.C7.C8.D9.B10.B11.D12.D13.[，]14.－2<m<315.[0，]16.17.(1)y＝f(x)的图象如图所示.(2)任取x∈，则－x∈，因函数y＝f(x)图象关于直线x＝对称，则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sin x，则f(x)＝f＝－sin＝－cos x，即f(x)＝(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则Ma＝π；当a＝－时，f(x)＝a的三根满足x1＜x2＝＜x3，由对称性得x3＋x1＝，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a两根为x1，x2，由对称性得Ma＝.综上，当a∈时，Ma＝π；当a＝－时，Ma＝；当a∈∪{－1}时，Ma＝.18.(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，f(x)单调递减，∴f(x)的单调递减区间是[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.(2)∵x∈[－，]，则2x－∈[－，]，故cos(2x－)∈[－，1]，∴f(x)max＝，此时2x－＝0，即x＝；f(x)min＝－1，此时2x－＝－，即x＝－.19.解(1)由图知B＝＝1，A＝＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，所以g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1.把代入，得2cos＋1＝－1，即＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以g(x)＝2cos＋1，所以f(x)＝2cos＋1.因为x∈，所以2x－∈，所以f(x)∈[0,3]，即函数f(x)在上的值域为[0,3]．(2)因为f(x)＝2cos＋1，所以2cos＋1≥2，所以cos≥，所以－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，所以kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以使f(x)≥2成立的x的取值范围是.20.解(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝(x－)2－，x∈[－1，]．∴当x＝－1时，f(x)的最大值为.(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－(1＋tan2θ)图象的对称轴为x＝－tanθ，∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－.因此，θ角的取值范围是(－，－]∪[，)．22.(1)∵抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)与x轴有两个不同的交点，∴方程x2－2(m－1)x＋(m2－7)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m2－7)＝－8m＋32>0，∴m<4.(2)∵抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)经过点B(3,0)，∴9－6(m－1)＋m2－7＝0，m2－6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4.由(1)知m<4，∴m＝2.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1,0)．又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1.。

2022～2023高一第一学期期末复习综合检测试卷一、单项选择题1．已知点()1,2P -是角α终边上一点，则sin cos αα+=（ ）． A ．55B ．355C ．355-D ．55-2．用二分法求函数()3222f x x x x =+--的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：()12f =-，()1.50.625f =，()1.250.984f ≈-，()1.3750.260f ≈-，关于下一步的说法正确的是（ ）． A ．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值 B ．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值 C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.4375f D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.3125f3．设31log 2a =，ln 2b =，125c =，则（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．若1:2324x p ≤≤，则p 成立的充分不必要条件可以是（ ）．A ．()2,5-B ．[]2,5-C ．()(),25,-∞-⋃+∞D ．[)2,75．函数cos sin y x x x =+在区间[]π,π-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．6．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误．．的是（ ）．A ．2ω=B ．B ．π3ϕ=C ．的图象()f x 关于直线13π12x =对称 D ．()f x 的图象向右平移π3个单位长度后的图象关于原点对称 7．已知π1cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A ．89-B ．89C ．229-D ．298．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()1,8C ．()4,8D ．[)4,8二、多项选择题9．下列说法错误的是（ ）． A ．小于90︒的角是锐角B ．钝角是第二象限的角C ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，那么αβ=10．不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，则下列结论正确的是（ ）． A ．0a b +=B ．0a b c ++>C ．0c >D ．0b <11．已知定义域为R 的函数()f x 在(),1-∞-上为增函数，且()1f x -为偶函数，则（ ）． A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在()1,-+∞上为减函数 C ．()1f -为()f x 的最大值 D ．()()1302f f f ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭12．下列说法正确的是（ ）． A ．存在实数x ，使sin cos 2x x +=B ．α，β是锐角ABC △的内角，则sin cos αβ> C ．函数27sin π32y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数D ．函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位，得到πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象三、填空题13．已知扇形的圆心角为3α=，半径为2r =，则扇形的面积S =______． 14．()ππtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是________．15．已知lg 2a =，lg3b =，用a ，b 表示18log 15=__________．16．已知函数()π7π4sin 2066f x x x ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()F x f x a =-恰有3个零点，分别为1x ，2x ，()3123x x x x <<，则1232x x x ++的值为__________． 四、解答题 17．已知1cos 3α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （1）求sin α和tan α的值；（2）求()3πsin πcos 29πsin 2ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．已知函数()1f x x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间并证明；（2）若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围． 19．已知集合2511x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}21B x k x k =-<<+． （1）若A B A ⋂=，求实数k 的取值范围；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数k 的取值范围．20．（1）已知0x >，0y >且9x y xy +=，求x y +的最小值．（2）设a 、b 、c 均为正数，且1a b c ++=．证明：2221a b c b c a++≥． 21．中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步，华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭部分图象如图所示．（1）求ω和ϕ值；（2）求函数()f x 在[]π,π-上的单调递增区间； （3）设()π4x f x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，已知函数()()()22321g x x x a ϕϕ=-+-在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，求实数最小值和最大值．2022～2023高一第一学期期末复习综合检测试卷答案一、单项选择题 1．D【解】因为点()1,2P -是角α终边上一点， 所以25sin α-=，5cos α=，所以5sin cos αα+= 故选：D ． 2．C【解】由二分法知，方程32220x x x ---=的根在区间()1.375,1.5，没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.4375f ．故选C ． 3．A【解】根据题意，因为331log log 102a =<=， ln 2ln 1b e =<=且ln 2ln10b =>=，120551c =>=， 所以a b c <<．故选：A ．4．A【解析】由12324x ≤≤，得25222x -≤≤， ∴25x -≤≤，符合要求的只有A ．5．A【解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误； 且πx =时，πcos πsin ππ0y =+=-<，据此可知选项B 错误．故选：A ． 6．D【解】根据图象可得：7πππ1212122T A ==-=，则2ππT ω==，即2ω=，A 正确； ∵()()sin 2f x x ϕ=+的图象过点π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ππsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵ππ,22ϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π,633ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ππ62ϕ+=，即π3ϕ=，B 正确； ∴()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则13π13ππ5ππsin 2sin sin 11212322f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值， ∴()f x 的图象关于直线13π12x =对称，C 正确； ()f x 的图象向右平移π3个单位长度得到ππππsin 2sin 23333y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是奇函数，不关于原点对称，D 错误． 故选：D ． 7．【答案】A【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角即5πππ66αα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，2πππ326αα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求解即可． 【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得5πππsin sin πsin 666ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2ππππcos cos sin 3266ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；所以，225π2πππ18sin cos sin cos 11636699αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即5π2π8sin cos 639αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A ．8．D【解】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数， 则由指数函数与一次函数单调性可知应满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，所以数a 的取值范围为[)4,8．故选：D ． 二、多项选择题 9．ACD【解】小于90︒的角可以是负角，负角不是锐角，故A 不正确． 钝角是第二象限的角，故B 正确；第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150︒是第二象限的角，390︒是第一象限的角，故C 不正确．若角α与角β的终边相同，那么2πk αβ=+，k ∈Z ，故D 不正确． 故选：ACD ． 10．ABC【解】解：因为不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，所以0a <，且121020b ac a⎧-=-+=>⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩，所以00b b ac >⎧⎪=-⎨⎪>⎩，所以0a b +=，0c >，0b >，故AC 正确，D 错误．因为二次函数2y ax bx c =++的两个零点为1-，2，且图像开口向下， 所以当1x =时，0y a b c =++>，故B 正确．故选：ABC ． 11．BD【解】因为()1f x -为偶函数，且函数()f x 在(),1-∞-上为增函数，所以()f x 的图象关于直线1x =-对称，且()f x 在()1,-+∞上为减函数，所以A 不正确，B 正确；因为()f x 在(),1-∞-上为增函数，在()1,-+∞上为减函数，但没有明确函数是否连续，不能确定()1f -的值，因此可能函数无最大值，所以C 不正确； 因为()()02f f =-，1322f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()f x 在(),1-∞-上为增函数，所以()()3322f f f ⎛⎫-<-<-⎪⎝⎭，即()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，所以D 正确．故选：BD ． 12．BC【解】对于A 中，()22222sin cos 2sin 2sin 12sin 4sin 30sin cos 1x x x x x x x x +=⎧⇒+-=⇒-+=⎨+=⎩， ∴无解．（因为πsin cos 224x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭x ，使sin cos 2x x +=），即命题A 为假，对于B 中，由ABC △为锐角三角形，可得π2αβ+>，即π2αβ>-， 因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ0,22β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又由sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，函数272sin πcos 323y x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭是偶函数，所以C 正确；对于D 中，函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位，得到πsin 24y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，所以D 错误． 故答案为：BC ． 三、填空题13．【解】因为扇形的弧长为6l r α==，所以162S rl ==． 14．【解】∵()ππtan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴令ππππππ2232k x k -<+<+，k ∈Z ，解得512233k x k -+<<+，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．15．【解】由题意，18lg15lg3lg5lg31lg 21log 15lg18lg 22lg3lg 22lg32b a b a++--+====+++． 16．【分析】令π26x t +=，则π5π,62t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为π2t =和3π2t =，结合图像可知12πt t +=，233πt t +=，从而求得12π3x x +=，234π3x x +=，进而求得1232x x x ++的值．【详解】令π26x t +=，则π5π,62t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 函数()()F x f x a =-恰有3零点，等价于()y f x =的图像与直线y a =恰有3个交点， 即4sin y t =与直线y a =恰有3个交点，设为1t ，2t ，3t ， 如图函数4sin y t =，π5π,62t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像取得最值有2个t 值，分别为π2t =和3π2t =，由正弦函数图像的对称性可得1212πππ222π662t t x x +=+++=⨯=，即12π3x x +=， 2323ππ3π2223π662t t x x +=+++=⨯=，即234π3x x +=， 故1231223π4π5π2333x x x x x x x ++=+++=+=． 故答案为：5π3．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题17．【解】（1）因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以sin 0α<， 又1cos 3α=，则22122sin 1cos 13αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以sin tan 22cos ααα==- 综上：22sin 3α=-，tan 22α=-（2）()()3π3πsin πcos sin πcos sin sin 229πππsin sin 4πsin 222ααααααααα⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2sin 228sin tan 22cos 33αααα⎛=-=-=--⨯-=- ⎝⎭． 18．【解】（1）设1x ∀，2x ，且12x x <，()()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⋅⋅⎝⎭①当1x 、()20,1x ∈或()1,0-时，()120,1x x ⋅∈，且()1211,x x ∈+∞⋅， ∴210x x ->，12110x x -<⋅， ∴()()210f x f x -<，即()()12f x f x >． ∴()y f x =在()0,1和()1,0-上单调递减．②当1x 、()2,1x ∈-∞-和()1,+∞时，()121,x x ⋅∈+∞，且()1210,1x x ∈⋅ ∴210x x ->，12110x x ->⋅， ∴()()210f x f x ->，即()()12f x f x <． ∴()y f x =在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增． （2）由（1）可知，()1y f x =在[]1,2上单调递增， ∴()1522f x ≤≤， ∵()g x 在[]1,1-上单调递减，∴()2122m g x m -≤≤-， ∵[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使得()()12f x g x ≥， ∴()()12min min f x g x ≥，即122m -≤， ∴32m ≥-． 19．【解】【详解】（1）易得{}16A x x =-<<． 由A B A ⋂=知，A B ⊆．所以1216k k -≤-⎧⎨+≥⎩，解得52k ≥．（2）p 是q 的必要不充分条件等价于B A ⊆．①当B =∅时，21k k -≥+，解得13k ≤-，满足．②当B ≠∅时，原问题等价于131216k k k ⎧>-⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩（不同时取等号）解得113k -<≤．综上，实数k 的取值范围是1k ≤．20．（1）根据题意可得191x y +=，再由()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解．（2）利用基本不等式可得22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，将不等式相加即可证明．【详解】解（1）∵0x >，0y >，191x y+=， ∴()19991021061016y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥⋅=+= ⎪⎝⎭，当且仅当9y xx y=，即4x =，12y =时，上式取等号． 故当4x =，12y =时，()min 16x y +=．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 故()()2222a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a ++≥++，所以2221a b c b c a++≥．当且仅当“a b c ==”时取等号． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 21．【解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000100008200820028000W x x x x x ⎛⎫=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()max 8000W x =（万元）． 答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．22．【答案】解：（1）由图象可知：2πππ2362T =-=，πT =，则2π2Tω==， 又ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，得π2π6k ϕ=+， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=． （2）()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k ∈Z ， 解得：ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ， 令1k =-，得4π5π36x -≤≤-， 因ππx -≤≤，则5ππ6x -≤≤-， 令0k =，得ππ36x -≤≤， 令1k =，得2π7π36x ≤≤， 因ππx -≤≤，则2ππ3x ≤≤， 所以()f x 在[]π,π-上的单调递增区间为5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）()ππππsin 2sin 24463x f x x x ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()2ππ2sin 23sin 22133g x x x a ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数()g x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点， 则2ππ22sin 23sin 2133a x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 令πsin 23t x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π20,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即[]0,1t ∈， 则223171723121,488y t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以17128a ≤≤，即117216a ≤≤，故a 最小值为12，最大值为1716．。

2020-2021高中必修一数学上期末试卷及答案(3)一、选择题1．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．25．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a b c <<6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011 D ．20228．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．已知函数f(x)＝12log,1, 24,1,xx xx>⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f)等于()A．4B．－2C．2D．111．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，mint后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae=，假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过minm甲桶中的水只有4a升，则m的值为（）A．10B．9C．8D．512．对任意实数x，规定()f x取4x-，1x+，()152x-三个值中的最小值，则()f x （）A．无最大值，无最小值B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，无最小值D．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知函数()22ln0210x xf xx x x⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d、、、，有()()()()f a f b f c f d===，则+++a b c d的取值范围是______.14．已知关于x的方程()224log3log+-=x x a的解在区间()3,8内，则a的取值范围是__________.15．己知函数()221f x x ax a=-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a=______. 16．若函数cos()2||xf x xx=++，则11(lg2)lg(lg5)lg25f f f f⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 17．如图，矩形ABCD的三个顶点,,A B C分别在函数2logy x=，12y x=，22xy⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为______.18．对于复数a b c d，，，，若集合{}S a b c d=，，，具有性质“对任意x y S∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．20．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.三、解答题21．已知函数31()31x xf x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 22．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在5)单调递减,在(45,)+∞单调递增. 23．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．24．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.25．如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=o ，且直角边长为22，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小．【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．B解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.8．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

2020-2021高中必修一数学上期末试卷(及答案)(6)一、选择题1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．982．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<3．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-4．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<7．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．2788．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．311．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =12．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.15．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 16．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 18．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________ 19．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.22．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数； （2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）24．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 25．已知全集U=R ，集合{}12A x x x =-或 ，{}213U B x x p x p 或=-+ð． （1）若12p =，求A B ⋂；（2）若A B B ⋂=，求实数p 的取值范围．26．即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力，加速城镇之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果一列火车每次拖7节车厢，每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数． （1）写出与的函数关系式；（2）每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数（注：营运人数指火车运送的人数）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A2．A解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．3．C解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=-故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===，且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．5．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．6．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x xx-==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②；在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--； 再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题8．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．C解析：C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，令6()m x x = ，则5()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-，则()x ϕ为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点，则(0)(0)m ϕ=，解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-，故答案选C ． 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．11．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A12．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=, 所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-,当3m =时,12()f x x -=,其图象不过原点,符合题意; 当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.15．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．16．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本 解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.17．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.18．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系解析：6 【解析】 【分析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解. 【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数， (2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =. 故答案为：6 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】 【分析】将已知等式8(9)aaa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解. 【详解】8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题.20．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-【解析】 【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，1011xe ∴<<+， 2201xe ∴-<-<+， 19195515xe ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x xf x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<.所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.23．（1）()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ （2）6次【解析】 【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可； （2）结合题意解指数不等式即可. 【详解】解:（1）由题意得02r =,1 1.94r =, 所以当1n =时,()0.510015pr r r r +=--⋅,即0.51.942(2 1.94)5p+=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .（2）由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-, 将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-,又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题. 24．(1)1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)∵312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题. 25．（1）722⎛⎤ ⎥⎝⎦，； （2）342p p -或． 【解析】 【分析】由题意可得{}213B x p x p =-≤≤+,（1）当12p =时，结合交集的定义计算交集即可； （2）由题意可知B A ⊆.分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况即可求得实数p 的取值范围.【详解】因为{}213U B x x p x p =-+，或ð， 所以(){}213UUB B x p x p ==-≤≤+痧,（1）当12p =时，702B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，所以7=22A B ⎛⎤⋂ ⎥⎝⎦，, （2）当A B B ⋂=时，可得B A ⊆.当B =∅时，2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当B ≠∅时，应满足21331p p p -≤+⎧⎨+<-⎩或213212p p p -≤+⎧⎨->⎩解得44p p ≤⎧⎨<-⎩或432p p ≤⎧⎪⎨>⎪⎩； 即4p <-或342p <≤.综上，实数p 的取值范围342p p -或． 【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.26．(1) ;（2）每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为人.【解析】试题分析：（1）由于函数为一次函数，设出其斜截式方程，将点代入，可待定系数，求得函数关系式为；（2）结合（1）求出函数的表达式为，这是一个开口向下的二次函数，利用对称轴求得其最大值.试题解析：(1)这列火车每天来回次数为次，每次拖挂车厢节，则设. 将点代入，解得∴.（2）每次拖挂节车厢每天营运人数为，则，当时，总人数最多为人．故每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为人．。

2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前10题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.1. sin240∘的值为（）A.1 2B.−12C.√32D.−√322. 已知函数，则f(x)在区间[2, 6]上的最大值为（）A. B.3 C.4 D.53. 函数f(x)＝cos2x−sin2x是（）A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数4. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，a＝3，c＝4，则sin A＝（）A. B. C. D.5. 已知角α的终边上一点坐标为P(3, −4)，则＝（）A. B. C. D.6. 与函数的图象不相交的一条直线是（）A. B. C. D.7. 函数f(x)=ln|x|⋅cos xx+sin x在[−π, 0)∩(0, π]的图象大致为（）A. B.C. D.8. 若sinα＝2cosα，则cos2α＝（）A. B. C. D.9. 已知点P(a, b)在函数图象上，且a>0，b>0，则ln a⋅ln b的最大值为（）A.0B.C.1D.210. 已知点在函数f(x)＝cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象上，直线是函数f(x)图象的一条对称轴．若f(x)在区间内单调，则φ＝（）A. B. C. D.11. 下列命题中正确的是（）A.已知a，b是实数，则“”是“log3a>log3b”的必要不充分条件B.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＝45∘，a＝14，b＝16，则△ABC有两解C.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，则△ABC为直角三角形D.已知A，B都是锐角，且A+B≠，(1+tan A)(1+tan B)＝2，则A+B＝12. 已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，−π<φ<−）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.ω＝2，B.函数f(x)图象的对称轴为直线C.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）即得到y＝f(x)的图象D.若f(x)在区间上的值域为，则实数a的取值范围为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.sin72∘cos42∘−cos72∘sin42∘＝________．已知函数f(x)满足f(x−1)＝lg x，则不等式f(x)<0的解集为________．已知函数f(x)＝x2−2|x|+4定义域为[a, b]，其中a<b，值域[3a，3b}，则满足条件的数组(a, b)为________．已知△ABC，∠BAC＝120∘，，AD为∠BAC的角平分线，则(ⅰ)△ABC面积的取值范围为________．(ⅱ)的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.已知．（1）化简f(θ)；（2）已知，且，求sinθ的值．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a−b＝b cos C．（1）求的值；（2）若a＝2，b＝3，求c．已知函数，x∈R．（1）求函数f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；（2）若，且，，求α+β的值．某校新校区有一块形状为平面四边形ABCD 的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，AB=√3（百米），AD=DC=1（百米）．(1)若∠C=120∘，BD=√3（百米），求平面四边形ABCD的面积；(2)若BC=1（百米）．(i)证明：√3cos∠BAD=1+cos∠BCD；(ii)若△ABD，△BCD面积依次为S1，S2，求S12+S22的最大值．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f(x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g(x)为奇函数．（1）求f(x)的解析式，并画出f(x)在区间[0, π]上的图象；（2）若关于x的方程3[g(x)]2+m⋅g(x)+2＝0在区间上有两个不等实根，求实数m的取值范围．已知函数f(x)＝e x，．（1）若g(x)为偶函数，求a的值；（2）在（1）基础上，若∀x1∈(0, +∞)，∃x2∈R，使得f(2x1)+mf(x1)−g(x2)> 0成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前10题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.1.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】sin240∘＝sin(180∘+60∘)＝−sin60∘=−√32，2.【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】求出函数f(x)的单调区间，根据函数的单调性求出f(x)的最大值即可．【解答】f(x)＝＝2+，f(x)在[2, 6]递减，故f(x)max＝f(2)＝2+＝4，3.【答案】A【考点】余弦函数的对称性三角函数的周期性【解析】利用二倍角的余弦函数化简表达式，求出周期判断奇偶性即可．【解答】函数f(x)＝cos2x−sin2x＝cos3x，函数的偶函数．4.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】∵，a＝7，∴由正弦定理可得sin A＝＝＝．5.【答案】C【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】先利用三角函数的定义求出tanα，再利用两角和的正切公式求解即可．【解答】因为角α的终边上一点坐标为P(3, −4)，所以，所以＝．6.【答案】D【考点】正切函数的图象【解析】令2x−＝kπ+，求得x的值，可得结论．【解答】对于函数，令6x−，求得x＝+，令k＝−8，可得x＝-，7.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．【解答】∵f(−x)=ln|x|⋅cos x−x−sin x=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，又∵f(±1)=0,f(±π2)=0,f(π3)>0,f(π)<0，∴选项D符合题意．8.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值，再利用二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，则cos7α＝＝＝＝-，9.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由点P在函数y＝上，可得ln a+ln b＝2，再由重要不等式可得ln a⋅ln b≤＝1，（当且仅当ln a＝ln b，即a＝b时，取等号），即可得出答案．【解答】因为点P(a, b)在函数y＝上，所以b＝，即ln b＝7−ln a，所以ln a+ln b＝2，所以ln a⋅ln b≤＝1，即a＝b时，所以ln a⋅ln b的最大值为1，10.【答案】B【考点】余弦函数的图象【解析】由题意根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出φ即可．【解答】由题意得，-＝≥＝，得≤，得ω≥4，•≥-，∴ω≤6．综上可得，4≤ω≤3．当ω＝4时，cos(4•，得φ＝kπ+，又0<φ<π，所以φ＝，此时，直线x＝）的图象的一条对称轴，．所以φ＝．当ω＝3时，cos(5×，可得φ＝kπ+，又7<φ<π，所以φ＝，此时，cos(5×+，故直线x＝．当ω＝5时，cos(6×，得φ＝kπ+，又7<φ<π，所以φ＝，此时，cos(6×+，不是最值，所以直线x＝不是函数f(x)的图象的一条对称轴．综上，可得ω＝4，11.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用正弦定理充分条件、必要条件、充要条件【解析】对于A，“”⇒a>b，当0>a>b或a>0>b时，log3a>log3b不成立；反之，log3a>log3b⇒a>b⇒，从而“”是“log3a>log3b”的必要不充分条件；对于B，由正弦定理得A＝45∘，a＝14，b＝16，则△ABC有两解；对于C，△ABC为等腰三角形；对于D，推导出tan(A+B)＝＝1，由A，B都是锐角，得A+B＝．【解答】对于A，a，b是实数”⇒a>b，当a>b>0时，log3a>log3b，当0>a>b或a>7>b时，log3a>log3b不成立；反之，log6a>log3b⇒a>b⇒，∴ “”是“log3a>log3b”的必要不充分条件，故A正确；对于B，在△ABC中，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＝45∘，a＝14，则由正弦定理得：＝，解得sin B＝＝，或∠B＝，∴△ABC有两解，故B正确；对于C，在△ABC中，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，则a×，整理得：(a2+b2+c2)(b2−a2)＝8，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形；对于D，∵A，且A+B≠，∴1+tan A+tan B+tan A tan B＝5，∴＝1，∴tan(A+B)＝＝1，∵A，B都是锐角，故D正确．12.【答案】A,D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】根据函数f(x)＝A sin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．再根据五点法作图，2×，∴φ＝-π，故f(x)＝2sin(2x−），故A正确；由于x＝为函数的图象的一条对称轴＝π，故对称轴方程为x＝+，k∈Z；将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得到y＝2sin(7x−）的图象；若f(x)在区间上的值域为，由x∈[，a]∈[]，再根据3sin(2x−）值域为[−2，]，∴2a−∈[，]，]，故D正确，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.【答案】【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据两角差的正弦公式，计算即可．【解答】sin72∘cos42∘−cos72∘sin42∘＝sin(72∘−42∘)＝sin30∘＝．【答案】(−1, 0)【考点】其他不等式的解法【解析】根据题意，利用换元法分析可得f(x)＝lg(x+1)，则f(x)<0即lg(x+1)<0，则有0<x+1<1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，f(x−1)＝lg x＝lg[(x−1)+3]，f(x)<0即lg(x+1)<3，则有0<x+1<6，解可得：−1<x<0，即不等式的解集为(−5，【答案】(1, 4)【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意画出图形，结合函数值域可得a的范围，由此可得函数在[a, b]上为增函数，再由定义域与值域的关系列式求得满足条件的数组(a, b)．【解答】作出函数f(x)＝x2−2|x|+4的图象如图：∵函数值域为[3a, 3b]，即a≥3．则函数在[a, b]上为增函数，∴，解得．∴满足条件的数组(a, b)为(5．,9【考点】三角形的面积公式正弦定理解三角形【解析】(ⅰ)由三角形的余弦定理和面积公式，结合基本不等式可得所求范围；(ⅱ)由S△ABC＝S△ABD+S△DAC，结合三角形的面积公式，可得AD，再由基本不等式计算可得所求最小值．【解答】(ⅰ)可设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，可得a2＝b2+c6−2bc cos A＝b2+c4−2bc⋅(−）≥2bc+bc＝3bc，即有bc≤a2＝×12＝4，则S△ABC＝bc sin A＝≤×4＝，所以△ABC面积的取值范围为(0，]；(ⅱ)由S△ABC＝S△ABD+S△DAC，可得bc sin120∘＝b⋅AD⋅sin60∘，化为bc＝，即为AD＝，所以＝＝＝++5≥8，当且仅当c＝2b时，取得等号，则的最小值为9．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.【答案】f(θ)＝＝＝−cosθ．因为f(θ−）＝−cos(θ−，所以cos(θ−）＝-；又，所以<，所以sin(θ−）＝＝，所以sinθ＝sin[(θ−）+]＝sin(θ−）cos）sin＝×+（-＝．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）利用三角函数诱导公式和同角三角函数关系式化简即可．（2）由同角三角函数关系式和三角恒等变换，求值即可．f(θ)＝＝＝−cosθ．因为f(θ−）＝−cos(θ−，所以cos(θ−）＝-；又，所以<，所以sin(θ−）＝＝，所以sinθ＝sin[(θ−）+]＝sin(θ−）cos）sin＝×+（-＝．【答案】因为a−b＝b cos C，可得：sin A−sin B＝sin B cos C，可得：sin B cos C+cos B sin C−sin B＝sin B cos C，可得：cos B sin C＝sin B，即sin C＝tan B，可得：＝1．∵，∴，∴．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式，可得sin A−sin B＝sin B cos C，进而根据两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．（2）由已知可求cos C的值，进而根据余弦定理即可求解c的值．【解答】因为a−b＝b cos C，可得：sin A−sin B＝sin B cos C，可得：sin B cos C+cos B sin C−sin B＝sin B cos C，可得：cos B sin C＝sin B，即sin C＝tan B，可得：＝1．∵，∴，∴．【答案】函数＝2sin x⋅（cos x+＝sin x cos x+sin2x−＝sin2x+×-＝sin2x−＝sin(2x−）；令2kπ−≤2x−，k∈Z；解得kπ−≤x≤kπ+；所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−，kπ+]；令2x−＝kπ，解得x＝+；所以f(x)的对称中心坐标是（+，7)；由题意知，f（++）-，且α∈(0，），所以cosα＝＝；又f（+）＝sin[2（+]＝sin(β+，且β∈(0，），所以sinβ＝＝＝；又α+β∈(0, π)，所以cos(α+β)＝cosαcosβ−sinαsinβ＝×-×＝-，所以α+β＝．【考点】两角和与差的三角函数三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）化函数f(x)为正弦型函数，再求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；（2）由题意求出sinα、cosα和cosβ、sinβ的值，再求cos(α+β)的值，从而求得α+β的值．【解答】函数＝2sin x⋅（cos x+＝sin x cos x+sin2x−＝sin2x+×-＝sin2x−＝sin(2x−）；令2kπ−≤2x−，k∈Z；解得kπ−≤x≤kπ+；所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ−，kπ+]；令2x−＝kπ，解得x＝+；所以f(x)的对称中心坐标是（+，7)；由题意知，f（++）-，且α∈(0，），所以cosα＝＝；又f（+）＝sin[2（+]＝sin(β+，且β∈(0，），所以sinβ＝＝＝；又α+β∈(0, π)，所以cos(α+β)＝cosαcosβ−sinαsinβ＝×-×＝-，所以α+β＝．【答案】解：(1)令BC=x，在△BCD中，由余弦定理可得：3=1+x2−2×1×x×cos120∘，即x2+x−2=0，解得：x=1或x=−2（舍），在△BCD中，BC=CD=1，∠C=120，所以S△BCD=12×1×1×sin120∘=√34，在△ABD中，AB=BD=√3，AD=1，所以AD边上的高为√3−(12)2=√112，所以S △ABD =12×1×√112=√114， 所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =√3+√114（平方百米）． (2)(i)在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2−2×AB ×AD ×cos ∠BAD =4−2√3cos ∠BAD ，在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2−2×BC ×CD ×cos ∠BCD =2−2cos ∠BCD ，所以4−2√3cos ∠BAD =2−2cos ∠BCD ， 所以√3cos ∠BAD =1+cos ∠BCD .(ii)S 12=(12×1×√3×sin ∠BAD)2=34sin 2∠BAD =34(1−cos 2∠BAD )，S 22=(12×1×1×sin ∠BCD)2=14sin 2∠BCD =14(1−cos 2∠BCD )，所以S 12+S 22=14(3−3cos 2∠BAD +1−cos 2∠BCD )=14[4−(1+cos ∠BCD )2−cos 2∠BCD ] =14(−2cos 2∠BCD −2cos ∠BCD +3)，因为√3cos ∠BAD =1+cos ∠BCD ， 所以−√3<1+cos ∠BCD <√3， 可得−1<cos ∠BCD <√3−1，所以S 12+S 22=14[−2(cos ∠BCD +12)2+72]=−12(cos ∠BCD +12)2+78，所以cos ∠BCD =−12时，(S 12+S 22)max =78，即∠BCD =2π3时，S 12+S 22取得最大值，且最大值为78平方百米．【考点】余弦定理的应用 三角形的面积公式 诱导公式二次函数在闭区间上的最值【解析】（1）由已知利用余弦定理可求得BC 的值，可求cos A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，进而根据三角形的面积公式即可计算求解． (2)(ⅰ)分别在△ABD ，△BCD 中应用余弦定理可得，化简即可得证．(ii)利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：(1)令BC =x ，在△BCD 中，由余弦定理可得：3=1+x 2−2×1×x ×cos 120∘， 即x 2+x −2=0，解得：x =1或x =−2（舍）， 在△BCD 中，BC =CD =1，∠C =120， 所以S △BCD =12×1×1×sin 120∘=√34， 在△ABD 中，AB =BD =√3，AD =1，所以AD 边上的高为√3−(12)2=√112，所以S △ABD =12×1×√112=√114， 所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =√3+√114（平方百米）． (2)(i)在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2−2×AB ×AD ×cos ∠BAD =4−2√3cos ∠BAD ，在△BCD 中，BD 2=BC 2+CD 2−2×BC ×CD ×cos ∠BCD =2−2cos ∠BCD ，所以4−2√3cos ∠BAD =2−2cos ∠BCD ， 所以√3cos ∠BAD =1+cos ∠BCD .(ii)S 12=(12×1×√3×sin ∠BAD)2=34sin 2∠BAD =34(1−cos 2∠BAD )，S 22=(12×1×1×sin ∠BCD)2=14sin 2∠BCD =14(1−cos 2∠BCD )，所以S 12+S 22=14(3−3cos 2∠BAD +1−cos 2∠BCD )=14[4−(1+cos ∠BCD )2−cos 2∠BCD ] =14(−2cos 2∠BCD −2cos ∠BCD +3)，因为√3cos ∠BAD =1+cos ∠BCD ， 所以−√3<1+cos ∠BCD <√3， 可得−1<cos ∠BCD <√3−1，所以S 12+S 22=14[−2(cos ∠BCD +12)2+72]=−12(cos ∠BCD +12)2+78，所以cos ∠BCD =−12时，(S 12+S 22)max =78，即∠BCD =2π3时，S 12+S 22取得最大值，且最大值为78平方百米． 【答案】∵ 图象两相邻对称轴之间的距离是，∴ T ＝π，∴ ω＝2， ∴ f(x)＝cos (4x +φ)又∵∴ ，列表：3图象如图所示（请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确，若有不符由（1）知g(x)＝sin 2x ，∵ 令t ＝g(x)＝sin 2x ∈[5，∴ 可得关于t 的方程3t 2+mt +3＝0在[0, 5]上有一解． 令ℎ(t)＝3t 2+mt +6∵ ℎ(0)＝2>0，则需满足ℎ(1)<5或，得m <−5或m ＝−2，即实数m 的取值范围是m <−5或m ＝−5．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）根据条件求出函数f(x)的解析式，结合五点法进行作图即可．（2）利用换元法将条件进行转化，结合一元二次方程根的分布进行转化求即可．【解答】∵图象两相邻对称轴之间的距离是，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝cos(4x+φ)又∵∴，列表：x 4π0π30图象如图所示（请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确，若有不符由（1）知g(x)＝sin2x，∵令t＝g(x)＝sin2x∈[5，∴可得关于t的方程3t2+mt+3＝0在[0, 5]上有一解．令ℎ(t)＝3t2+mt+6∵ℎ(0)＝2>0，则需满足ℎ(1)<5或，得m<−5或m＝−2，即实数m的取值范围是m<−5或m＝−5．【答案】因为函数g(x)的定义域为R，若g(x)为偶函数，所以对∀x∈R都有g(−x)＝g(x)，所以ln（+ae x)＝ln(e x+），所以(e x−）(7−a)＝0．，“＝”取得当且仅为x＝0时，由题意：∀x1∈(6, +∞)2∈R，使得f(2x2)+mf(x1)>g(x2)成立即∀x4∈(0, +∞)，3∈(0, +∞)恒成立令，则t>3且设，易知ℎ(t)在(1所以ℎ(t)<ln2−6⇒m≥ln2−1，所以m的取值范围为[ln5−1, +∞)．【考点】函数奇偶性的性质与判断利用导数研究函数的最值【解析】（1）因为函数g(x)的定义域为R，根据偶函数的定义，可得对∀x∈R都有g(−x)＝g(x)，解得a．（2）先求出g(x)的最小值ln2，问题转化为∀x1∈(0, +∞)，，只需m>（−e）max，即可得出答案．【解答】因为函数g(x)的定义域为R，若g(x)为偶函数，所以对∀x∈R都有g(−x)＝g(x)，所以ln（+ae x)＝ln(e x+），所以(e x−）(7−a)＝0．，“＝”取得当且仅为x＝0时，由题意：∀x1∈(6, +∞)2∈R，使得f(2x2)+mf(x1)>g(x2)成立即∀x4∈(0, +∞)，3∈(0, +∞)恒成立令，则t>3且设，易知ℎ(t)在(1所以ℎ(t)<ln2−6⇒m≥ln2−1，所以m的取值范围为[ln5−1, +∞)．。

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。

2020-2021高一数学上期末试卷带答案一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]4．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<6．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}9．已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2020-2021高中必修一数学上期末试卷及答案(4)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12BC．2D ．24．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>5．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<6．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.99．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 10．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．412．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U二、填空题13．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________． 14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________. 15．若函数cos ()2||x f x x x =++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 16．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.17．函数()()4log 5f x x =-+________.18．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a b a b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.19．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 20．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．22．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .23．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。

2021学年安徽高一上学期高中数学期末考试【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.2、已知函数，若关于x的方程有五个不同实根，则m的值是（）A. 0或B.C. 0D. 不存在3、已知，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为（）A. B. C. D.4、已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.5、已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6、若都是锐角，且，，则（）A. B. C. 或 D. 或7、已知函数的部分图象如图所示，则的值可以为( )A. 1B. 2C. 3D. 48、如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图像大致形状是（）A B.C. D.9、已知，，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.10、的值为（）A. B. C. D.11、函数的定义域是（）A. B. C. D.12、已知集合，集合B满足，则满足条件的集合B有（）个A. 2B. 3C. 4D. 1二、填空题（共5题）1、已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.2、设函数，若不存在，使得与同时成立，则实数a的取值范围是________.3、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.4、已知，，则________.5、若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为________.三、综合题（共1题）1、设函数，.（1）若方程在区间上有解，求a的取值范围.（2）设，若对任意的，都有，求a的取值范围.四、解答题（共4题）1、某市有，两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，俱乐部每张球台每小时5元，俱乐部按月收费，一个月中以内（含）每张球台90元，超过的部分每张球台每小时加收2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于，也不超过．（1）设在俱乐部租一-张球台开展活动的收费为元，在俱乐部租一张球台开展活动的收费为元，试求和的解析式；（2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么?2、已知函数，在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和.3、已知，，且（1）求函数的解析式；（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值4、已知，非空集合，若S是P的子集，求m 的取值范围.============参考答案============一、选择题1、 A【解析】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．2、 C【解析】令，做出的图像，根据图像确定至多存在两个的值，使得与有五个交点时，的值或取值范围，进而转为求方程在的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】做出图像如下图所示：令，方程，为，当时，方程没有实数解，当或时，方程有2个实数解，当，方程有4个实数解，当时，方程有3个解，要使方程方程有五个实根，则方程有一根为1，另一根为0或大于1，当时，有或，当时，，或，满足题意，当时，，或，不合题意，所以.故选:C.【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.3、 C【解析】设，根据题意得出，由建立方程组求解即可. 【详解】设，因为，所以即故选：C【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.4、 B【解析】由题得函数在上单调递减，且，再根据函数的图象得到，解不等式即得解.【详解】因为偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，因为，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、 A【解析】先考虑函数在上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可.详解】设函数在上是增函数，解得故选：A【点睛】本题主要考查了由复合函数的单调性求参数范围，属于中档题.6、 A【解析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大．7、 B【解析】由图可知，故，选.8、 A【解析】先求出时，的面积y的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解.【详解】由题得时，，所以的面积y，它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、 A【解析】在方向上的投影为，选A.10、 A【解析】利用诱导公式化简即得解.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.11、 D【解析】由题得，解之即得解.【详解】由题得，解之即得.所以函数的定义域为.故选：D【点睛】本题主要考查函数的定义域的计算，考查二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、 C【解析】写出满足题意的集合B，即得解.【详解】因为集合，集合B满足，所以集合B={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题1、（1）；（2）【解析】（1）根据函数奇偶性可得且；当时，，根据可求得，又满足，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.【详解】（1）是定义在上的奇函数且当时，又满足（2）由（1）可得图象如下图所示：在区间上单调递增，解得：的取值范围为：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限.2、.【解析】当恒成立，不存在使得与同时成立，当时，恒成立，则需时，恒成立，只需时，，对的对称轴分类讨论，即可求解.【详解】若时，恒成立，不存在使得与同时成立，则时，恒成立，即时，，对称轴为，当时，即，解得，当，即为抛物线的顶点的纵坐标，，只需，.若恒成立，不存使得与同时成立，综上，的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，考查分类讨论和转化化归的思想方法，属于较难题.3、.【解析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，则，所以矢长为，在中，，，所以，，所以弧田的面积为.故答案为：.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.4、【解析】由平方关系以及商数关系得出，即可得出.【详解】由以及得出故答案为：【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题.5、【解析】由题得，，再利用向量的夹角公式求解即得解.【详解】由题得，所以.所以，的夹角为.故答案：【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、综合题1、（1）；（2）.【解析】（1），有解，即在上有解，设，对称轴为，只需，解不等式，即可得出结论；（2）根据题意只需，分类讨论去绝对值求出，利用函数单调性求出或取值范围，转化为求关于的不等式，即可求解.【详解】（1）在区间上有解，整理得在区间上有解，设，对称轴为，，解得，所以a的取值范围.是；（2）当，；当，，，设是减函数，且在恒成立，在上是减函数，在处有意义，，对任意的，都有，即，解得，的取值范围是.【点睛】本题考查方程零点的分布求参数范围，考查对数函数的图像和性质的综合应用，要注意对数函数的定义域，函数恒成立问题，属于较难题.四、解答题1、（1）；（2）当时，选择俱乐部比较合算；当时，两家都一样；当时，选择俱乐部比较合算. 【解析】（1）根据已给函数模型求出函数解析式．（2）比较和的大小可得（可先解方程，然后确定不同范围内两个函数值的大小．【详解】（1）由题意可得当时，，当时，，∴（2）当时，，，∴；当时，；当时，，而，∴；当时，，而，∴. ∴当时，选择俱乐部比较合算；当时，两家都一样；当时，选择俱乐部比较合算。

安徽师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．设P 和Q 是两个集合，定义集合{|P Q x x P -=∈，且}x Q ∉，如果{}|124xP x =<<，{}|2sin ,Q y y x x R ==+∈，那么P Q -=A ．{|01}x x <≤B ．{|02}x x ≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|01}x x <<2．已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<3．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点Pα=π4，则点P 的坐标为 ( )A ．(1B ．1) C ．D ．(1，1)4．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．已知函数2log (1),1,()1,1,x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,26．函数2sin()()5sin 2x x f x x x ππ-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知00lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，，，则113x y +的最小值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．8．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．110．已知函数()3()log 91x f x x =++，则使得()2311log 10f x x -+-<成立的x 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞二、填空题11．命题“020,log 20x R x ∃∈+<”的否定是__________． 12．()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+=______.13．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.14．设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，则b a -=__________．15．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[][]0,,2a a a M ≥，则a 的最大值为__________．三、解答题16．记函数()f x A ，函数()()()lg 11g x x a x a =-+--⎡⎤⎣⎦的定义域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若A B A =，求实数a 的取值范围．17．已知π1sin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π02x <<，求π2πsin cos 63x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值． 18．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．19．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20．已知函数()2lgxf x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围；（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围．21．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.（1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()20f x mf x m --≤恒成立，求实数m 的取值范围；（2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2021个零点若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．D【分析】根据P Q -的定义，可求出P ，Q ，然后即可求出P Q -． 【详解】解：{|02}P x x =<<，{|13}Q y y =≤≤； ∴{|01}P Q x x -=<<． 故选D.【点睛】考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，属于基础题． 2．A【解析】将3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭转化为3x 是函数()31log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点问题，再根据零点存在性定理即可得3x 的范围，进而得答案.【详解】解：因为函数13log y x =在()0,∞+上单调递减，所以11133log 2log 10x =<=；1221210212x -<==<； 因为3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即3x 是方程31log 03xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的实数根，所以3x 是函数()31log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，易知函数f (x )在定义域内是减函数， 因为()113f =，()131027f =-<， 所以函数有唯一零点，即()31,3x ∈. 所以123x x x <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭转化为3x 是函数()31log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，进而根据零点存在性定理即可得3x 的范围. 3．D【分析】设出P 点坐标（x ，y ），利用正弦函数和余弦函数的定义结合4π的三角函数值求得x ，y 值得答案．【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，则由三角函数的定义得π4π4sin cos ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即π14π 1.4x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故点P 的坐标为(1，1). 故选D ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题． 4．D【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，∴角x 为第四象限角， 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键． 5．B【解析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式(21)(32)f x f x +<-，转化为相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，可得当1x <时，()1f x =，当1x ≥时，函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且()21log 21f ==，要使得()()2131f x f x +<-，则2131311x x x +<-⎧⎨->⎩ ，解得2x >， 即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞， 故选：B.【点睛】思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下： （1）根据函数的解析式，得出函数单调性；（2）合理利用函数的单调性，得出不等式组； （3）正确求解不等式组，得到结果. 6．D【解析】先判断出函数()f x 的奇偶性，然后根据()f π的符号判断出()f x 的大致图象.【详解】因为22sin()sin ()5cos sin 2x x x xf x x x x x ππ-++==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，所以排除A 项， 又()22sin 0cos 1f πππππππ+==>+-，所以排除B 、C 两项，故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．C【分析】根据对数运算和指数运算可得,31x y +=,再由11113()(3)11333x y x y x y x y y x +=++=+++以及基本不等式可得. 【详解】因为00lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，，, 所以3lg(22)lg 2x y ⨯=,所以322x y +=, 所以31(0,0)x y x y +=>>,所以11113()(3)11333x y x y x y x y y x +=++=+++2224≥++=, 当且仅当33x y y x =,即11,26x y ==时,等号成立. 故选:C.【点睛】本题考查了指数和对数运算,基本不等式求最值,属于中档题. 8．D【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.【详解】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个， 故选：D.【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题. 9．D【解析】令[]sin 21,3t x =+∈，可得出()44f x t t =+-，令()44g t t t=+-，证明出函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，由此可求得函数()g t 在区间[]1,3上的最大值，即为所求.【详解】令[]sin 21,3t x =+∈，则sin 2x t =-，则()()222sin 44sin 2t x f x t x t t-===+-+，令()44g t t t=+-，下面证明函数()g t 在[)1,2上为减函数，在(]2,3上为增函数，任取1t 、[)21,2t ∈且12t t <，则()()()()()21121212121212124444444t t g t g t t t t t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124t t t t t t --=，1212t t ≤<<，则120t t -<，1214t t <<，()()120g t g t ∴->，()()12g t g t ∴>，所以，函数()44g t t t =+-在区间[)1,2上为减函数，同理可证函数()44g t t t=+-在区间(]2,3上为增函数，()11g =，()133g =，()max 1g t ∴=.因此，函数()f x 的最大值为1. 故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下： （1）判断或证明函数在区间上的单调性； （2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值. 10．C【解析】令21t x x =-+，则3()1log 10f t -<，从而33log (91)1log 10tt ++-<，即可得到133log (91)log (91)1t t ++<++，然后构造函数3()log (91)t g t t =++，利用导数判断其单调性，进而可得23114x x ≤-+<，解不等式可得答案 【详解】令21t x x =-+，则221331()244t x x x =-+=-+≥，3()1log 10f t -<，所以33log (91)1log 10tt ++-<，所以133log (91)log (91)1t t ++<++，令3()log (91)tg t t =++，则9ln 929'()11(91)ln 391t tt t g t ⨯=+=+++，所以90t >，所以'()0g t >， 所以()g t 在3[,)4+∞单调递增，所以由()(1)g t g <，得314t ≤<， 所以23114x x ≤-+<，解得01x <<， 故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得133log (91)log (91)1t t ++<++，再构造函数3()log (91)tg t t =++，利用函数的单调性解不等式.11．2,log 20x x ∀∈+R …【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“020,log 20x R x ∃∈+<”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即：2,log 20x x ∀∈+R …， 故答案为：2,log 20x x ∀∈+R …， 12．2【分析】利用对数的运算法则化简求解.【详解】原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2. 故答案为2【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 13．12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=，POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12.点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论. 14．27【解析】根据不等式的解集可得2、3、6为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.【详解】由于6x =满足()060f ≤≤，即()63660f a b =++=，可得636b a =--，所以，()()()263666f x x ax a x x a =+--=-++，所以，方程()0f x =的两根分别为6、6a --，而()6f x x ≤-+可化为()()21670x a x a ++-+≤，即()()670x x a -++≤，所以，方程()6f x x =-+的两根分别为6、7a --，76a a --<--，且不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，所以，6372a a --=⎧⎨--=⎩，解得9a =-，则18b =，因此，27b a -=.故答案为：27.【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解2、3、6分别为方程()()660x x a -++=、()()670x x a -++=的根，而两方程含有公共根6，进而可得出关于实数a 的等式，即可求解.15．9π8【分析】对a 分类讨论，利用正弦函数的图象求出[0,]a M 和[,2]a a M ，代入[][]0,,2a a a M ，解出a 的范围，即可得解. 【详解】当022a π<<，即04a π<<时，[]0,sin a M a =，[],2sin 2a a M a =，因为sin sin 2a a <，所以[][]0,,2a a a M 不成立；当22a ππ≤<，即42a ππ≤<时，[]0,sin a M a =，[],21a a M =，不满足[][]0,,2a a a M ；当22a ππ≤≤，即2a ππ≤≤时，[]0,1a M =，[],2sin a a M a =，由[][]0,,2a a a M ≥得1a ≥，得sin a ≤34a ππ≤≤；当5222a ππ<<，即54a ππ<<时，[]0,1a M =，[],2sin 2a a M a =，由[][]0,,2a a a M ≥得12a ≥，得sin 2a ≤9224a ππ<≤，得98a ππ<≤；当5252a ππ≤≤，即5542a ππ≤≤时，[]0,1a M =，[],21a a M =，不满足[][]0,,2a a a M ≥；当25a π>，即52a π>时，[]0,1a M =，[],21a a M =，不满足[][]0,,2a a a M ≥. 综上所述：3948a ππ≤≤. 所以a 得最大值为9π8． 故答案为：9π8． 【点睛】关键点点睛：对a 分类讨论，利用正弦函数的图象求出[0,]a M 和[,2]a a M 是解题关键. 16．（Ⅰ）{}0x x ≤；（Ⅱ）1a >．【分析】（1）根据根式有意义的条件，并结合指数函数的性质解不等式得到集合A ； （2）先求解集合B ，由A B A =得到A 是B 的子集，根据集合包含关系列出关于a 的不等式，求得a 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由已知得：{}{}{}120210x x A x x x x =-≥=≤=≤ （Ⅱ）由()(){}()(){}110110B x x a x a x x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+-->=---+>⎣⎦⎣⎦∵11a a -<+，∴{1B x x a =<-或}1x a >+∵A B ⊆，∴10a ->，∴1a >17 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】∵π02x <<，∴πππ633x -<-<，∵π1sin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos π3x ⎛⎫== ⎪⎝⎭-所以sin sin cos 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,2cos cos cos 333x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴π2πsin cos cos cos ππ6333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2cos 3x ⎛⎫== ⎪⎝⎭- 【点睛】关键点睛：解决三角函数中的给值求值的问题时，关键在于找出待求的角与已知的角之间的关系.18．(1)(0，1)∪31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ，求得x ∈[0，2]时，g (x )min >0即可得出结果；（2）假设存在这样的实数a ，则由题设知f （1）＝1，可求得a 的值，进一步验证可得结果.【详解】（1）由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ，则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g （2）＝3－2a >0，所以a <32. 所以实数a 的取值范围是(0，1)∪31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）假设存在这样的实数a ，则由题设知f （1）＝1，即log a (3－a )＝1，所以a ＝32. 此时323()log 32f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 但x ＝2时，32()log 0f x =无意义．故这样的实数a 不存在． 19．（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩…；（2）32万部，最大值为6104万美元. 【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可.（2）当040x <…时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以4002440216704k ⨯---⨯=，解得6k =，当040x <…时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-，当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩… （2）①当040x <…时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==；②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000161600x x +=…， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元.【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 20．（1）2()lg 1x f x x =+，()(),10,-∞-+∞；（2）()()0,22,+∞U ；（3）018m ≤<．【分析】（1）由已知中函数()2lgx f x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，我们可以构造一个关于,a b 方程组，解方程组求出,a b 的值，进而得到()f x 的表达式； （2）转化为21x t x =+，解得2t x t=-，可求出满足条件的实数t 的取值范围. （3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 22lg lg lg x x x a ax b b x-=++， 即22lglg lg x x ax b a bx -=++， 即2lg lg 2x a bx x ax b +⎛⎫⋅= ⎪+⎝⎭，22x a bx x ax b +⋅=+． 整理得()()20a b x a b x ---=恒成立，∴a b =，又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==． ∴2()lg1x f x x =+， ∵201x x >+，∴1x <-，或0x >， ∴()f x 的定义域为()(),10,-∞-+∞．（2）方程()lg f x t =有解，即2lglg 1x t x =+， ∴21x t x =+，∴()2x t t -=，∴2t x t =-， ∴12t t <--，或02t t>-， 解得2t >或02t <<，∴实数t 的取值范围()()0,22,+∞U ．（3）方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅， ∴()2lg lg 81x x m x =++，∴281x x m x =++， ∴()2860x m x m +++=，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即∆<0，得218m <<，②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]1,0-内，()()286g x x m x m =+++，则()()010*******g g m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪--⎪-≤≤⎪⎩解得02m ≤≤．综合①②得实数m 的取值范围是018m ≤<．【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题. 21．（1）)2,⎡+∞⎣；（2）存在，当a =2021n =；当1a =时，1010n =. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想得出()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()t f x ⎡=∈⎣，()20h t t mt m =--≤，由题意可知()0h t ≤对任意的t ⎡∈⎣，可得出()000h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，进而可解得实数m 的取值范围；（2）由题意可知，函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，然后对实数a 的取值进行分类讨论，考查实数a 在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.【详解】（1）()cos 1sin cos cos sin cos 1444f x x x x x x πππ⎛⎫⎫=+⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 224x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，[]sin 20,14x π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则()f x ⎡∈⎣， 要使()()20f x mf x m --≤对任意,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()t f x =，则t ⎡∈⎣，()20h t t mt m =--≤对任意t ⎡∈⎣恒成立，只需()0020h m h m ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩，解得2m ≥，∴实数m 的取值范围为)2,⎡+∞⎣；（2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件，函数()()g x f x a =-在[]0,n π上恰有2021个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点.当[]0,x π∈时，92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象如下图所示：①当a >a <()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点；②当a =a =()y f x =与直线y a =在[]0,π上仅有一个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有2021个交点，则2021n =；③当1a <或1a <()y f x =直线y a =在[]0,π上有两个交点，此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点，不可能有2021个交点，不符合；④当1a =时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有3个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，则1010n =.综上所述，存在实数a 和正整数n 满足条件：当a =2021n =；当1a =时，1010n =.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数()y f x =与直线y a =的图象在区间[]0,π上的图象的交点个数，结合周期性求解.。

安徽省师大附中20212021学年高一数学下学期期末模拟试题（含解析）数学试卷一、选择题1.1.在中,角的对边分别为,向量若,且,则角的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：依题意，得∴.由利用正弦定理得,即∴,.考点：向量差不多概念及正弦定理的应用2.2.已知,给出下列四个不等式:①; ②; ③; ④.其中一定成立的不等式为( )A. ①②③B. ①②④C.①③④D. ②③④【答案】A【解析】当时函数单调递增，因为，因此有，①成立；因为函数在定义域R上单调递增，而，因此，从而有，②成立；因为，因此，则，因此，即。

因为，因此，从而有，③成立；，当时，，则，即，因此④不一定成立。

综上可得，选A3.3.等比数列,…的第四项等于( )A. -24B. 0C. 12D. 24【答案】A由x，3x+3，6x+6成等比数列得选A.考点：该题要紧考查等比数列的概念和通项公式，考查运算能力.4.4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.考点：1.对数函数；2.一元二次不等式.5.5.己知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由直线与圆的两个交点关于直线对称，可得直线与直线直线是互相垂直的关系，且直线过圆心，从而有、，进而有，故选择C.考点：直线与圆、等差数列求和.6.6.已知数列是等差数列，，的前项和为，则使得达到最大的是（）A. 18B. 19C. 20D. 21【答案】C分析：利用等差数列的通项公式得到关于和d的方程，联立方程解出和d进而求得，即可得到达到最大值时n的值。

详解：（）=因此,而因此,可得故有,当n=20时，有最大值为400.故选C。

点睛：本题要紧考查了等差数列的通项公式和前n项和公式以及等差数列的性质，利用等差数列的通项公式得到关于和d的方程，联立方程解出和d进而求得，即可得到达到最大值时n的值。