安徽师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案

2018-2019学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥02．抛物线的准线方程是（ ）A．x＝﹣4B．x＝﹣2C．y＝﹣4D．y＝﹣23．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4＝0的位置关系是（ ）A．相交B．外切C．内切D．相离4．双曲线﹣x2＝1过点（，4），则它的渐近线方程为（（ ）A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±4x D．y＝x5．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（ ）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣6．以点C（﹣4，3）为圆心的圆与直线2x+y﹣5＝0相离，则圆C的半径R的取值范围是（ ）A．（0，20）B．（0，）C．（0，2）D．（0，10）7．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为（ ）A．B．C．D．8．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+（a＞0），则点P的轨迹是（ ）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段9．双曲线上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（ ）A．22或2B．7C．22D．210．过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有（ ）A．2条B．3条C．4条D．6条11．椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．12．直线过椭圆： +＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若＝3，∠POQ＝120°，则椭圆离心率为（ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13．已知点A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，1），（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若⊥，⊥，则点P的坐标为 ．14．过椭圆+＝1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为 ．15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为M，若B（3，2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N＝ ．16．给出下列命题：①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“•＜0”．其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）三、解答题（本大题有6题，共48分）17．（6分）已知圆心为C的圆经过点A（1，0）和B（﹣1，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）若线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆C上运动，求AB的中点M的轨迹方程．18．（6分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣＝1的离心率e．（1）若“p∨q“为真，p∧q为假”求m取值范围．（2）若“￢p∨（￢q）”是假命题，求m取值范围．19．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．20．（8分）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（Ⅱ）如果＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．21．（10分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF＝3．（1）（文理）求证：AC⊥平面BDE；（2）（理）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（文）求三棱锥F﹣BDE的体积．22．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2018-2019学年安徽师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（ ）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．2．抛物线的准线方程是（ ）A．x＝﹣4B．x＝﹣2C．y＝﹣4D．y＝﹣2【分析】抛物线化为标准方程，可得抛物线的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝8，由此可得抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线可化为y2＝8x，∴抛物线的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝8∴＝2，∴抛物线的准线方程是x＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．3．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4＝0的位置关系是（ ）A．相交B．外切C．内切D．相离【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和与差的关系判断两圆位置关系．【解答】解：圆C1：x2+y2+2x＝0 即（x+1）2+y2＝1，的圆心C1（﹣1，0），半径等于1．圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4＝0化为（x﹣2）2+（y+4）2＝16 的圆心C2（2，﹣4），半径等于4．两圆的圆心距等于＝5，而5＝1+4，故两圆相外切，故选：B．【点评】本题考查两圆的位置关系，根据两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系，判断两圆的位置关系．4．双曲线﹣x2＝1过点（，4），则它的渐近线方程为（（ ）A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±4x D．y＝x【分析】把点（，4）代入双曲线方程，求出双曲线的方程，再求渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣x2＝1过点（，4），可得，解得a＝4，由其渐近线方程为y＝±2x，故选：A．【点评】本题考查了双曲线的方程和简单性质，属于基础题．5．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（ ）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：＝，＝+﹣+，＝++﹣，＝﹣++，∵＝，＝，＝，∴＝﹣++，故选：A ．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．6．以点C （﹣4，3）为圆心的圆与直线2x +y ﹣5＝0相离，则圆C 的半径R 的取值范围是（ ）A ．（0，20）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，10）【分析】依题意可知，圆心点C （﹣4，3）到直线2x +y ﹣5＝0的距离大于半径，从而可得答案．【解答】解：要使点C （﹣4，3）为圆心的圆与直线2x +y ﹣5＝0相离，则圆心点C （﹣4，3）到直线2x +y ﹣5＝0的距离大于半径，∵圆心点C （﹣4，3）到直线2x +y ﹣5＝0的距离d ＝＝2，∴R ＜2，又R ＞0，∴0＜R ＜2．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线间的距离公式，属于基础题．7．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小．【解答】解：以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），＝（），＝（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+（a＞0），则点P的轨迹是（ ）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【分析】由基本不等式可得a+≥6，当a+＝6 时，点P满足|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2＝6．当a+＝6＝|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+＝|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6＝|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|＝a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选：D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定a+的范围是解题的关键．9．双曲线上一点P，点P到一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距离是（ ）A．22或2B．7C．22D．2【分析】设双曲线﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，利用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||＝2a＝10，即可求得答案．【解答】解：设双曲线﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝，不妨令|PF1|＝12（12＞a+c＝5+），∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|﹣|PF2||＝2a＝10得：|12﹣|PF2||＝10，∴|PF2|＝22或2．∴点P到另一个焦点的距离是22或2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查细心审题与准确规范解答的能力，属于中档题．10．过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有（ ）A．2条B．3条C．4条D．6条【分析】用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．【解答】解：设过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线为y＝kx+1．根据题意：，消去y整理得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2＝0，∵△＝0，∴k＝±．又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±1，与渐近线平行时也成立．故过点（0，1）与双曲线x2﹣y2＝1有且只有一个公共点的直线有4条．故选：C．【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．11．椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】联立椭圆（a＞b＞0）与圆，消去y2，可得，根据椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，可知方程有两个不等的根，结合椭圆的范围，即可求得离心率的取值范围．【解答】解：联立椭圆（a＞b＞0）与圆，消去y2，可得∵椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，∴0＜x2＜a2∴∴∴∴∴∴∴故选：A．【点评】本题考查的重点是椭圆的几何性质，解题的关键是将椭圆（a＞b＞0）与圆（c为椭圆半焦距）联立，利用有四个不同交点，结合0＜x2＜a2，从而使问题得解，综合性强．12．直线过椭圆： +＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若＝3，∠POQ＝120°，则椭圆离心率为（ ）A．B．C．D．【分析】根据圆的性质求出直线PQ的斜率，再根据A，F的坐标得出直线PQ的斜率，从而得出b，c的关系，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴a＞b＞0，∴F（﹣c，0），A（0，b），故直线FA的方程为，即bx﹣cy+bc＝0．过O作PQ的垂线OM，则M为PQ的中点，∵∠POQ＝120°，∴∠POM＝30°，∴＝tan30°＝，∵，∴F是MQ的中点，∴直线PQ的斜率k＝tan∠MFO＝＝2•＝，∴＝，不妨令b＝2，c＝3，则a＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13．已知点A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，1），（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若⊥，⊥，则点P的坐标为　（）　．【分析】利用⊥，⊥⇔．即可得出．【解答】解：∵，，．∵⊥，⊥，∴．∴，解得．∴P．故答案为P．【点评】熟练正确向量垂直与数量积是解题的关键．14．过椭圆+＝1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　x+2y﹣4＝0　．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，＝＝﹣∴所求的直线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2）即x+2y﹣4＝0故答案为x+2y﹣4＝0【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．15．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为M，若B（3，2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N＝ ．【分析】过点P作PG垂直于直线x＝﹣1，利用定义得出|PG|＝|PF|，再利用当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取得最小值，可得出M＝|AF|．过点P作PH垂直于直线x＝﹣1，利用定义得出|PF|＝|PH|，再利用当B、P、G三点共线时，|PB|+|PF|取得最小值4，得出N＝4，再将两个结果相加可得出答案．【解答】解：如下图所示，过点P作PG垂直于直线x＝﹣1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|＝|PF|，所以，点P到直线x＝﹣1的距离为|PG|，所以，，当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即．如下图所示，过点P作直线PH垂直于直线x＝﹣1，垂足为点H，由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，点B到直线x＝﹣1的距离为d＝4，所以，|PB|+|PF|＝|PB|+|PH|≥4，当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N＝4，因此，．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，解决本题的关键在于利用抛物线的定义进行转化，结合三点共线来求解，属于中等题．16．给出下列命题：①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件；③“函数f（x）＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“•＜0”．其中正确命题的序号是　①②　．（把所有正确命题的序号都写上）【分析】求出A⊆B时对应a的值，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断①，根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断②，利用充分、必要条件的概念与二倍角的余弦及余弦函数的周期性可判断③，当“平面向量与的夹角是钝角”时，“•＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“•＜0”可判断④．【解答】解：对于①，当a＝3时，A＝{1，a}＝{1，3}，满足A⊆B，若A⊆B，则a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；对于②，∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件，故②正确；对于③，函数f（x）＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π，则＝π，|a|＝1，解得：a＝±1，故充分性不成立；反之，若a＝1，则f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x的最小正周期为π，必要性成立；故函数f（x）＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；对于④，当“平面向量与的夹角是钝角”时，“•＜0”，反之不成立，由于向量反向共线时，“•＜0”，故④错误．∴正确命题的序号是：①②．故答案为：①②．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，充分条件和必要条件的应用，考查集合关系的判定以及不等式的性质，考查三角函数的周期性以及向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题有6题，共48分）17．（6分）已知圆心为C的圆经过点A（1，0）和B（﹣1，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）若线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆C上运动，求AB的中点M的轨迹方程．【分析】（1）设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．（2）线段CD中点M（x，y），C（x1，y1），由题意知x1＝2x﹣4，y1＝2y﹣3，由点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，能求出点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设圆心的坐标为（t，t+1），则有（t﹣1）2+（t+1）2＝（t+1）2+（t+3）2，整理求得t＝﹣1，故圆心为（﹣1，0），r2＝（t﹣1）2+（t+1）2＝4，则圆的方程为（x+1）2+y2＝4．（2）设线段CD中点M（x，y），C（x1，y1），由题意知：x1＝2x﹣4，y1＝2y﹣3，∵点C在圆（x+1）2+y2＝4上运动，∴（2x﹣4+1）2+（2y﹣3）2＝4，∴M的轨迹方程为（x﹣1.5）2+（y﹣1.5）2＝1．【点评】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．18．（6分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣＝1的离心率e．（1）若“p∨q“为真，p∧q为假”求m取值范围．（2）若“￢p∨（￢q）”是假命题，求m取值范围．【分析】首先求出p真q真的范围（1）由已知得p、q一真一假，分p真q假和p假q真两类求范围，取并集即可；（2）由已知得p真、q真，求交集即可．【解答】解：p真：24﹣m＞m﹣7＞0⇒7＜m＜，q真：＜e＝＜2且m＞0⇒5＜m＜15，（1）∵“p∨q“为真，p∧q为假”，∴p、q一真一假，①p真q假⇒15≤m＜②p假q真⇒5＜m≤7∴m取值范围为（5，7]∪[15，）．（2）∵“￢p∨（￢q）”是假命题，∴￢p假、￢q假，∴p真、q真，∴⇒7＜m＜15，∴m取值范围为（7，15）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、椭圆的性质、双曲线的性质，考查了推理能力，属于基础题．19．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD⊥平面PAD，由此能证明BE⊥DC．（2）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD＝AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD＝2，而M为PD中点，∴AM＝，∴BE＝．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM＝＝，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，2），设平面BDP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，1，1），平面ABD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（8分）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（Ⅱ）如果＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x＝ty+1代入抛物线y2＝4x消去x得，y2﹣4ty﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4∴＝x1x2+y1y2＝（ty1+1）（ty2+1）+y1y2＝t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2＝﹣4t2+4t2+1﹣4＝﹣3．（Ⅱ）设l：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b∴＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．∴直线l过定点（2，0）．【点评】从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．21．（10分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF＝3．（1）（文理）求证：AC⊥平面BDE；（2）（理）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（文）求三棱锥F﹣BDE的体积．【分析】（1）推导出DE⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面BDE．（2）（理）由DA、DC、DE两两垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值．（2）（文）AF∥平面BDE，从而三棱锥F﹣BDE的体积V F﹣BDE＝V A﹣BDE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD＝D，从而AC⊥平面BDE．解：（2）（理）因为DA、DC、DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以．由AD＝3，知DE＝3，AF＝．则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以＝（0，﹣3，），＝（3，0，﹣2），设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝，则＝（4，2，）．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝（3，﹣3，0），所以cos＜＞＝＝＝．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．（2）（文）∵AF∥DE，AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE∴三棱锥F﹣BDE的体积：V F﹣BDE＝V A﹣BDE＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．22．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．由已知，得．把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m．由已知，得．把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，∴，．∴|AB|2＝（1+k2）（x2﹣x1）2＝＝＝＝＝．当且仅当，即时等号成立．当k＝0时，，综上所述|AB|max＝2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．。

安徽师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试语文试题一、选择题1．下列各句中加点的成语，使用恰当的一项是（）A. “五四三二一，攻击！”指挥员一声令下，演习开始。

“轰、轰…”随着几声石破天．．．惊．的巨响，枪声和爆炸声交织在一起。

B. 既然有前车之鉴，为何不引以为戒？不吸取教训，还在制定相关政策时目无全牛．．．．，留下明显漏洞，这就怪不得别人钻空子了。

C. 这个年轻人虽然才走上工作岗位，涉世不深，却有着极深的城府，与人来往中总喜欢干些钩心斗角．．．．的事，所以人缘不怎么好。

D. 从巍峨雄壮的王屋山到奔流不息的母亲河，从时尚现代的城市到古朴自然的田园村落，全域旅游让山高水长．．．．的济源走进了全国人民的视野。

【答案】C【解析】试题分析：本题考查成语意思和用法的辨析。

首先把握成语的意思，然后结合语境辨析正误。

石破天惊，原形容箜篌的声音，忽而高亢，忽而低沉，出人意外，有难以形容的奇境。

后多比喻文章议论新奇惊人。

本处不符合语言环境。

目无全牛，眼中没有完整的牛，只有牛的筋骨结构。

比喻技术熟练到了得心应手的境地。

此处属于望文生义。

钩心斗角，原指宫室建筑结构的交错和精巧。

后比喻用尽心机，明争暗斗。

此处使用正确。

山高水长，像山一样高耸，如水一般长流。

原比喻人的风范或声誉像高山一样永远存在。

后比喻恩德深厚。

此处望文生义。

点睛：正确使用词语的题目，有成语和熟语，有时还考核虚词。

实词注意从词语的含义、感情色彩、固定搭配、程度的轻重、运用的范围等角度区分，成语注意从望文生义、对象错配、褒贬误用、语法搭配、似是而非的角度分析，虚词注意分析连接的句子之间的关系和虚词的用法和意义是否相符。

2．下列各句中，没有语病的一句是（）A. 近日，人民教育出版社回应网友疑问称，正编写的统编高中历史教材对卫青、霍去病的史事有专门讲述，初中统编历史教材也有补充。

B. 全球最高气温不断上升，致使空气越来越稀薄，造成飞机机翼产生的升力减少，使得某些特定机型的飞机起飞困难甚至无法起飞。

安徽师大附中2015-2016学年高二第一学期期末考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分100分，考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号、考试科目.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卷一并交回.第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置.) 1．下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，-1<sin x<1C．∃x0∈R, 20x<0D．∃x0∈R，tan x0＝22．高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是() A．8B．13C．15D．183．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数4．“a<-2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[-1,2]上存在零点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．(¬p)∨q为真C．p∧(¬q)为真D．(¬p)∧q为真6．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x甲、x乙，则下列判断正确的是()A ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定C ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 7．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A ．34 B ．55 C ．78 D ．898．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( ) A ．15 B ．310 C ．25 D ．129．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角 三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为( ) A ．1＋2 B ．2＋22 C ．13D ．2＋ 210．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的 概率为( )A ．12B ．23C ．34D ．1411．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点 F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A. AA ′→＋12AB →＋12AD → B. 12AA ′→＋12AB →＋12AD →C. 12AA ′→＋16AB →＋16AD →D. 13AA ′→＋16AB →＋16AD →12．空间四点A 、B 、C 、D 满足3,7,11,9AB BC CD DA ====，则AC BD 的取值为（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个第Ⅱ卷(非选择题 共64分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请将答案填在答题卷相应横线上.) 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2-m 与直线mx ＋2y ＝-8互相平行的充要条件是m ＝________.14．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的频率分 布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分（第6题图）（第7题图）（第9题图）层抽样，抽取50人了解情况，则80～90分数段应抽取 ________人．15．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、 BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ， AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，CD ＝217cm ，则这个二面角的度数为__________．16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是BC 1的中点， P 是BB 1一动点，则(AP ＋MP )2的最小值为________．三、解答题(本大题共5题,共48分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.)17．(本小题满分9分)已知命题：“∀x ∈[-1,1]，都有不等式x 2-x -m <0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x -3a )(x -a -2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分9分)设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2-x ＋a16)的值域为R ；命题q ：3x -9x <a对一切实数x 恒成立，如果命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分10分)某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图．（1）求图中a 的值，并估计日需求量的平均数；（2）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x 件(150100≤≤x )，纯利润为S 元．（ⅰ）将S 表示为x 的函数；（ⅱ）根据直（第14题图）（第15题图）方图（用频率表示概率）估计当天纯利润S不少于3400元的概率．20．(本小题满分10分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求直线AF与平面BCF所成角的余弦值．21．(本小题满分10分)长方体ABCD-A1B1C1D1中, AA1＝2, BC2,E为C C1的中点. (1)求证:平面A1BE⊥平面B1CD;(2)平面A1BE与底面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小为θ,当2105<AB22<,求θ的取值范围.（第20题图）（第21题图）高二期末数学（理）试卷答案13． 1 14． 20 15． 060 16．2１７．[解析] (1)命题“∀x ∈[－1,1]，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，则x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即集合B ＝(2，＋∞)． (2)对于不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >a ＋2，即a >1时，解集A ＝(2＋a,3a )，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， 即A ⊆B 成立，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， 则A ⊆B 成立．此时a ＝1.③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝(3a,2＋a )，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， 即A ⊆B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈[23，1)．综合①②③，得a ∈[23，＋∞)．１８．[解析] 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2-x ＋a16)的值域为R ⇒02a ≤≤，q ：g (x )＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14≤14恒成立⇒a >14.因为“p 且q ”为假命题，所以p ，q 至少一假．(1)若p 真q 假，则02a ≤≤且a ≤14，104a ∴≤≤；(2)若p 假q 真，则0a <或2a >且a >14，∴2a >；(3)若p 假q 假，则0a <或2a >且a ≤14，∴0a <.综上知，a ≤14或2a >.１９．[解析] (1)由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a +0.030）×10=1，∴0.025a =. ∵1050.131150.171250.251350.31450.15126.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ∴估计日需求量的平均数为126.7件.（2）（ⅰ）当100130x ≤<时，3020(130)502600,S x x x =--=-当130150x ≤≤时，301303900,S =⨯= ∴502600,1001303900,130150x x S x -≤<⎧=⎨≤≤⎩.（ⅱ）若3400S ≥ 由502600x -3400≥得120x ≥,∵100150x ≤≤，∴120150x ≤≤.∴由直方图可知当120150x ≤≤时的频率是(0.0300.0250.015)100.7++⨯=，∴可估计当天纯利润S 不少于3400元的概率是0.7. ２０．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF .∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ， ∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ， ∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°， ∴△DBF 为等边三角形，∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且FA ＝FC ， ∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ， 设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°， 则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)， ∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)， 设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，∴⎩⎨⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵(3,0,3)AF =- ．设直线AF 与平面BCF 所成角为θ， ∴3310sin cos ,65n AF θ--=<>==， ∴直线AF 与平面BCF 15 . ２１．（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11BCC BCD BE ∴⊥ ，又E 为线段1CC 的中点，由已知易得1Rt B BC ∆∽Rt BCE ∆111,90EBC BB C EBB BB C ∴∠=∠∴∠+∠=故1BE B C ⊥ ，且1,B CCD C BE =∴⊥平面1A BE∴平面1A BE ⊥平面1B CD .(2)以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,设AB a =则1(2,0,2),(2,,0),(0,,1)A B a E a11(0,,2),(2,,1)A B a A E a ∴=-=--设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =则2022022a z y ay z x ay z x y ⎧=⎪-=⎧⎪⎪∴⎨⎨+-=⎪⎩⎪=⎪⎩ ,不妨设1y =()222an ∴=,又底面1111A B C D 的法向量为(0,0,1)m = 222cos 343182am n m na a θ∴===++又22210822,8,5543222a a a <<∴<<<+<1cos 2432ππθθ∴<<∴<< .。

高二期末数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分100分，考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号、考试科目.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卷一并交回.第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置.) 1．下列命题中,真命题是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，-1<sin x<1C．∃x0∈R, 20x<0 D．∃x0∈R，tan x0＝22．高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( ) A．8 B．13 C．15 D．183．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数4．“a<-2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[-1,2]上存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是( )A．p∧q为真 B．(¬p)∨q为真C．p∧(¬q)为真 D．(¬p)∧q为真6．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x甲、x乙，则下列判断正确的是( )（第6题图）A ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定B ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定C ．x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定D ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 7．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A ．34 B ．55 C ．78 D ．898．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( ) A ．15 B ．310 C ．25 D ．129．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f ′(2)的最小值为( )A ．12＋4 2B ．16C ．8＋8a ＋2aD ．12＋8a ＋1a10．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( )A ．12B ．23C ．34D ．1411．如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( ) A ．在区间(-2,1)上f (x )是增函数B ．在(1,3)上f (x )是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值12．设函数f (x )是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2016)>e 2016f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2016)>e 2016f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2016)<e 2016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2016)<e2016f (0)第Ⅱ卷(非选择题 共64分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请将答案填在答题卷相应横线上.) 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2-m 与直线mx ＋2y ＝-8互相平行的充要条件是m ＝________.14．某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80～90分数段应抽取________人．（第7题图）（第11题图）15．若函数f(x)＝x3-3bx＋b在区间(0,1)内有极值，则实数b的取值范围是________．16．已知函数f(x)＝e x-2x＋a有零点，则a的取值范围是．三、解答题(本大题共5题,共48分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.)17．(本小题满分9分)已知命题：“∀x∈[-1,1]，都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．(本小题满分9分)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2-x＋a16)的定义域为R；命题q：3x-9x<a 对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．(本小题满分10分)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为（第14题图）m、n，求事件“|m-n|>10”的概率．（第19题图）20．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c-16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[-3,3]上的最小值．21．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2-2(a＋1)x＋2a ln x(a>0)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．高二期末数学（文）试卷答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DDCACBBCACCC１７．[解析] (1)命题“∀x ∈[－1,1]，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，则x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立， ∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即集合B ＝(2，＋∞)． (2)对于不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >a ＋2，即a >1时，解集A ＝(2＋a,3a )，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， 即A ⊆B 成立，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， 则A ⊆B 成立．此时a ＝1.③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝(3a,2＋a )，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件， 即A ⊆B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈[23，1)．综合①②③，得a ∈[23，＋∞)．１８．[解析] 命题p ：对于任意的x ∈R ，ax 2－x ＋a16>0恒成立，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－a 24<0⇒a >2，q ：g (x )＝3x －9x ＝－(3x－12)2＋14≤14恒成立⇒a >14.因为“p 且q ”为假命题，所以p ，q 至少一假． (1)若p 真q 假，则a >2且a ≤14，a 不存在；(2)若p 假q 真，则a ≤2且a >14，∴14<a ≤2；(3)若p 假q 假，则a ≤2且a ≤14，∴a ≤14.综上知，a ≤2.１９．[解析] (1)由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．(2)由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004＝2，设成绩为x 、y ；成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006＝3，设成绩为a 、b 、c ， 若m 、n ∈[50,60)，则只有xy 一种情况． 若m 、n ∈[90,100]，则有ab 、bc 、ac 三种情况， 若m 、n 分别在[50,60)和[90,100]内，则有a b cx xa xb xc 共6种情况． y ya yb yc所以基本事件总数为10种，事件“|m －n |>10”所包含的基本事件有6种， ∴P (|m －n |>10)＝610＝35.２０．[解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3ax 2＋b ，∵f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝0，f 2＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－2)上为增函数， 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(－2,2)上为减函数， 当x ∈(2，＋∞)时f ′(x )>0，f (x )在(2，＋∞)上为增函数．故f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16，由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4， 因此f (x )上[－3,3]的最小值为f (2)＝－4. ２１．[解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ，∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x＝2x －1x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)； 当a ＝1时，f ′(x )＝2x －12x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点， ∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2 a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.。

安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考查数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.圆的半径为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆，可化为，所以，故选B．考点：圆的标准方程．2.已知椭圆，则下列结论正确的是（）A. 长轴长为B. 焦距为C. 短轴长为D. 离心率为【答案】D【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。

【详解】由椭圆方程化为标准方程可得所以长轴为，焦距，短轴，离心率所以选D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。

3.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案】【解析】试题分析：因为，正好为定值，所以轨迹为以F1（-3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线。

考点：本题考查双曲线的定义。

点评：熟练掌握到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为定值时，轨迹的三种不同情况是解答本题的关键，本题易忽略判断|F1F2|的值，而直接根据双曲线的定义，而错选C．4.双曲线的虚轴长为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程可得焦点在y轴上，求得，虚轴长可求．【详解】双曲线的焦点在y轴上，且，，则虚轴长，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是虚轴长的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题为A. 若不是偶数，则，都不是偶数B. 若不是偶数，则，不都是偶数C. 若是偶数，则，不都是偶数D. 若是偶数，则，都不是偶数【答案】B【解析】【分析】根据已知命题的否命题的形式可得所求．【详解】由题意可得命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题为：“若不是偶数，则，不都是偶数”．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一是熟记命题的四种形式；二是注意一些常见词语的否定的形式，如本题题中的“都是”的否定为“不都是”等．6.下列命题中，真命题是（）A. ，有B.C. 函数有两个零点D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A错误；当sinx=-1时，，B错误；有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C 错误；当，时，一定有，但当，时，也成立，故D正确,选D.7.抛物线的焦点坐标是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】把抛物线化为，，的焦点坐标是.选D.8.直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离，即，得，得，则的一个必要不充分条件是，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．9.双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为双曲线渐近线为所以考点：双曲线渐近线10.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. 或B.C. D. 或【答案】D【解析】椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故答案为：D。

安师大附中2017-2018学年度上学期测考卷高二数学（理科）试题 第I 卷（选择题）一、选择题1.直线1L ：3)1(=-+y a ax 与2L ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为 A.3- B.1 C.230-或 D.31-或 2.已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A ．1016⎛⎫⎪⎝⎭ ， B ．1016⎛⎫⎪⎝⎭， C ．（1,0） D ．（0,1） 3.点()y x M ,在函数82+-=x y 的图象上，当x ∈[2，5]时，11++x y 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-35,61 D ．[]4,2 4.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．25.已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．((0,2)B ．(-C ．((2,32)-D ．((2,32]-6.设两圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C 等于（ ）A. 4B.C. 8D. 7.已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（ ）A. B. C.D.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距）A. 223144x y -=B. 221124x y -=C. 221412x y -=D. 223144x y -= 9.过双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E , O 为坐标原点，若2,OFE EOF ∠=∠则b =（ ）A.12B. C. 2 D.10.已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 3211.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.12. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A. B.C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ）条件．14. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为 ． 15.圆22221x y +=与直线10mx y +-=的位置关系是相离，则m 的取值范围是__________． 16. 给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π； ②已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-； ③已知1F 、2F 为双曲线C ： 22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，且原点到过椭圆C 的上顶点与右顶点的直线的距离为7． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0,,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ．18.已知:p 2228200,:210(0)x x q x x a a --<-+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）与直线l ： x m=（R m ∈），四点3,1（）， 3,1-（），()-，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ， N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ： ()22116x y ++=，点()1,0A ，点(),0B a （3a >），以B 为圆心， BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q.（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点 C ，且与曲线τ交于 ,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ， OCN ∆ 面积为0,02πρα><<，求12S S 的取值范围. 21.已知圆C:x 2+y 2-8y+12=0,直线l 经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程. (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围.22.已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求 （1）直线BC 的方程；（2）弦BC的长度.参考答案1.D2.A3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.D10.D11.D12.C 13 .充分不必要条件14.115.11m -<< 16. ②③ 17.（1）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===，即2243a b =．① 取过两端的直线1x ya b +=，即0bx ay ab +-=7= ①入②，224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224{ 143y k x x y =-+=， 得()2222433264120k x k x k +-+-=，①设点()()1122,,,B x y E x y ，则()11,A x y -， 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得， ()221221y x x x x y y -=-+．将()()11224,4y k x y k x =-=-代入整理得， 得()121212248x x x x x x x -+=+-，②由①得22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++，代入②整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q ． 18.222:8200210,:21011p x x x q x x a a x a --<⇔-<<-+-≤⇔-≤≤+， ∵,p q q p ⇒≠，∴{|210}{|11}x x x a x a -<<⊄-≤≤+，故有12{110 0a a a -≤-+≥>，解得9a ≥，因此，所求实数的取值范围是[)9,+∞． 19.（Ⅰ）解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点()3,1， ()3,1-一定在椭圆C 上， 即22911a b +=，①若点()0-在椭圆C 上，则点()0-必为椭圆C 的左顶点，而3＞()0-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C上，点()0-在直线l 上， 所以22331a b+=，② 联立①②可解得212a =， 24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线l的方程为x =-设()0P y -，0y ⎛∈ ⎝⎭， 当00y ≠时，设()11M x y ，， ()22N x y ，，显然12x x ≠，联立221122221124{1124x y x y+=+=，， 则222212120124x x y y --+=，即121212121·3y y x xx x y y -+=--+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为0013-=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即y x ⎛=⎭， 显然l '恒过定点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 当00y =时，直线MN即x =-l '为x轴亦过点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述， l '恒过定点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 20.（1）∵BA BP =， BQ BQ =， PBQ ABQ ∠=∠， ∴QAB ∆≌QPB ∆，∴QA QP =，∵,4CP CQ QP QC QA QC QA =+=++=，由椭圆的定义可知， Q 点的轨迹是以C ， A 为焦点， 24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=. （2）由题可知，设直线 l ： 1x my =-，不妨设 ()11,M x y ， ()22,N x y ∵112211,,22OMC ONC S S OC y S S OC y ∆∆==⨯⨯==⨯⨯111222y S y S y y ==-， ∵221{ 143x my x y =-+=，∴()2234690m y my +--=， 21441440m ∆+>， ∴122122634{934my y m y y m +=+=-+， ∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， ∴12S S 121,33y y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.21.(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=4, 所以圆心为C(0,4),半径为2，所以CD 的中点坐标为E(-1,2),且所以圆E 的半径故所求圆E 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.(2)由题意得直线l 的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. 因为直线l 与圆C 相离, 所以有圆心C 到直线l2>,解得3k 4<. 所以k 的取值范围3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

安徽师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考查数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.圆的半径为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆，可化为，所以，故选B．考点：圆的标准方程．2.已知椭圆，则下列结论正确的是（）A. 长轴长为B. 焦距为C. 短轴长为D. 离心率为【答案】D【解析】【分析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。

【详解】由椭圆方程化为标准方程可得所以长轴为，焦距，短轴，离心率所以选D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。

3.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案】【解析】试题分析：因为，正好为定值，所以轨迹为以F1（-3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线。

考点：本题考查双曲线的定义。

点评：熟练掌握到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为定值时，轨迹的三种不同情况是解答本题的关键，本题易忽略判断|F1F2|的值，而直接根据双曲线的定义，而错选C．4.双曲线的虚轴长为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程可得焦点在y轴上，求得，虚轴长可求．【详解】双曲线的焦点在y轴上，且，，则虚轴长，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是虚轴长的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题为A. 若不是偶数，则，都不是偶数B. 若不是偶数，则，不都是偶数C. 若是偶数，则，不都是偶数D. 若是偶数，则，都不是偶数【答案】B【解析】【分析】根据已知命题的否命题的形式可得所求．【详解】由题意可得命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题为：“若不是偶数，则，不都是偶数”．故选B．【点睛】解答本题的关键有两个：一是熟记命题的四种形式；二是注意一些常见词语的否定的形式，如本题题中的“都是”的否定为“不都是”等．6.下列命题中，真命题是（）A. ，有B.C. 函数有两个零点D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A错误；当sinx=-1时，，B错误；有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C错误；当，时，一定有，但当，时，也成立，故D正确,选D.7.抛物线的焦点坐标是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】把抛物线化为，，的焦点坐标是.选D.8.直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，若直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离，即，得，得，则的一个必要不充分条件是，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．9.双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为双曲线渐近线为所以考点：双曲线渐近线10.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A. 或B.C. D. 或【答案】D【解析】椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故答案为：D。

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}21,A y y xB x y ⎧⎫⎪==+==⎨⎪⎩,则A B =（ ）A ．[)1,+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．[)0,+∞ 2. 已知复数 20162015120152016i z i+=+-，则2016z=（ ） A ．20162B ．10082 C ．10082- D ．20162-3. 面αβ⊥，直线b α⊂，m β⊂,且b m ⊥，则b 与β（ ）A ．b β⊥B ．b 与β斜交C ．b βD ．位置关系不确定4. 已知:p 函数12x y a +=-的图象恒过定点()1,2； :q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列为真的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝5. 已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）A ．10n >B ．10n ≤C ．9n <D ．9n ≤6. 如图是一个多面体三视图，Rt ∆，则这个多面体最长一条棱长为（ ）A ．D ．7. 设 ()21,XN δ，其正态分布密度曲线如图所示，且()30.0228P X ≥=，那么向正方形 OABC 中随机投掷 10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）附：（ 随机变量ξ服从正态分布()21,N δ，则()0068.26P μδξμδ-<<+=，()002295.44P μδξμδ-<<+=A ．6038 B ．6587 C ．7028 D ．7539 8. 已知P 为函数()ln 21y x =-图象上的一个动点，Q 为函数23y x =+图象上一个动点，则2PQ 最小值=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9. 已知lg3ln2lg2lg32,3,10a b c ===，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．a c b =>B ．a b c =>C ．a b c <=D ．a b c ==10. 设()00,M x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点，,A B 是其左，右顶点，2202AM BM x a =-，则离心率e =（ ）A ．12 B．45 D11. 定义{}()(),a a b Max a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩设 实 数 ,x y 满 足 约 束 条 件 ：22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，{}max 4,3z x y x y =+-，则z 的取值范围为（ ）A ．78z -≤≤B ．710z -≤≤C ．810z ≤≤D ．010z ≤≤12. 已 知 函 数 ()y f x =是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 ，当 0x ≥时，()()()5sin 01421114x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,f x af x b a b R ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.“20,0x x x ∀>-≤” 的否定是 ． 14. ((5611展开式中32x的系数为 ．15. 如图，半径为2的扇形的圆心角为120,.M N ︒分别为半径,OP OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，,AM AN 则的取值范围是 ．16. 已知数列{}n a 满足111,222n n n a a a +==+数列{}n b 满足2n n n b a n=，存在m N *∈，使得对n N *∀∈,不等式n m b b ≤恒成立，则m 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2226cos ,sin 2sin sin a b ab C C A B +==.（1）求角C 的大小； （2）设函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，且()f x 图像上相邻两最高点间的距离为π,求 ()f A 的取值范围.18. （本小题满分12分）2014 年12 月初，南京查获了一批问题牛肉，滁州市食药监局经民众举报获知某地6个储存牛肉的冷库有1个冷库牛肉被病毒感染，需要通过对库存牛肉抽样化验病毒DNA 来确定感染牛肉，以免民众食用有损身体健康.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验样品，直到能确定感染冷库为止.方案乙：将样品分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ,则表明感染牛肉在这三个样品当中，然后逐个化验，直到确定感染冷库为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组样品中逐个进行化验.（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8 元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？(3)试比较两种方案，估计哪种方案有利于尽快查找到感染冷库.说明理由.19. （本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为a 的菱形,120,BAD PA b ∠=︒=.（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）设AC 与BD 交于点,O M 为OC 中点，若二面角O PM D -- 的正切值为求:a b 的值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标是()()121,0,1,0F F -,过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与,P Q 两点, 且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点,M N ,则1F MN ∆ 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）定义 在 R 上 的 函 数 ()f x 满 足()()()222'1202x f f x e x f x -=+-, ()()21124x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）求函数 ()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；(3) 如果,,s t r 满足s r t r -≤-，那么称s 比t 更靠近r .当 2a ≥且1x ≥时，试比较ex和1x e a -+哪个更靠近 ln x ，并说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于,O BD 是O 的直径AE CD ⊥于点,E DA 平分BDE ∠.（1）证明：AE 是O 的切线； （2）如果4,2AB AE ==,求CD .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是31,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（1）求点 D 的直角坐标和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若经过点D 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求DA DB 的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,,x y z R ∈,且2228,24x y z x y z ++=++=,求证：4443,3,3333x y z ≤≤≤≤≤≤.安徽师范大学附属中学2016届高三最后一卷数学（理）试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CBDDD 6-10.BBBDD 11-12.BC 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 20,0x x x ∃>-> 14.5- 15.35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.27 三、解答题（2）()3sin cos sin cos 6223f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由已知2,2ππωω==,则()23f A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为2sin 2sin sin ,3C A B C π==,所以232sin sin 34A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,整理得1sin 264A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为203A π<<,所以72666A πππ-<-<,所以()cos 22264366A f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=±=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31sin 2cos 26262A A ππ⎤⎛⎫⎛⎫=---⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦①()1142f A ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭.②()1142f A ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故()f A 的取值范围是⎪⎪⎩⎭.18. 解：（1）方案乙所需化验恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA ,再从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为353163116C C C ⨯=,第二种, 先化验一组，结果含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为253163116C C C ⨯=.所以依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为111663+=. （2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费用为η元,则()()()()1511110,2186656P P P P ξηξμ========⨯=,()()()()541154311324,430654665436P P P P ξηξη====⨯⨯=====⨯⨯⨯=,()()5432153665433P P ξη====⨯⨯⨯=.则其化验费用η的分布列为所以()1018243036666633E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).所以甲方案平均需要化验费773元.(3) 由(2) 知方案甲平均化验的次数为()111111012345666633E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.设方案乙化验的次数为δ，则δ可能的取值为2,3，所以()()()122,31233P P P δδδ====-==,所以()12823333E δ==⨯+⨯=.则()()EE ξδ>,所以方案乙化验的次数的期望值较小，可以尽快查找到感染冷库.19. 解：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又AB C D 为菱形，所以AC BD ⊥，所以BD⊥平面PAC ，从而平面PBD ⊥平面PAC .（2）过O 作OH PM ⊥交PM 于H ，连HD ,因为DO ⊥平面PAC ,可以推出DH PM ⊥，所以OHD ∠为A PMD --的平面角, 又3,,44a aOD OM AM ===,且,4OH APa OH OM PM==-=tan ODOHD OH ∠===,所以22916a b =,即43a b =.20. 解：（1）设椭圆的方程是()222210x y a b a b+=>> ,由焦点的坐标得：1c =,由3PQ =,可得223b a =,解得2,a b =,故椭圆的方程是22143x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ,不妨设120,0y y ><,设1F MN ∆的内切圆半径是R ,则1F MN ∆的周长是48a =,()111142F MN S MN F M F N R R ∆=++=,因此1F MN S ∆最大，R 就最大, ()112121212F MN S F F y y y y ∆=-=-. 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1a my =+,由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,()2234690m y my ++-=,解得1222333434m m y y m m -+-+==++, 则()121212AMNS AB y y y y ∆=-=-=,令t 则1t ≥, ()121221234AMNS AB y y y y m ∆=-=-=+=1213t t+, 设()()2113,'3,f t t f t tt=+=-()f t 在[)1,+∞上单调递增， 所以，()()1214,3,4AMN f t f S ∆≥=≤=因为4,AMN S R ∆=所以max 3,4R =此时所求内切圆的面积最大值是916π，故直线l 方程为1x =时，AMN ∆内切圆面积最大值是916π.21. 解：（1）()()()22''1220x f x f e x f -=+-，令1,x =解得()01,f =由()()()222'1202x f f x e x f x -=+-，令0x =得()()2'102f f e -=，()2'12f e =， 所以，()222x f x e x x =-+.（2）因为()222xf x e x x =-+，所以()()21124x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭=()1xe a x --，()',x g x e a =-①当0a ≤时，总有()'0g x >，函数()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，由()'0g x >得函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，由()'0g x <得函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减；综上，当0a ≤时，总有()'0g x >，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时， ()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， ()f x 在(),ln a -∞上单调递减.(3)设()()1ln ,ln x ep x x q x e a x x-=-=+-，()'0p x <得()p x 在[)1,+∞上递减，所以当1x e ≤≤时()()0.p x p e ≥=当x e >时，()0.p x <而()()11211',''0,x x q x e q x e x x--=-=+>所以()'q x 在[)1,+∞上递增，()()''10,q x q ≥=则()q x 在在[)1,+∞上递增，()()120,q x q a ≥=+>①当1x e ≤≤时，()()()()()1x e p x q x p x q x e a m x x --=-=--=，()()12'0,x em x e m x x-=--<∴在[)1,+∞上递减，()()()()110,m x m e a p x q x ≤=--<∴<，所以ex比1x e a -+更靠近ln .x ②当x e >时，()()()()()12ln x ep x q x p x q x x e a n x x--=--=-+--=，()()11222'.''0x x n x e n x e x x--=-=--<，所以()()()''0.n x n e n x <<∴递减，()()0.n x n e <<()()p x q x >，ex比1x e a -+更靠近ln .x 综上所述，当 2a ≥且1x ≥时，ex 比1x e a -+更靠近ln .x22. 解：（1）连接,OA 则,OA OD =所以,OAD ODA ∠=∠又,ODA ADE ∠=∠所以,ADE OAD ∠=∠所以，.OA CE 因为,.AE CE OA AE ⊥∴⊥ 所以AE 是O 的切线.（2）由(1) 知可得ADEBDA ∆∆,所以AE AB AD BD =,即24AD BD=,则2BD AD =,所以30ABD ∠=︒,从而30DAE ∠=︒,所以tan 30DE AE =︒=由切割线定理，得2AE ED EC =, 所以3CD =. 23. 解：（1）点D 的直角坐标是()0,1-,2,cos 21cos ρρρθθ=∴=+-,即()2222x y x +=+,化简得曲线C 的直角坐标方程是244y x =+.（2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩,代入244y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ， 则12122233,sin sin t t DA DB t t αα=-∴==,当90α=︒时, DA DB 取得最小值3. 24. 解： 证明：显然()()22228,8202x y x y x y z xy z z +-++=-==-+,x y ∴是方程()2288200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0∆≥得443z ≤≤,同理可得443y ≤≤,443x ≤≤.。

安徽师范大学附属中学 2017-2018学年度第二学期期中考查高二数学试题（文）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分）3i1.已知复数 z=﹣2i+，则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.用反证法证明命题：“若 a ，b ∈N ，ab 能被 5整除，则 a ，b 中至少有一个能被 5整除”， 那么假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被 5整除 B ．a ，b 都不能被 5整除 C ．a ，b 有一个能被 5整除D ．a ，b 有一个不能被 5整除3.某工厂生产某种产品的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)有如下几组样本数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7 ，则这组样本数据的回归直线方程是 （）A ． y 0.7x 2.05B ． y 0.7x 1C ． y 0.7x 0.35D ． y 0.7x 0.452 z= + 1i z 2 3z4.设复数 (其中 为虚数单位)，则 的虚部为（）iA ． 2iB ．0C ．-10D ．25.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 （）A. yx 3 B. y ln(x ) C. y xe xD.y x 2x6.已知函数 f (x )的导函数为 f ′(x )，且满足 f (x )＝2x ·f ′(1)＋1n x ，则 f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．e7.函数 f (x ) x 3 3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ． 0 b 1B ．b1 C ．b 0D ．b1 28.若点 P 是函数 f (x ) x 2 ln x 上任意一点，则点 P 到直线 x y 20的最小距离为- 1 -( )21A．2B．C．D．322S1 1 9.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，S2 4推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P­ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，V1则＝()V21 1 1 1A. B. C. D.8 9 64 2710.若函数f(x)kx ln x在区间1,单调递增，则k的取值范围是（）A.,2B. ,1C.2,D.1, 11．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店．某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店．事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是（）A．甲做微商B．乙做淘宝店C．丙做微商D．甲做实体店12.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(x)>1,f(0)=4则不等式()3（其中为e xf x e x e 自然对数的底数）的解集为（）A．(0,+)B．(-,0)(3,+)C．(-,0)(0,+)D．(3,+)二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13.曲线y x(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为________.a14.数列满足n，归纳出数列的通项公式为________.,aa a1(*)1n N1nn1an15.曲线f(x)ln x ax存在与直线2x y0平行的切线，则实数a的取值范围_______．16.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error!33＝Error!43＝Error!….依此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m＝______.三、解答题（本大题共5小题，共48分）- 2 -117.（本小题满分6分）已知f(x)= ,分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，33x然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.。

2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m2．（3分）设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面（）A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0 9．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形10．（3分）如果直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．11．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．112．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（9分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，l3：x+y﹣1=0，且l1与l2间的距离是．（1）求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体EFABCD的体积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题2．（3分）设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面（）A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个【分析】当P与a（或者b）构成的平面恰与b（或者a）平行时，为0个，否则是1个．【解答】解：∵a，b为异面直线，∴a，b不平行，过p做a的平行线有且只有一条设为c，同样过p做b的平行线有且只有一条设为d．a，b的平行线只能组成一个平面，设为平面A．如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P 且与a，b都平行的平面不存在；如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a，b都平行的平面有且只有一个．综上，过点P与a，b都平行的平面不存在或只有一个．故选：C．【点评】本题考查满足条件的平面个数的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH 与MN成60°角，DE⊥MN．【解答】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图：对于①，G、H分别为DE、BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，DE⊥AF，MN∥AF，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④，故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正四面体的结构特征等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0B．2x+3y+7=0C．3x﹣2y﹣12=0D．2x+3y+8=0【分析】直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．【解答】解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选：D．【点评】选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．9．（3分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的定义，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．10．（3分）如果直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】直线l过圆心（2，﹣1），设直线l：y=kx+（﹣1﹣2k），由直线l不过第三象限，得到直线l的斜率k≤0，且﹣1﹣2k≥0，由此能求出l的斜率的取值范围．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+2y=0，∴（x﹣2）2+（y+1）2=5，∵直线l将圆x2+y2﹣4x+2y=0平分，∴直线l是直径，过圆心（2，﹣1），设直线l：y+1=k（x﹣2），即y=kx+（﹣1﹣2k），∵直线l不过第三象限，∴直线l的斜率k≤0，且纵截距：﹣1﹣2k≥0，解得k≤﹣．∴l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选：C．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴sin∠B1AD1===，故答案为：．【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是中档题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是．【分析】将三棱锥放入到长方体内，利用余弦定理能求出直线SC与AB所成角的余弦值．【解答】解：将三棱锥放入到长方体内，则∠DSC是直线SC与AB所成角，长方体的高SA=2，AB=，SC=4，BC=，CD==5，∴△DSC中，cos∠DSC==．∴直线SC与AB所成角的余弦值是．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（9分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，l3：x+y﹣1=0，且l1与l2间的距离是．（1）求a的值．（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：．【分析】（1）将直线l2的方程化为2x﹣y﹣=0，利用两条平行线l1与l2间的距离公式能求出a．（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x﹣y+c=0上，且=•，求出2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0．若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=•，由此能求出存在点P（，）同时满足三个条件．【解答】解：（1）将直线l2的方程化为2x﹣y﹣=0，∴两条平行线l1与l2间的距离d==，由a＞0，解得a=3．（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x﹣y+c=0上，且=•，解得c=或c=，所以2x0﹣y0+=0或2x0﹣y0+=0．若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有=•，即|2x0﹣y0+3|=|x0+y0﹣1|，所以x0﹣2y0+4=0或3x0+2=0．由于点P在第一象限，所以排除3x0+2=0．联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，解得（舍去）；联立方程2x0﹣y0+=0和x0﹣2y0+4=0，解得，所以存在点P（，）同时满足三个条件．【点评】本题考查实数值的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查两平行线间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求多面体EFABCD的体积．【分析】（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）由线面垂直的判定定理，证出BD⊥平面ABEF，求出三棱锥D﹣AEF的体积，再求得四棱锥E﹣ABCD的体积，作和得答案．【解答】（1）证明：取AD的中点N，连接MN、NF，在△DAB中，∵M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=，又∵EF∥AB，EF=，∴MN∥EF，MN=EF，则四边形MNFE为平行四边形，∴EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；（2）解：∵EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EB，∵∠ABD=90°，即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF内的相交直线，∴BD⊥平面ABEF，∴BD是三棱锥D﹣AEF的高线，在Rt△BDC中，BD==3，而△AEF面积S=×EF×BE=，×BD=××3=，因此可得三棱锥D﹣AEF的体积V=S△AEF又四棱锥E﹣ABCD得体积V=，∴多面体EFABCD的体积V=．【点评】本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。

2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期末试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=12．直线xtan+y+2=0的倾斜角α是（）A．B．C．D．﹣3．抛物线y=的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，1）D．（1，0）4．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣45．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．24 B．12 C．6 D．36．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=07．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（）A．43 B．72 C．86 D．908．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．9．直角坐标平面内，过点P（2，1）且与圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0相切的直线（）A ．有两条B ．有且仅有一条C ．不存在D ．不能确定10．直线L 过点且与双曲线x 2﹣y 2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设F 1、F 2分别是双曲线x 2﹣=1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且=0，则|+|=（ ）A ．B ．2C ．D ．212．若曲线y=+1与直线y=k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．设点A （1，0），B （﹣1，0），若直线2x+y ﹣b=0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 ．14．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C 1C 2|= ．15．已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足=3，则弦AB 的中点到准线的距离为 ．16．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6km ，C 在B 正北偏西30°，相距4km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s ，A 若炮击P 地，则炮击的方位角是 （南、北）偏 （东、西） 度．三、解答题17．设直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．18．椭圆+y 2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是 ．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点A （1，﹣2）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等于？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由．20．已知，圆C ：x 2+y 2﹣8y+12=0，直线l ：ax+y+2a=0． （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB=2时，求直线l 的方程．21．求过两圆x 2+y 2﹣1=0和x 2﹣4x+y 2=0的交点，且与直线x ﹣y ﹣6=0相切的圆的方程．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F 1、F 2，点，点F 2在线段PF 1的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．x 2+（y ﹣2）2=1B ．x 2+（y+2）2=1C ．（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=1D ．x 2+（y ﹣3）2=1 【考点】圆的标准方程．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题．2．直线xtan+y+2=0的倾斜角α是（）A．B．C．D．﹣【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．【解答】解：∵直线xtan+y+2=0的斜率为﹣tan=，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．抛物线y=的焦点坐标是（）A ．（，0）B ．（0，）C ．（0，1）D ．（1，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x 2=4y ，故焦点坐标为（0，1）故选C ．【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．4．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．4D ．﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论． 【解答】解：由a 2=6、b 2=2，可得c 2=a 2﹣b 2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0）， ∴抛物线y 2=2px 的焦点（2，0），∴p=4， 故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．5．短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由短轴长为，离心率为，可求得，所以可求△ABF 2的周长．【解答】解：由题意，从而得，故选C．【点评】本题主要考查椭圆几何量之间的关系，利用了椭圆的定义，属于基础题．6．若点P（1，1）为圆x2+y2﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣3=0 D．2x﹣y﹣1=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．【解答】解：x2+y2﹣6x=0化为标准方程为（x﹣3）2+y2=9∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为，∴弦MN所在直线的斜率为2，∴弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．故选D．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直与弦MN所在的直线是解本题的关键．7．从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）||x|＜11，且|y|＜9}内的椭圆个数为（）A．43 B．72 C．86 D．90【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；椭圆的定义．【分析】首先确定m，n的取值，确定两种类型一是m，n都在1～8之间选值，一是m在9，10中选取，n在1～8中选取，求出椭圆数即可．【解答】解：椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m≠n，所以有两类，2=56一类是m，n从{1，2，3，…6，7，8}任选两个不同数字，方法有A8令一类是m从9，10，两个数字中选一个，n从{1，2，3，…6，7，8}中选一个方法是：2×8=16所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72故选B．【点评】本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，椭圆的定义，组合知识，考查学生分析问题解决问题的能力．8．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先表示出渐近线方程，利用求得tanα=，根据α的范围确定tanα范围，进而确定的范围，同时利用c=转化成a和c的不等式关系求得的范围，即离心率的范围．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用．9．直角坐标平面内，过点P（2，1）且与圆x2﹣x+y2+2y﹣4=0相切的直线（）A．有两条B．有且仅有一条C．不存在D．不能确定【考点】圆的切线方程．【分析】由点P（2，1）、圆的方程，确定P在圆外，则过P与圆相切的直线有两条．【解答】解：由点P （2，1）、圆x 2﹣x+y 2+2y ﹣4=0，可得4﹣2+1+2﹣4=1＞0，∴点P 在圆外，则过点P 且与圆相切的直线有两条． 故选A【点评】此题考查了点与圆的位置关系，以及圆的切线方程，当点在圆内时，过此点不能作圆的切线；当点在圆上时，过此点作圆的切线，此时切线只有一条；当点在圆外时，过此点作圆的切线，此时切线有两条．故判断出点P 与圆的位置关系是解本题的关键．10．直线L 过点且与双曲线x 2﹣y 2=2有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x 2﹣y 2=2的右顶点，方程为x=，满足条件，当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足满足条件．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线过双曲线x 2﹣y 2=2的右顶点，方程为x=，满足条件．当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线x 2﹣y 2=2有且仅有一个公共点，综上，满足条件的直线共有3条，故选 C ．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，双曲线的渐近线的性质，注意考虑斜率不存在的情况，这是解题的易错点．11．设F 1、F 2分别是双曲线x 2﹣=1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且=0，则|+|=（ ）A ．B ．2C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由点P 在双曲线上，且=0可知|+|=2||=||．由此可以求出|+|的值．【解答】解：根据题意，F 1、F 2分别是双曲线x 2﹣=1的左、右焦点．∵点P 在双曲线上，且=0，∴|+|=2||=||=2．故选B ．【点评】把|+|转化为|||是正确解题的关键步骤．12．若曲线y=+1与直线y=k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k 的取值范围．【解答】解：y=+1可化为x 2+（y ﹣1）2=4，y ≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y ≥1的部分．直线y=k （x ﹣2）+4过定点p （2，4），由图知，当直线经过A （﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP ==，由直线与圆相切得d==2，解得k=，则实数k 的取值范围为（，]．故选A ．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．设点A（1，0），B（﹣1，0），若直线2x+y﹣b=0与线段AB相交，则b的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【分析】由题意知，两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程2x+y﹣b=0中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围．【解答】解：由题意得：两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，∴b∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、点与直线的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|= 8 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由题意易得圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），则有|a|=，解方程求得a 值，代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C 1C 2|的值．【解答】解：∵两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故两圆圆心在第一象限的角平分线上，设圆心的坐标为（a ，a ），则有|a|=，∴a=5+2，或 a=5﹣2，故圆心为（5+2，5+2） 和 （5﹣2，5﹣2 ），故两圆心的距离|C 1C 2|= [（5+2）﹣（5﹣2）]=8，故答案为：8【点评】本题考查直线和圆的位置关系，其中根据已知分析出圆心在第一象限的角平分线上，进而设出圆心坐标是解答的关键．15．已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足=3，则弦AB 的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【分析】设BF=m ，由抛物线的定义知AA 1和BB 1，进而可推断出AC 和AB ，及直线AB 的斜率，则直线AB 的方程可得，与抛物线方程联立消去y ，进而跟韦达定理求得x 1+x 2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB 的中点到准线的距离． 【解答】解：设BF=m ，由抛物线的定义知AA 1=3m ，BB 1=m∴△ABC 中，AC=2m ，AB=4m ，直线AB 方程为与抛物线方程联立消y 得3x 2﹣10x+3=0所以AB 中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．16．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A若炮击P地，则炮击的方位角是北（南、北）偏东（东、西）30 度．【考点】解三角形的实际应用．【分析】建立坐标系，因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，写出中垂线的方程，又|PB|﹣|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上，写出双曲线方程，将这两个方程联立方程组，解出交点P的坐标，由PA斜率计算炮击的方位角．【解答】解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（﹣3，0）、A（3，0）、C（﹣5，2），因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上=﹣，BC中点D（﹣4，），因为kBC所以直线PD的方程为y﹣=（x+4）①又|PB|﹣|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P（x，y），则双曲线方程为﹣=1（x≥0）②联立①②，得x=8，y=5，所以P（8，5），因此k==，PA故炮击的方位角为北偏东30°．故答案为：北；东；30．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用、解三角形的实际应用．要充分利用三角形的边角关系，利用三角函数、正弦定理、余弦定理等公式找到问题解决的途径．三、解答题17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得，解不等式组求得a 的范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用待定系数法求直线的方程，以及确定直线位置的几何要素．18．椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是2x+4y﹣3=0 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设这条弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则，两式相减再变形得，再由弦中点为（，），求出k ，由此能求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣，故这条弦所在的直线方程y ﹣=﹣（x ﹣），整理得2x+4y ﹣3=0．故答案为：2x+4y ﹣3=0．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程的求法，用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点A （1，﹣2）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等于？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】（I ）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p ，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．20．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：将圆C 的方程x 2+y 2﹣8y+12=0配方得标准方程为x 2+（y ﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l 与圆C 相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y ， 得（a 2+1）x 2+4（a 2+2a ）x+4（a 2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x 1、x 2，所以x 1+x 2=﹣，x 1x 2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1， ∴直线l 的方程是7x ﹣y+14=0和x ﹣y+2=0．另解：圆心到直线的距离为d=，AB=2=2，可得d=，解方程可得a=﹣7或a=﹣1，∴直线l 的方程是7x ﹣y+14=0和x ﹣y+2=0．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．21．求过两圆x 2+y 2﹣1=0和x 2﹣4x+y 2=0的交点，且与直线x ﹣y ﹣6=0相切的圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求圆的方程为x 2+y 2﹣1+λ（x 2﹣4x+y 2）=0，利用与直线x ﹣y ﹣6=0相切，求出λ，即可得出结论．【解答】解：设所求圆的方程为x 2+y 2﹣1+λ（x 2﹣4x+y 2）=0（λ≠﹣1），即（1+λ）x 2+（1+λ）y 2﹣4λx ﹣1=0．∴x 2+y 2﹣=0．∴圆心为（，0），半径，∴=，∴，解得．又∵圆x 2﹣4x+y 2=0与直线x ﹣﹣6=0相切，∴所求圆的方程为3x 2+3y 2+32x ﹣11=0或x 2+y 2﹣4x=0．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，属于中档题．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F 1、F 2，点，点F 2在线段PF 1的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【考点】椭圆的标准方程；恒过定点的直线；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a 和c 的关系，进而根据椭圆C 的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）又点F 2在线段PF 1的中垂线上推断|F 1F 2|=|PF 2|，进而求得c ，则a 和b 可得，进而求得椭圆的标准方程．（2）设直线MN 方程为y=kx+m ，与椭圆方程联立消去y ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），根据韦达定理可表示出x 1+x 2和x 1x 2，表示出直线F 2M 和F 2N 的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x 1+x 2和x 1x 2代入即可求得k 和m 的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．【解答】解：（1）由椭圆C 的离心率得，其中，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）又点F 2在线段PF 1的中垂线上∴|F 1F 2|=|PF 2|，∴解得c=1，a 2=2，b 2=1，∴．（2）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y=kx+m ．由消去y ，得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则△=（4km ）2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣2）≥0即2k 2﹣m 2+1≥0则，且由已知α+β=π，得．化简，得2kx 1x 2+（m ﹣k ）（x 1+x 2）﹣2m=0∴整理得m=﹣2k ．∴直线MN 的方程为y=k （x ﹣2），因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．。