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第二篇逻辑代数基础2

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第2章 逻辑代数基础

第2章 逻辑代数基础
0-1率A· 1=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)

互补率A+A=1

第二章逻辑代数基础具有无关项的逻...

第二章逻辑代数基础具有无关项的逻...
当A<L<B点时，MS单独驱动； 当C<L<B点时，ML单独驱动； L<C点时， MS ML同时驱动； L>A点时， MS ML均不工作；
F=(A,B,C)
测点之上“0” 测点之下“1” 电机工作“1” 电机不工作“0”
任何一件具体的因果关系都可以用一
个逻辑函数来描述
怎么样描述？
2.5.2 逻辑函数的表示方法
举例 证明 A BC (A B)(A C)
解：等式左边的对偶式： A (B C)
等式右边的对偶式： A B AC
显然左右两边的对偶式相等，从而证得原 等式成立。 基本公式表中左右两边相对应的公式都是对偶式。
2.5 逻辑函数及其表示方法 2.5.1 逻辑函数的基本概念
普通代数中的函数： y f (x1, x2 , x3 ) x1x2 x3 其中， x1, x2 , x3 为自变量， y 为因变量，变量的取
3. 与或非运算
复合逻辑运算
以四个变量为例，逻辑表达式为：
逻辑符号：
Y=AB+CD
(国标)
(欧美)
4. 异或运算
复合逻辑运算
当A、B不同时，输出Y为1；当A、B 相同时，输出Y为0。
真值表
A
B
Y
逻辑表达式：
Y=A B=AB+AB
逻辑符号：
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
(国标) (欧美)
异或门的功能可以概括为：两输入变量相异时输出1。
开关状态：用1表示闭合，用0表示断开； 指示灯状态：用1表示灯亮，用0表示灯灭。
或状态逻辑表
开关A 开关B 指示灯Y 断开 断开 灭 断开 闭合 亮 闭合 断开 亮 闭合 闭合 亮

2逻辑代数基础

2逻辑代数基础

（15）
五、德 摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、 穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。 规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： F F 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。

（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。
四 种 表 示 方 法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B

第2章逻辑代数基础

第2章逻辑代数基础

同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。

第2章 逻辑代数基础(完整版)

第2章 逻辑代数基础(完整版)

2
A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
20
CopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
2
3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
5
L=ABCopyRight @安阳师范学院物电学院_2013

2逻辑代数入门基础

2逻辑代数入门基础

第2章逻辑代数基础2.1 概述一、算术运算和逻辑运算在数字电路中,二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。

当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。

算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。

二、几个基本概念1、逻辑状态表示法一种状态高电位有真是美生 1 0另一种状态低电位无假非丑死 0 12、两种逻辑体制1 高电位低电位0 低电位高电位正逻辑负逻辑3、高低电平的规定正逻辑负逻辑2.2 逻辑代数中的三种基本运算1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。

表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ开关A，B串联控制灯泡Y2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y ）发生的各种条件（A ，B ，C ，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y ）就发生。

表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…开关A ，B 并联控制灯泡YA 、B 都断开，灯不亮。

A 断开、B 接通，灯亮。

A 接通、B 断开，灯亮。

A 、B 都接通，灯亮。

两个开关只要有一个接通，灯就会亮。

逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+Ｂ功能表3（A ）满足时，开关A 控制灯泡YA 断开，灯亮。

A 接通，灯灭。

功 能 表Ｙ＝Ａ4（（（（1、代入定理：任何一个含有变量A A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。

这个规则称为代入定理。

例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。

这个规则称为反演定理。

第2章逻辑代数基础


自等律：A·1=A
重叠律：A·A=A
A+0=A
A+A=A
互补律：A· A=0
A+A=1
第2章 逻辑代数基础
2. 与普通代数相似的定律 交换律 A·B=B·A 结合律 (A·B)·C=A·(B·C) 分配律 A·(B+C)=AB+AC A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+BC=(A+B)(A+C)
任何逻辑函数式都存在着对偶式。 若原等式成立， 则 对偶式也一定成立。即，如果F=G, 则F′=G′。这种逻辑推
理叫做对偶原理，或对偶规则。
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能 改变， 且式中的非号也保持不变。 观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都 是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。 例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC， 根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律
第2章 逻辑代数基础
逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变 化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示
某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以
用逻辑函数来描述。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、 低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出 与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数 来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑 变量A、 B、 C、 … 的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也 被惟一地确定了，则可以称F是A、 B、 C、 … 的逻辑函数， 并记为

第2章逻辑代数基础

卡诺图是真值 表的一种特殊形式， 是化简逻辑函数的 重要工具。
1、卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
项小 每 与项 个 它有 2 相两 变 邻个 量
最的 小最
A
AB
B
0 1C
0 m0 m2
Y(A, B,C, D) m(1,3,4,6,7,11,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
m4
m1
01 1
0
0
0
m3
11 1
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m11
10 0
1
1
0
m6 m7
m14
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不 必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那 些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
ABC
DE
000 001 011 010
110 111 101 100
变量数 n = 5 在卡诺图
m m m m m m m m 00
0
4 12 8
24 28 20 16
上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
m m m m m m m m 01
1
5 13 9
25 29 21 17
0
1 m1 m3
1
2 变量卡诺图
00 01 11 10 m0 m2 m6 m4 m1 m3 m7 m5

2-逻辑代数基础


出现此变量旳位置均代之以一种逻辑函数式，则此
等式依然成立。
B+C替代B
(A+B)'= A'·B利' 用反演律
得 (A (B C)) ' A'(B C) ' A' B 'C '
由此反演律能推广到n个变量：
( A1A2 A3 An )' A1' A2 ' A3 ' An ' ( A1 A2 A3 An )' A1' A2 ' A3 ' An '
=A +A(B+C)+BC ; 分配律,重叠律
=A(1+B+C)+BC ; 分配律
=A • 1+BC ; 0-1律
=A+BC =左边
; 0-1律
17 2024/9/22
例：证明冗余律 AB AC BC AB AC 成立
证明:左边= AB+AC
=+ABBC+AC+(A+A =)BACB+AC+ABC =+AABB(C1+C)+AC(1 +=BA)B+AC
2024/9/22
解：由真值表能够看出
输入变量为下列三种取值旳时候，Y 等于1： A = 1、B = 0、C = 1
A = 1、B = 1、C = 0
A = 1、B = 1、C = 1
AB 'C 所以，Y旳逻辑函数式为：
ABC ' ABC
Y = AB'C+ABC'+ABC
30
由上例能够总结出由真值表写出逻辑函数式旳措施： （1）首先从真值表中找出全部使函数值等于1旳那些输入

第二章 逻辑代数基础


例：
m0 ABC 则m0 ( ABC ) A B C M 0
数字电子技术
46
二、逻辑函数最小项之和的形式：
依据：利用公式 A A 1 可将任何一个函数化为最小项之和的形式 m i
• 例：
Y ( A, B, C ) ABC BC ABC BC( A A) ABC ABC ABC
15
2.4 逻辑代数的基本定理
• 2.4.1 代入定理
------在任何一个包含A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等 式依然成立。
数字电子技术
16
2.4.1 代入定理
• 应用举例： 式（17） A+BC
= (A+B)(A+C)
A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)
数字电子技术
最小项的性质
• 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的 值为1。 • 全体最小项之和为1 。 • 任何两个最小项之积为0 。 • 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子， 只留下公共因子。 ------相邻：两个最小项只有一个因子不同 如 ABC 与ABC
ABC ABC AB(C C ) AB
数字电子技术
29
举例：举重裁判电路
真值表
A B C Y
0
0
0
0 1
0
1 0
0
0 0
逻辑表达式 逻辑图
Y A (B C )
0
0
1 1 1 1
1
0 0 1 1
1
0 1 0 1
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与非—与非式 与或非式
2020年6月19日星期五
标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
3
= ( A + B ) ·( A + C ) = ( A + B ) ·( A + C ) = A+B +A+C
或与式 或非—或非式
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标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
4
小项 。
即： mi m j mi (0 i( j) 2n 1,且i j)
证明：
若自变量的取值组合使mi = 1 ( 有且只有一组)
，则：
mi mj 1 mi
若自变量的取值组合使mi = 0 ( 其余2 n -1组)，
则：
mi mj 0 mi
所以，等式成立。
2020年6月19日星期五
一、化简的意义和最简的标准
1.化简的意义（目的） 2. 化简的目标 3.最简的标准
二、公式法
1.与或式的化简 2.或与式的化简
作业
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章目录
第二章 逻辑代数基础
2
2.5 逻辑函数的表达式
一、常见表达式
F = AB + AC
与或式
= AB + AC
= AB ·AC = ( A + B ) ·( A + C ) = AB + A C
A B C、A B C、A B C、A B C 结论：n变量函数，共有：2 n 个最小（大）项。
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(1) 最小项的主要性质 ① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组 合，使它的值为1。
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ABC
( 101 )2
( 5 )10
例2：已知四变量函数 F(A,B,C,D) ，则 BACD就 是一个最小项，其最小项编号为多少？
解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺
序排列 ，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。
所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。
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标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
13
②全部最小项之和恒等于1。
即：
2n 1
mi 1
i0
③任意两个最小项的乘积恒等于0 。
即： mi mj 0 (0 i( j) 2n 1,且i j)
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标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
14
④任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最
标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
6
(2)最小项表达式（标准与或式） 例：F ( A, B,C) ABC ABC ABC
m0 m2 m4
(m0, m2, m4 ) m(0,2,4)
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2.最大项、最大项表达式： (1)最大项的概念及其表示 例1：已知三变量函数 F(A,B,C) ，则 A + B + C 就是一个最大项，通常写成M5。 其中，M 表示最大项，5 表示最大项的编号
A+B+C
( 101 )2
( 5 )10
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8
例2：已知四变量函数 F(A,B,C,D) ，则 B + C + A + D 就是一个最大项，其最大项编号为多少？ 解：把最大项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺 序排列 ，得 A + B +C + D，从而得(0111)2，即 (7)10。
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10
3. 最小项和最大项的性质
一变量函数，如 F(A)，共有：2个最小项 即：A、A 二变量函数，如 F(A,B)，共有：4个最小项 即：A B、A B、A B、A B 三变量函数，如 F(A,B,C)，共有：8个最小项 即：A B C、A B C、A B C、A B C
12
ABC 000 001 010 0Biblioteka 1 100 101 110 111
ABC 0 0 0 0 0 1 0 0
能使最小项的值为1的取 值组合，称为与该最小 项对应的取值组合。
例：101
ABC 。
若把与最小项对应的取 值组合看成二进制数， 则对应的十进制数就是 该最小项的编号i。
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能使最大项的值为0的取 值组合，称为与该最大 项对应的取值组合。
例：101
A+B+C 。
若把与最大项对应的取 值组合看成二进制数， 则对应的十进制数就是 该最大项的编号i。
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标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
17
② 全部最大项之积恒等于0。
即：
2n 1
Mi 0
所以，此最大项的编号为7，通常写成M7。
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9
(2)最大项表达式（标准或与式） 例：F(A,B,C) = (A + B + C ) ·( A + B + C ) ·( A +
B+C) M0 M2 M4
(M0, M2, M4 ) M (0,2,4)
二、标准表达式
一个真值表可能对应多个一般与或式，但只对应 一个标准与或式。 1.最小项、最小项表达式 (1)最小项的概念及其表示
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5
例1：已知三变量函数 F(A,B,C) ，则 ABC就是 一个最小项，通常写成m5。 其中，m 表示最小项，5 表示最小项的编号
2.5 逻辑函数的表达式
一、常见表达式 二、标准表达式
1.最小项、最小项表达式 2.最大项、最大项表达式 3. 最小项和最大项的性质 4. 几个关系式 5. 由一般表达式写出最小(大)项表达式的方法
6. 由真值表写出最小（大）项表达式的方法
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章目录
第二章 逻辑代数基础
1
2.6 逻辑函数的化简
标题区 章目录 节目录 第二章 逻辑代数基础
15
(2) 最大项的主要性质 ： ①对任何一个最大项，只有一组变量的取值组 合，使它的值为0。
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16
A B C A+B+C 000 1 001 1 010 1 011 1 100 1 101 0 110 1 111 1