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1. 整数规划的基本概念1. 在某些线性规划问题中，变量只有取整数值才有意义，这时约束条件中还需要添加上变量取整数值的限制，这就是整数规划问题。
2. 在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为非负整数，则称之为混合整数规划问题。
在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1变量。
在纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变量，则称之为0-1规划。
3. 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要用整数规划的方法（分枝定界法与割平面法）加以解决。
2. 整数规划的应用1. 生产与销售计划问题例1. 某公司用两种原油（A 和B ）混合加工成两种汽油（甲和乙），甲、乙两种汽油含原油A 的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600，该公司现有原油A 和B 的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A ，不超过500吨时单价为10000元/吨；超过500吨时，超过的部分单价为8000元/吨；超过1000吨时超过的部分单价为6000元/吨。
该公司应如何安排原油的采购和加工。
分析：问题中需要决定如何安排采购：决定原油A 的采购数量 (可设为变量x)如何安排加工：决定原油A 分别用于生产甲、乙产品的数量(可设为变量x11、x12) 决定原油B 分别用于生产甲、乙产品的数量(可设为变量x21、x22)； 共有5个决策变量。
则：x11+x21为甲产品的产量， x12+x22为乙产品的产量。
约束条件资源限制：()()210001 50022211211≤++≤+x x x x x 比例要求：()()4 6.03 5.0221212211111≥+≥+x x x x x x变量非负：x ，x11，x12，x21，x22≥0 目标函数假设目标为利润最大利润=收入－成本，用Z 表示利润额：Z=4800 (x11+x21)+5600 (x12+x22) －C(x) 其中： C(x)为采购原油A 的支出 C(x)的具体形式？()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<-+≤=15001000 ,1000600090000001000500 ,50080005000000500,10000x x x x x x x C整理得：()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+≤=15001000 ,600030000001000500 ,80001000000500 ,10000x x x x x x x C建立模型：model :max =4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-c; x11+x12<x+500; x21+x22<1000; x<1500;0.5*x11-0.5*x21>0; 0.4*x12-0.6*x22>0;c=@if (x#le#500,10*x,@if (x#le#1000,1000+8*x,3000+6*x)); end运用lingo 求解得：Objective value: 5000.000Variable Value Reduced CostX11 0.000000 0.000000 X21 0.000000 1.600000 X12 1500.000 0.000000 X22 1000.000 0.000000 C 9000.000 0.000000 X 1000.000 0.000000第二种解法：模型中的问题约束(1)左端含变量，(3)、(4)不是线性函数，转化为：5001211≤-+x x x06.04.005.05.022122111≥-≥-x x x x目标函数为分段函数，如何处理？ 目标函数的转换将x 分解为三个量x1、x2、x3，分别表示以价格10000/吨、8000/吨、6000/吨购买的原油A 的数量，且 x=x1+x2+x3，则目标函数变为 Z=4800 (x11+x21)+5600 (x12+x22)－(10000x1+8000x2+6000x3) 此时约束条件应增加： (x1－500) ·x2=0，(x2－500) ·x3=0 0≤ x1，x2，x3 ≤500目标函数虽已化为线性函数，但约束条件含非线性等式，如何解决这一问题？ 引入0-1变量 y1、y2、y3⎩⎨⎧=>=0 ,00 ,11x x y ，⎩⎨⎧≤>=500 ,0500 ,12x x y ，⎩⎨⎧≤>=1000 ,01000 ,13x x y则：112500500y x y ≤≤，223500500y x y ≤≤，33500y x ≤综合可得问题的数学模型()()321221221116000800010000 56004800min x x x x x x x Z ---+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤≤≤≥-≥-≤+≤---+1,0,,0,,,,,,50050050050050006.04.005.05.0100050032132122211211332231122212211122213211211y y y x x x x x x x y x yx y y x y x x x x x x x x x x xmodel :max =4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3; x11+x12-x<500; x21+x22<1000; 0.5*x11-0.5*x21>0; 0.4*x12-0.6*x22>0; x-x1-x2-x3=0; x1-500*y1<0; x2-500*y2<0; x3-500*y3<0; x1-500*y2>0; x2-500*y3>0; @BIN (y1); @BIN (y2); @BIN (y3); endObjective value: 5000.000 Variable Value Reduced CostX11 0.000000 0.000000 X21 0.000000 1.400000 X12 1500.000 0.000000 X22 1000.000 0.000000 X1 500.0000 0.000000X3 0.000000 0.000000X 1000.000 0.000000Y1 1.000000 0.000000Y2 1.000000 2000.000Y3 1.000000 1000.000第三种解法：记x轴上的分点为b1=0, b2=500, b3=1000, b4=1500. 当x属于第1个小区间[b1,b2]时，记x=z1b1+z2b2, z1+z2=1, z1,z2≥0, 因为c(x)在[b1,b2]上是线性函数，所以c(x)= z1c(b1)+z2c(b2)。
-16- 第二章 整数规划§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.2 整数规划特点（i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为21min x x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为21min x x z += 0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。
（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：①过滤隐枚举法；②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。
通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。
在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，-17- 这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。
这就是分枝定界法的主要思路。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在本世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出的。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数*z 的上界，记作z ；而A 的任意可行解的目标函数值将是*z 的一个下界z 。
分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域的方法。
逐步减小z 和增大z ，最终求到*z 。
现用下例来说明：例3 求解下述整数规划219040Max x x z += ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+且为整数0,702075679212121x x x x x x 解 （i ）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最优解为：355.8779,8168.1,8092.421===z x x可见它不符合整数条件。
这时z 是问题A 的最优目标函数值*z 的上界，记作z 。
而0,021==x x 显然是问题A 的一个整数可行解，这时0=z ，是*z 的一个下界，记作z ，即3560*≤≤z 。
（ii ）因为21,x x 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。
设选1x 进行分枝，把可行集分成2个子集：44.8092][1=≤x ，514.8092][1=+≥x因为4与5之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。
这一步称为分枝。
这两个子集的规划及求解如下：问题1B ： 219040Max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤+0,40702075679212121x x x x x x最优解为：349,1.2,0.4121===z x x 。
问题2B ： 219040Max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,5702075679212121x x x x x x最优解为：4.341,57.1,0.5121===z x x 。
再定界：3490*≤≤z 。
（iii ）对问题1B 再进行分枝得问题11B 和12B ，它们的最优解为-18-340,2,4:112111===z x x B327.14,00.3x 1.43,:122112===z x B再定界：341340*≤≤z ，并将12B 剪枝。
（iv ）对问题2B 再进行分枝得问题21B 和22B ，它们的最优解为 083,00.1x 5.44,:222121===z x B22B 无可行解。
将2221,B B 剪枝。
于是可以断定原问题的最优解为：340,2,4*21===z x x从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为： 开始，将要求解的整数规划问题称为问题A ，将与它相应的线性规划问题称为问题B 。
（i ）解问题B 可能得到以下情况之一：（a ）B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停止．（b ）B 有最优解，并符合问题A 的整数条件，B 的最优解即为A 的最优解，则停止。
（c ）B 有最优解，但不符合问题A 的整数条件，记它的目标函数值为z 。
（ii ）用观察法找问题A 的一个整数可行解，一般可取n j x j ,,1,0L ==，试探，求得其目标函数值，并记作z 。
以*z 表示问题A 的最优目标函数值；这时有 z z z ≤≤*进行迭代。
第一步：分枝，在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x ，其值为j b ，以][j b 表示小于j b 的最大整数。
构造两个约束条件 ][j j b x ≤ 和 1][+≥j j b x将这两个约束条件，分别加入问题B ，求两个后继规划问题1B 和2B 。
不考虑整数条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界z 。
从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界z ，若无作用z 不变。
第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于z 者，则剪掉这枝，即以后不再考虑了。
若大于z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。
一直到最后得到z z =*为止。
得最优整数解n j x j ,,1,*L =。
§3 10−型整数规划10−型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为10−变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件： 10≤≤j x ，整数-19-所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入 10−变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
我们先介绍引入10−变量的实际问题，再研究解法。
3.1 引入10−变量的实际问题3.1.1 投资场所的选定——相互排斥的计划例 4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1(L =i A i 可供选择。
规定在东区。
由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区。
由54,A A 两个点中至少选一个；在南区，由76,A A 两个点中至少选一个。
如选用i A 点，设备投资估计为i b 元，每年可获利润估计为i c 元，但投资总额不能超过B 元。
问应选择哪几个点可使年利润为最大？解题时先引入10−变量)7,,2,1(L =i x i令⎩⎨⎧=.0,1点没被选中当点被选中当，，i A i A i x 7,,2,1L =i .于是问题可列写成：i i i x c z ∑==71Max⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥+≥+≤++≤∑=10,112765432171或i i i i x x x x x x x x Bx b3.1.2 相互排斥的约束条件有两个相互排斥的约束条件244521≤+x x 或 453721≤+x x 。
为了统一在一个问题中，引入10−变量y ，则上述约束条件可改写为：⎪⎩⎪⎨⎧=−+≤++≤+10)1(453724452121或y M y x x yM x x其中M 是充分大的数。
约束条件01=x 或 8005001≤≤x可改写为⎩⎨⎧=≤≤108005001或y y x y-20- 如果有m 个互相排斥的约束条件：m i b x a x a in in i ,,2,111L L =≤++为了保证这m 个约束条件只有一个起作用，我们引入m 个10−变量),,2,1(m i y i L =和一个充分大的常数M ，而下面这一组1+m 个约束条件m i M y b x a x a i i n in i ,,2,111L L =+≤++ （1）11−=++m y y m L （2） 就合于上述的要求。
这是因为，由于（2），m 个i y 中只有一个能取0值，设0*=i y ，代入（1），就只有*i i =的约束条件起作用，而别的式子都是多余的。
3.1.3 关于固定费用的问题（Fixed Cost Problem ）在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。
那时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必明显列出。
但有些固定费用（固定成本）的问题不能用一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决，见下例。
例5 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低；反之，如选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品的变动成本可能增加。
所以必须全面考虑。
今设有三种方式可供选择，令j x 表示采用第j 种方式时的产量； j c 表示采用第j 种方式时每件产品的变动成本；j k 表示采用第j 种方式时的固定成本。
为了说明成本的特点，暂不考虑其它约束条件。
采用各种生产方式的总成本分别为⎪⎩⎪⎨⎧=>+=0 ,00,j j j j j j x x x c k P 当当 3,2,1=j . 在构成目标函数时，为了统一在一个问题中讨论，现引入10−变量j y ，令⎪⎩⎪⎨⎧==>.00,0,1时种生产方式，即当不采用第时，种生产方式，即当采用第j x j j x j j y （3） 于是目标函数)()()(min 333322221111x c y k x c y k x c y k z +++++=（3）式这个规定可表为下述3个线性约束条件：3,2,1,=≤≤j M y x y j j j ε （4） 其中ε是一个充分小的正常数，M 是个充分大的正常数。
