运筹学基础-整数规划(2)

第五章整数规划、学习目的与要求1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;2、掌握求解0―― 1规划问题的隐枚举法；3、掌握求解指派问题的匈牙利法。

二、课时9学时第一节整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。

例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。

松弛问题(slack problem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。

一、整数线性规划数学模型的一般形式nmax(或min) z 八c j x jj a"nZ a ij X j <(或=,或X)b i (i =1,2,…,m)j =1s.t.」X j X0( j =1,2，…,n)X-X2,…,x n中部分或全部取整数I整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。

有时，也称为全整数规划。

2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。

二、整数规划的例子例1某服务部门各时段(每2h为一时段)需要服务员的人数见下表。

按规定，服务员连续工作8h (即四个时段为一班)。

现在求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少？解：设在第时段开始上班的服务员的人数为。

问题的数学模式略。

运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。

整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。

整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。

整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。

整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。

由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。

求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。

分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。

分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。

割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。

它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。

割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。

启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。

它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。

常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。

启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。

综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。

整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。

常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。

这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。

一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。

在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。

与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。

二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。

1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。

在整数规划中，决策变量通常表示为整数。

2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。

它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。

3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。

在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。

三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。

这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。

1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。

它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。

2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。

它通过不断分支和剪枝来找到最优解。

3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。

它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。

四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。

运筹学基础习题二答案运筹学基础习题二答案运筹学是一门研究如何做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学和计算机科学等领域的知识。

在运筹学的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高分析和解决问题的能力。

下面是一些运筹学基础习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 线性规划问题是一种常见的运筹学问题，它的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。

解决线性规划问题的方法有很多，其中最常用的是单纯形法。

单纯形法的基本思想是通过迭代计算，逐步接近最优解。

具体步骤如下：- 建立线性规划模型，并将其转化为标准形式。

- 初始化基变量和非基变量，并计算初始基可行解。

- 计算当前基可行解对应的目标函数值，并判断是否为最优解。

- 如果当前基可行解不是最优解，则选择一个非基变量作为入基变量，选择一个基变量作为出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。

2. 整数规划问题是线性规划问题的扩展，它的变量值必须为整数。

解决整数规划问题的方法有很多，其中最常用的是分支定界法。

分支定界法的基本思想是通过将整数规划问题划分为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。

具体步骤如下：- 建立整数规划模型，并将其转化为线性规划模型。

- 初始化问题的上界和下界。

- 选择一个变量进行分支，并根据其取值范围划分为两个子问题。

- 对每个子问题进行求解，更新上界和下界。

- 如果上界等于下界，则找到最优解；否则，选择一个子问题进行分支，继续迭代计算，直到找到最优解。

3. 排队论是运筹学的一个重要分支，它研究的是排队系统中的客户到达、等待和服务的过程。

解决排队论问题的方法有很多，其中最常用的是马尔可夫链方法。

马尔可夫链方法的基本思想是通过构建状态转移矩阵，计算系统的稳态分布，从而得到系统的性能指标。

具体步骤如下：- 确定排队系统的基本参数，包括到达率、服务率和系统容量等。

- 根据排队系统的特点，建立马尔可夫链模型。

运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。

它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。

本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。

一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。

它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。

线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。

线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。

图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。

而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。

整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。

运筹学的基础一、概述运筹学是一门应用数学学科，旨在解决实际问题中的优化、决策和规划等问题。

它涉及多个学科领域，如数学、统计学、计算机科学和工程等。

本文将从以下几个方面介绍运筹学的基础知识。

二、线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的方法之一。

它的主要思想是在给定约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量值。

线性规划问题可以用下列标准形式表示：max c^Txs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c和x分别表示目标函数系数和变量向量，A和b分别表示约束条件系数矩阵和常向量。

三、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求变量取整数值。

这种限制使得整数规划问题更难求解。

通常采用分支定界法或割平面法等算法来求解整数规划问题。

四、网络流问题网络流问题也是运筹学中重要的问题之一。

它涉及到图论中的最大流和最小割等概念，在实际应用中有着广泛的应用。

网络流问题可以用下列标准形式表示：max fs.t. 0 ≤ f ≤ c∑f(i,j) - ∑f(j,i) = 0 (i ≠ s,t)其中，f表示流量，c表示容量，s和t分别表示源点和汇点。

五、排队论排队论是运筹学中另一个重要的问题。

它研究的是在一定条件下，如何通过优化系统结构、调整服务策略等方式来提高服务效率和降低成本。

排队论采用概率模型来描述系统行为，并通过数学方法来优化系统性能。

六、决策分析决策分析是运筹学中最终的目标之一。

它涉及到多种方法和工具，如决策树、贝叶斯网络、模拟等。

决策分析旨在帮助决策者做出最优决策，并同时考虑风险和不确定性因素。

七、结语运筹学的基础知识包括线性规划、整数规划、网络流问题、排队论和决策分析等内容。

这些方法和工具在实际应用中有着广泛的应用，并且不断发展和完善。

掌握这些基础知识对于从事运筹学研究和应用的人员来说是非常重要的。

运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。

其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。

一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。

在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。

其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。

如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。

线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。

单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。

内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。

这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。

二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。

整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。

与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。

因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。

分支定界是一种常用的整数规划求解方法。

它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。

割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。

总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。