第3讲 整式的乘法

第3讲 整式的乘法
一、 单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

如：
()=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-xy z xy 3
122。

二、 单项式乘以多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如：()b a ab ab 22324+＝ 1、()3452a b c a -+- 2、()3432236436x x x x x +-+--
3、()234334324a b a b a b --
4、－()432234324322b c a b c a b c a -+
三、 多项式乘以多项式的法则用一个用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得到的积相加，如：
()()=
-+y x y x 22
1、()()m n a b c +++
2、()()234m n a b c ---
3、 ()2
a b + 4、()2
a b -
5、()()a b a b -+
6、()()22a b a ab b +-+
练习： （1）、(3xy 2)·(－2xy) （2）、(2a 6x 3－9ax 5)·(3ax 3)
（3）()()3
22
3332a a a a -+-+⋅ （4）()()223423
2-+--x x x x
（5） ()()()1122+--+x x x （6）()()()212113+---+-a a a
（7） （2a ＋1)2－(2a ＋1)(－1＋2a) （8）、 ()()z y x z y x -+++
专题二 整体代换
例1、 已知5,3x y xy +==，求（1）22x y +；（2）()2
x y -；（3）44
11
x y +。

例2、 已知7x y -=，12xy =-，求()2
x y +的值。

例3、 已知()()200920062a a --=，求()()2220092006a a -+-的值。

练习：已知()()200019981999,a a --=，求()()22
20001998a a -+-的值。

作业 第一部分：
1、化简：（1）()()()1122+-+-x x x （2）()()223423
2-++-x x x x
（3）()()z y x z y x 3232--++ （4）、 ()()()212112++-+-a a a
第二部分： 2、化简：
（1）、()()22
22a b c a b c ++-+- （2）、()()2
2
a b c d a b c d +++-+--
第4讲 乘法公式及其应用
一、知识梳理
1.平方差公式：
公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

即：22()()a b a b a b +-=-
特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数
右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。

注意：A ．找符合公式特征的才能运用公式 B ．公式中a 、b 具有广泛性
C ．公式的逆用：22()()a b a b a b -=+-
D ．注意公式的变形 。

添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，
括号前面是“-”，括到括号内的各项全部变号。

即：()a b c a b c -+=+-+；()a b c a b c -+=-- 2.完全平方公式：
公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的二倍。

即：222()2()a b a ab b +=++完全平方和公式 222()2()a b a ab b -=-+完全平方差公式 特征：左边：两个数和（或差）的平方
右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符
号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。

完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。

3.乘法公式的运用：
（1）正向运用：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a ab b ±=±+ （2）逆向运用：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=± （3）乘法公式的变式应用：
①2222()244()4a b a ab b ab ab a b ab +=++-+=-+
②22()()4a b a b ab -=+-
③2222()()2()a b a b a b ++-=+；④22()()4a b a b ab +--= ⑤2222()()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+ （3）完全平方公式的非负性： ①非负性:2222()0a ab b a b ±+=±≥
②最值定理:a 、b 同号，则：222()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。

（4）乘法公式的变式应用（拓展）： ①33223()33a b a a b ab b +=+++； ②33223()33a b a a b ab b -=-+-
③3322()()a b a b a ab b +=+-+； ④3322()()a b a b a ab b -=-++ 二、典例剖析
专题一：平方差公式
例1：计算下列各整式乘法。

①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n ---
③数字变化98102⨯ ④系数变化(4)(2)24
n n m m +-
⑤项数变化(32)(x y z x y z ++-+⑥公式变化
2(2)(2)(4)m m m +-+
◆变式拓展训练◆
【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++
【变式2】22
(2)(4)33
b
b a a ---
【变式3】222222
10099989721-+-++-…
专题二：平方差公式的应用 例2：计算22004
200420052003
-⨯的值为多少？
【变式1】22()()x y z x y z -+-+-
【变式2】2301(3021)(3021)⨯+⨯+
【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++ 【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=，
（1）求22a b +的最大值；（2）求ab 的最大值。

专题三：完全平方公式
例3：计算下列各整式乘法。

①位置变化：22()()x y y x --+ ②符号变化：2(32)a b --
③数字变化：2197 ④方向变化：2(32)a -+
⑤：项数变化：2(1)x y +- ⑥：公式变化22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++
【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（ ）
A.8
B.16
C.2
D.4
【变式2】（江苏中考）已知221() 4.,()_____2
a b ab a b -==+=则
【变式3】（云南中考）已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（ ）
A.1
B.13
C.17
D.25 【变式4】（烟台中考）已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值
专题四：完全平方公式的运用
例4：已知：4,2x y xy +==，求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -
◆变式拓展训练◆ 【变式1】224
24
11310,;x x x x x x -+=+
+已知求①②
【变式2】225,2,4xy
x y x y x y x y
++=++已知满足求
的值。

三、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
1．（杭州市中考题）
2.（“祖冲之杯”邀请赛试题）26(1)x x -+展开后得
1211121110a x a x a x a ++++，则121086420_____a a a a a a a ++++++=
3.（江苏省竞赛题）(1)(2)(3)(4)P x x x x =++++，
(1)(2)(3)(4)Q x x x x =----，则P Q -的结果为_______
4．（北京市竞赛题） 第一部分：
1.（2014广东培优）下列式子中是完全平方式的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第二部分：
2. (2014七中)如果
，则
；
．
3.（2013实外模拟）计算： .
第三部分：
4.（2014中考模拟）先化简，再求值：，其
中，．
5.（2013中考真题）， 其中．
6.（2014培优）若a=19952+19952·19962+19962
7. （安徽竞赛精选）已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，求a2+b2+c2-ab-b c-c a的值．。