初中数学中比较无理数大小的方法

最新初中数学实数单元汇编及答案解析(3)一、选择题1．在实数范围内，下列判断正确的是（ ）A ．若2t ，则m=nB ．若22a b >，则a ＞bC 2=，则a=bD =a=b 【答案】D【解析】【分析】根据实数的基本性质，逐个分析即可.【详解】A 、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；B 、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；C 、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；D 、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．故选:D ．【点睛】考核知识点：实数的性质.理解算术平方根和立方根性质是关键.2的平方根是( )A ．2B C ．±2 D ．【答案】D【解析】【分析】，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】，2的平方根是，．故选D ．【点睛】正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．3．规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3.按此规定＋1]的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】【详解】解：根据91016<<，则34<<，即415<<，根据题意可得：14⎤=⎦. 考点：无理数的估算4．在3.14，237，π这几个数中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】3.14，237，π中无理数有:, π,共计2个. 故选：B.【点睛】 考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．5．下列实数中的无理数是（ ）AB C D ．227【答案】C【解析】【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答.【详解】=1.1是有理数；，是有理数；是无理数；D. 227是分数，属于有理数， 故选：C.【点睛】 此题考查无理数的定义，熟记定义是 解题的关键.6．估计的值在（ ） A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间【答案】B【解析】【分析】利用“夹逼法”估算无理数的大小．【详解】＝﹣2． 因为9＜11＜16， 所以3＜＜4． 所以1＜﹣2＜2． 所以估计的值在1到2之间． 故选：B ． 【点睛】本题考查估算无理数的大小．估算无理数大小要用逼近法．7．下列六个数：0315,9,,,0.13π•-中，无理数出现的频数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】 【分析】根据无理数的定义找出无理数，根据频数的定义可得频数．【详解】 因为六个数：0315,9,,,0.13π•-35,9,π 即：无理数出现的频数是3故选：A【点睛】考核知识点：无理数,频数．理解无理数,频数的定义是关键．8．如图，长方形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是1-，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是（ ）A ．45B 52C 51D ．35【答案】C【解析】【分析】 首先根据勾股定理算出AC 的长度，进而得到AE 的长度，再根据A 点表示的数是-1，可得E 点表示的数．【详解】∵2,1AD BC AB === ∴22521AC =+=∴AE 5∵A 点表示的数是1-∴E 51【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性．9．2246-的值应在（ ） A ．2.5和3之间B ．3和3.5之间C ．3.5和4之间D ．4和4.5之间 【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可.【详解】224646636--==13.5 ∵3.52=12.25，42=16，12.25＜13.5＜16，∴3.513.5 4.故选：C.【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题的关键.10．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；3a -＝﹣；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】利用平方根和立方根的定义解答即可．【详解】①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；②﹣9没有平方根，故原说法错误；④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，其中正确的个数是1个，故选：A．【点睛】此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.11．估计值应在（）2A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】=解：2<<∵91216<<∴34<<∴估计值应在3到4之间．2故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．12．下列各组数中互为相反数的是（）A ．5和2(5)-B ．2--和(2)--C ．38-和38-D ．﹣5和15【答案】B【解析】 【分析】 直接利用相反数以及绝对值、立方根的定义分别分析得出答案．【详解】解：A 、5和()25-=5，两数相等，故此选项错误； B 、-|-2|=-2和-（-2）=2互为相反数，故此选项正确；C 、-38=-2和38-=-2，两数相等，故此选项错误；D 、-5和15，不互为相反数，故此选项错误． 故选B ．【点睛】 本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．13．如图，已知x 2＝3，那么在数轴上与实数x 对应的点可能是（ ）A ．P 1B ．P 4C ．P 2或P 3D ．P 1或P 4【答案】D【解析】试题解析：∵x 2=3，∴3根据实数在数轴上表示的方法可得对应的点为P 1或P 4．故选D ．14．若x 2=16，则5-x 的算术平方根是( )A ．±1B ．±3C ．1或9D ．1或3【答案】D【解析】【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解即可.【详解】∵x2=16，∴x=±4，∴5-x=1或5-x=9，∴5-x的算术平方根是1或3，故答案为：D.【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，解题的关键是要弄清楚算术平方根的概念与平方根的概念的区别．15．在-1.414，0，π，227，3.14，2+3，3.212212221…，这些数中，无理数的个数为()A．5 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据无理数的概念解答即可．【详解】-1．414，0，π，227，3．14，2+3，3．212212221…，这些数中，无理数有：π，2+3，3．212212221…，无理数的个数为：3个故选：C【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0．1010010001…，等有这样规律的数．16．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是()A．|a|＞|b| B．a＞﹣3 C．a＞﹣d D．11 c<【答案】A【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．【详解】由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，b＝﹣1，0＜c＜1，d＝3，∴|a|＞|b|，A正确；a ＜﹣3，B 错误；a ＜﹣d ，C 错误；11c>，D 错误， 故选A ．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义等，熟练掌握是解题的关键．17．已知甲、乙、丙三个数，甲2=，乙3=，丙2=-，则甲、乙、丙之间的大小关系，下列表示正确的是（ ）． A ．甲<乙<丙B ．丙<甲<乙C ．乙<甲<丙D ．甲<丙<乙 【答案】C【解析】【分析】由无理数的估算，得到324<<，132<<，425<<，然后进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵12<，∴324<<，即3<甲<4，∵45<<，∴132<<，即1<乙<2，∵67<<，∴425<<，即4<丙<5，∴乙<甲<丙；故选：C.【点睛】本题考查了实数比较大小，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算，以及比较大小的法则.18．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．19．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中的较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为（ ）A ．1+2或1﹣2B ．1或﹣1C ．1﹣2或1D ．1+2或﹣1【答案】D【解析】【分析】根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x 的分式方程求解，结合x 的取值范围确定方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解即可．【详解】解：①当x ≥﹣x ，即x ≥0时，∵max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1，∴x ＝x 2﹣x ﹣1，解得：x ＝1+2（1﹣2<0，不符合舍去）；②当﹣x ＞x ，即x ＜0时，﹣x ＝x 2﹣x ﹣1，解得：x ＝﹣1（1>0，不符合舍去），即方程max {x ，﹣x }＝x 2﹣x ﹣1的解为1+2或﹣1，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．20．如图，数轴上的点P 表示的数可能是( )A 5B ．5C ．－3.8D ．10-【答案】B【分析】【详解】≈，所以P点表示的数是2.2。

初二数学无理数知识点总结初二数学无理数知识点总结知识要领：无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

无理数概念无理数是无限不循环小数。

如圆周率、√2(根号2)等。

有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。

如22/7等。

实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。

有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数); 也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)。

除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。

无理数与有理数的区别区别1把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8，1/3=0.33333……。

而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。

根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

区别2无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

证明：假设√2。

”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。

毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。

其中，他证明了三角形的内角和等于180度;能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满;还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。

他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。

然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理)，即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。

毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

6.1平方根教学设计（第二课时）【教学目标】知识与能力：1.会用平方法比较两个数的大小。

2.了解用夹逼法估无理数的值。

3.会用估值法比较两个数的大小。

过程与方法：1.通过拼图活动发展学生的形象思维。

2.在探究活动中，让学生经历发现无理数的过程，认识到无理数的存在。

情感、态度与价值观：通过教学激发学生的参与性和求知欲，使学生体验小组合作学习的快乐，充分认识到社会生活与数学的密切联系，感受生活处处皆数学。

【教学重点】利用平方法和估值法比较数的大小。

【教学难点】 探究的大小【教学过程】课前交流：模拟购物街：一台笔记本价值在4000~5000元之间，给你三次机会你来估一下它的实际售价。

如果你猜中的价格与实际价格差距在50元范围内，这台电脑就送给你。

学生活动设计：学生估价，一名学生负责提示估价是高了还是低了。

教师活动设计：引导学生分析估价的方法，关注学生不要只顾活动，而忽略了情境里面蕴含的数学问题。

设计意图：从现实生活中提出估值的技巧，让学生在活动中体会夹逼法（二分法）在生活中的应用，同时唤起学生的生活经验，为后面利用夹逼法估的值作迁移准备。

本着从学生的生活经验出发，在做中学的理念，让学生在轻松的氛围中积极参与对数学问题的讨论，使学生感受到生活处处皆数学。

一、复习导入1、 什么叫算术平方根？2、 算术平方根的大小与被开方数的关系3、 判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们。

100,1， ，0，—0.0025,4， 师： 的算术平方根是多少？生：。

师：你是怎么想的。

师：你发现与我们前面求出的平方根有什么不一样的地方？ 师：那么对于这样的数你有什么疑问吗？1211644二、 新课师：是呀，这样的数到底存不存在呢？如果存在到底有多大呢？今天我们就来研究这样的数。

板书：《平方根》1、拼一拼：首先我们来研究一下能否用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 师：直接拼行不行？为什么？那面积符合吗？那看来要通过拼剪的方法。

一、选择题1．在实数3π，227，0.2112111211112……（每两个2之多一个1），3，38中，无理数的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，则∠AOM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD 的周长为（）A．20cm B．22cmC．24cm D．26cm4．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，买鸡的钱数为y，依题意可列方程组为（）A．8374x yx y+=⎧⎨+=⎩B．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩C．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩D．8374x yx y-=⎧⎨+=⎩5．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是（）A．783230x yx y+=⎧⎨+=⎩B．782330x yx y+=⎧⎨+=⎩C．302378x yx y+=⎧⎨+=⎩D．303278x yx y+=⎧⎨+=⎩6．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为A ．2B ．3C ．4D ．57．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（ ） A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．2x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩8．在实数0，－π，3，－4中，最小的数是（ ） A ．0B ．－πC ．3D ．－49．已知32x y =-⎧⎨=-⎩是方程组12ax cy cx by +=⎧⎨-=⎩的解，则a 、b 间的关系是( )A ．491b a -=B ．321a b +=C ．491b a -=-D ．941a b +=10．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800D ．90x +210（15﹣x ）≤1.811．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝55°，那么∠4的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．125° 12．关于x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是 A ．32b -≤<-B ．32b -<≤-C ．32b -≤≤-D ．-3<b<-2 13．已知4+3，则以下对m 的估算正确的（ ） A ．2＜m ＜3B ．3＜m ＜4C ．4＜m ＜5D ．5＜m ＜614．若0a <，则下列不等式不成立的是（ ） A ．56a a +<+B ．56a a -<-C ．56a a <D ．65a a< 15．过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．无数二、填空题169________． 17．已21x y =⎧⎨=-⎩是关于x 、y 的二次元方程39ax y +=的解，则a 的值为___________18．若关于x ，y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＋y ＜2，则a 的取值范围为_____．19．不等式71x ->的正整数解为：______________．20．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2=______°21．一个三角形的三边长分别为15cm 、20cm 、25cm ，则这个三角形最长边上的高是_____ cm ．22．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法，其中记载：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文:“用一根绳子量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还到余1尺，问木长多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺.可列方程组为__________．23．已知(m-2)x |m-1|+y=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=______．24．如图，直线//a b ，点B 在直线上b 上，且AB ⊥BC ，∠1=55°，则∠2的度数为______．25．已知在一个样本中，50个数据分别在5个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为2,8,15,5，则第四组的频数为__________.三、解答题26．诗词是我国古代文化中的瑰宝，某市教育主管部门为了解本市初中生对诗词的学习情况，举办了一次“中华诗词”背诵大赛，随机抽取了部分同学的成绩(x 为整数，总分100分)，绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩分组(单位：分) 频数 A 50≤x ＜60 40 B 60≤x ＜70 a C 70≤x ＜80 90 D 80≤x ＜90 b E90≤x ＜100100合计 c根据以上信息解答下列问题：(1)统计表中a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；(2)扇形统计图中，m 的值为 ，“E ”所对应的圆心角的度数是 (度)； (3)若参加本次大赛的同学共有4000人，请你估计成绩在80分及以上的学生大约有多少人？27．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB ，CD 和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG ＝90°，∠EGF ＝60°)”为主题开展数学活动． 操作发现(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G 放在CD 上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数； (2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E 、G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明∠AEF 与∠FGC 之间的数量关系； 结论应用(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30°角的顶点E 落在AB 上．若∠AEG ＝α，则∠CFG 等于______(用含α的式子表示)．28．已知，点、、A B C 不在同一条直线上，//AD BE（1）如图①，当,58118A B ︒︒∠=∠=时，求C ∠的度数；（2）如图②，,AQ BQ 分别为,DAC EBC ∠∠的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下且//AC QB ，QP PB ⊥，直接写11,,DAC ACB CBE ∠∠∠的值29．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（﹣8，4）、（2，﹣8），且AD ∥x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N ． （1）求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积； （2）一动点P 从A 出发（不与A 点重合），以12个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程中，连接MP 、OP ，请直接写出∠AMP 、∠MPO 、∠PON 之间的数量关系； （3）是否存在某一时刻t ，使三角形AMP 的面积等于长方形面积的13？若存在，求t 的值并求此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．30．已知关于,x y 的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和2348x y ax by +=-⎧⎨-=⎩有相同解，求(a)b -值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．D4．D5．A6．D7．D8．D9．D10．C11．C12．A13．B14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】根据算术平方根的性质求出=3再求出3的算术平方根即可【详解】解：∵=33的算术平方根是∴的算术平方根是故答案为：【点睛】本题考查算术平方根的概念和求法正数的算术平方根是正数0的算术平17．6【解析】【分析】把x与y的值代入方程组求出a的值代入原式计算即可求出值【详解】解：把代入得解得：故答案为：6【点睛】此题考查了解二元一次方程掌握方程的解是解答本题的关键18．【解析】由①+②得4x+4y=4+ax+y=1+∴由x+y<2得1+<2即<1解得a<4故答案是：a<419．12345【解析】【分析】【详解】解：由7-x>1-x>-6x<6∴x的正整数解为123456故答案为1234520．57°【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解【详解】由平行线性质及外角定理可得∠2＝∠1+30°=27°+30°=57°【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质21．【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形然后再利用三角形的面积公式即可求解【详解】如图设AB=25是最长边AC=15BC=20过C 作CD⊥AB于D∵AC2+B22．【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=45；木长-绳长=1据此可列方程组求解【详解】设绳长x尺长木为y尺依题意得故答案为：【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组解题关键在于列出方程23．0【解析】【分析】根据二元一次方程的定义可以得到x的次数等于1且系数不等于0由此可以得到m的值【详解】根据二元一次方程的定义得|m-1|=1且m-2≠0解得m=0故答案为0【点睛】考查了二元一次方程24．【解析】【分析】先根据∠1=55°AB⊥BC求出∠3的度数再由平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB⊥BC∠1=55°∴∠3=90°-55°=35°∵a∥b∴∠2=∠3=35°故答案为：35°【25．【解析】【分析】每组的数据个数就是每组的频数50减去第1235小组数据的个数就是第4组的频数【详解】50−(2+8+15+5)=20则第4小组的频数是20【点睛】本题考查频数与频率解题的关键是掌握频三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．【详解】无理数有3π，0.2112111211112……（每两个2之多一个1，共三个，故选C．【点睛】本题考查了无理数的知识，解题的关键是熟练掌握无理数的三种形式．2．B解析：B【解析】【分析】首先根据角的平分线的定义求得∠BON，然后根据对顶角相等求得∠MOC，然后根据∠AOM＝90°﹣∠COM即可求解．【详解】∵OE平分∠BON，∴∠BON＝2∠EON＝40°，∴∠COM＝∠BON＝40°，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°．故选B．【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义以及对顶角的性质，正确求得∠MOC的度数是关键．3．D解析：D【解析】平移不改变图形的形状和大小，对应线段平行且相等，平移的距离等于对应点的连线段的长，则有AD=BE=3，DF=AC，DE=AB，EF=BC，所以：四边形ABFD的周长为：AB+BF+FD+DA=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BC+CA+2AD=20+2×3=26.故选D.点睛：本题考查了平移的性质，理解平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，平移的距离即是对应点的连线段的长度是解题的关键，将四边形的周长作相应的转化即可求解．4．D解析：D【解析】【分析】一方面买鸡的钱数=8人出的总钱数－3钱，另一方面买鸡的钱数=7人出的总钱数+4钱，据此即可列出方程组.【详解】解：设有x人，买鸡的钱数为y，根据题意，得：8374x y x y-=⎧⎨+=⎩.【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确理解题意、根据买鸡的总钱数不变列出方程组是解题关键.5．A解析：A【解析】【分析】【详解】该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：30 3278 x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．6．D解析：D【解析】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=5．故选D．7．D解析：D 【解析】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵3210x y --=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1， 把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选：D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解． 【详解】∵正数大于0和一切负数， ∴只需比较-π和-4的大小， ∵|-π|＜|-4|， ∴最小的数是-4． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．9．D解析：D 【解析】 【分析】 把3{2x y =-=-，代入1{2ax cy cx by +=-=，即可得到关于,,a b c 的方程组，从而得到结果．【详解】由题意得，321322a cc b--=⎧⎨-+=⎩①②，3,2⨯⨯①②得，963 644a cc b--=⎧⎨-+=⎩③④-④③得941a b+=，故选：D．10．C解析：C【解析】【分析】根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题.【详解】解：由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可,即210x+90（15﹣x）≥1800故选C.【点睛】本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键. 11．C解析：C【解析】【分析】利用平行线的判定和性质即可解决问题．【详解】如图，∵∠1+∠2＝180°，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠3＝∠5，∠3＝55°，∴∠4＝∠3＝55°，故选C．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．12．A【解析】【分析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可.【详解】根据x 的不等式x -b >0恰有两个负整数解，可得x 的负整数解为-1和-20x b ->x b ∴>综合上述可得32b -≤<-故选A.【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.13．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵12，∴3＜m ＜4，故选B ．【点睛】的取值范围是解题关键．14．C解析：C【解析】【分析】直接根据不等式的性质进行分析判断即可得到答案．【详解】A ．0a <，则a 是负数，56a a +<+可以看成是5＜6两边同时加上a ，故A 选项成立，不符合题意；B ．56a a -<-是不等式5＜6两边同时减去a ，不等号不变，故B 选项成立，不符合题意；C ．5＜6两边同时乘以负数a ，不等号的方向应改变，应为：56a a ＞，故选项C 不成立，符合题意；D ．65a a<是不等式5＜6两边同时除以a ，不等号改变，故D 选项成立，不符合题意．【点睛】本题考查的实际上就是不等式的基本性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子）不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．15．B解析：B【解析】【分析】根据垂直的性质：过直线外或直线上一点画已知直线的垂线，可以画一条，据此解答．【详解】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：B【点睛】此题考查了直线的垂直的性质，注意基础知识的识记和理解．二、填空题16．【解析】【分析】根据算术平方根的性质求出=3再求出3的算术平方根即可【详解】解：∵=33的算术平方根是∴的算术平方根是故答案为：【点睛】本题考查算术平方根的概念和求法正数的算术平方根是正数0的算术平【解析】【分析】，再求出3的算术平方根即可．【详解】，3，．【点睛】本题考查算术平方根的概念和求法，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．17．6【解析】【分析】把x与y的值代入方程组求出a的值代入原式计算即可求出值【详解】解：把代入得解得：故答案为：6【点睛】此题考查了解二元一次方程掌握方程的解是解答本题的关键解析：6【解析】把x 与y 的值代入方程组求出a 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：把21x y =⎧⎨=-⎩，代入得239a -=， 解得：6a =故答案为：6【点睛】此题考查了解二元一次方程，掌握方程的解是解答本题的关键．18．【解析】由①+②得4x+4y=4+ax+y=1+∴由x+y<2得1+<2即<1解得a<4故答案是：a<4解析：4a <【解析】3+=1,33x y a x y +⎧⎨+=⎩①②由①+②得4x+4y=4+a ， x+y=1+4a ， ∴由x+y<2，得 1+4a <2， 即4a <1， 解得，a<4.故答案是：a<4.19．12345【解析】【分析】【详解】解：由7-x>1-x>-6x<6∴x 的正整数解为123456故答案为12345解析：1，2，3，4，5．【解析】【分析】【详解】解：由7-x>1-x>-6,x<6，∴x 的正整数解为1，2，3，4，5，6故答案为1，2，3，4，5．20．57°【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解【详解】由平行线性质及外角定理可得∠2＝∠1+30°=27°+30°=57°【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.【详解】由平行线性质及外角定理，可得∠2＝∠1+30°=27°+30°=57°.【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质.21．【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形然后再利用三角形的面积公式即可求解【详解】如图设AB=25是最长边AC=15BC=20过C作CD⊥AB于D∵AC2+B解析：【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．【详解】如图，设AB=25是最长边，AC=15，BC=20，过C作CD⊥AB于D．∵AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°．∵S△ACB=12AC×BC=12AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，∴15×20=25CD，∴CD=12（cm）．故答案为12．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用．根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形是解答此题的突破点．22．【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=45；木长-绳长=1据此可列方程组求解【详解】设绳长x尺长木为y尺依题意得故答案为：【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组解题关键在于列出方程解析：4.5 11 2x yx y-=⎧⎪⎨=-⎪⎩【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-12绳长=1，据此可列方程组求解．设绳长x尺，长木为y尺，依题意得4.5 11 2x yx y-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，故答案为：4.5 11 2x yx y-=⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键在于列出方程.23．0【解析】【分析】根据二元一次方程的定义可以得到x的次数等于1且系数不等于0由此可以得到m的值【详解】根据二元一次方程的定义得|m-1|=1且m-2≠0解得m=0故答案为0【点睛】考查了二元一次方程解析：0【解析】【分析】根据二元一次方程的定义，可以得到x的次数等于1，且系数不等于0，由此可以得到m 的值．【详解】根据二元一次方程的定义，得|m-1|=1且m-2≠0，解得m=0，故答案为0．【点睛】考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件： (1)方程中只含有2个未知数； (2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．24．【解析】【分析】先根据∠1=55°AB⊥BC求出∠3的度数再由平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB⊥BC∠1=55°∴∠3=90°-55°=35°∵a∥b∴∠2=∠3=35°故答案为：35°【解析：【解析】【分析】先根据∠1=55°，AB⊥BC求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB⊥BC，∠1=55°，∴∠3=90°-55°=35°.∵a ∥b ，∴∠2=∠3=35°.故答案为：35°.【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等。

人教部编版初中数学七年级上册考试必考的高频考点总结1.数轴数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向。

数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。

2.相反数相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等。

多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。

规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣(m+n)，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。

3.绝对值概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值。

①互为相反数的两个数绝对值相等;②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负数.如果用字母a表示有理数，则数 a 绝对值要由字母a 本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a;②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a;③当a是零时，a的绝对值是零.即|a|={a(a>0),0(a=0),﹣a(a<0)4.有理数大小比较有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。

有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数，绝对值大的其值反而小。

规律方法·有理数大小比较的三种方法：(1)法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.(2)数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.(3)作差比较：若a﹣b>0，则a>b;若a﹣b<0，则a若a﹣b=0，则a=b.5.有理数的减法有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

知识点1：实数比较大小正数＞0＞负数；比较两数大小是中学数学中的基本类型．基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2．平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．即a b-大于、等于、小于0可判定a大于、等于、小于b；4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．即ab大于、等于、小于1，可判定正数a大于、等于、小于正数b；5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a，b两数，若11a b<，则a b>；若11a b>，则a b<．实数的运算知识结构模块一实数的运算知识精讲知识点2：数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A ．点B 所对应的数分别为a ．b ，那么A ．B 两点的距离AB a b =-． 知识点3：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2()(0)a a a =≥；2a a =； 第二组：(00)ab a b a b =≥≥g ，；(00)a aa b b b=≥>，．【例1】 填空：1．在数轴上，原点左边是实数，原点右边是实数，原点为0；2．数轴上右边的点所表示的数 左边的点所表示的数．【难度】★【答案】1．负，正；2．大于． 【解析】考查实数的大小比较的最基本方法．【例2】 化简：（1）6242-+； （2）33-；（3）3242g ； （4）22⎛÷- ⎪⎝⎭；（5）()332-；（6）()232-．【难度】★【答案】（1）22-； （2）3-；（3）24；（4）2-；（5）2-；（6）18． 【解析】（2）原式=333233-=-=-； （4）原式=()222⨯-=-； （6）原式=()()323218-⨯-=．【例3】 下列各式计算正确的是（ ）A ．382=±B ．()()6363222-=-=-例题解析C 12D ．(2【难度】★【答案】C【解析】A 、原式=2；B 、原式2==；D 、左边=2-，右边=2，所以不相等．【总结】考查实数的基本运算，注意法则的准确运用．【例4】 比较下列各数的大小（填“＞”．“＝”或“＜”）（1）；（2）(2)-； （3（4； （5） （6）．【难度】★★【答案】（1）<； （2）>； （3）< ； （4）< ； （5）> ； （6）<．【解析】（1）(212=<(218= ； （2）()224-=>2-=（3）625=<627=； （44=；（5）(220=>(218=； （6） 3.1415π≈< 3.1622≈．【总结】考查实数的比较大小，注意平方法是最常用的方法，一些常用的近似数要熟记．【例5】 比较大小：（1）2；（2（取倒法）．【难度】★★【答案】（1）< ； （2）<．【解析】（1）∵(224610+=++=+211=+∴2<+（；（2=> =， ∴<． 【总结】考查利用平方法比较实数的大小．【例6】 下列说法正确的是（） A ．若a b =，则1122a b = B ．若22a b >，则a b >C ．若2a =，则a b =D 15b =，则a b =【难度】★★【答案】D【解析】A 、a 、b 可能一个为正一个位负，错；B 、错；C 、a 可能是负数，错；D 、正确． 【总结】考查实数的相关概念及运算，注意从多个角度去分析．【例7】 如果4a =，2b =，且0ab <，则a b +=________． 【难度】★★【答案】0．【解析】∵2b =，∴b =4，又∵ab <0，∴a =-4，∴0a b +=． 【总结】考查实数的基本运算，注意判定a 、b 的符号．【例8】 化简：（1）如果在数轴上表示,a b 两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b -++（2）如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++． 【难度】★★【答案】（1）2a -； （2）1．【解析】（1）由图易知00a b a b <>>，且， ∴a b a b -++=2b a a b a ---=-； （2）由图易知21a -<<-，∴原式12121a a a a +++=--++=．【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简，注意判定绝对值里的数的正负．【例9】 计算：（1）31627--；（2）31148-+． 【难度】★★【答案】（1）7； （2）0．【解析】（1）原式=4(3)7--=； （2）原式=11022-+=．【总结】考查实数的基本运算，注意符号的变化． 【例10】 计算：（1）()()5353-+；（2）()253-；（3）16666⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（4）()331651254⨯-⨯．【难度】★★a b0 -2 P -1 0 1【答案】（1）4-； （2）14-； （37； （4）40．【解析】（1）原式=2234-=-； （2）原式=5914+-=-（3）原式617-=； （4）原式=5840-⨯=． 【总结】考查实数的基本运算，能简便运算时要简便运算．【例11】 计算：（1）⎛- ⎝；（2）37；（3 （42【难度】★★【答案】（1）（2）； （3） （4）．【解析】（1）原式=1533⎛=-+ ⎝（2）原式=()4278⨯--⨯--（3）原式==；（4）原式11--- 【总结】考查实数的基本运算，注意公式及法则的准确运用．【例12】 设5的小数部分为a ，5b ，求5ab b +的值． 【难度】★★【答案】2．【解析】∵23<<， ∴758<， 253<<，∴57+，52，∴572a =+=，523b ==-∴)((52537615ab b +=+=-+-2=．【总结】本题综合性较强，主要考查了求一个无理数的整数部分和分数部分，要注意对方法的归纳总结．【例13】 5x y -=，则1yx -=_________．【难度】★★．【解析】由二次根式的定义得：20202x x x -≥-≥∴=，，，3y =-，∴1113322yx ---===【总结】本题主要考查平方根性质的运用及实数的基本运算．【例14】 310=110-=，且2a x x b=，求x 的值．【难度】★★★【答案】10．【解析】由题意，得：631010a b -==，，又∵2a x x b=， ∴3310x ab ==，∴x =10．【总结】本题主要考查开方与乘方的综合运用，注意两者的区别．【例15】 化简下列各式：（123a +；（2）1-（其中12x <<）；（3）23x x -+-．【难度】★★★【答案】（1）23a +； （2）2x -； （3）见解析．【解析】（1）原式=2233a a =+；（2）原式=1122x x x --=-=-； （3）当3x ≥时，原式2325x x x =-+-=-； 当2<x <3时，原式231x x =--+=； 当x 2≤时，原式2352x x x =--+=-．【总结】考查实数的基本计算及含绝对值的化简，注意要分类讨论．【例16】 0=，求7()20x y +-的立方根．【难度】★★★【答案】5-．【解析】由题意，知：22025050y x x x -=-=->，，，∴510x y =-=-，． ∴7()207(510)20125x y +-=⨯---=-， ∴7()20x y +-的立方根是5-． 【总结】考查非负数的和为零的基本模型以及求实数的立方根的运算．【例17】 =________；=________．【难度】★★★【答案】（1）1； （21．【解析】（11=；（2）原式1．【总结】考查复合二次根式的化简，综合性较强，注意方法的总结，教师讲解时选择性讲解．【例18】 已知：15a a -+=，求（1）22a a -+；（2）1122a a-+；（3）1122a a --．【难度】★★★【答案】（1）23； （2）7； （3）3± 【解析】（1）()22211225223a a a a aa ---+=+-=-=；（2）∵2111222527a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，且11220a a -+>， ∴11227a a -+=；（3）∵221111112222224743a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11223a a --=±．【总结】考查完全平方公式在实数运算中的运用，注意对符号的判定．【例19】 已知2201720172017a a a a -+-=-，求的值。

人教版初中数学实数全集汇编及解析一、选择题1．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A ”.则数轴上点A 所表示的数是（ ）A 2－1B 2＋1C 2D 2【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A 之间的距离，进而可求出点A 表示的数．【详解】 22112+=-1和A 2．∴点A 2．故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．2．已知,x y 为实数且110x y +-=,则2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．0B ．1C ．-1D ．2012 【答案】B【解析】【分析】利用非负数的性质求出x 、y ，然后代入所求式子进行计算即可.【详解】由题意，得x+1=0，y-1=0，解得：x=-1，y=1， 所以2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（-1）2012=1，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.3．在－2，4，2，3.14， 327-，5π，这6个数中，无理数共有( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【解析】－2，42=， 3.14， 3273-=-是有理数； 2，5π是无理数； 故选C. 点睛:本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如3 ，35 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001⋅⋅⋅ （0的个数一次多一个）.4．在2，﹣1，0，5，这四个数中，最小的实数是( )A ．2B ．﹣1C ．0D ．5 【答案】B【解析】【分析】将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可．【详解】四个数大小关系为：1025-<<<，则最小的实数为1-，故选B ．【点睛】此题考查了实数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键．5．-2的绝对值是（ ） A ．B ．C ．D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．【详解】-2的绝对值是2-． 故选A ．【点睛】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．6．估计的值在（）A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间【答案】B【解析】【分析】利用“夹逼法”估算无理数的大小．【详解】＝﹣2．因为9＜11＜16，所以3＜＜4．所以1＜﹣2＜2．所以估计的值在1到2之间．故选：B．【点睛】本题考查估算无理数的大小．估算无理数大小要用逼近法．7．51-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请51的值（）A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间【答案】B【解析】【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．【详解】∵4.84<5<5.29，∴5，∴5，故选B．【点睛】5是解题关键．8．如图，数轴上的点可近似表示630)6÷()A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-，再对5进行估算，确定5在哪两个相邻的整数之间，继而确定45-在哪两个相邻的整数之间即可．【详解】原式=45-，由于25＜＜3，∴1＜45-＜2．故选：A．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．9．下列说法正确的是()A．﹣81的平方根是±9 B．7的算术平方根是7C．127的立方根是±13D．(﹣1)2的立方根是﹣1【答案】B【解析】【分析】由平方根、算术平方根及立方根的定义依次判定各项即可解答.【详解】选项A，﹣81没有平方根，选项A错误；选项B，7的算术平方根是7B，选项正确；选项C，127的立方根是13，选项C错误；选项D，（﹣1）2的立方根是1，选项D错误.故选B.【点睛】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的应用，熟知平方根、算术平方根及立方根的定义是解决问题的关键.10．若将三个数-3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( )A．3B7C11D．无法确定【答案】B【解析】【分析】【详解】解：根据二次根式的估算可知-2＜-3＜-1，2＜7＜3，3＜11＜4，因此可知墨迹覆盖的是7.故选B.11．若a30=-3，则估计a的值所在的范围是（）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5【答案】B【解析】【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解．【详解】∵25＜30＜36，∴5＜30＜6，∴5−3＜30−3＜6−3，即2＜30−3＜3，∴a的值所在的范围是2＜a＜3．故选：B．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解析】【分析】≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.3 1.732【详解】≈-，3 1.732()---≈，1.7323 1.268()1.73220.268---≈，()1.73210.732---≈，因为0.268＜0.732＜1.268，所以3- 表示的点与点B 最接近，故选B.13．如图，已知x 2＝3，那么在数轴上与实数x 对应的点可能是（ ）A ．P 1B ．P 4C ．P 2或P 3D ．P 1或P 4【答案】D【解析】试题解析：∵x 2=3，∴3根据实数在数轴上表示的方法可得对应的点为P 1或P 4．故选D ．14．101的值在( )A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】C【解析】【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．【详解】∵310＜＜4，∴410＜1＜5．故选C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出310＜＜4是解题的关键，又利用了不等式的性质．15．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（ ）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】 解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确； 当k=3时，414(31)11044f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f =，错误； 当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确； 正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．16．下列说法中，正确的是( )A ．－2是－4的平方根B ．1的立方根是1和-1C ．-2是(－2)2的算术平方根D ．2是(－2)2的算术平方根【答案】D【解析】【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行解答即可．【详解】A ． －4没有平方根，故A 错误；B ． 1的立方根是1，故B 错误；C ． (－2)2的算术平方根是2，故C 错误；D ． 2是(－2)2的算术平方根，故D 正确故选：D【点睛】本题主要考查的是算术平方根与平方根\立方根，掌握算术平方根与平方根\立方根的定义是解题的关键．17．已知下列结论：①在数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的结论是() A．①②B．②③C．③④D．②③④【答案】B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系，有理数是无限循环小数或有限小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】解：①数轴上的点表示实数，故①错误；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；③实数与数轴上的点一一对应，故③正确；④有理数有无限个，无理数有无限个，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数与数轴上的点一一对应,掌握实数与数轴的关系是解题的关键．18．下列说法正确的是（）A．无限小数都是无理数B．1125-没有立方根C．正数的两个平方根互为相反数D．(13)--没有平方根【答案】C【解析】【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．【详解】A、无限循环小数是有理数，故不符合题意；B、1125-有立方根是15-，故不符合题意；C、正数的两个平方根互为相反数，正确，故符合题意；D、﹣（﹣13）＝13有平方根，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了无理数、立方根、平方根，掌握无理数、立方根、平方根的定义是解题的关键．19．14的算术平方根为（ ） A ．116 B ．12± C ．12-D ．12 【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【详解】∵21()2=14， ∴14的算术平方根是12，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记概念是解题的关键．20．如图，数轴上的点P 表示的数可能是( )A 5B ．5C ．－3.8D ．10-【答案】B【解析】【分析】【详解】5 2.2≈，所以P 点表示的数是5-。

初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题及解析副标题一、选择题（本大题共77小题，共231.0分）1.估计√7+1的值()．A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 在3和4之间D. 在4和5之间【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．直接利用已知无理数得出√7的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵2<√7<3，∴3<√7+1<4，∴√7+1在3和4之间．故选C．2.若√3<a<√10，则下列结论中正确的是()A. 1<a<3B. 1<a<4C. 2<a<3D. 2<a<4【答案】B【解析】【分析】首先估算√3和√10的大小，再做选择．本题主要考查了估算无理数的大小，首先估算√3和√10的大小是解答此题的关键．【解答】解：∵1<√3<2，3<√10<4，又∵√3<a<√10，∴1.732<a<3.162，各选项中，只有B，1<a<4符合题意；故选B．3.估计√19的值在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】C【解析】解：∵√16<√19<√25，∴√19的值在4和5之间．故选：C．直接利用二次根式的性质得出√19的取值范围．此题主要考查了估算无理数大小，正确把握最接近√19的有理数是解题关键．4.估计√10+1的值应在()A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√10的取值范围是解题关键．首先得出√10的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵3<√10<4，∴4<√10+1<5．故选B．5.估计√13+1的值在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】C【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√13的范围是解此题的关键．先估算出√13的范围，即可得出答案．【解答】解：∵3<√13<4，∴4<√13+1<5，即√13+1在4和5之间．故选C．6.估计√6+1的值在()A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间【答案】B【解析】解：∵2=√4<√6<√9=3，∴3<√6+1<4，故选：B．利用”夹逼法“得出√6的范围，继而也可得出√6+1的范围．此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．7.估计5√6−√24的值应在()A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间【答案】C【解析】解：5√6−√24=5√6−2√6=3√6=√54，∵7<√54<8，∴5√6−√24的值应在7和8之间，故选：C．先合并后，再根据无理数的估计解答即可．本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．8.估计√38的值在()A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间【答案】C【解析】解：∵√36<√38<√49，∴6<√38<7，∴√38的值在整数6和7之间．故选：C．初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析利用二次根式的性质，得出√36<√38<√49，进而得出答案．此题主要考查了估计无理数的大小，得出√36<√38<√49是解题关键．9.估计√10+1的值应在()A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】B【解析】解：∵3<√10<4，∴4<√10+1<5，故选：B．根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出3<√10<4是解题关键，又利用了不等式的性质．10.已知整数m满足m<√38<m+1，则m的值为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的大小问题，从√38的整数大小范围出发，然后确定m的大小．【解答】解：由题意∵√62<√38<√72∴当m=6时，则m+1=7适合．故选C．11.下列选项中的整数，与√17最接近的是()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：∵16<17<20.25，∴4<√17<4.5，∴与√17最接近的是4．故选：B．依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行解答即可．本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．12.估计√11的值在()A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 在3和4之间D. 在4和5之间【答案】C【解析】解：∵9<11<16，∴√9<√11<√16，∴3<√11<4．故选：C．由于9<11<16，于是√9<√11<√16，从而有3<√11<4．本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．13.如图，表示√7的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间()A. C与DB. A与BC. A与CD. B与C【答案】A【解析】解：∵6.25<7<9，∴2.5<√7<3，则表示√7的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间．故选：A．确定出7的范围，利用算术平方根求出√7的范围，即可得到结果．此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．14.面积为2的正方形的边长在()A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间【答案】B【解析】【分析】本题考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解答此题的关键．面积为2的正方形边长是2的算术平方根，再利用夹逼法求得√2的取值范围即可．【解答】解：面积为2的正方形边长是√2，∵1<2<4，∴1<√2<2故选：B．15.若一正方形的面积为20平方公分，周长为x公分，则x的值介于下列哪两个整数之间？()A. 16，17B. 17，18C. 18，19D. 19，20【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了无理数大小的估计．注意利用数的平方大小比较是解此题的方法．【解答】解：∵周长为x公分，∴边长为x公分，4)2=20，∴(x4∴x2=20，16∴x2=320，又∵172=289，182=324，∴172<320<182，即172<x2<182，又∵x为正整数，∴x介于17和18之间，故选B．初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析16.与√37最接近的整数是()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】解：∵36<37<49，∴√36<√37<√49，即6<√37<7，∵37与36最接近，∴与√37最接近的是6．故选：B．由题意可知36与37最接近，即√36与√37最接近，从而得出答案．此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与√37最接近，所以√36=6最接近．17.下列无理数中，与4最接近的是()A. √11B. √13C. √17D. √19【答案】C【解析】解：∵√16=4，∴与4最接近的是：√17．故选：C．直接利用估算无理数的大小方法得出最接近4的无理数．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近4的无理数是解题关键．18.估计2+√7的值A. 在2和3之间B. 在3和4之间C. 在4和5之间D. 在5和6之间【答案】C【解析】解：∵2<√7<3，∴4<2+√7<5，∴2+√7的值在4和5之间，故选：C．直接得出2<√7<3，进而得出2+√7的取值范围．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的范围是解题关键．19.估算√27−2的值()A. 在1到2之间B. 在2到3之间C. 在3到4之间D. 在4到5之间【答案】C【解析】解：∵5<√27<6，∴3<√27−2<4．故选：C．首先估计√27的整数部分，然后即可判断√27−2的近似值．本题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．20.判断2√11−1之值介于下列哪两个整数之间？()A. 3，4B. 4，5C. 5，6D. 6，7【答案】C【解析】解：∵2√11=√44，且√36<√44<√49，即6<2√11<7，∴5<2√11−1<6，故选：C．由√36<2√11<√49即6<2√11<7，由不等式性质可得2√11−1的范围可得答案．本题考查了估算无理数大小的知识，注意夹逼法的运用是解题关键．21.如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数−2、1、2、3，则表示数3−√5的点P应落在线段()A. AO上B. OB上C. BC上D. CD上【答案】B【解析】解：∵2<√5<3，∴0<3−√5<1，故表示数3−√5的点P应落在线段OB上．故选：B．根据估计无理数的方法得出0<3−√5<1，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，得出√5的取值范围是解题关键．22.与无理数√31最接近的整数是()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】解：∵√25<√31<√36，∴√31最接近的整数是√36，√36=6，故选：C．根据无理数的意义和二次根式的性质得出√25<√31<√36，即可求出答案．本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道√31在5和6之间，题目比较典型．23.若3+√5的小数部分为a，3−√5的小数部分为b，则a+b的值为()A. 0B. 1C. −1D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．【解答】解：∵2<√5<3，∴5<3+√5<6，0<3−√5<1∴a=3+√5−5=√5−2.b=3−√5，∴a+b=√5−2+3−√5=1，故选B．24.估计√41−2的值()A. 在4和5之间B. 在3和4之间C. 在2和3之间D. 在1和2之间【答案】A【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定√41的范围．求出√41的范围，都减去2即可得出答案．【解答】解：∵36<41<49，∴√36<√41<√49，初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析∴6<√41<7，∴4<√41−2<5，故选A．25.实数√2的值在()A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间【答案】B【解析】解：∵1<√2<2，∴实数√2的值在：1和2之间．故选：B．直接利用估算无理数大小，正确得出√2接近的有理数，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．26.估算√19的值是在()A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了估计无理数大小的方法，找出最接近的有理数，再进行比较是解决问题的关键．找出比较接近√19的有理数，即√16与√25，从而确定它的取值范围．【解答】解：∵√16<√19<√25，∴4<√19<5．故选B．27.估计√40的值在()A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间【答案】C【解析】解：∵√36<√40<√49，即6<√40<7，故选：C．根据√40，可以估算出位于哪两个整数之间，从而可以解答本题．本题考查估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小的方法．28.式子√13+1的整数部分是a，小数部分是b，则a−b的值是()A. √13−7B. 1−√13C. 5−√13D. 7−√13【答案】D【解析】【分析】此题考查无理数的估算和代数式的值，注意找出最接近的整数范围是解决本题的关键．因为3<√13<4，所以4<√13+1<5，由此求得整数部分与小数部分，代入a−b 即可即可得到结果．【解答】解：∵3<√13<4，∴4<√13+1<5，∴a=4，b=√13+1−4，∴a−b=4−(√13−3)=7−√13．故选D．29.一个正方形的面积是15，估计它的边长在()A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间【答案】C【解析】解：∵一个正方形的面积是15，∴其边长=√15．∵9<15<16，∴3<√15<4．故选C．先求出正方形的边长，再估算出其大小即可．本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．30.已知a是√17−3的整数部分，b是√17−3的小数部分，那么(−a)3+(b+4)2的平方根是()A. 4B. ±2C. ±8D. ±4【答案】D【解析】【分析】此题考查了估算无理数的大小，代数式的值，平方根，正确得出a，b的值是解题关键，根据4<√17<5，得到1<√17−3<2，求出a、b的值，再代入(−a)3+(b+4)2计算，根据平方根的定义求解，即可得到答案．【解答】解：∵4<√17<5，∴1<√17−3<2，∴a=1，b=√17−4，∴(−a)3+(b+4)2=(−1)3+(√17−4+4)2=−1+17=16，∴16的平方根是±4，故选D．31.估计√7+1的值在()A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√7的范围是解此题的关键．解答此题先求出√7的范围，然后再加1可得√7+1的范围．【解答】解：∵2<√7<3，∴3<√7+1<4，即√7+1在3和4之间，故选B．32.已知a是√17−3的整数部分，b是√17−3的小数部分，那么(−a)3+(b+4)2的平方根是()A. 4B. ±2C. ±8D. ±4【答案】D【解析】解：∵4<√17<5，∴1<√17−3<2，初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析∴a=1，b=√17−4，∴(−a)3+(b+4)2=(−1)3+(√17−4+4)2=−1+17=16，∴16的平方根是±4．故选D．根据4<√17<5，利用不等式的性质可得1<√17−3<2，求出a、b的值，再代入(−a)3+(b+4)2计算，根据平方根的定义求解．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．33.√43在两个连续整数a和b之间，a<√43<b，那么a+b的值是()A. 11B. 13C. 14D. 15【答案】B【解析】解：∵6<√43<7，∴a=6，b=7，∴a+b=6+7=13．故选：B．首先用“夹逼法”确定a、b的值，进而可得a+b的值．此题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．34.实数√28界于哪两个相邻的整数之间()A. 3和4B. 5和6C. 7和8D. 9和10【答案】B【解析】解：∵5<√28<6，∴√28在5和6之间．故选：B．先估算出√28的范围，即可得出答案．本题考查了估算无理数的大小，能估算出√28的范围是解此题的关键．35.实数√3的值在()A. 0与1之间B. 1与2之间C. 2与3之间D. 3与4之间【答案】B【解析】解：∵1<√3<√4，∴实数√3的值在1与2之间．故选：B．直接利用无理数最接近的有理数进而答案．此题主要考查了估算无理数大小，正确得出接近的有理数是解题关键．36.下列说法：①−1是1的平方根；②√10在两个连续整数a和b之间，那么a+b=7；③所有的有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；④无理数就是开放开不尽的数；正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】此题考查了估算无理数的大小、实数与数轴、实数，熟知有关定义和性质是本题的关键．根据估算无理数的大小、实数与数轴、无理数的定义和特点分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：①−1是1的平方根是正确的；②√10在两个连续整数a和b之间，那么a+b=3+4=7是正确的；③所有的实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，题目中的说法是错误的；④无理数就是无限不循环的小数，题目中说法是错误的．故选B．37.估计√6+1的值在()A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间【答案】B【解析】解：∵2<√6<3，∴3<√6+1<4，故选：B．首先确定√6在整数2和3之间，然后可得√6+1的值在3到4之间．此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．38.估计√16+√20的运算结果应在()A. 6与7之间B. 7与8之间C. 8与9之间D. 9与10之间【答案】C【解析】解：∵√16+√20=4+√20，而4<√20<5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．首先计算出√16，再估算出√20即可得结果．本题考查了无理数的近似值问题，关键是利用“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．39.若a<1−√7<b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是()A. −1B. −2C. −3D. −4【答案】C【解析】解：∵2<√7<3，∴−2>−√7>−3，∴−1>1−√7>−2，∴a=−2，b=−1，∴a+b=−3，故选C．先求出√7的范围，再求出1−√7的范围，求出a、b的值，代入求出即可．本题考查了估算无理数的大小，能求出1−√7的范围是解此题的关键．40.设a=√13−1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是()A. 0和1B. 1和2C. 2和3D. 3和4【答案】C【解析】解：∵9<13<16，∴3<√13<4，即2<a=√13−1<3，则这两整数是2和3，故选C估算√13大小，即可得到结果．此题考查了估算无理数的大小，估算出√13大小是解本题的关键．41.估计√21的值()A. 1到2之间B. 2到3之间C. 3和4之间D. 4和5之间初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析11 / 45第11页，共45页【答案】D【解析】解：∵√16<√21<√25， ∴4<√21<5，即√21在4到5之间， 故选：D ．根据√16<√21<√25得出4<√21<5，即可得出答案．本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是能求出√21的范围．42. 估计√76的值在哪两个整数之间( )A. 75和77B. 6和7C. 7和8D. 8和9【答案】D【解析】解：∵√64<√76<√81， ∴8<√76<9，∴√76在两个相邻整数8和9之间． 故选：D ．先对√76进行估算，再确定√76是在哪两个相邻的整数之间．此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．43. 定义：对任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[−1.2}=−2.对数字65进行如下运算：①[√65]=8：②[√8]=2：③[√2]=1，这样对数字65运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字255经过( )次运算后的结果为1． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A【解析】解：255→第一次[√255]=15→第二次[√15]=3→第三次[√3]=1， 则数字255经过3次运算后的结果为1． 故选：A ．根据[x]表示不超过x 的最大整数计算，可得答案．本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．44. 黄金分割数√5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算√5−1的值( ) A. 在1.1和1.2之间 B. 在1.2和1.3之间 C. 在1.3和1.4之间 D. 在1.4和1.5之间【答案】B【解析】解：∵√5≈2.236， ∴√5−1≈1.236， 故选：B ．根据√5≈2.236，可得答案．本题考查了估算无理数的大小，利用√5≈2.236是解题关键．45. 8的负的平方根介于( )A. −5与−4之间B. −4与−3之间C. −3与−2之间D. −2与−1之间【答案】C第12页，共45页【解析】解：∵4<8<9， ∴2<√8<3．∴−2>−√8>−3． 故选：C ．先求得√8的范围，然后再求得−√8的范围即可．本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法求得√8的大致范围是解题的关键．46. 通过估算，估计√193+1的值应在( )A. 2～3之间B. 3～4之间C. 4～5之间D. 5～6之间【答案】B【解析】解：∵8<19<27，∴√83<√193<√273，即2<√193<3，∴3<√193+1<4， 故选：B ．根据8<19<27得出：2<√193<3，进而可得答案．本题考查了估算无理数的大小，利用了正数的被开方数越大立方根越大的关系．47. 估计√13的值在( )A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间【答案】C【解析】解：∵9<13<16， ∴3<√13<4，则√13的值在3和4之间， 故选：C ．估算得出√13的范围即可．此题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．48. 如图，数轴上A ，B ，C ，D 四点中，与−√3对应的点距离最近的是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】B【解析】【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 先估算出−√3的范围，结合数轴可得答案． 【解答】解：∵√1<√3<√4，即1<√3<2， ∴−2<−√3<−1，∴由数轴知，与−√3对应的点距离最近的是点B ． 故选B ．49. 下列各数中，介于正整数6和7之间的数是( )A. √41B. √52C. √26D. √383初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析13 / 45第13页，共45页【答案】A【解析】解：∵36<41<49， ∴6<√41<7，故A 正确． ∵52>49，∴√52>7，故B 错误． ∵36>26，∴6>√26，故C 错误． ∵27<38<64，∴3<√383<4，故D 错误． 故选：A ．依据被开方数越大对应的算术平方根(立方根)越大进行求解即可． 本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．50. 若n −1<√45<n ，则整数n =( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】解：∵6<√45<7， ∴n =7， 故选：C ．先估算出√45的范围，再得出选项即可．本题考查了估算无理数的大小，能估算出√45的范围是解此题的关键．51. 在数轴上有一块墨迹，被覆盖住的无理数可能是( )A. √17B. √11C. √5D. −√3【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，数轴的有关知识，应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解． 【解答】解：由图可知：被覆盖的数在3和4之间； ∴被墨迹覆盖的无理数有可能是√11． 故选B ．52. 对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1，[−2.5]=−3.现对82进行如下操作： 82→第1次[√82]=9→第2次[93]=3→第3次[√3]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：121→第1次[12111]=11→第2次[√11]=3→第3次[√3]=1，∴对121只需进行3次操作后变为1，故选：C ．[x]表示不大于x 的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数．53.估计√10的值在哪两个整数之间()A. 9和10B. 7和8C. 5和6D. 3和4【答案】D【解析】解：∵3<√10<4，∴√10在3和4之间．故选D．先估算出√10的范围，即可得出选项．本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出√10的范围是解此题的关键．54.与1+√5最接近的整数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵2.22=4.84，2.32=5.29，∴2.22<5<2.32．∴2.2<√5<2.3．∴3.2<1+√5<3.3．∴与1+√5最接近的整数是3．故选：C．先依据被开方数越大对应的算术平方根也越大估算出√5的大小，然后即可做出判断．本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法估算出√5的大小是解题的关键．55.在数轴上标注了四段范围，如图，表示√8的点落在()A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④【答案】C【解析】【分析】根据数的平方，即可解答．本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．【解答】解：2.62=6.76，2.72=7.29，2.82=7.84，2.92=8.41，32=9，∵7.84<8<8.41，∴2.8<√8<2.9，∴√8的点落在段③，故选：C．56.如图，数轴上点N表示的数可能是()A. √10B. √5C. √3D. √2【答案】A【解析】解：∵√10≈3.16，√5≈2.24，√3≈1.73，√2≈1.41，根据点N在数轴上的位置，知：3<N<4，∴四个选项中只有3<3.16<4，即3<√10<4．故选：A．第14页，共45页初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析先对四个选项中的无理数进行估算，再根据N点的位置即可求解．本题考查了同学们估算无理数大小的能力，及能够根据点在数轴的位置确定数的大小．57.数轴上表示√21−1的点A的位置应该在()A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 7与8之间【答案】B【解析】【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，难度一般．先估算无理数√21的大小，然后求解即可．【解答】解：∵4=√16<√21<5=√25，∴3<√21−1<4，故数轴上表示√21−1的点A的位置应在3与4之间．故选：B．58.估计√6的值在()A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间【答案】A【解析】解：∵√4<√6<√9，∴2<√6<3，故选：A．根据估算无理数的大小，即可解答．本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算无理数的大小．59.如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数−2、−1、1、2，则表示1−√7的点P应落在线段()A. AB上B. OB上C. OC上D. CD上【答案】A【解析】解：∵2<√7<3，∴−2<1−√7<−1，∴表示1−√7的点P应落在线段AB上．故选：A．直接根据题意得出−2<1−√7<−1进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．60.a与b是两个连续整数，若a<√7<b，则a，b分别是()A. 6，8B. 3，2C. 2，3D. 3，4【答案】C【解析】解：∵4<7<9，∴2<√7<3，∵a<√7<b，且a与b是两个连续整数，∴a=2，b=3．故选C．根据4<7<9，结合a<√7<b，即可得出a、b的值．本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是找出2<√7<3．15/ 45第15页，共45页61.估计√7+1的值在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】B【解析】解：∵2<√7<3，∴3<√7+1<4，故选：B．直接利用2<√7<3，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．62.若m<√14<n，且m、n为连续正整数，则n2−m2的值为()A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】B【解析】解：∵m<√14<n，且m、n为连续正整数，∴m=3，n=4，则原式=7，故选：B．根据题意确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．此题考查了估算无理数的大小，设实数为a，a的整数部分A为不大于a的最大整数，小数部分B为实数a减去其整数部分，即B=a−A；理解概念是解题的关键．63.估计√30的值在两个整数()A. 3与4之间B. 5与6之间C. 6与7之间D. 3与10之间【答案】B【解析】解：∵√25<√30<√36，∴5<√30<6，∴√30的值在5与6之间．故选：B．直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，正确掌握无理数的估算方法是解题关键．64.3+√10的结果在下列哪两个整数之间()．A. 6和7B. 5和6C. 4和5D. 3和4【答案】A【解析】解：∵3<√10<4，∴6<3+√10<7，故选：A．直接利用3<√10<4，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的整数是解题关键．65.关于“√19”，下列说法不正确的是()A. 它是一个无理数B. 它可以用数轴上的一个点来表示C. 它可以表示面积为19的正方形的边长D. 若为整数)，则n=5【答案】D第16页，共45页初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析17 / 45第17页，共45页【解析】【分析】本题主要考查了无理数的定义、数轴的意义以及无理数的估算，无理数的估算关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 分别根据无理数的定义、数轴的意义、正方形面积公式以及无理数的估算方法判断即可． 【解答】解：A ．√19是一个无理数，说法正确，故选项A 不合题意；B .√19可以用数轴上的一个点来表示，说法正确，故选项B 不合题意；C .它可以表示面积为19的正方形的边长，说法正确，故选项C 不合题意；D .4<√19<5，n =4，故选项D 符合题意． 故选D ．66. 如图，数轴上点P 表示的数可能是( ) A. √2 B. √3C. √5D. √73【答案】C【解析】解：从数轴可知：P 点表示数在2和3之间，A 、1<√2<2，故本选项不符合题意；B 、1<√3<2，故本选项不符合题意；C 、2<√3<3，故本选项符合题意；D 、1<√73<2，故本选项不符合题意； 故选C ．从数轴可知P 点表示数在2和3之间，先估算出每个无理数的范围，即可得出答案． 本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个无理数的范围是解此题的关键．67. 估计√5在( )A. 0～1之间B. 1～2之间C. 2～3之间D. 3～4之间【答案】C【解析】解：∵√4<√5<√9， 即：2<√5<3， ∴√5在2到3之间． 故选：C ．根据二次根式的性质得出√4<√5<√9，即：2<√5<3，可得答案．本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，解此题的关键是知道√5在√4和√9之间．68. 若√13的整数部分是a ，小数部分是b ，则式子3(a +b)−ab 的值是( )A. −9B. 9C. 19D. 3√13 【答案】B【解析】解：∵√9<√13<√16， ∴3<√13<4，∴a =3，b =√13−3，∴3(a +b)−ab =3×(3+√13−3)−3×(√13−3)=3√13−3√13+9=9． 故选：B ．先进行估算√13的范围，确定a ，b 的值，再代入代数式即可解答． 本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算√13的范围．69. 关于“√10”，下列说法不正确的是( )A. 它是数轴上唯一一个距离原点√10个单位长度的点表示的数B. 它是一个无理数C. 若a<√10<a+1，则整数a的值为3D. 它可以表示面积为10的正方形的边长【答案】A【解析】解：数轴上距离原点√10个单位长度的点表示的数是±√10，故A错误，符合题目要求√10它是一个无理数，故B正确，不符合题目要求∵9<10<16，∴3<√10<4，故整数a的值为3，故C正确，不故符合题目要求√10它可以表示面积为10的正方形的边长，故D正确，不符合题目要求．故选：A．依据绝对值的定义、无理数的概念，依据夹逼法估算无理数大小的方法、依据算术平方根的定义进行判断即可．本题主要考查的是估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．70.若a<√5<b，且a、b是两个连续整数，则a+b的值是()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：∵4<5<9，∴2<√5<3，由a<√5<b，且a、b是两个连续的整数，得到a=2，b=3，则a+b=5，故选：D．由被开方数5的范围确定出√5的范围，进而求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．71.设面积为6的正方形的边长为a.下列关于a的四种说法：①a是有理数；②a是无理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④2<a<3.其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：∵面积为3的正方形的边长为a，∴a=√6，故①a是有理数，错误；②a是无理数，正确；③a可以用数轴上的一个点来表示，正确；④2<a<3，正确，则说法正确的是：②③④共3个．故选：C．直接利用得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案．此题主要考查了实数的性质以及无理数的估算，正确掌握实数有关性质是解题关键．72.有下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②2−√7的相反数是√7−2；③在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；④2+3x−4x2是三次三项式；第18页，共45页。

一、选择题1．下列各数中比( )A ．2-B ．1-C ．12-D ．0A 解析：A【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案即可．【详解】A ．|2|2-=，|= ∴2>2∴-<B ．|1|1-=，|= ∴1<，1∴->C ．1122-=，|=， 1∴->２D ．0>故选：A ．【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．2．在 1.4144-，，227，3π，2，0.3•，2.121112*********...中，无理数的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D 解析：D【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】 1.4144-，有限小数，是有理数，不是无理数；227，分数，是有理数，不是无理数； 0.3•，无限循环小数，是有理数，不是无理数；2-， 3π，23-， 2.121112*********...是无理数，共4个， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．估算481的值（ ）A ．在7和8之间B ．在6和7之间C ．在5和6之间D ．在4和5之间C解析：C【分析】利用36＜48＜49得到6＜48＜7，从而可对48−1进行估算．【详解】 解：∵36＜48＜49，∴6＜48＜7，∴5＜48-1＜6．故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．4．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 13解析：B【分析】首先确定A ，B 对应的数，再分别估算四个选项的数值进行判断即可．【详解】解：由数轴得，A 点对应的数是1，B 点对应的数是3，A.-2＜3＜-1，不符合题意；B.27＜3，符合题意；C 、3114，不符合题意；D. 3134，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了对无理数的估算．5．85-的整数部分是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7B 解析：B【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出253<<，进而得出答案． 【详解】解：459<<，459∴<<，即253<<，838582∴-<-<-，5856∴<-<，85∴-的整数部分是5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出5的取值范围是解题关键．6．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n A 解析：A【分析】根据题意可判断0在线段NQ 的中点处，再根据绝对值的意义即可进行判断．【详解】解：因为0n q +=，所以n 、q 互为相反数，0在线段NQ 的中点处，所以点P 距离原点的距离最远，即m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是p ． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数与数轴以及线段的中点，正确理解题意、确定数轴上原点的位置是解题关键．7．下列实数中，属于无理数的是（ ）A ．3.14B ．227C 4D ．πD解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A 、3.14是小数，是有理数，故A 选项错误；B 、227是有限小数，是有理数，故B 选项错误；C =2是整数，是有理数，故C 选项错误．D 、π是无理数，故D 选项正确故选：D ．【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．8．一个正方体的体积为16，那么它的棱长在（ ）之间A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5B解析：B【分析】可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题．【详解】设正方体的棱长为x ，由题意可知316x =，解得x =，∵332163<<， ∴23<，那么它的棱长在2和3之间．故选：B ．【点睛】的范围．9．在0，3π227， 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】 22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，则227是有理数，3=-，则因此，题中的无理数有3π 6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键．10．1的值在（ ）A ．5~6之间B ．6~7之间C ．7~8之间D ．8~9之间B解析：B【分析】的取值即可得到答案．【详解】由题意得78<<，617∴<<，1介于6~7之间．故选B ．【点睛】二、填空题11．计算：（1321(2)(10)4---⨯-（2）225(24)-⨯--÷1）-12（2）-12【分析】（1）（2）两小题都属于实数的混合运算先计算乘方和开方再计算乘除最后再算加减即可得出结果【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了实数的混合运算根据算式确定运算顺序并解析：（1）-12，（2）-12．【分析】（1）、（2）两小题都属于实数的混合运算，先计算乘方和开方，再计算乘除，最后再算加减即可得出结果．【详解】解：（1321(2)(10)4---⨯- 1100458=⨯+- 1325=-12=-，（2）225(24)-⨯--÷45(24)3=-⨯--÷208=-+12=-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，根据算式确定运算顺序并运用相应的运算法则正确计算是解题的关键．12．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________；（2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知再利用绝对值的性质化简绝对值号继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出的值再代入进而求其平方根【详解】解：（1）∵解析：（1）2+2；（2）2；（3）4±【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知10m +>、10m -<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出c 、d 的值，再代入23c d -，进而求其平方根．【详解】解：（1）∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-∴点B 表示2+2∴2+2m =-．（2）∵2+2m =-∴1221230m +=-+=->，1221210m -=--=-<∴11m m ++-()11m m =+--11m m =+-+2=．（3）∵2c d +4d +∴20c d +=∴2040c d d +=⎧⎨+=⎩∴24c d =⎧⎨=-⎩∴()23223416c d -=⨯-⨯-= ∴4==±，即23c d -的平方根是4±．【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．13．先化简，再求值：()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，其中|2|a +数．ab ；-6【分析】原式去括号合并得到最简结果利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值代入计算即可求出值【详解】解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab ）=2a2-2ab-2a2+3ab=ab ∵与互为解析：ab ；-6．【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式=2a 2-2ab-（2a 2-3ab ）=2a 2-2ab-2a 2+3ab= ab ， ∵2a +∴，∴a+2=0，30b -=，解得：a=-2，3b =，当a=-2，b=3时，原式=-6．【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．求出x 的值：()23227x +=x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是 解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．15．计算：3011(2)(200422-+---【分析】根据运算法则和运算顺序准确计算即可【详解】解：【点睛】本题考查了实数得混合运算掌握运算法则和顺序是解题的关键解析：8-【分析】根据运算法则和运算顺序准确计算即可.【详解】解：3011(2)(200422-+-- 11822=-+- 8=-【点睛】本题考查了实数得混合运算，掌握运算法则和顺序是解题的关键.16．计算：（1（2）0(0)|2|π--（3）解方程：4x 2﹣9＝0．（1）-8；（2）1﹣；（3）x ＝±【分析】（1）利用算数平方根立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后利用开方运算即可求解【详解】解：解析：（1）-8；（2）13）x ＝±32． 【分析】（1）利用算数平方根、立方根及二次根式性质计算即可；（2）利用零指数幂、立方根及绝对值的代数意义进行化简即可；（3）方程变形后，利用开方运算即可求解．【详解】解：（1）原式＝()935358÷--=--=-；（2）原式＝1221-+-=（3）方程变形得：294x =，开方得：32x =±． 【点睛】本题考察实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．已知a 的整数部分，b 的小数部分，求代数式(1b a -的平方根．【分析】根据可得即可得到的整数部分是3小数部分是即可求解【详解】解：∵∴∴的整数部分是3则的小数部分是则∴∴9的平方根为【点睛】本题考查实数的估算实数的运算平方根的定义掌握实数估算的方法是解题的关键 解析：3±．【分析】根据223104<<可得34<<的整数部分是3，小数部分是3，即可求解．【详解】解：∵223104<<， ∴34<<， ∴3，则3a =3，则3b =，∴(()1312339a b ---=-=-=， ∴9的平方根为3±．【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 18．求下列各式中x 的值（1）21(1)64x +-=； （2）3(1)125x -=．（1）；（2）【分析】（1）方程整理后利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）解得：或；（2）解得：【点睛】本题主要考查解方程涉及到立方根平方根解解析：（1）132x =，272x =-；（2）6x = 【分析】（1）方程整理后，利用平方根的性质开平方即可求解；（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；【详解】（1）21(1)64x +-= 225(1)4x += 512x +=± 解得：32x =或72x =-； （2）3(1)125x -=15x -=解得：6x =．【点睛】本题主要考查解方程，涉及到立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握开平方、开立方根的方法．19．已知5的整数部分为a ，5-b ，则2ab b +=_________．【分析】求出的大小推出7＜＜8求出a 同理求出求出b 代入求出即可【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】此题考查了无理数的大小的应用关键是确定和的范围解析：37-【分析】的大小，推出7＜5＜8，求出a ，同理求出253<-<，求出b ，代入求出即可．【详解】解：∵479<<， ∴23<<，32-<<- ∴758<+<，253<-<，∴7a =，523b =--=-，∴()(237337ab b b a b +=+=+=-．故答案为：37-【点睛】此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定5和5-20．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．）3cm 【分析】设球的半径为r 求出下降的水的体积即圆柱形小水桶中下降的水的体积最后根据球的体积公式列式求解即可【详解】解：设球的半径为r 小水桶的直径为水面下降了小水桶的半径为6cm 下降的水的体积是π×解析：3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ，∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)， 即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r 的方程． 三、解答题21．2-．解析：4【分析】原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．【详解】解：原式282=-+-4=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．22．计算：（1）⎛- ⎝；（2|1--解析：（1；（2）12-【分析】（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；【详解】（1）⎛- ⎝=；（2|1--=914++-=12-【点睛】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．23．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23<<，是因为<；根据上述信息，回答下列问题：（1___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）10+10a b <则a b +=______；（43x y =+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数．解析：（1）33；（2）21；21a -；（3）23；（47．【分析】（1）先找到91316<<，可找到34<< （2）根据因为2122a <<，即可找出a 的整数部分与小数部分（3）找到12<<在哪两个整数之间,再加10即可.（4）先确定56<<，找到233<<，由01y <<，x 是整数，即可确定x=2，5，再求7x y -=，即可求出【详解】（1）91316<< ∴34<<33故答案为：33；（2）因为2122a <<,故则a 的整数部分是21，a 的小数部分可以表示为21a -. 故答案为：21；21a -；（3）因为12<<， ∴10110102+<+<+，即111012<+<，所以=11a ,=12b ，故23a b +=，故答案为：23；（4）5306<<，23033<<，∵01y <<，x 是整数，∴x=2， ∴325-=，∴)257x y -=-=，∴x y -7．【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分，掌握估值法确定无理数的范围，即无限不循环小数知识的拓展延伸,理解题意,按照题目所给的表示方法去解答是关键．24．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。

无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。

无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。

但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。

这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。

一、平方法：两个数分别平方，再比较。

例1：比较的大小与711513++。

解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。

二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。

例2：比较2-5与52-5的大小。

解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。

这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。

例3：比较6-7与5-6的大小。

解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。

这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。

例4：比较62-112与65的大小。

解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。

五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。

例5：比较3-7与2-6的大小。

解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。

一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ） A ．31-=-1B ．38= ±2C ．4= ±2D ．±9=32．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根 B ．2是()22-的算术平方根 C ．()22-的平方根是2D ．8的平方根是43．下列说法中，正确的是 （ ） A ．64的平方根是8 B ．16的平方根是4和－4 C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－24．在0.010010001，3.14，π，10，1.51，27中无理数的个数是（ ）．A ．5个B ．4个C ．3D ．2个5．如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么32370约等于（ ） A ．287.2 B ．28.72C ．13.33D ．133.36．估算481的值（ ）A ．在7和8之间B ．在6和7之间C ．在5和6之间D ．在4和5之间7．下列实数31,7π-，3.14，38,27,0.2-，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个8．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且||||b a >，则化简233||()a a b b -++-的结果是（ ）A ．2aB ．2bC ．22a b +D ．0 9．和数轴上的点一一对应的数是（ ） A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数10．下列有关叙述错误的是（ ） A 2B 2是2的平方根C ．122<<D 2是分数 11．在 -1.414216π，3 3.212212221…，227，3.14这些数中，无理数的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±9二、填空题13．已知一个正数的平方根是3a +和215a -． （1）求这个正数．（2）求12a +的平方根和立方根．14．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-+ 的点，并比较它们的大小．15．计算：（1）36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（2）()()232524-⨯--÷； （3）()2253--． 16．实数2-2，227，π-327-中属于无理数的是________． 17．38642--． 18．定义一种新运算；观察下列各式；131437=⨯+= ()3134111-=⨯-=5454424=⨯+=()4344313-=⨯-=（1）请你想一想：a b = ；（2）若ab ，那么ab ba （填“=”或“≠” ）；（3）先化简，再求值：()()2a b a b -+，其中1a =-，2b =．19．定义一种新运算“”规则如下：对于两个有理数a ，b ，ab ab b =-，若()()521x -=-，则x =______20．规定一种关于a 、b 的新运算：2*2a b b ab a =+-+，那么()3*2-=______．三、解答题21．计算：2(3)2--22．已知(25|50x y -++-=．（1）求x ，y 的值； （2）求xy 的算术平方根．23．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．）24．定义一种新运算，观察下列式子：212122128=⨯+⨯⨯=★； 2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★；()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；；（1）计算：()32-★的值； （2）猜想：a b =★________； （3）若12162a +=-★，求a 的值． 25．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21ab a ab ⊕=--．求()23-⊕的值． 26．计算．（1）3218433⎛⎫-⨯-+-⎪⎝⎭（2）178(4)4(5)-÷-+⨯-（316 3⎫-⎪⎪⎭（4）223232 23⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．【详解】解：∵-1= 2= 2，，故只有A计算正确；故选:A．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根，即可解答．【详解】A选项：4-没有平方根，故A错误；B选项：()224-=，4的算术平方根为2，故B正确；C选项：()224-=，4的平方根为2±，故C错误；D选项：8的平方根为±，故D错误故选B．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的概念．3．D解析：D【分析】根据平方根的定义与性质，结合各选项进行判断即可．【详解】A、64的平方根是±8，故本选项错误；=，4的平方根是±2，故本选项错误；B4-=，9的平方根是±3，故本选项错误；C、()239D、4的平方根是±2，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了平方根的知识，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．4．D解析：D【分析】根据无理数的概念解题，找出无理数的个数即可，无限不循环小数称为无理数；【详解】中无理数有π共2个，在0.010010001，3.14，π，1.51，27故选D．【点睛】本题考查了无理数的概念，正确掌握无理数的概念是解题的关键；5．C解析：C【分析】【详解】==≈⨯=．1.3331013.33故答案为：C．【点睛】本题考查了立方根的定义，正确变形、熟练掌握立方根的概念是关键．6．C解析：C【分析】利用36＜48＜49得到6＜7−1进行估算．【详解】解：∵36＜48＜49， ∴6＜7，∴5-1＜6． 故选：C ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．7．C解析：C 【分析】根据无理数的定义、算术平方根与立方根逐个判断即可得． 【详解】314.4285717=小数点后的428571是无限循环的，属于有理数，3=-属于有理数，=则无理数为π-⋯，共有3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了无理数、算术平方根与立方根，熟记各定义是解题关键．8．A解析：A 【分析】根据数轴可得a>0，b<0，然后根据加法法则可得a ＋b ＜0，然后根据平方根的性质和绝对值的性质及立方根化简即可． 【详解】解：由数轴可得：a>0，b<0， ∵|a |<|b |， ∴a ＋b ＜0，∴||a b +=()a a b b ++- =2a 故选A ． 【点睛】此题考查的是平方根的化简和绝对值的化简及开立方根，掌握利用数轴判断各字母的符号、加法法则、平方根的性质和绝对值的性质是解题关键．9．D解析：D【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出．【详解】解：根据实数与数轴上的点是一一对应关系．故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．10．D解析：D【分析】根据正数、平方根、无理数的估算与定义逐项判断即可得．【详解】AB是2的平方根，此项叙述正确；C、12<<，此项叙述正确；D故选：D．【点睛】本题考查了正数、平方根、无理数的估算与定义，熟练掌握各定义是解题关键．11．C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】=，422=小数点后的142857是无限循环的，3.1428577π+⋯，共4个，,2故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记无理数的定义是解题关键．12．C解析：C 【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解. 【详解】由题意得：23522x -=， ∴29x =， ∵2(39)±=， ∴3x =±， 故选：C. 【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键.二、填空题13．（1）441或49；（2）或【分析】（1）分情况讨论这两个平方根相等或互为相反数求出a 的值在算出这个正数；（2）由（1）的结果分情况讨论根据平方根和立方根的定义算出结果【详解】解：（1）若这两个平方解析：（1）441或49；（2）2±【分析】（1）分情况讨论，这两个平方根相等或互为相反数，求出a 的值，在算出这个正数； （2）由（1）的结果分情况讨论，根据平方根和立方根的定义算出结果． 【详解】解：（1）若这两个平方根相等，则3215a a +=-，解得18a =， 这个正数是：()2218321441+==；若这两个平方根互为相反数，则32150a a ++-=，解得4a =， 这个正数是：()2243749+==；（2）若18a ==若4a =4==，4的平方根是2±． 【点睛】本题考查平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义以及计算方法．14．（1）；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）设正方形边长为a 根据正方形面积公式结合平方根的运算求出a 值则知结果；（2）①根据面积相等利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1）的原理得出大正解析：（1）2,2-；（2）①见解析；②见解析， 350.5-+<- 【分析】（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果； （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1）的原理得出大正方形的边长为5，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，再把N 点表示出来，即可比较它们的大小． 【详解】解：设正方形边长为a ， ∵a 2=2， ∴a=2±，故答案为：2，2-；（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：②设拼成的大正方形的边长为b ， ∴b 2=5， ∴b=±5，在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为-3+5，看图可知，表示-0.5的N 点在M 点的右方，∴比较大小：350.5-+<-． 【点睛】本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．15．（1）；（2）22；（3）-1【分析】（1）先去括号同时将小数化为分数再计算加减法；（2）先计算乘方再计算乘除法最后计算加减法；（3）先计算乘方和绝对值再计算加减法【详解】（1）==；（2）==20解析：（1）182；（2）22；（33-1 【分析】（1）先去括号，同时将小数化为分数，再计算加减法； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法； （3）先计算乘方和绝对值，再计算加减法. 【详解】（1）36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=336144++ =182； （2）()()232524-⨯--÷ =()4584⨯--÷ =20+2 =22；（3）()225--=4-（）= 【点睛】此题考查运算能力，掌握有理数的加减法计算法则，乘方的计算法则，实数的绝对值化简，有理数的混合运算法则是解题的关键.16．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数②无限不循环小数③含有π的数找出无理数的个数【详解】解：在这5个数中属于无理数的有这2个数故答案是：【点睛】本题考查了无理数的知识解答本题的关键是掌握无，π- 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数． 【详解】3=-，在2-，227，π-5，π-，这2个数，π-． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．17．4【分析】原式利用平方根立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的运算熟练掌握平方根立方根定义是解本题的关键解析：4【分析】原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．【详解】解：原式282=-+-4=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．18．（1）4a+b ；（2）；（3）6a-3b-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4加上第二个数据此列式即可；（2）根据新运算分别计算出与即可得到答案；（3）根据新运算分别化简再将ab 的值代解析：（1）4a+b ；（2）≠；（3）6a-3b ，-12【分析】（1）观察得到新运算等于第一个数乘以4，加上第二个数，据此列式即可；（2）根据新运算分别计算出a b 与b a 即可得到答案； （3）根据新运算分别化简再将a 、b 的值代入计算． 【详解】（1）ab =4a+b ， 故答案为：4a+b ； （2）a b =4a+b ，b a =4b+a ， ∵a b ， ∴a b ≠b a ，故答案为：≠；（3）()()2a b a b -+ =4（a-b ）+（2a+b ）=4a-4b+2a+b=6a-3b ，当1a =-，2b =时，原式=-6-6=-12．【点睛】此题考查新定义运算，整式的加减混合运算，正确理解新定义的运算规律并解决问题是解题的关键． 19．【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x 的方程解方程即可得到解答【详解】解：由题意得：（5x-x ）⊙(−2)=−1∴-2（5x-x ）-（-2）=-1∴-8x+2=-1解之得：故答案为【点睛】本解析：38【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x 的方程，解方程即可得到解答．【详解】解：由题意得：（5x-x ）⊙(−2)=−1，∴-2（5x-x ）-（-2）=-1，∴-8x+2=-1，解之得：38x =， 故答案为38． 【点睛】 本题考查新定义下的实数运算，通过阅读题目材料找出有关定义和运算法则并应用于新问题的解决是解题关键 ．20．【分析】根据新定义将3与-2代入原式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了新定义运算把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键 解析：3-【分析】根据新定义,将3与-2代入原式求解即可.【详解】()()()23*223232-=-+⨯--+461=-- 3=-．故答案为：3-．【点睛】本题考查了新定义运算,把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键.三、解答题21．1【分析】先计算乘方、算术平方根，然后计算乘法和减法，即可得到答案．【详解】解：2(3)2--924=-⨯98=-1=．【点睛】本题考查了算术平方根、乘方、有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．22．（1）5x =5y =+2【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；（2）先求出xy 的值，再根据算术平方根的定义求解．【详解】解：（1）(250x -+≥，50y -≥，(2550x y -++--=，50x ∴-=，50y --=，解得：5x =5y =+（2）(5525322xy =-=-=， xy ∴．【点睛】本题考查了非负数的性质，以及算术平方根的定义，根据非负数的性质求出x ，y 的值是解答本题的关键．23．3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ，∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)， 即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r 的方程． 24．（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．【详解】解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★； 2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； ∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．故答案为：22ab ab +．（3）2111222216222a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．【点睛】此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 25．1【分析】根据新运算的运算法则计算即可．【详解】解：()()()2322231-⊕=⨯---⨯-()4614611=----=-+-=．【点睛】本题考查新定义下的有理数运算，通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键． 26．（1）354；（2）-1；（3）1-；（4）9． 【分析】（1）运用乘法分配律去括号，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式首先计算乘除法选辑减去息怒可；（3）原式首先化简算术平方根和立方根，再进行加减运算即可得到答案； （4）首先计算乘方运算，再计算括号内，最后算乘法即可得到答案．【详解】解：（1）3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ =33231(8)()()()44343-⨯-+-⨯+-⨯- =11624-+ =354； （2）178(4)4(5)-÷-+⨯-=17+2-20=-1；（316 3⎫-⎪⎪⎭=115+()633-+-=5+0-6 =-1；（4）223232 23⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=34(92) 29-⨯-⨯-=3(42) 2-⨯--=3(6) 2-⨯-=9．【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．。

一、选择题 1．若227(7)0x y z -+++-=，则x y z -+的平方根为（ ）A ．±2B ．4C ．2D ．±4 2．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b3．在03、0.53639227-、π、-0.1616616661……（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．在0.010010001，3.14，π10，1.51，27中无理数的个数是（ ）． A ．5个B ．4个C ．3D ．2个 5．下列说法正确的是（ ）A ．22B ．（﹣4）2的算术平方根是4C ．近似数35万精确到个位D 2156．85 ）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．81的平方根是（ ）A ．9B ．-9C ．9和9-D ．81 8．下列说法中，错误的有（ ）①符号相反的数与为相反数； ②当0a ≠时，0a >；③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远； ⑤数轴上的点不都表示有理数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知无理数m 55π-的整数部分相同，则m 为（ ）A 5B 10C 51D ．5π-1064 ）A ．8B ．8-C ．22D ．22±11．下列有关叙述错误的是（ ）A ．2是正数B ．2是2的平方根C ．122<<D ．22是分数 12．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n二、填空题13．定义一种新运算，观察下列式子：212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； （1）计算：()32-★的值；（2）猜想：a b =★________；（3）若12162a +=-★，求a 的值． 14．计算：3612516-+-+=____．15．比较大小：|5|-________25-．（填“>”“=”或“<”）16．37-的相反数是________；绝对值等于3的数是________17．我们知道2 1.414≈，于是我们说：“2的整数部分为1，小数部分则可记为21-”．则：（1）21+的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（2）已知32+的小数部分是a ，73-的小数部分为b ，那么a b +=__________； （3）已知11的在整数部分为x ，11的小数部分为y ，求1(11)x y --的平方根． 18．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy 4+，则2@6 =____．19．比较大小：326-________3-（用“>”，“<”或“=”填空）．20．实数a 在数轴上的位置如图所示，则()()233210a a -+-化简后为___________．三、解答题21．（1）求x 的值：2490x -=；（2()2325227-22．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即0,0,0,a b a b a b a b a b a b ->>⎧⎪-==⎨⎪-<<⎩则则则 例如：比较192-与2的大小； 1922194--=-，161925<<，则4195<<，19221940∴--=->，1922∴->．请根据上述方法解答以下问题：（1）比较大小：329_______3；（2）比较223-与3-的大小，并说明理由．23．计算：（1）32125(2)(10)4----⨯- （2）2325(24)27-⨯--÷24．计算：（1）()2325273-+-． （2）()2411893⎡⎤⎛⎫--⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 25．如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c ，试化简()323|-|b a c a b -++．26．把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，2-，32-，0.31，038-π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：______（2）分数：______（3）无理数：______【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x ，y ，z ，算出代数式的值计算即可；【详解】∵27(7)0y z ++-=，∴207070x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得277x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()27716x y z -+=--+=，∴4=±；故选：D ．【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键． 2．A解析：A【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a ，b 的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．【详解】由图可知：0a b <<， 且a b >，∴0a b +<，0a ->，原式()()a b a b =-++-+a b a b =---+2a =-．故选：A ．【点睛】考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．3．B解析：B【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．【详解】解：0、0.536、227-是有理数，π，0.1616616661-（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）是无理数，故选：B．【点睛】本题考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据无理数的概念解题，找出无理数的个数即可，无限不循环小数称为无理数；【详解】在0.010010001，3.14，π，1.51，27中无理数有π共2个，故选D．【点睛】本题考查了无理数的概念，正确掌握无理数的概念是解题的关键；5．B解析：B【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，近似数的定义及无理数的估算方法分别计算可判定求解．【详解】解：A.2的平方根是，故错误；B．（﹣4）2的算术平方根是4，故正确；C．近似数35万精确到万位，故错误；D．∵4＜5，∴4，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，近似数，无理数，掌握相关概念及性质是解题的关键．6．B解析：B【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出23<<，进而得出答案．【详解】解：459<<，<<23<<，83882∴-<<-，586∴<，8∴5．故选：B ．【点睛】7．C解析：C【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【详解】解：2(9)81±=， 81的平方根是9±．故选：C【点睛】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型． 8．D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确； a≠0，即a ＞0或a ＜0，也就是a 是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确； 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D ．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提． 9．C解析：C【分析】m 的整数部分与小数部分，进而可得答案．【详解】解：因为23， 3.14π≈，-的整数部分为1，2，5π所以无理数m的整数部分是12，m=+=．所以121故选：C．【点睛】m的整数部分与小数部分是解题的关键．10．D解析：D【分析】=，再根据平方根的定义，即可解答．8【详解】=，8的平方根是±8故选：D．【点睛】=．811．D解析：D【分析】根据正数、平方根、无理数的估算与定义逐项判断即可得．【详解】AB是2的平方根，此项叙述正确；C、12<<，此项叙述正确；D、是无理数，不是分数，此项叙述错误；2故选：D．【点睛】本题考查了正数、平方根、无理数的估算与定义，熟练掌握各定义是解题关键．12．B解析：B【分析】根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．【详解】解：∵n+p=0，∴n 和p 互为相反数，∴原点在线段PN 的中点处，∴绝对值最大的一个是Q 点对应的q ．故选B ．【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．二、填空题13．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程再进一步解方程即可【详解】解：（1）∵；；；；；∴；（2）由解析：（1）0；（2）22ab ab +；（3）5a =-【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方法求解即可；（3）利用规定的运算方法得到方程，再进一步解方程即可．【详解】解：（1）∵212122128=⨯+⨯⨯=★；2232322330=⨯+⨯⨯=★；()()()221212212-=⨯-+⨯⨯-=-★； ()()213132133-=-⨯+⨯-⨯=★；； ∴()()()232322320-=⨯-+⨯⨯-=★；（2）由（1）可得：22a b ab ab =+★．故答案为：22ab ab +．（3）2111222216222a a a +++=⨯+⨯⨯=-★， 解得：5a =-．【点睛】此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键． 14．5【分析】先化简绝对值求立方根和算术平方根再加减即可【详解】解：==5故答案为：5【点睛】本题考查了绝对值立方根算术平方根的运算准确运用法则是解题关键解析：5【分析】先化简绝对值、求立方根和算术平方根，再加减即可．【详解】解：6-，+-+，=6(5)4=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值、立方根、算术平方根的运算，准确运用法则是解题关键．15．>【分析】先求出=5=-5再比较即可【详解】因为=5=-55>-5所以>故答案为：>【点睛】考核知识点：实数大小比较求出绝对值和算术平方根是关键解析：>【分析】-=5，，再比较即可．先求出|5|【详解】-=5，，5>-5，因为|5|->所以|5|故答案为：>．【点睛】考核知识点：实数大小比较．求出绝对值和算术平方根是关键．16．【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分析得出答案【详解】的相反数是；绝对值等于的数是故答案为：；【点睛】本题主要考查了绝对值以及相反数正确掌握相关定义是解题关键【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分析得出答案．【详解】；【点睛】本题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．17．（1）2；（2）1；（3）【分析】（1）先估算出的取值范围再确定的整数部分和小数部分；（2）先估算出和的取值范围再确定a与b的值最后代入代数式计算即可；（3）先估算出的取值范围再确定xy的值最后代入解析：（1）21；（2）1；（3）3±．【分析】（11的整数部分和小数部分；（22和7-a 与b 的值，最后代入代数式计算即可；（3的取值范围，再确定x 、y 的值，最后代入代数式计算即可．【详解】解：（1）∵1＜2＜4∴1＜2 ∴1， ∴1的整数部分为212+-1故答案为21；（2）∵1＜3＜4∴12∴1，∴2的整数部分为3，小数部分为21-；7-的整数部分为5，小数部分为b=75--=2∴1+2=1故答案为1；（3）∵9＜11＜16∴3＜4 ∴x=3，小数部分为-3∴()3211(3==3=9x y --- ∵3±．故答案为3±．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键．18．4【分析】把x=2y=6代入x@y=中计算即可【详解】解：∵x@y=∴2@6==4故答案为4【点睛】本题考查了有理数的运算能力注意能由代数式转化成有理数计算的式子解析：4【分析】把x=2，y=6代入中计算即可．【详解】解：∵，∴=，故答案为4．【点睛】本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．19．＞【分析】正实数都大于0负实数都小于0正实数大于一切负实数两个负实数绝对值大的反而小据此判断即可【详解】解：因为＜＜所以2＜＜3所以-3＜-＜-2故答案为：＞【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法解析：＞【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】所以2＜3所以，-3＜-2故答案为：＞【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．20．8【分析】先根据数轴的定义可得从而可得再计算算术平方根和立方根即可得【详解】由数轴的定义得：则所以故答案为：8【点睛】本题考查了数轴算术平方根和立方根熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键解析：8【分析】先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．【详解】由数轴的定义得：48a <<，则20,100a a -<->，2108a a =-+-=， 故答案为：8．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．三、解答题21．（1）32x =或32x =-；（2）4【分析】（1）利用开方要根的概念求出x 的值即可；（2）根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（1）294x = 32x =或3-2x = (2)原式＝5+2﹣3＝4．【点睛】 本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．22．（1）＞；（2）3-＜2【分析】（1，可得：3＜4，从而可得答案；（245，从而可得：0＜5-0＜()23-，从而可得答案．【详解】解：（1）327＜，3∴＜4，故答案为：＞．（2）16＜4∴5，0∴＜50∴＜3+2，0∴＜()23-，∴3-＜2-．【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．23．（1）-12，（2）-12．【分析】（1）、（2）两小题都属于实数的混合运算，先计算乘方和开方，再计算乘除，最后再算加减即可得出结果．【详解】解：（1321(2)(10)4---⨯-1100458=⨯+- 1325=-12=-，（2）225(24)-⨯--÷45(24)3=-⨯--÷208=-+12=-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，根据算式确定运算顺序并运用相应的运算法则正确计算是解题的关键．24．（1）11；（2）-10【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算乘方、开方和括号里面的运算，然后计算括号外面的乘法，求出算式的值是多少即可．【详解】解：（1()23- 539=-+11=．（2）()21183⎤⎛⎫-⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ ()211839⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭ ()5189=⨯- 10=﹣．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．25．2a-c【分析】根据数轴得到a<b<0<c ，由此得到a-c<0，a+b<0，依此化简各式，再合并同类项即可.【详解】由数轴得a<b<0<c ，∴a-c<0，a+b<0，∴|-|a c =-b-（c-a ）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.【点睛】此题考查数轴上的点表示数，利用数轴比较数的大小，绝对值的性质，立方根的化简，整式的加减法计算法则，解题的关键是依据数轴确定各式子的符号由此化简各式.26．（1）2020，02）1.4，32-，0.31；（3），π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【分析】根据实数的分类进行填空即可．【详解】，（1）整数：2020，0（2）分数：1.4，32-，0.31（3）无理数：π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）故答案为：2020，0 1.4，32-，0.31；π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）【点睛】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键．。

内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】 判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【难度】1星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +，故A 的算术平方根为216a +．【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________． 【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数， 因为24843=⨯整数的整数a 为3．【答案】3【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1； （2 （3（4） ； （5）； （6；【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0x ≥；（2）x =0；（3）2x ≤；（4）x 为任意数；（5）x >1；（6）112x -≤≤．对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【例4】 求下列各式的值（1） （2（3 （4（5 （6【难度】1星（1）2612⨯=； （27512=+=；（30.30.80.5-=-； （4290.91365=⨯=；（520===； （6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12； （2）12； （3）0.5-； （4）965； （5）20； （6）5.2．【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【例6】已知2b =，求11a b+的平方根． 【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩，49a ∴=，b =2，=【答案】【巩固】已知x ，y ，z满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值． 【难度】2星 【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y -1111()()22416=--⨯-=．【答案】116总结： （1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<的算术平方根的大致范围．模块二 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（ ）A ．- B ．114± C ． 114 D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1-D ．4【难度】1星 【解析】略【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【难度】2星 【解析】略【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8）对计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2．【例9】 求下列各式的值（1 （2（3） （4）3（5 （6（7【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【巩固】（1）填表：（2（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．【难度】2星 【解析】略【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ②0.7696．总结 ：（1） 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．（2）a =，3a =（3） 若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根． 【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+=．【答案】1【例11】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根． 【难度】2星【解析】Q2(2)=±，6x ∴=；Q 3=，8y ∴=，10==±．【答案】10±总结：平方根与立方根的区别与联系： 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略． （2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数． （3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．模块三 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】 判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ） （5）若x =则x =（ ） 【难度】2星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【例13】 下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星 【解析】略【答案】D【例14】 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【难度】1星 【解析】略 【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【难度】1星 【解析】略【答案】【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______． 【难度】1星 【解析】略【答案】-3.141π；【例17】 若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）－1 3.14-、1、7.0&、0；（2、π（3）－10（4π、1、7.0&；（5）－1、 3.14-、比较大小【例19】 估 ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【难度】1星【解析】略 【答案】C【例20】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】２星【解析】略【答案】B【例21】 一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-， 【难度】1星【解析】略 【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．对计算的考察【例22】 计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．综合应用【例23】 写出符合条件的数． （1）小于25的所有正整数； （2）绝对值小于22的所有整数．【难度】2星【解析】略【答案】（1）1，2，3，4；（2）1-，2-，0，1，2．【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ，则有2143150x =，解得15x =．【答案】15【例25】 已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【难度】2星【解析】91116<<Q ，∴3114<<，11∴的整数部分为3，小数部分为113-，3,113a b ∴==-，32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-．【答案】16-总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >；若2()a ＜2()b ，则a b <； 若2()a ＝2()b ＞，则a b =．（2）比较被开方数的大小：a ＞0，b ＞0， 若a ＞b ，则a b >； 若a ＜b ， 则a b <；若a ＝b ，则a b =．（3）作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ．（4）作商法：a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ．【练习1】下列说法正确是（ ）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中，真命题是（ ）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C6=± D ．若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．6 BCD．【难度】２星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算：（1（2【难度】1星【解析】（1585355245420+=-+=-； （2340.60.4-+=-． 【答案】（1）3220-；（2）0.4-．【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy +3的值． 【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x ，y 的值，代入即可解决问题．【答案】21.通过本堂课你学会了 ．2.通过本节课，你复习的知识点 ．3.掌握的不太好的部分 ．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】1星【解析】错误的有（1），（2），（4）．【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′的坐标为 ．【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【难度】1星 课后作业 总结复习【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =． 【答案】21x x x>>>5.计算:（1 （2）2(2)-【难度】1星【解析】（111213333=-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【难度】1星【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．【难度】2星【解析】Q 0a +，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+Q ，1n n ∴<<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【难度】2星【解析】（5=（6=【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【难度】3星 【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-Q ，b a ∴≥，2,4a b ∴==，==。

一、选择题1．若表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b a b -++的结果等于（ ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a 2．实数316,027,40.10.3133133314π-⋯,，,（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．下列各式中,正确的是( ) A 16B ．16C 3273-=-D 2(4)4-=- 4．下列各式计算正确的是（ ）A 235+=B ．236=（）C 824=D 236= 5．下列计算中，正确的是（ ）A ．((22253532=-= B ．(3710101010= C ．a b a c a bc =D ．(3232321=-= 6．1x -x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x≥1D ．x≤17．已知|a+b ﹣220a b +-=，则（a ﹣b ）2017的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2015D ．﹣2015 8．3 ）A ．﹣5B ．0C ．3D 2 9．已知21a -与2a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A ．9B ．3C ．1D ．81 10．2 ）A 2B ．面积为22C 2是2的算术平方根D 2211．下列说法正确的是（ ）A 5B ．55C ．2 3D 的点12．估计( ） A ．4和5之间 B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间 二、填空题13．计算：34011|3|(22-⎫⎛-+---+-= ⎪⎝⎭____．14．和b a -=______．15．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________．16．已知M 是满足不等式a <<N M N +的平方根为__________．17．的整数部分a=_____，小数部分b=__________．18．比较大小：“＞”、“＜”或“＝”）．19．16的平方根是_________，算术平方根是__________.20．=_______．三、解答题21．计算：（11；（2）()()()243332x x x x x x -⋅--÷-．22．已知2x ＋3的算术平方根是5，5x ＋y ＋2的立方根是3，求x ﹣2y ＋10的平方根． 23．计算：（1（2）2|1(2)+--24．阅读材料：我们定义：如果一个数的平方等于1-，记作21i =-，那么这个i 就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a bi +（a ，b 均为实数）的形式，其中a 叫做它的实部，b 叫做它的虚部．复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似．例如计算：()()()()62362382i i i i i ++-=++-=-．根据上述材料，解决下列问题：（1）填空：3i ______，6i =_________；（2）计算：2(32)i +；（3）将32i i+-化为a bi +（a ，b 均为实数）的形式（即化为分母中不含i 的形式）． 25．在数轴上点A 为原点，点B 表示的数为b ，点C 表示的数c ，且已知b 、c 满足b 1+=0，（1）直接写出b 、c 的值：b=______，c=_______；（2）若BC 的中点为D ，则点D 表示的数为________；（3）若B 、C 两点同时以每秒1个单位长度的速度向左移动，则运动几秒时，恰好有AB=AC ？26．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由数轴可判断出a ＜0＜b ，|a|＞|b|，得出a−b ＜0，a ＋b ＜0，然后再根据这两个条件对式子化简．【详解】解：∵由数轴可得a ＜0＜b ，|a|＞|b|，∴a−b ＜0，a ＋b ＜0，∴a b -|a−b|＋|a ＋b|＝b- a −（a ＋b ）＝b- a –a-b=−2a ．故选：C ．【点睛】此题考查数轴，二次根式的化简，绝对值的化简，先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，掌握求绝对值的法则以及二次根式的性质，是解题的关键．2．A解析：A【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答．【详解】 符合无理数定义的有：0.3133133314π-⋯, ，故选：A ．【点睛】此题考查无理数定义，熟记定义是解题的关键． 3．C解析：C【分析】根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．【详解】A 4=，此项错误；B 、4=±，此项错误；C 3=-，此项正确；D 4==，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．4．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则一一判断即可．【详解】AB 、错误，212=（；C ==D ==故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型． 5．D解析：D根据二次根式的性质逐一判断即可；【详解】2228=-=-A 错误；=B 错误；=a C 错误；321=-=，故D 正确； 故答案选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，结合平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键． 6．C解析：C【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】∵∴x−1≥0，解得：x≥1．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．7．A解析：A【详解】解：由题意得122a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：10a b =⎧⎨=⎩()()20172017101a b ∴-=-=故选A ． 8．C解析：C【详解】1.732≈ ，A,B,D 选项都比1.732小，只有9．A解析：A【分析】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得2120a a --+=，解方程可得1a =-，然后再求出这个正数即可．【详解】解：由题意得：2120a a --+=，解得：1a =-，213a -=-，23a -+=，则这个正数为9．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 10．D解析：D【分析】根据无理数的定义，正方形面积的计算公式，算术平方根的定义，倒数的定义依次判断即可得到答案．【详解】解：A 是无理数是正确的，不符合题意；B 、面积为2是正确的，不符合题意；C 是2的算术平方根是正确的，不符合题意；D 的倒数是2，原来的说法是错误的，符合题意． 故选：D ．【点睛】此题考查无理数的定义，正方形面积的计算公式，算术平方根的定义，倒数的定义，熟记各定义是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．【详解】解：A A 错误；B 、5的平方根是B 错误；C ∴23，故C 正确；D D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．12．C解析：C【分析】原式利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，估算即可．【详解】解：(2＋ ∵16＜24＜25，即42＜2＜52，∴4＜＜5，∴6＜2＋＜7，∴(6和7之间． 故选：C ．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题13．【分析】原式第一项利用有理数的乘方运算法则第二项利用绝对值的代数意义第三项利用负整数指数幂的法则第四项利用零指数幂的运算法则分别化简各项后再进行加减运算即可【详解】解：=-1+3+8+1=11故答案解析：11【分析】原式第一项利用有理数的乘方运算法则，第二项利用绝对值的代数意义，第三项利用负整数指数幂的法则，第四项利用零指数幂的运算法则分别化简各项后，再进行加减运算即可．【详解】解：34011|3|(22-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭=-1+3+8+1=11．故答案为：11．【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．14．【分析】由最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义先求出ab 的值然后进行计算即可得到答案【详解】解：∵最简二次根式和可以合并∴和是同类二次根式∴∴∴；故答案为：【点睛】本题考查了最简二次根式的定义以 解析：19【分析】由最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，先求出a 、b 的值，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵和 ∴和∴124135a a b -=⎧⎨-=+⎩， ∴32a b =⎧⎨=⎩， ∴2139b a --==； 故答案为：19． 【点睛】 本题考查了最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟记所学的定义，正确求出a 、b 的值．15．10202550【分析】①由魔术数的定义分别对345三个数进行判断即可得到5为魔术数；②由题意根据魔术数的定义通过分析即可得到答案【详解】解：根据题意①把3写在1的右边得13由于13不能被3整除故3解析：10、20、25、50．【分析】①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”； ②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①把3写在1的右边，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔术数；把4写在1的右边，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔术数；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是魔术数；故答案为：5；②根据题意，这个两位数的“魔术数”为x ，则1001001n x n x x+=+， ∴100n x为整数， ∵n 为整数， ∴100x为整数， ∴x 的可能值为：10、20、25、50； 故答案为：10、20、25、50．【点睛】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题． 16．±3【分析】先通过估算确定MN 的值再求M+N 的平方根【详解】解：∵∴∵∴∵∴∴a 的整数值为：-1012M=-1+0+1+2=2∵∴N=7M+N=99的平方根是±3；故答案为：±3【点睛】本题考查了算解析：±3【分析】先通过估算确定M 、N 的值，再求M+N 的平方根．【详解】解：∵<< ∴221， ∵< ∴23<<，∵a <<∴23a -<<，∴a 的整数值为：-1，0，1，2，M=-1+0+1+2=2， ∵<∴78<<，N=7， M+N=9，9的平方根是±3；故答案为：±3．【点睛】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键．17．【分析】将已知式子分母有理数后先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分【详解】解：∵4＜7＜9∴2＜＜3即2+3＜＜3+3∴即实数的整数部分是则小数部分为故答案为：【点睛】本题考查了分母有解析：212 【分析】的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．【详解】32==， ∵4＜7＜9，∴2＜3，即2+3＜3+＜3+3，∴532<<的整数部分是2a =，则小数部分为2b =-=故答案为：2，12-． 【点睛】 本题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．18．＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内再比较大小即可【详解】∵==＜∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键解析：＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可．【详解】 ∵， ∴故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．19．±44【解析】∵42=16(−4)2=16∴16的平方根为±4；算术平方根为4故答案为±44解析：±4 4【解析】∵42=16，(−4)2=16，∴16的平方根为±4；算术平方根为4.故答案为±4，4.20．【分析】设将等式的两边平方然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论【详解】解：设由算术平方根的非负性可得t≥0则故答案为：【点睛】此题考查的是二次根式的化简掌握完全平方公式和二次根式的性【分析】t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，则244t=+=+8=+8=+81)=+62=1)1∴=．t．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．三、解答题21．（1）4-2）2x【分析】（1）根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可；（2）按照整式混合运算顺序和法则计算即可．【详解】解：（1）原式)()413=---41312=-+-4=-（2）原式()23323332x x x x =---+ 23323332x x x x =-+-=2x【点睛】本题考查了算术平方根、立方根和整式的运算，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算．22．±9【分析】根据立方根与算术平方根的定义得到5x ＋y ＋2＝27，2x ＋3＝25，则可计算出x ＝11，y ＝﹣30，然后计算x ﹣2y ＋10后利用平方根的定义求解．【详解】解：因为2x ＋3的算术平方根是5，5x ＋y ＋2的立方根是3，∴23255227x x y +=⎧⎨++=⎩解得：1130x y =⎧⎨=-⎩， ∴x ﹣2y ＋10＝81，∴x﹣2y ＋10的平方根为：9=±．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键． 23．（1）13；（2）3 【分析】（1）直接利用算术平方根的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简在计算得出答案．（2）直接利用绝对值的性质、平方的的性质计算得出答案．【详解】解：（1=1-2+4=1-23+1=3（2）2|1(2)+--14+=3【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．24．（1）i -，1-；（2）512i +；（3）1i +【分析】（1）根据21i =-，则i 3=i 2•i ，i 4=i 2•i 2，然后计算；（2）根据完全平方公式计算，出现i 2，化简为-1计算；（3）分子分母同乘以(2)i +后，把分母化为不含i 的数后计算．【详解】解：（1）∵21i =-，∴321i i i i i =⋅=-⋅=-，6222i i i i 1(1)(1)1=⋅⋅=-⋅-⋅-=-．故答案为：,1i --；（2）222(32)31249124512i i i i i +=++=+-=+；（3）223(3)(2)655512(2)(2)45i i i i i i i i i i i ++++++====+--+-． 【点睛】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．25．（1）-1；7；（2）3；（3）运动3秒时，恰好有AB=AC ．【分析】（1）根据非负数的和为零，可知绝对值和根号下的式子同时为零，可得答案； （2）根据中点坐标公式，可得答案；（3）设第x 秒时，AB=AC ，可得关于x 的方程，解方程，可得答案．【详解】解：（1）b 1+=0，∴b+1=0，c−7=0，∴b=−1，c=7，故答案为：−1，7．（2）由中点坐标公式， 得1732-+=， ∴D 点表示的数为3，故答案为：3．（3）设第x秒时，AB=AC，由题意，得x+1=7−x，解得x=3，∴第3秒时，恰好有AB=AC．【点睛】本题主要考查实数与数轴，难度一般，熟练掌握绝对值和二次根式的非负性以及数轴的基础知识是解题的关键．26．3【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．【详解】-==-=．3333【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．。

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。

根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

一、选择题 1．计算82÷的结果是（ ）A ．10B ．6C ．4D ．22．16的平方根是（ ）A ．4B ．4±C ．2±D ．-2 3．如图，长方形ABCD 中，43,4AB BC ==，点E 是DC 边上的动点，现将BCE 沿直线BE 折叠，使点C 落在点F 处，则点D 到点F 的最短距离为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．下列各式中,正确的是( ) A 16B ．16C 3273-=- D 2(4)4-=- 5．在数2277，01822)316112π-，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）中，无理数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．172178a a b --=+a b - ）．A ．3±B ．3C ．5D ．5± 7．已知 ||3a =，216b =，且0a b +<，则代数式-a b 的值为（ ） A ．-1或-7 B ．1或-7 C ．1或7 D ．±1或7± 8．下列说法中不正确的是（ ）A ．0是绝对值最小的实数B ()222-=C ．3是9的一个平方根D ．负数没有立方根 9．在代数式13x -中，字母x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ≥1 C ．x ＜1 D ．x 13≤ 10．下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）2＝x 2+y 2B ．（﹣12x 2）3＝﹣16x 6C ．215-＝125D ．2(5)-＝5 11．下列各计算正确的是（ ） A ．382-= B ．842= C ．235+= D ．236⨯=12．如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A ．若点A 对应的数字为a ，则下列说法正确的是（ ）A ．a>-2.3B ．a<-2.3C ．a=-2.3D ．无法判断二、填空题13．实数a 、b 在数轴上所对应的点如图所示，则|3﹣b |+|a +3|+2a 的值_____．14．若202120212a b -+=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．15．3x -+|2x ﹣y |＝0，那么x ﹣y ＝_____．16．对于任意非零实数a ，b ，定义运算“※”如下：“a b ※”a b ab-=，则12233420202021++++※※※※的值为__________． 1783=______． 18．()22120x y +-=，则xy =_________．19．37-的整数部分a=_____，小数部分b=__________． 20．188=_____．三、解答题21．如果一个正方形ABCD 的面积为69．（1）求正方形ABCD 的边长a ．（2）正方形ABCD 的边长满足m a n <<，m ，n 表示两个连续的正整数，求m ，n 的值．（3）M 、N 在满足（23m n -的值22．（1）计算：23)(23)123+；（2）解方程组：1327x y x y +=-⎧⎨-=⎩． 23．计算题：（1）12273⨯； （2）20105025-⨯-； （3）()()()2533531+⨯--- 24．计算：()22021(3)333-⎛⎫--+- ⎭+⎪⎝． 25．（1）计算：271223+-； （2）计算：()()6565+-． 26．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，；C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________；（2）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为____________；（3）将（m为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】a=（a≥0，b>0）进行计算即可．a bb【详解】84＝2，2故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是注意结果要化成最简二次根式．2．C解析：C【分析】先计算16的算术平方根a，再计算a的平方根即可.【详解】∵164=，∴4的平方根为±2．故选C.【点睛】本题考查了实数的算术平方根，平方根，准确掌握这两个基本概念是解题的关键.3．B解析：B【分析】连接DB，DF，根据三角形三边关系可得DF+BF＞DB，得到当F在线段DB上时，点D到点F的距离最短，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接DB，DF，在△FDB中，DF+BF＞DB，由折叠的性质可知，FB=CB=4，∴当F在线段DB上时，点D到点F的距离最短，在Rt△DCB中，228BD DC BC+=，此时DF=8-4=4，故选：B．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理，三角形三边关系．翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．C解析：C【分析】根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．【详解】A164=，此项错误；B、164±=±，此项错误；C3273-=-，此项正确；D2(4)164-==，此项错误；故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．5．C解析：C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】22 7，0，2(2)2=，这些数都是有理数；，=112π-，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0），是无理数，无理数共有5个．故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义和各种类型．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 6．C解析：C【分析】根据二次根式的性质求出a=17，b=-8【详解】∵a-17≥0，17-a ≥0，∴a=17，∴b+8=0，解得b=-8， ∴5==，故选：C ．【点睛】此题考查二次根式的性质，化简二次根式，熟记二次根式的性质是解题的关键． 7．C解析：C【分析】分别求出a 与b 的值，再利用0a b +<这一条件判断出a 、b 的值，进而分情况讨论即可解题．【详解】 解 ||3a =，216b =，3,4a b ∴=±=±，0a b +<，3,4a b ∴==-或3,4a b =-=-，7a b ∴-=或1，故选C ．【点睛】本题考查了去绝对值和求平方根，正确的确定a 、b 的值是解答本题的关键． 8．D解析：D【分析】根据实数，平方根和立方根的概念逐一判断即可．【详解】0的绝对值是0，负数的绝对值为正数，正数的绝对值为正数，正数大于0，故A 正确；2，故B 正确；9的平方根是3±，故C 正确；任何数都有立方根，故D 错误；故选D ．【点睛】本题考查了实数的概念，求一个数的平方根或立方根，熟练掌握平方根和立方根的概念是本题的关键．9．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可；【详解】由题意得，x ﹣1≥0，解得x≥1，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确掌握知识点是解题的关键；10．D解析：D【分析】直接利用积的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质和二次根式的性质、完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2，故此选项错误；B 、（﹣12x 2）3＝﹣18x 6，故此选项错误； C 、215-＝25，故此选项错误；D 5，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、二次根式的性质、完全平方公式，解题关键是熟知这些性质，并能准确应用．11．D解析：D【分析】分别计算即可．【详解】解：A. 382-=-，原式错误，不符合题意； B. 82=，原式错误，不符合题意； C. 235+≠，不是同类二次根式，不能合并，原式错误，不符合题意； D. 236⨯=，原式正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式和立方根的运算，解题关键是熟练掌握二次根式和立方根的运算法则，准确进行计算．12．A解析：A【分析】先利用勾股定理求出长方形对角线OB 的长，即为OA 的长，然后根据A 在原点的左边求出数轴上的点A 所对应的实数为5-，再根据22.3 5.295=>判断出5 2.3->-即可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，长方形对角线的长OB 22215+=5OA OB ∴==，点A 在原点的左边，∴点A 所对应的实数为5a =又∵22.3 5.295=>，∴5 2.3，∴5 2.3>-，即 2.3a >-．故选A ．【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理、比较无理数大小，求出5OA =题的关键．二、填空题13．﹣2a ﹣b 【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案【详解】解：由数轴可得：a ＜﹣0＜b ＜故|﹣b|+|a+|+＝﹣b ﹣（a+）﹣a ＝﹣b ﹣a ﹣﹣a ＝﹣2a ﹣b 故答案为：﹣2a ﹣b 【解析：﹣2a ﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：a 0＜b ，故﹣b |+|ab ﹣（a ）﹣ab ﹣a ﹣a＝﹣2a ﹣b ．故答案为：﹣2a ﹣b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．14．5【分析】由绝对值和算术平方根的非负性求出ab 所有的可能值即可得到答案【详解】解：∵且均为整数又∵∴可分为以下几种情况：①解得：；②解得：或；③解得：或；∴符合题意的有序数对共由5组；故答案为：5【 解析：5【分析】由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案．【详解】解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，又∵20210a -≥0≥，∴可分为以下几种情况：①20210a -=2=，解得：2021a =，2017b =-；②20211a -=1=，解得：2020a =或2022a =，2020b =-；③20212a -=0=解得：2019a =或2023a =，2021b =-；∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组；故答案为：5．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．15．﹣3【分析】先根据非负数的性质列出方程组求出xy 的值进而可求出x ﹣y 的值【详解】解：∵+|2x ﹣y|＝0∴解得所以x ﹣y ＝3﹣6＝﹣3故答案为：-3【点睛】本题考查了二次根式的非负性绝对值的非负性根解析：﹣3【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x 、y 的值，进而可求出x ﹣y 的值．【详解】解：∵+|2x ﹣y |＝0，∴3020x x y -=⎧⎨-=⎩， 解得36x y =⎧⎨=⎩． 所以x ﹣y ＝3﹣6＝﹣3．故答案为：-3【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，根据题意得到关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值是解题关键．16．【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案【详解】解：根据题意∵∴……∴=====故答案为：【点睛】此题主要考查了实数运算正确将原式变形是解题关键 解析：20202021-【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案．【详解】解：根据题意， ∵“a b ※”a b ab-=， ∴12※121(1)122-==--⨯，231123()2323-==--⨯※，……， ∴12233420202021++++※※※※ =122320202021122320202021---+++⨯⨯⨯ =11111(1)()()22320202021------- =111111(1)223320202021--+-+-+-=1 (1)2021 --=2020 2021 -．故答案为：2020 2021 -．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．17．【分析】根据二次根式的性质进行化简【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简解题的关键是掌握二次根式的性质和分母有理化解析：3【分析】根据二次根式的性质进行化简．【详解】=故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是掌握二次根式的性质和分母有理化．18．-1【分析】由非负数的性质可知x=-y=2然后求得xy的值即可【详解】解：∵|+（y-2）2=0∴2x+1=0y-2=0∴x=-y=2∴xy=-×2=-1故答案为：-1【点睛】本题考查了非负数的性质解析：-1【分析】由非负数的性质可知x=-12，y=2，然后求得xy的值即可．【详解】解：∵（y-2）2=0，∴2x+1=0，y-2=0，∴x=-12，y=2．∴xy=-12×2=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．19．【分析】将已知式子分母有理数后先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分【详解】解：∵4＜7＜9∴2＜＜3即2+3＜＜3+3∴即实数的整数部分是则小数部分为故答案为：【点睛】本题考查了分母有解析：2 【分析】的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．【详解】==， ∵4＜7＜9，∴2＜3，即2+3＜3+＜3+3，∴532<<的整数部分是2a =，则小数部分为31222b =-=．故答案为：2， 【点睛】 本题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．20．【分析】先化简二次根式再合并同类二次根式即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．三、解答题21．（1；（2）8m =，9n =；（3）－5【分析】（1）正方形ABCD 的边长a ，由正方形面积269a =．开平方即可；（2）正方形ABCD 的边长满足m a n <<，即m n <<，可得2269m n <<，可得m 2=64,n 2=81，开平方即可；（3）当8m =，9n =计算即可．【详解】解：（1）正方形ABCD 的边长269a =．0a a =>，a=；（2）正方形ABCD 的边长满足m a n <<，∴m n <<，∴2269m n <<，∴m,n 都为整数，而且是连续正整数，∴m 2=64,n 2=81，∴8m =，9n =；（3）当8m =，9n =，235--=-．【点睛】本题考查平方根，算术平方根，无理数估值，代数式求值，掌握平方根，算术平方根求法，无理数估值方法，代数式求值的方法是解题关键．22．（1）1，（2）12x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）按照二次根式的运算法则计算即可；（2）用加减消元法解方程组即可．【详解】解：（1）=222-+=232-+=1 （2）1327x y x y +=-⎧⎨-=⎩①② ①×2+②得，55=x ，1x =,把1x =代入①得，1+y=-1，y=-2，∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二次根式计算和解二元一次方程组，解题关键是熟练运用二次根式运算法则和加减消元法解方程组．23．（1）2）8+；（3）【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的乘除法运算法则计算即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的运算法则计算即可；（3）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再利用二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】（1====（2=102=-+8=（3）23)(31)+--2(31)=--22223211⎡⎤=---+⎣⎦9531=--+=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是正确化简二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则．24．【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂以及平方，再计算加减混合运算．【详解】 解：原式111999=+-+ 10=．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂以及平方的性质．25．（1）5；（2）1【分析】（1）将原式化为最简二次根式，在根据二次根式的加减法则运算即可（2）按平方差公式展开，利用二次根式的性质化简，再进行计算即可【详解】（15=（2）22-=65=-1=【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，解题关键是熟练掌握运算法则，准确计算．26．【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案；（2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．【详解】解：【初步探究】（1）177777=÷÷=③；111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤； 故答案为：17；64-；（2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确； C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨， 619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=⑧， ∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确；故选：C ．【深入思考】（1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥； 71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=； 故答案为：4m n a +-．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．。

杂谈初中比较负数大小的三种方法作者：任飞飞来源：《读写算·教研版》2014年第20期摘要：比较两个数的大小从小学，初中，高中甚至大学有各种各样的方法。

我们学过的数也从小学学的自然数扩充到初中的有理数，无理数，实数，再到高中学的复数。

站在初中知识的舞台上，我们会发现：比较两数大小的核心是，比较两负数的大小。

本文介绍三种比较负数大小的方法，并分别从学生和老师的角度阐述三种比较方法的特点与差异。

关键词：负数大小；数轴；绝对值；作差中图分类号：G643 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）20-082-02整个初等数学的学习过程中，比较两个数的大小有六种方法。

《中学生数理化中》有一篇题为《比较负数大小的6绝招》中这样介绍道：第一招：利用法则比较；第二招：利用数轴比较；第三招：利用求差法比较；第四招：利用球商法比较；第五招：利用倒数比较；第六招：利用同分子（同分母）比较。

学生进入初中阶段，在学习北师大版七年级数学上册第二章教材学习有理数之后，比较两个数的大小就重点放在比较两个负数的大小。

纵览整个初中数学的知识内容，我总结出比较两个负数的大小最常用以下3种方法：（1）.借助数轴比较（2）.利用绝对值比较（3）通过有理数减法法则进行比较。

下面本文将重点从3种方法的特点、学生接受的难易程度、对老师教学的启示等三个方面进行简单的剖析与阐述。

一、上述3种方法的特点任何事情都有其两面性，这三种方法在比较两个负数大小时也不例外，同样有各自的优缺点。

下面具体来看看。

1、借助数轴进行大小比较此法的思路非常简单：画数轴，在数轴上标出所要比较的数，然后根据数轴上的数右边的总是大于左边的数给出结果。

这种方法更适合的是三个后三个以上的负有理数比较大小。

也就是所要比较的数越多，用此法就越值当。

可是，如果面对的是刚刚从小学升入初中的学生。

他们刚刚接触数轴，在数轴上正确的标出一些有理数对他们来说是有一定难度的。

人教版初中数学知识点总结归纳大全初中数学知识宝典知识归纳第1章数与式第1节实数知识点内容按正负分实数的分类，可以分为正实数（正有理数和正无理数）和负实数（负有理数和负无理数）。

数轴是表示实数的图形工具，它由三个要素组成：原点、正方向和单位长度。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

相反数是指只有符号不同的两个数，它们互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。

绝对值是一个数在数轴上对应的点到原点的距离。

对于实数a，它的绝对值等于a本身（a≥0），或者等于-a（a＜0）。

如果a≠0，则a与它的倒数互为倒数。

没有倒数的数是0.如果a、b互为倒数，则它们的积等于1.实数的大小比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

比较无理数的方法有估算法、平方法和作差法等。

实数的加法按同异号分为两种情况。

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

实数的减法等价于加上这个数的相反数。

实数的乘法按同异号和0的情况分为三种情况。

同号两数相乘得正，异号两数相乘得负；任何数与0相乘，积为0.除以一个数（不等于0），等于乘这个数的倒数。

实数的幂运算有同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则。

同底数幂的乘法法则是，底数相同的幂相乘，等于底数不变、指数相加的幂。

幂的乘方法则是，同一个数的幂的乘方等于底数不变、指数相乘的幂。

代数式是由数和字母及其组合通过运算符号构成的式子。

整式是只包含有限个项的代数式。

单项式是只有一个项的整式，多项式是有两个或两个以上的项的整式。

同类项是具有相同字母部分和相同指数部分的项。

整式的运算法则包括合并同类项法则和去括号法则。

合并同类项法则是将同类项合并成一个项，系数相加。

去括号法则是将括号中的项乘以括号外的系数，并合并同类项。