比较无理数大小的几种方法(第1讲)

解答题1．写出所有适合下列条件的数：（1）大于小于的所有整数；（2）绝对值小于的所有整数．考点：估算无理数的大小。

分析：（ 1）由于 16＜ 17＜25，9＜ 11＜ 16．由此得到﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4．所以只需写出在﹣ 5 和 4 之间的整数即可；（2）由于 16＜ 18＜25，所以 4＜＜5．只需写出绝对值小于 5 的所有整数即可．解答：解：（ 1）∵ 16＜ 17＜ 25，9＜ 11＜ 16，∴﹣ 5＜＜﹣4，3＜＜4，∴大于小于的所有整数：﹣4，± 3，± 2，± 10，；（2）∵ 16＜ 18＜ 25，∴4＜＜5，∴绝对值小于的所有整数：± 4，± 3，± 2，± 10，．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念．2．（ 1）如图 1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2 所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．考点：估算无理数的大小；平方根。

分析：（ 1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长；（2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数．解答：解：（ 1）边长 =cm；（ 2 分）（2）大的正方形的面积=32+32=18；（ 3 分）边长 =，∴边长不是整数，（4分）∵（5 分）∴4≤．（6 分）点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．设的小数部分为a，的倒数为b，求 b﹣ a2的值．考点：估算无理数的大小。

选择题：1．（2011•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：估算无理数的大小。

分析：本题需先根据已知条件分别求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值．解答：解：a、b均为正整数，且，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a+b的最小值4．故选B．点评：本题主要考查了如何估算无理数的大小，在解题时要能根据题意求出a、b的值是本题的关键．2．（2011•资阳）如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q考点：估算无理数的大小；实数与数轴。

专题：应用题。

分析：先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．解答：解：∵12.25＜14＜16，∴3.5＜＜4，∴在数轴上表示实数的点可能是点P．故选C．点评：本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．3．（2011•徐州）估计的值（）A．在2到3之间B．在3到4之间C．在4到5之间D．在5到6之间考点：估算无理数的大小。

专题：计算题。

分析：先确定的平方的范围，进而估算的值的范围．解答：解：9＜=11＜16，故3＜＜4；故选B．点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．4．（2011•天津）估计的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间考点：估算无理数的大小。

专题：计算题。

分析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，从而求出即可．解答：解：∵＜＜，∴3＜＜4，故选：C．点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出最接近的完全平方数是解决问题的关键．5．（2011•台湾）如图数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在下列哪一线段上（）A．OA B．AB C．BC D．CD考点：估算无理数的大小；实数与数轴。

中考数学比较两个数大小的六种技巧
中考数学比较两个数大小的六种技巧
在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。

怎样比较数与数之间的大小呢？下面介绍一些常用的方法供大家参考。

一．求差法
求差法的基本思路是：设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b 0时，a0时，a b。

”来比较a与b的大小。

二. 求商法
求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的.商，再根据“当时，ab。

”来比较a与b的大小。

三.倒数法
倒数法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当时，a 当时，a b,”来比较a与b的大小。

四．估算法
求商法的基本思路是：设a、b为任意两个正实数，，先估算出a、b两数中某部分的取值范围，再进行比较。

五．平方法
平方法的基本思路是：先将要比较的两个数分别平方，再根据“在时，可由得到”来比较大小。

这种方法常用于比较无理数的大小。

六．移动因式法
移动因式法的基本思路是：当时，若要比较形如 r的两数的大小，可先把根号外的因数a与c平方移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

两个实数大小的比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。

【中考数学比较两个数大小的六种技巧】
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无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。

无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。

但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。

这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。

一、平方法：两个数分别平方，再比较。

例1：比较的大小与711513++。

解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。

二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。

例2：比较2-5与52-5的大小。

解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。

这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。

例3：比较6-7与5-6的大小。

解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。

这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。

例4：比较62-112与65的大小。

解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。

五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。

例5：比较3-7与2-6的大小。

解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。

2.4估算教学目标知识与技能：1.能通过估算检验计算结果的合理性.2.能估计一个无理数的大致范围.3.通过估算比较两个数的大小.过程与方法：通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感.情感态度与价值观：掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感.教学重难点重点：估计一个无理数的大致范围.难点：通过估算比较两个数的大小.教学准备教师准备：梯子模型.学生准备：复习开平方和开立方及比较数的大小的方法.教学过程一、导入新课导入一:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示.如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢?导入二:自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算)导入三:“神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为.【提示】v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒.二、构建新知（1）引例探究[过渡语]通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢?某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得x·2x =400000,2x2=400000,x=.那么=?【问题】(1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流.(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米)【问题解决】(1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为202100平方米,大家估计一下,哪个数的平方是202100?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方.(2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米.[设计意图]从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.[过渡语]我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢?【问题】(1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流.①≈0.066;②≈96;③≈60.4.(2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1)【问题解决】(1)这些结果都不正确.(2) ≈10.[设计意图]同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.（2）例题讲解[过渡语]学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢?例题：生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗?〔解析〕梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果.解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=, 因为5.62=31.36<32,所以>5.6,因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.（3）比较无理数的大小【问题】比较与的大小.【问题解决】与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以.[知识拓展]1.确定无理数近似值的方法(估算法).(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要求的误差大小确定小数部分.例如:估算的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<<20,所以的整数部分是19,由于误差小于1,所以的估算值是19或20,即约等于19或20.若要确定十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72= 388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<<19.7.(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定的整数部分,因为≈1.111,把中的被开方数的小数点向右移动4位,得,其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以的整数部分是111.2.比较无理数大小的方法.(1)估算法.例如:比较与的大小,因为3<<4,所以0<-3<1,所以.(2)作差法.若->0,则;若-<0,则.例如:比较与的大小,也可以这样解:因为-<0,所以.(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2和3的大小,因为=24,=27,所以2<3.(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.另外还有倒数法、作商法.比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较和的大小,因为分子都是,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以.也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的反而小.三、课堂总结1.确定无理数近似值的方法——估算法.2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.四、课堂练习1.已知的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.解:因为9<13<16,所以3<<4,所以a=3,b=-3,所以原式=9-3-(-3)=6-+3=9-.2.比较-1与1.5的大小.解:用作差法可得-1-1.5=-2.5<0,所以-1<1.5.五、板书设计2.4估算1.引例探究.2.例题讲解.3.比较无理数的大小.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材第34页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第34页习题2.6第1,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列结果正确吗?请说明理由.(1)≈60.4;(2)≈351;(3)≈35.1;(4)≈10.6.2.通过估算,比较下面各组数的大小.(1) 与;(2)与3.1.【能力提升】3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120210000 m2.(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误差小于1 m)5.设a =,b =,c =2,则a,b,c之间的大小关系是 ()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.(+1)(-1)=1,()(-)=1,()(-)=1,()(-)=1……(1)根据上面的规律,计算下列式子.+…+·(+1).(2)利用上面的规律,试比较-与-的大小.【拓展探究】7.先填写下表,通过观察后再回答问题.a…0.000001 0.00010.011 100 100001000000………(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?(2)已知=1800,-=-1.8,你能求出a的值吗?(3)试比较与a的大小.【答案与解析】1.解:(1)错误.因为显然小于60. (2)错误.因为显然小于100. (3)正确.因为35.12=1232.01. (4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以≈10.6.2.解:(1) 因为3<<3.2, 所以1<<1.1,而1>,所以.(2)因为3.13=29.791,而30>29.791,所以>3.1.3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2+(3x)2=,即4x2+9x2=39,13x2=39,x2=3,x=.所以长为3x=3≈5.20(cm),宽为2x=2≈3.46(cm).4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120210000,x2=40000000,x=×1000.因为<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m. (2)因为≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m. (3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=×10,因为81<85<100,所以,即9<<10,所以的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<<9.3,所以92<<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.5.D(解析:∵a2=2021+2,b2=2021+2,c2=4004=2021+2×1002,1003×997=1000000-9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)6.解:(1)由上面的规律可直接写出-,则+…+·(+1)=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]·(+1)=(-1)(+1)=2021.(2)∵,,又,∴,∴--.7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位. (2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000. (3)当0<a<1时,>a;当a=1或0时,=a;当a>1时,<a.教学反思这节课的内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,学习起来难度就比较大,因此在教学中选取学生熟悉的问题情境引入,激发学生的学习兴趣.比如,本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.由于误差的原因,不少学生对自己的估计结果产生了怀疑,所以提前明确精确度,让学生掌握估算的方法,找到解决问题的信心.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.设计一些误差影响较小的题目,或者估算前明确精确度,并举例说明.教材习题答案随堂练习(教材第34页)1.解:(1)≈3.7. (2)≈9.2.解:因为6<6.25,所以,而=2.5,所以<2.5.习题2.6(教材第34页)1.提示:(1)≈6. (2)≈5.1.2.解:(1)因为<2,所以-1<1,所以. (2)因为3.852=14.8225<15,所以>3.85.3.提示:要比较与的大小,只要比较4(-1)与5的大小即可,即4与9的大小,而(4)2=80<92,所以4<9,所以.4.解:(1)不正确.因为显然大于10. (2)不正确.因为显然小于100.5.提示:约为4 m.6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2=+4.82,解得x=>5.素材例1：估计+1的值在()A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间〔解析〕利用“夹逼法”得出的取值范围,继而便可得出+1的取值范围.因为22<<32,所以2<<3,所以3<+1<4.故选B.例2：已知a,b为两个连续整数,且a<<b,则a+b=. 〔解析〕因为4<<5,所以a=4,b=5,所以a+b=9.故填9.。

估算知识点一:方根的估算估算是现实生活在中一种常用的解决问题的方法,很多情况下需要估算无理数的近似值,估算的一般步骤 （1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数)之间 （2）确定无理数的整数（3）按要求估算,一般地，开平方估算到一位小数,开立方估算到整数 例1:估算下列数的大小）（精确到0.132733453（精确到1)知识点二：比较无理数的大小１．估算法:用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时,一般先采用分析的方法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较 例２:比较 的大小与4143-102.求差法b a b a >>-则若,0;b a b a <<-则若,0；b a b a ==-则若,03.平方法:当比较两个带根号的无理数的大小时，可用如下结论:若b a b a b a 33,0>>≥>则，若题型一：估算是现实生活中一种常用 的解决问题的方法,如有一片长方形小树林，长是宽的3倍,而对角线的长为21０米,若每棵树的占地面为1平方米，则这片小树林共有多少棵树?这片长方形小树林的长大约是多少米？(精确到1米）知识清单全练知识点一：方根的估算对方根进行估算,平方根一般精确到____＿＿______，立方根一般精确到___＿＿＿＿_____＿_基础闯关全练知识点一:方根的估算１. 0．0０057的算术平方根在 ( )A.0.05与０.0６之间B.0.02与0.03之间 Ｃ．0．03与0.04之间 D.0.２与0.3之间 2.估算结果的误差最小的是 ( )A.5.312≈ Ｂ.10300≈ C.1012343≈ D.01.06.0≈3.一个正方体的体积为28360立方厘米,则这个正方体的棱长估计为 （ )A.22厘米 B ．２7厘米 C.３0.5厘米 D.4０厘米 4.大于17-3且小于103的整数有＿___＿＿__＿＿＿＿个知识点二:比较无理数的大小 5.将757575，，三数按从小到大的顺序排列为______＿_＿_＿_______＿__ 6.比较大小51171+）（ 与109（2） 5.124与三年模拟全练 一：选择题1.将2,，，525这三个数用“>”连接正确的是（ )A.5252>> B ．5225>> C.2525>> D.2255>>2.一个正方形的面积是1２，估计它的边长大小在（ ）Ａ．2与３之间 B.3与4之间 C.４与５之间 D,5与6之间 3.估计6+1的值在( )A.２与３之间B.3与4之间 C ．4与５之间 D,５与6之间 二：填空题4.若m 是13的整数部分,其小数部分为n ，则ｎ的值为__＿_＿__＿＿＿5.比较大小:4＿＿＿＿23 五年中考全练１.a,b 是两个连续整数,若b a <<7,则a,b 的分别是__＿_________＿２.下列无理数中，在-2与-1之间是( ）A.5- B ．3- C.3 D,5 3.大于的整数是且小于52＿__________4.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_______＿＿______二次根式知识点一:二次根式，最简二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数2.最简二次根式:同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数中不含分母;(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式例1．在个中，最简二次根式有，，，_____21862知识点二:二次根式的性质 1.性质:（1){002≥≤-==a a a a a a（2))0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积(３）)0,0(>≥=b a ba b a 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 2.化二次根式为最简二次根式的一般步骤:（1)把被开方数中的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数（2)被开方数是整数或是整式,先将它分解因式或因式,然后把开得尽方的因数或因式化到根号外面（３)化去分母中的根号或根号内的分母(4）约分 例2:化简3283知识点三:二次根式的运算1.在实数范围内,可以进行加,减,乘,除，乘方和开方的运算，并且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立2.二次根式的乘除运算公式)0,0(≥≥•=b a b a ab)0,0(>≥=b a ba b a 3.二次根式加减运算步骤：（1）把二次根式化成最简二次根式（2）找出同类二次根式（被开方数相同）,并合并 例３：计算下列各式 6332⨯ 12-31））（（121-2+练习:）（18-212 ）（）（5-62322+ 632-5520⨯+ 题型二：利用二次根式计算几何问题例2：如图，每个小正方形的边长为1,求∆AB Ｃ的面积和周长实数知识清单全练:知识点一:二次根式,最简二次根式的概念1.一般地,形如___＿____（a 》0）的式子叫做二次根式,ａ叫做___＿_____2.最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）被开方数不能含_＿_______＿的因数或因式（2）被开方数的因数是＿_________＿，因式是_＿＿_________＿ 知识点二：二次根式的性质 3.二次根式的性质（1）()0_________2≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a（2）()()()0________0_________0________2<=>==a a a a a 或或（3）()0,0______≥≥=b a ab（4）()0,0_________>≥=b a ba知识点三：二次根式的运算4.二次根式的加减运算:先化成_____＿_＿_____二次根式，再合并___________二次根式5.二次根式的乘法运算：)0,0(__________≥≥=•b a b a ;)0,0________(>≥=b a ba基础闯关全练知识点一：二次根式，最简二次根式的概念 1.下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）)1(1)6()31()5(8)4(1-33-23122>--+x x x ）（）（ 2.下列二次根式中，最简二次根式是( ） A.23a Ｂ.31Ｃ.152 D ．143 3.使式子2-m 的意义的ｍ的最小整数值是__＿___＿_＿_____ 知识点二：二次根式的性质4.若______20的最小值是是整数，则正整数n n5.化简:530.22211-1321知识点三：二次根式的运算6.如果bab a b a ab =<+>）那么下面各式：（1,0,0(2)b b a ab a b b a -=÷=•)3(1其中正确的是____＿＿7.下列二次根式中,不能与合并的是（）2Ａ.21Ｂ.8 C.12 D.18 8．按如图所示的程序计算,若开始输入的ｎ值为2，则最后输出的结果是_＿______＿_______9.化简）（222-8+=＿＿＿_______10.计算1052-40⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 361-24÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-31227+18-2148+ ()()16-3-737+()()()2-551-5-22+。

填空题：1．（2011•芜湖）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=11．考点：估算无理数的大小。

分析：根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．解答：解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．点评：此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．2．（2011•无锡）写出一个大于1且小于2的无理数．考点：估算无理数的大小。

专题：开放型。

分析：由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．解答：解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．点评：此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．（2011•六盘水）一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数4与5之间．考点：估算无理数的大小；算术平方根。

分析：本题需要先按要求找到4与5相乘，得出正方形的面积是20，即可求出答案．解答：解：∵正方形的面积是20，∴它的边长在整数：在4与5之间．故答案为：4，5．点评：本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．4．（2011•抚顺）若两个连续的整数a、b满足a＜＜b，则的值为．考点：估算无理数的大小。

分析：＜＜，由此可确定a和b的值，进而可得出的值．解答：解：∵3=＜＜=4，∴a=3，b=4，即=．故答案为：．点评：本题考查无理数的估算，注意夹逼法的运用．5．（2011•崇文区）与最接近的整数是4．考点：估算无理数的大小；二次根式的性质与化简。

专题：推理填空题。

分析：根据无理数的意义和二次根式的性质得出＜＜，即可求出答案．解答：解：∵＜＜，∴最接近的整数是，=4，故答案为：4．点评：本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在4和5之间，题目比较典型．6．（2010•呼和浩特）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=5．考点：估算无理数的大小。

实数大小比较的方法实数可以分为有理数和无理数．有理数的大小比较比较简单，但是两个无理数或者一个有理数和一个无理数比较大小就比较难，我们可以通过以下几种方法进行判断．一、平方法平方法就是将要求比较大小的两个数分别进行平方，通过比较平方结果的大小得出原来两个数的大小的一种方法．即当a>0，b>0时，若a>b ，则a >b ．例1 比较23和3的大小 分析：两个数都是正数，并且两个数平方之后能够将原有的根号去掉，所以可以将这两个数分别进行平方，通过比较平方结果的大小来比较原来两个数的大小，也就是将它们的大小比较转化为两个有理数的大小比较． 解：因为49)23(2=，4123)3(2==， 又因为49<412， 所以23<3． 二、移动因式法 移动因式法就是利用公式)0(2>=a a a ，将根号外面的因数移到根号的内部，或将根号内的因数移到根号外，再比较被开方数的大小的一种方法．例2 比较32和23的大小分析：可以根据二次根式中的计算公式，将根号外面的数移到根号内部，通过比较两个被开方数的大小，就可以的数原来两个数的大小结果． 解：因为1232=，1823=又因为12<18，所以12<18， 所以32<23．三、求差法求差法就是求出两个数的差，然后将所求的差与0进行大小比较，当差小于0时，被减数大，反之被减数小．可以记作：若0>-b a ，则b a >；若0=-b a ，则b a =；若0<-b a ，则b a <．例3 比较215-和21的大小 分析：215-不可能将根号外面的数移到根号内部，并且它平方的结果仍然带有根号，所以不能采用以上的两种比较大小的方法，但是可以通过求这两数的差来判断它们的大小：差为正数时，被减数大；差为负数时，被减数小． 解：因为215-－21=225-，因04525>-=-， 所以有215->21． 四、求商法求商法就是求出两个数的商，然后将商与1进行大小比较．当两个数都是正数时，商大于1时，分子较大，商小于1时，分母较大；当两个数都是负数时结果相反．常用的公式是当1>b a 时，则b a >；当1=b a 时，则b a =；1<b a ，则b a <．例4 比较534和11的大小 分析：本题可以利用求商法比较大小，还可以利用平方法或者移动因式法进行大小比较． 解：因为534÷11=11354=9980<1， 所以534<11． 友情提示：上面介绍的方法在求解某些题目时不可生搬硬套，而应根据题目的特点灵活运用；求解某些复杂的问题还可运用上面的解法综合求解．。

第三章实数（解析板）5、估算无理数的大小知识点梳理估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值同步练习一．选择题（共10小题）1．若k＜＜k+1（k是整数），则k＝（）A．6B．7C．8D．9【考点】估算无理数的大小．【分析】根据＝9，＝10，可知9＜＜10，依此即可得到k的值．【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k＝9．故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题．2．估计的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【考点】估算无理数的大小．【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．【解答】解：∵2＝＜＝3，∴3＜＜4，故选：B．【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．3．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，[﹣2.5]＝﹣3．现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（）A．1B．2C．3D．4【考点】估算无理数的大小．【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．【解答】解：121[]＝11[]＝3[]＝1，∴对121只需进行3次操作后变为1，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数．4．估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算出的范围，即可得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴4＜+1＜5，即+1在4和5之间，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．5．估计+1的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【分析】直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，∴+1在3和4之间．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．6．与最接近的整数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】实数；估算无理数的大小．【分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．【解答】解：∵36＜37＜49，∴＜＜，即6＜＜7，∵37与36最接近，∴与最接近的是6．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以＝6最接近．7．已知a为整数，且，则a等于（）A．1B．2C．3D．4【考点】估算无理数的大小．【分析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．【解答】解：∵a为整数，且，∴a＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．8．下列整数中，与10﹣最接近的是（）A．4B．5C．6D．7【考点】估算无理数的大小．【分析】解法一：由于9＜13＜16，可判断与4最接近，从而可判断与10﹣最接近的整数为6．解法二：计算3.5的平方与13作比较，再得10﹣＜6.5，可作判断．【解答】解：解法一：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，∴3.6＜＜3.7，∴﹣3.7＜﹣＜﹣3.6，∴10﹣3.7＜10﹣＜10﹣3.6，∴6.3＜10﹣＜6.4，∴与10﹣最接近的是6．解法二：∵3＜＜4，∴6＜10﹣＜7，∵3.52＝12.25，且12.25＜13，∴＞3.5，∴10﹣＜6.5，∴与10﹣最接近的是6．故选：C．【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．9．估计a＝×﹣1的值应在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出×＝，因为5＜＜6，所以×﹣1在4到5之间．【解答】解：a＝×﹣1＝﹣1，∵5＜＜6，∴在5到6之间，∴﹣1在4到5之间，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小等，比较简单，理解二次根式的意义是解题的关键．10．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣的点P应落在（）A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．【分析】根据2＜＜3，得到﹣1＜2﹣＜0，根据数轴与实数的关系解答．【解答】解：2＜＜3，∴﹣1＜2﹣＜0，∴表示数2﹣的点P应落在线段BO上，故选：B．【点评】本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解题的关键．二．填空题（共14小题）11．若5+的小数部分是a，5﹣的小数部分是b，则ab+5b＝2．【考点】估算无理数的大小．【分析】由于2＜＜3，所以7＜5+＜8，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴2+5＜5+＜3+5，﹣2＞﹣＞﹣3，∴7＜5+＜8，5﹣2＞5﹣＞5﹣3，∴2＜5﹣＜3∴a＝﹣2，b＝3﹣；将a、b的值，代入可得ab+5b＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．估算出整数部分后，小数部分＝原数﹣整数部分．12．已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝7．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大求得a、b的值，然后利用加法法则计算即可．【解答】解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4．∵a，b为两个连续整数，且a＜＜b，∴a＝3，b＝4．∴a+b＝3+4＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．13．已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m2﹣n＝12﹣．【考点】估算无理数的大小．【分析】由于3＜＜4，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分，小数部分让原数减去整数部分，代入求值即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴m＝3；又∵3＜＜4，∴n＝﹣3；则m2﹣n＝9﹣+3＝12﹣．故答案为：12﹣．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．估算出整数部分后，小数部分＝原数﹣整数部分．14．已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n＝7．【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4，∴m＝3，n＝4，∴m+n＝3+4＝7．故答案为：7．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键．15．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3．[]＝1，按此规定，[﹣1]＝2．【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出（﹣1）的范围，再根据范围求出即可．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，∴[﹣1]＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．16．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝11．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a＝5，b＝6，∴a+b＝11．故答案为：11．【点评】此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．17．规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2．按这个规定，[﹣﹣1]＝﹣5．【考点】估算无理数的大小．【分析】先求出的范围，求出﹣1的范围，即可得出答案．【解答】解：∵，∴，∴，∴[﹣﹣1]＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求的范围．18．设m＝，那么m+的整数部分是2．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据2＜＜3，可得答案．【解答】解：m+＝＝＝．∵2＜＜2.5，∴12＜6＜15，∴2＜m+＝＜3，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用算术平方根越大被开方数越大得出2＜＜3是解题关键．19．已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝．【考点】估算无理数的大小．【分析】先分别求出和的范围，得到a、b的值，再代入a+b计算即可．【解答】解：∵2＜＜3，2＜＜3，∴a＝﹣2，b＝2，a+b＝﹣2+2＝，故答案为．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出和的范围是解此题的关键．20．已知，则的值约为0.048．【考点】估算无理数的大小．【分析】由于当被开方数两位两位地移，它的算术平方根相应的向相同方向就一位一位地移，由此即可求解．【解答】解：把0.0023向右移动4位，即可得到23，显然只需对4.80向左移动2位得到0.048．故答案为：0.048．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和无理数的估算，关键是利用了被开方数与其算术平方根之间位数的移动关系．21．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是3．【考点】估算无理数的大小．【分析】估算得出的范围，进而求出x与y的值，即可求出所求．【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3，即1＜﹣1＜2，∴x＝1，y＝2，则x+y＝1+2＝3，故答案为：3【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．22．已知a，b为两个连续整数，且，则a+b＝7．【考点】估算无理数的大小．【分析】因为32＜13＜42，所以3＜＜4，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可．【解答】解：∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a＝3，b＝b，所以a+b＝7．故答案为：7．【点评】此题考查无理数的估算，利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法．23．若的整数部分是a，小数部分是b，则2a﹣b＝24﹣．【考点】估算无理数的大小．【分析】首先确定的范围，即可推出ab的值，把ab的值代入求出即可．【解答】解：∵8＜＜9，∴a＝8，b＝﹣8，∴2a﹣b＝2×8﹣（﹣8）＝24﹣．故答案为：24﹣．【点评】考查了估算无理数的大小，解此题的关键是确定的范围．8＜＜9，得出a，b的值．24．的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝2﹣．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据无理数大小可得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵的整数部分是a，小数部分是b，∴a＝1，b＝﹣1，则a﹣b＝1﹣（﹣1）＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了估计无理数，得出a，b的值是解题关键．三．解答题（共7小题）25．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c 的平方根．【考点】平方根；算术平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是的整数部分，∴c＝3，∴3a﹣b+c＝16，3a﹣b+c的平方根是±4．【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．26．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．（1）仿照以上方法计算：＝2；＝5．（2）若，写出满足题意的x的整数值1，2，3．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，3次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．【考点】估算无理数的大小；实数的运算．【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，∴5＜＜6，∴＝[2]＝2，[]＝5，故答案为：2，5；（2）∵12＝1，22＝4，且，∴x＝1，2，3，故答案为：1，2，3；（3）第一次：[]＝10，第二次：[]＝3，第三次：[]＝1，故答案为：3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．27．阅读下面的文字，解答问题，例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）已知：9﹣小数部分是m，9+小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值【考点】估算无理数的大小．【分析】（1）根据夹逼法可求的整数部分和小数部分；（2）首先估算出m，n的值，进而得出m+n的值，可求满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）∵9﹣小数部分是m，9+小数部分是n，∴m＝9﹣﹣4＝5﹣，n＝9+﹣13＝﹣4，∵（x+1）2＝m+n＝5﹣+﹣4＝1，∴x+1＝±1，解得x1＝﹣2，x2＝0．故满足条件的x的值为x1＝﹣2，x2＝0．故答案为：4，﹣4．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键．28．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；（3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【考点】估算无理数的大小．【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案；（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是，故答案为：4，﹣4；（2）∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∵3＜＜4，∴b＝3，∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1；（3）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴11＜10+＜12，∵10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝10+﹣11＝﹣1，∴x﹣y＝11﹣（﹣1）＝12﹣，∴x﹣y的相反数是﹣12+；【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键．29．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．【考点】估算无理数的大小．【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c 的值；（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∵c是的整数部分，∴c＝3．（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，∴3a﹣b+c的平方根是±4．【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．30．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值（3）已知：100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++24﹣y的平方根．【考点】平方根；估算无理数的大小．【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案；（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，故答案为：4，﹣4；（2）∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∵3＜＜4，∴b＝3，∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1；（3）∵100＜110＜121，∴10＜＜11，∴110＜100+＜111，∵100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝110，y＝100+﹣110＝﹣10，∴x++24﹣y＝110++24﹣+10＝144，x++24﹣y的平方根是±12．．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键．31．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求7a﹣2b﹣2c的平方根．【考点】平方根；估算无理数的大小．【分析】根据平方根、立方根、算术平方根，即可解答．【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵3a+b﹣9的立方根是2，∴3a+b﹣9＝8，∴b＝2，∵c是的整数部分，，∴c＝3，∴7a﹣2b﹣2c＝35﹣4﹣6＝25，∴7a﹣2b﹣2c的平方根是±5．【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义。

无理数集合测度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述无理数集合测度是数学中一个重要的概念，它与无理数的性质密切相关。

无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数，包括无限不循环小数和无限循环小数。

在数学中，我们常常将实数划分为有理数和无理数两大类。

有理数是可以用两个整数的比值来表示的实数，包括整数、分数以及有限不循环小数。

而无理数则是一类特殊的实数，它们具有无穷的小数位数，且没有循环。

无理数集合包括像π，√2和e等著名的无理数。

无理数集合测度是对无理数集合进行度量的一种方法。

它允许我们衡量无理数集合的大小、稠密程度等性质。

通过测度，我们可以比较不同无理数集合之间的大小关系，进一步深入了解无理数的分布规律。

本文将首先介绍无理数集合的定义和特点，包括无理数的基本概念及其在数学中的重要性。

然后，我们将探讨无理数集合测度的方法，包括测度的定义和计算方法。

最后，我们将总结无理数集合的测度，并探讨无理数集合测度在实际应用中的意义和作用。

通过对无理数集合测度的研究，我们可以更深入地理解无理数的特性和性质。

同时，无理数集合测度也为我们提供了一种衡量无理数集合大小和密度的工具，有助于在数学和其他领域中的实际应用中发挥重要的作用。

在接下来的章节中，我们将逐步展开对无理数集合的测度进行深入的研究和探讨。

1.2文章结构文章结构部分的内容应包括对整篇文章的结构进行简要介绍，提供读者一个整体的把握。

可以按照以下内容进行编写：文章结构部分将对本篇长文的整体结构进行介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的认识。

本文主要包含引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，我们将对文章的背景和研究的问题进行概述，说明无理数集合测度的重要性以及相关研究的现状。

在正文部分，我们将首先介绍无理数集合的定义和特点，探讨无理数集合与有理数集合的关系，以及无理数集合的性质和特征。

其次，我们将详细介绍无理数集合的测度方法，包括传统的长度测度和更一般的Lebesgue测度方法。

无理数的大小比较和排序在数学中，无理数是指不能表示为有限小数的实数。

它们与有理数相对，后者可以表示为两个整数之比。

无理数占据了实数线上绝大部分，如 $\pi$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等。

由于无理数的特殊性质，它们的大小比较和排序相对困难。

本文将探讨无理数的大小关系及排序方式。

一、大小关系大小关系是指判断两个实数大小的关系，一般可通过比较它们的差值来确定，然而对于无理数，常规判断方式是无法使用的。

例如，$\sqrt{2}$ 与 $\pi$ 两个数谁大谁小？这就需要使用一些特殊的技巧。

1. 估值法估值法是指使用有理数逼近无理数，这样就可以将无理数转化为有理数进行比较。

例如，将 $\sqrt{2}$ 逼近到小数点后第二位，则 $\sqrt{2}\approx1.41$，将 $\pi$ 逼近到同样的位数，得到$\pi\approx3.14$。

于是我们可以比较两个有理数的大小，得出$\pi>\sqrt{2}$。

估值法的优势在于易于理解，但它十分依赖于逼近的精度，如果逼近不够准确，比较的结果也不准确。

2. 平方比较法平方比较法比较适用于那些有一个数是某个整数的平方的情况。

由于 $\sqrt{k^2+n}$ 与 $k$ 相等，对于两个无理数 $x=\sqrt{a}$，$y=\sqrt{b}$，如果 $a-b$ 是某个整数 $k$ 的平方，则有：$$ x>y \Longleftrightarrow a-b=k^2 $$这时，无需估算就能判断它们的大小关系。

例如，比较$\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$，它们的差值为 $1$，是 $1$ 的平方，所以$\sqrt{2}<\sqrt{3}$。

平方比较法有一个明显的局限性，即 $a-b$ 必须是某个整数$k$ 的平方，这种情况并不常见。

3. 函数比较法函数比较法使用初等函数来确定两个无理数的大小关系，例如，对于两个正的无理数 $a$ 和 $b$，有以下结论：$$ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a<b $$$$ a^x < b^x \Longleftrightarrow a<b \quad\text{和}\quad x>0 $$$$ a^x > b^x \Longleftrightarrow a>b \quad\text{和}\quad x<0 $$函数比较法优势在于适用范围广，但对于一些不好表达的无理数，比如 $\pi$，也无法得出精确的结果。

估算无理数的大小在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。

一般情况下从1到达20 整数的平方都应牢记。

例：估算船的取值范围。

解：因为1 v 3 v 4，所以EI v U v H 即：1 Vv 2如果想估算的更精确一些比如说想精确到0.1 .可以这样考虑：因为17的平方是289 , 18的平方是324，所以1.7的平方是2.89 , 1.8的平方是3.24 .因为2.89 v 3 v 3.24 , 所以济v直v丽，所以1.7 v v 1.8。

如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。

比较无理数大小的几种方法：比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。

一、直接法直接利用数的大小来进行比较。

①、同是正数：例：心与3的比较根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。

因为3=宀>、「，所以3> '②、同是负数：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。

③、一正一负:正数大于一切负数。

二、隐含条件法：根据二次根式定义，挖掘隐含条件。

例:比较莎石与后巨的大小。

因为Ja_2成立所以a-2 M 0即a M 2所以1-a三-1所以】仝0, J门三-1以 Ja — 2 > 計' —a三、同次根式下比较被开方数法： 例:比较4氏与5止大小因为4运=J16x5 = 俪.5A /4 = A /25 x 4 = ^/100L所以 ,即 4<5^4四、作差法: 若 a-b>0,则 a>b 例：比较3-d 与宀-2的大小 因为3・'=5-2 -=3-品 y/~6 +2亦V =2 5所以：5-2曲>0 即 3- \ 乂>、' -2五、作商法：a>0,b>0,若'>1,则 a>b 石+1 需+2 例：比较*「与J 」' 的大小 蕩+1 侖+2 因为宀'「+ 石+ ] 祐+ 3_亦十2 需+ 2= ----- X六、找中间量法要证明a>b,可找中间量c ,转证 a>c,c>bVio+3 2厉 + 2例:比较E 2与+U I '的大小所以: 石+1 7^+2需+ 2 V 而+ —V10+3 2馆 + 2因为\W+2>1,1> 2-^ + 3A/To+3 2 腐+ 2所以烦+ 2 >2^5 + 3七、平方法：a>0,b>0,若a2>b 2则a>b。

冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》教学设计1一. 教材分析冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》这一章节是在学生已经掌握了有理数、实数相关知识的基础上，进一步引导学生学习无理数的大小比较。

无理数是实数的一部分，它无法表示为两个整数的比值。

本章节的教材通过实例和问题，让学生了解无理数的大小比较方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章节之前，已经掌握了有理数的知识，对实数也有一定的了解。

但是，对于无理数的大小比较，他们可能还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，我将会关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，让学生能够理解和掌握无理数的大小比较方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解无理数的大小比较方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极学习、主动探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的大小比较方法。

2.教学难点：理解和掌握无理数的大小比较方法，能够运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动参与、积极思考。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考无理数的大小比较。

2.知识讲解：讲解无理数的大小比较方法，并通过实例进行演示。

3.练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并小组讨论，分享解题心得。

4.拓展与应用：提出一些实际问题，让学生运用所学知识解决。

5.总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点和难点。

可以采用流程图、列表、图形等方式进行设计。

八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂表现、作业完成情况等方面进行。

冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》教学设计1一. 教材分析冀教版数学八年级上册《无理数的大小比较》是初中数学的重要内容，主要让学生了解无理数的概念，掌握无理数的大小比较方法，为后续学习实数和函数等知识打下基础。

本节课的内容包括无理数的定义、无理数的大小比较方法以及实数的大小比较。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的概念和运算方法，但对无理数的了解较少。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生从有理数过渡到无理数，通过实例让学生感受无理数的存在和特点。

同时，学生需要通过小组讨论和动手操作，掌握无理数的大小比较方法。

三. 教学目标1.理解无理数的概念，知道无理数的存在和特点。

2.掌握无理数的大小比较方法，能对无理数进行正确的大小比较。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.无理数的概念和存在性。

2.无理数的大小比较方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入无理数的概念，让学生感受无理数的存在。

2.小组讨论法：引导学生分组讨论，发现无理数的大小比较方法。

3.实践操作法：让学生动手操作，巩固无理数的大小比较方法。

六. 教学准备1.准备相关实例，如π、√2等无理数。

2.准备小组讨论的素材，如卡片、黑板等。

3.准备PPT，展示无理数的大小比较方法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实例，如π、√2等，引导学生思考：这些数是什么数？它们有什么特点？从而引出无理数的概念。

2.呈现（10分钟）教师讲解无理数的定义，让学生了解无理数的存在和特点。

同时，展示无理数的大小比较方法，如比较π和4的大小。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，动手操作，尝试对给定的无理数进行大小比较。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师挑选几组学生进行成果展示，让学生解释无理数的大小比较方法。

其他学生倾听，对照自己的做法，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，如如何比较无理数和有理数的大小？引导学生思考，进一步巩固无理数的大小比较方法。

数轴上的无理数数轴是我们学习数学时经常用到的一个工具，它能够帮助我们直观地理解和比较不同的数值大小。

在数轴上，我们不仅能够找到整数和分数这样的有理数，还能发现一类特殊的数，即无理数。

无理数是无法用有理数表示的实数，它们有着许多有趣的性质和应用。

本文将介绍数轴上的无理数及其常见的表示方法。

一、无理数的定义和性质无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。

举个例子，根号2是一个典型的无理数。

我们无法找到两个整数，使得它们的比等于根号2。

同样地，π和e这样的数也属于无理数。

无理数在数轴上的位置是非常特殊的。

由于无理数无法用有理数表示，它们在数轴上是无法精确地标记出来的。

然而，我们可以使用近似值来表示无理数在数轴上的位置。

例如，根号2约等于1.41，我们可以将它标记在数轴上离1.41这个位置比较近的地方。

另一个有趣的性质是，无理数在数轴上是无穷无尽的。

无理数的小数部分是无限不循环的，即它们没有重复的数字模式。

这使得无理数在数轴上没有终点，无论我们怎么放大数轴的尺度，都无法精确地将无理数用有限的长度表示出来。

二、无理数的表示方法无理数可以用不同的表示方法来表示。

下面是一些常见的表示方法：1. 无限不循环小数表示法：无理数可以通过无限不循环小数来表示。

这种表示方法将无理数的小数部分写成无限长的数字序列，例如根号2可以表示为1.41421356...。

虽然我们无法将整个无穷的小数写出来，但我们可以根据需要将其截断，以得到我们所需的精度。

2. 分数表示法：某些无理数可以表示为不可约分数的形式。

例如，根号2可以表示为2的平方根。

虽然这种表示方法不能精确地表示无理数在数轴上的位置，但它提供了一种近似的方式，使我们能够更好地理解无理数的大小关系。

3. 根式表示法：无理数可以用根式来表示。

例如，根号2可以表示为√2，π可以表示为π。

这种表示方法使无理数更加简洁和直观，方便我们在计算中使用。

三、无理数的应用无理数在许多领域中都有重要的应用。

浅析无理数的大小比较贵州省德江县楠杆中学梁亚数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。

在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。

但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。

为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。

我归纳了几点：一、直接比较法①、同是正数例、13与17的大小比较分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。

所以：13<17②、同是负数例、－39与－40的大小比较分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。

所以：－39>－40③、 一正一负 例、53与－9的大小比较 分析：正数大于一切负数。

所以：53>－9 二、 分母有理化法 例、13151-与15171-的大小比较分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子，1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是1517+，从而把此式化成)1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：)1315)(1315(1315+-+=21315+)1517)(1517(1517+-+=21517+因为分母都是2，分子大的那个就大。

所以：13151-<15171-三、 分子有理化法例、6778--与的大小比较分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，7878+-的有理化因子是67-的有理化因子是67+； 从而把此式化成78)78)(78(++-与67)67)(67(++- 即：78)78)(78(++-=781+ 67)67)(67(++-=671+ 所以：分子相同分母大的反而小，则78-<67- 四、 平方法 例、72+与63+的大小比较分析：是不是2+7=9与3+6=9因为9=9 所以：72+=63+错误：因为2与2不相同，也及3、6、7都是一样的，那怎么办呢？ 因为它们都是正数，不要怕，不妨把它们同时平方。