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§5.6 广义积分一、无限区间上的积分定义 5.2 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，取b a >，若极限lim ()bb af x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无限区间[,)a +∞上的广义积分；记作：()af x dx+∞⎰即()lim ()bb aaf x dx f x dx+∞→+∞=⎰⎰此时也称广义积分()af x dx +∞⎰收敛；若上述极限不存在，就称广义积分()af x dx +∞⎰发散；类似地，设()f x 在(,]b -∞上连续，取a b <，若极限lim()ba af x dx →-∞⎰存在，则称此极限为()f x 在无限区间(,]b -∞上的广义积分；记作()lim()bba af x dx f x dx→-∞-∞=⎰⎰此时也称广义积分()bf x dx -∞⎰收敛；若上述极限不存在，就称广义积分()bf x dx -∞⎰发散设()f x 在(,)-∞+∞上连续，若广义积分()cf x dx -∞⎰和()cf x dx +∞⎰都收敛，则它们的和称作()f x 在无限区间(,)-∞+∞上的广义积分；记作()()()ccf x dx f x dx f x dx+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰此时也称广义积分()f x dx +∞-∞⎰收敛；否则就称广义积分()f x dx +∞-∞⎰发散.如果()F x 是被积函数()f x 的一个原函数，则广义积分计算可以省略极限符号，记作()()aa f x dx F x +∞+∞=⎰()()bb f x dx F x -∞-∞=⎰()()f x dx F x +∞+∞-∞-∞=⎰例1 计算广义积分211dx x+∞⎰解：211dx x +∞⎰11x+∞=-(01)=--1=例2 计算广义积分20xe dx+∞-⎰解：20xedx +∞-⎰ 201(2)2xe d x +∞-=--⎰2012x e +∞-=-1(01)2=--12=例3 计算广义积分220(1)xdx x +∞+⎰ 解：22(1)x dx x +∞+⎰ 22211(1)2(1)d x x +∞=++⎰212(1)x +∞=-+1(0)2=--12=例4 已知广义积分211A dx x +∞-∞=+⎰，求常数A . 解：21A dx x +∞-∞+⎰ arctan A x +∞-∞=()22A ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦A π=1A π∴=1A π∴=例5 试确定不定积分11dx x α+∞⎰在α取什么值时收敛，取什么值时发散. 解：当1α=时11dx x α+∞⎰11dx x+∞=⎰1ln x +∞==+∞即1α=时， 11dx x α+∞⎰发散.当1α≠时 11dx x α+∞⎰111x αα-+∞=-1111ααα+∞<⎧⎪=⎨>⎪-⎩因此，当1α>时，11dx x α+∞⎰收敛，其值为11α- 当1α≤时，11dx x α+∞⎰发散.。
第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★无穷限的广义积分★无穷限的广义积分几何解释★例1 ★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★无界函数的广义积分★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分.解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散.例3(E03) 计算广义积分.解例4 计算广义积分解原式例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分.解故题设广义积分发散.例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.例10 计算广义积分瑕点.解,例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.例12 (E09) 计算广义积分.解被积函数有两个可疑的瑕点:和因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而例13计算解分母的阶数较高,可利用到代换,令则再令则课堂练习1. 计算广义积分;2. 判断广义积分的瑕点.科教兴国。
第四节 广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.（1）由曲线xy e -=，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0limlim 11bx bb b A e dx e --→+∞→+∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰ （2）由曲线xy e =，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0limlim 11x a a a a A e dx e →-∞→-∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰. 2．定义1.设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，取a b >.如果极限 ()dx x f bab ⎰+∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f a⎰+∞.即：()dx x f a⎰+∞()dx x f bab ⎰+∞→=lim————（1）这时，也称广义积分()dx x f a⎰+∞收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f a⎰+∞发散.定义2.设函数()x f 在区间(]b ,∞-上连续，取b a <.如果极限()dx x f baa ⎰-∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f b⎰∞-.即：()dx x f b⎰∞-()dx x f baa ⎰-∞→=lim————（2）这时，也称广义积分()dx x f b⎰∞-收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间(]b ,∞-上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f b⎰∞-发散.定义3.设函数()x f 在区间()-+∞∞，上连续，如果广义积()dx x f ⎰∞-0和()dx x f ⎰+∞都收敛，则称上述两广义积分之和为函数()x f 在区间()+∞∞-,上的广义积分，记作：()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0.------（3）这时，也称广义积分()dx x f ⎰+∞∞-收敛；否则，就称()dx x f ⎰+∞∞-发散.上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分. 例1． 求22111lim lim arctan lim arctan .1144|b b b b b dx dx x b x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤===-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ 注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限。
§5—4 广义积分一、无穷区间上的广义积分例1 如图，若求以y =21x 为曲顶、[21，A ]为底的单曲边梯形的面积S (A )，则是一个典型的定积分问题，S (A )=⎰A dx x 2211=2－A 1． 现在若要求由x =21， y =21x和x 轴所“界定”的区域的“面积”S ，则因为面积累积区域是[21，+∞]，它已 经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S (A )，即定积分的极限来得到S ：S =)12(lim )(lim 1lim 221AA S dx x A A A A -==+∞→+∞→+∞→⎰=2．定义1 设函数f (x )在 [a ，+∞)内有定义，对任意A ∈[a ，+∞)，f (x )在[a ，A ]上可积(即定积分⎰A adx x f )(存在)，称极限⎰+∞→AaA dx x f )(lim为函数f (x )在[a ，+∞)上的无穷区间广义积分(简称无穷积分)，记作⎰∞+ )(adx x f ，即⎰∞+ )(adx x f =⎰+∞→AaA dx x f )(lim． (1)若(1)右边的极限存在，则称无穷积分⎰∞+ )(adx x f 收敛；否则就称为发散．例1的问题可以用无穷积分表示为S =⎰∞+ 2211dx x，而且这个无穷积分是收敛的． 同样可以定义 ⎰⎰-+∞→∞-=bAA bdx x f dx x f )(lim)( (极限号下的积分存在);⎰∞+∞- )(dx x f =⎰⎰+∞→-+∞→+BaB aA A dx x f dx x f )(lim)(lim(2)(两个极限号下的积分都存在，a ∈(－∞，+∞))．他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．例2 计算无穷广义积分：(1)⎰∞+- 0 2dx xe x ；(2)⎰-∞-1 31dx x ；(3)⎰∞+∞-+ 211dx x ． 解 (1)⎰-A x dx xe 0 2=－21⎰--A x x d e 02)(2=－)1(212122 0 --=--A A x e e ，⎰∞+- 02dx xe x =+∞→A lim⎰-Ax dx xe 02=－21+∞→A lim )1(2--A e =21. (2)21 2132121211A x dx x AA +-=-=----⎰， 2⎰-∞-131dx x =+∞→A lim ⎰--1 31A dx x =+∞→A lim (22121A +-)=－21； (3)⎰⎰⎰+++=+--B A B A dx xdx x dx x 020 2 2111111=arctan A +arctan B ， ⎰∞+∞-+ 211dx x =+∞→A lim ⎰-+0 211A dx x ++∞→B lim ⎰+B dx x0 211=+∞→A lim arctan A ++∞→B lim arctan B =2π+2π=π．在(3)中我们取0来分割⎰-+B A x 211为两个积分，取任意a ∈(－∞，+∞)分割会改变结果吗？例3 证明：无穷积分⎰∞+ 1p x dx，(p >0)，当p >1时收敛；当0<p ≤1时发散．证明 （１）当p =1，⎰⎰==A AA px x dx x dx 1 1 1 ln =ln A ， ⎰∞+ 1 p xdx =+∞→A lim ⎰A x dx1 =+∞→A lim ln A =+∞， 所以⎰∞+ 1xdx 发散；（２）当p >0，p ≠1时，p p x x dx A p Ap-=-=-⎰11)1( 1 1 1(A 1－p －1)， （３）若0<p <1，则1－p >0，所以+∞→A lim ⎰Ap x dx 1=p -11+∞→A lim (A 1－p －1)= +∞，即⎰∞+ 1 px dx 发散；（４）若p >1，则1－p <0，所以+∞→A lim ⎰Ap x dx 1=p -11+∞→A lim (A 1－p －1)=11-p ，即⎰∞+ 1 px dx 收敛，且⎰∞+ 1p x dx =11-p ． 综合可知⎰∞+ 1p x dx当p >1时收敛于11-p ；当0<p ≤1时发散．二、无界函数的广义积分 例4 如图，若求以y =x1为曲顶、[ε，2](ε>0)为底的单曲边梯形的面积S (ε)，这是一个典型的定积分问题，S (ε)=22 )2(1εεx dx x=⎰=2(ε-2)． 现在若要求由x =2， y =x 1，x 轴和y 轴所“界定”的区域的“面积”S ，则因为函数y =x1在x =0处无定义，且在(0，2)无界，与例1类似，它已经不是定积分问题了． 可以通过S (ε)，即定积分的极限来得到S ：S =22)2(2lim )(lim 1lim00220=-==+++→→→⎰εεεεεεS dx x． 定义2 设函数f (x )在(a ，b ]上定义，+→ax lim f (x )=∞；对任意ε (b －a >ε>0)，f (x )在[a +ε， b ]上可积，即⎰+ba dx x f )(ε存在，则称极限+→0lim ε⎰+ba dx x f )(ε为无界函数f (x )在(a ，b ]上的广义积分，即⎰badx x f )(=+→0lim ε⎰+ba dx x f )(ε (3)若(3)式右边的极限存在，则称无界函数广义积分⎰b adx x f )(收敛，否则为发散．例4的“面积”S 可以表示成S =⎰20 21dx x，而且无界函数广义积分收敛于22． 无界函数广义积分⎰badx x f )(也称为暇积分，且称使f (x )的极限为无穷的那个点a 为暇点．暇点也可以是区间的右端点b 或[a ，b ]中间点，并且可以类似于(1)定义暇积分：⎰badx x f )(=+→0lim ε⎰ε- )(b a dx x f(b 为暇点，极限号下的积分存在)，⎰ba dx x f )(=+→01lim ε⎰1- )(εc adx x f ++→02lim ε⎰+bdx x f c 2)(ε(4)(c ∈(a ，b )为暇点，两个极限号下的积分都存在)．这种暇积分的所谓收敛，表示(4)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题． 例5 求无界函数广义积分(即暇积分)⎰-121xdx ．解 这是一个以x =1为暇点的暇积分．εε--=-⎰101 02arcsin 1xx dx =arcsin(1－ε)，⎰-121x dx =+→0lim ε⎰--ε1 021x dx =+→0lim εarcsin(1－ε)=2π． 例6 当p >0时，⎰1px dx是以x =0为暇点的暇积分．证明它在0<p <1时收敛，在p ≥1时发散．证明 当p =1，⎰1εp xdx =1 1 )(ln εεx x dx =⎰=－ln ε(ε>0)，⎰1x dx=+→0lim ε⎰1 εx dx =+→0lim ε[－ln ε]=+∞.当p >0，p ≠1，⎰1εpxdx =pp x p-=--1111 1ε(1－ε 1－p ). 若p <1，则1－p >0，⎰10 p x dx =+→0lim ε⎰1 εp x dx =+→0lim εp -11(1－ε 1－p)=p -11； 若p ≥1，则1－p <0，⎰1 0 p x dx =+→0lim ε⎰1 εp x dx =+→0limεp-11(1－ε 1－p)= +∞． 所以⎰1 0 p x dx 当0<p <1时收敛于p-11，当p ≥1时发散练习5－41. 下面的运算对吗？ (1)因为f (x )=21xx +是(－∞，+∞)内的奇函数，所以dx xx ⎰∞+∞-+ 21=0；(2)[]2ln )1ln(21lim ln lim 11)11(21 2 1 1 2-+-=+-=+-+∞→+∞→∞+∞+∞+⎰⎰⎰B A dx x x dx x dx x x x B A ， 由于⎰∞+ 1 1dx x ， dx x x⎰∞++ 121均发散，所以dx x x x ⎰∞++- 1 2)11(发散； (3)23)1(2312 0 2 0 332=-=-⎰x x dx (1－1)=0． 2. 计算下列广义积分： (1)⎰∞+ 121dx x ； (2)dx x ⎰∞--0 11； (3)⎰∞+∞-++ 2221dx x x ．。
