一、无穷限的广义积分的审敛法课件

1 0
1 xq
dx
x 1q 1q
1
0
11q,,
q1 q1
因此,
当 q 1 时,
广义积分收敛,
其值为
1
1
q;
当 q 1 时, 广义积分发散.
例11
计算广义积分
3 0
(
x
dx 1)2
/
3
x
1瑕点.
解
3 dx 0 ( x 1)2/ 3
1
0 (x
dx 1)2/ 3
3 dx 1 ( x 1)2/ 3
根据万有引力定律, 在距地心x处火箭所受地球引
力为
F GMm
x2
x
其中:G为万有引力常数, M为地球质量,
m为火箭质量. 在地球表面有
GMm mg
x
R2
其中R为地球半径.
o
火箭从地面升到距地心r(r>R)处需要做的功为
r
R
GMm x2
dx
r
R
mgR 2 x2
dx
mgR 2
(1 R
1) r
因此,火箭克服地球引力飞离地球需要做功
A A
A
值为
f (x)dx的Cauchy主值,记为(V .P.)
f (x)dx.
当 f (x)dx收敛时,显然有
(V .P.) f (x)dx f (x)dx
当 f (x)dx发散时,
它的Cauchy主值可能存在,也可能不存在.
考察广义积分 x dx。 1 x2
(V.P.)
W
lim r
r
R
GMm x2
dx
lim
r
mgR2 ( 1 R

定理5 设函数 f ( x) 在区间 [a,) 上连续，
如果
f ( x) dx 收敛；则
f
(
x
)dx
也收敛．
a
a
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛
.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
一、判别下列广义积分 的收敛性：
1.
0
x4
x2 x2
dx; 1
2 dx
3. 1 (ln x)3 ;
2.
1
sin
1 x2
dx;
2
dx
4.
;
1 3 x2 3x 2
二、用 函数表示下列积分，并 指出这些积分的 收敛范围：
1. e xn dx (n 0); 0
2. 1(ln 1 ) p dx. 0x
f
(
x
)dx
也发散．
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
第3页，共21页。
由定理１知
f
(
x
)dx
收敛．
a
第2页，共21页。
定理2 (比较审敛原理 ) 设函数 f ( x)、g( x) 在
区间[a,) 上连续，如果 0 f ( x) g( x) (a

的 x ,有 x ln x 1 ,从而
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0

x ln x x
3 4
1 4

1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a

t

f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若

a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x

根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A

f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成

令t, 可见广义 ag积 (x)dx分 必发 . 散
说明: 已知
a
1 xp
dx
收,敛 p1 (a0)
发,散p1
故常 g(x取 )xA p(A0)作比较 ,得函 下列比数 较判别法.
14.04.2020
.
6
定理4. (比较判别法 1) 设非负 f(x)函 C[a数 ,)
(a0).
1) 若存在常 M数 0, p1, 使对充分大的x有
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
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.
1
一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 设 f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 ,若函数
x
F(x)a f (t)dt
思考题:
讨论广义积分
13
1 dx的收敛性 x3 1
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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.
8
定理5. (极限判别法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
f (x)
则af(x)dx收敛 ;
M xp
2) 若存在常 N数 0, p1, 使对充分大的 x有
f
(x)
N xp
则af(x)dx发散 .
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.
7
例1.
判别广义积分

则称
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
较审敛原理知
给积分收敛 (绝对收敛) .
第13页/共27页
绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比 故由定理5知所
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(2013)
第14页/共27页
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
例2. 判别反常积 分
解:
的敛散性 .
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.
证：
则
而
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定义. 设反常积 分
则称
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
第1页/共27页
一、无穷限广义积分
定义1. 设
若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ;如果上述极限不存在, 发散 .
类似定理5, 有下列结 论:
称为绝对收敛 .
则反常积分
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三、 函 数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
内收敛 . 令
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综上所述 ,
第21页/共27页

x 0 x 0
0, ,
p 0(此时可判断收敛 ) p 0(此时可判断发散)
p 1 对这样 p 的要求 : , 这样的 p 均能找到 1 p
即
1, 收敛 1, 发散
1
ln x ( ln x) 1时， x ln xdx = dx = 0 0 x 2
b
例2
判断积分

2
1 1
dx 1 x
2
的收敛性：

1 1
dx 1 x

定理11.8 (柯西收敛原理 ) 设瑕积分

b a
f ( x ) d x 只有唯一的瑕点 a ，则

b a
f ( x ) d x 收敛

， 0 : 0 , ,
有，

a a
K为任意正常数， 且
lim x p f ( x) l ,
x
（）若0 l ，且p 1, 1
则 f ( x )dx收敛；
a
， （2）若0 l , 且p 1
则 f ( x )dx发散。
a
例6


1
arctan x dx x
arctan x 0, x [1, ) x

1
1 dx ，当 p 1 时收敛， p x
1 1 dx dx ln x 1 , (1) p 1, 1 证 1 xp x , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.

二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间(a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
常数
M
0及
q
1，使得
f
(x)
M ( x a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0及
广义积分的审敛法
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛
．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
x
x
f
(
x
)dx
发
散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
例３
判别广义积分
1
x3 1
/2

f ( x)dx,
即
c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx,
c
这时也称广义积分收敛，
否则称广义积分发散.
第3页/共11页
为了书写上的方便，借用“N—L”公式的记法， 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
F() lim F(x), F() lim F(x).
x
x
则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为
a
f
( x)dx
F(x) a
F()
F (a)，
b f ( x)dx F ( x) b F(b) F()，
f ( x)dx F ( x) F() F().
第4页/共11页
例 1 计算
xexdx. 0
解 用分部积分法，得
xexdx xdex xex exdx
0
0
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以原广义积分发散 .
第7页/共11页
补例 判断
dx 的收敛性.
e x ln x
解
dx d ln x ln ln x
e x ln x e ln x
e
故该积分发散.
第8页/共11页
*
补例 证明反常积分
当
p >1 1
时x1，p 收d敛x；, 当
p
≤
1
时，发散
.
证 p = 1 时，则
所以该广义积分发散.
dx ln x
1x
1
第9页/共11页
p 1 时，则
dx
1 xp
1 x 1 p 1 p 1
1 p1
,当
p
1,
, 当 p 1.

x x
d
x
的收敛性
.
解: 此处 x0为瑕,因 点limx14lnx0,故对充分小
1
x0
的 x,有x4lnx1,从而
ln x
x
1
x4 ln x
3
x4
1
3
x4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
14.04.2020
.
18
三、 函数
1. 定义
函数: (s)0 xs 1e xdx(s0 )
(含参变量s的广义积分 )
0
xs
0
dex
(分部积分)
x se x sx s 1 e x d x 00
s(s)
注 意n到:N ,有 (1)0exdx 1
(n 1 ) n (n ) n (n 1 ) (n 1 )
n! (1) n!
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.
21
(2) 当 s 0时 , (s) .
证: (s)(s1), (1)1 s
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.
15
定理3
定理8. (极限判别法2) 若 f(x ) C (a ,b ],且 f(x ) 0 ，
lim (xa)qf(x)l
x
则有: 1) 当 0q 1 ,0l时 ,abf(x)dx收敛 ;
2) 当 q1,0l时 ,abf(x)dx发散 .
例5. 判别广义积分 13ldnxx的敛散性 .
14.04.2020
.
12
定义.
设广义积分
a f
(x)dx收敛 ,
若 a
f(x)
dx收敛 ,则称
a
f
(x)dx
绝对收敛

()
8
2.
B函数：
p 1 q 1 B ( p ,) q x ( 1 xd ) x , 0 1
p 0 , q 0
1B ( p ,q ) B ( qp , )
(p ) (q ) 2 Bpq ( , ) (pq )
令 x sin2 t
2 p 1 2 q 1 2 B (, p q ) 2 ( s i n t ) ( c o s t ) d t 0
f,g 在 [ a , ) 上连续，并有
0 f ( xg ) ( x ) ， xa [ , )
则：
1当 ()x 收 敛 时 敛 ； gxd f (x)dx收
a


a
2当 x d x 发 散 时 散 . f() g(x)dx发
a


a
1
证
1 1 1 fx ( ) 2 22 22 x( ( 1 x ) ( 1 k x ) 1 1 x ) ( 1 k x )
1 d x 与 d x 同 敛 散 2 22 0 0 1 x ( 1 x ) ( 1 k x )
1 1
1
1

例2 判别敛散性
第五章 定积分
第五节 反常积分的审敛法
1
一、无穷区间上的积分 定义


a
f ( x ) dx lim f (x)dx
b a
b
d x ( p 0 , a 0 ) 当 p 1 收 敛 ， p 1 发 散 。 p ax

x , 当 p 0 收 敛 ， p 0 发 散 。 ed
a a
p 如 果 l i m xf () x 0 x

f (x) N (a x ), p 1 xp
则 f ( x)dx 发散. a
有时将推论1写成下面的极限形式, 判断更为方便.
推论2 设函数 f ( x)在区间[a,)(a 0)上连续,
且 f ( x) 0. 若 lim x p f (x) l x
(1)若 0 l ，则
a
f
( x)dx 与
有界函数必有极限的准则, 可知极限
x
lim f (t)dt
x a
存在, 从而可证上述定理.
由上面的定理, 立即可得如下的比较判别法.
比较审敛原理 设函数 f ( x)、g( x)在区间 [a,)上连续,
(1) 如果 0 f ( x) g( x)(a x ),
且
g( x)dx 收敛, 则
于是,当2p 1 1时,即p 1时，+ x(1 cos 1) pdx 收敛。
1
x
当p 1时, + x(1 cos 1) pdx 发散。
1
x
另解：当x 时, x(1 cos 1)p
x
~
1 2p
1 x2 p1
当2p 1 1时,即p 1时，+ x(1 cos 1) pdx 收敛;
1
x
当p 1时, + x(1 cos 1) pdx 发散。
x
x
x
2
故根据推论2知 , 题设广义积分发散 . 另解： arctanx ~ , （x ) p 1 1
x 2x
由推论2，广义积分发散.
例6 讨论 x(1 cos 1) p dx 的敛散性。
1
x
解：因为
lim
x
x2 p1
x(1 cos

的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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16
1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为
a 1 p ;
p1
当 p≤1 时, 广义积分发散 .
©
例5. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 e pt d t
p0
1 p2
e pt
1 p2
©
2002年考研数学(一)填空3分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
2
d
(x
) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
©
2.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
( x) f 2(x)
d
x
1
d
f f
(x) 2 (x)
arctan
f
(x)
C
]
]
2
2
©
( x a)1q 1q
b
a
1q
,
,
q1 q1
(b a)1q
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为
; 1q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
©
例9. 计算广义积分
3 dx
0
x
2
13
解:
3 dx
0
x
2
13
1 dx
0
x

s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有


0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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21
(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2


1 ba
f
(a

1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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14
利用
b
a (
x
1 a)
q
dx

收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex

1 x1s

e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
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19
I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )

lim

f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
11
证
x
F (x) a f (t) d t
在[a, ) 上单调增加且有上界. 由极限存在准则
可知极限 lim F(x) lim
x
f (t) d t
存在.
x
x a
即无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
10
定理 （ 比较判别法 ）
设函数 f (x) , g(x) 在[a, ) 上有界, A R , A a ,
若积分上限函数 F(x)
x
f (t) d t
在[a, )
a
上有上界, 则无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
9
证 因为 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 , 所以,
积分上限函数F(x) 在[a, ) 上单调增加.
又已知函数F(x) 在[a, ) 上有上界, 从而

c

对 f (x) d x 而言，由定积分对区间的可加性，
显然其收敛性与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c 0.
2
例1 解
计算 x ex2 d x . 0
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
,
a


a 1 p