无穷限的广义积分的审敛法

第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值。

对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 - 积分收敛,否则其结果毫无意义。

因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9。

1(Cauchy 收敛原理）f （x ）在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε， 存在A>0, 使得b ， b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点）, 我们有定理9。

2(瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在［a ，b )上有定义，在其任何闭子区间[a ,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是： 0>∀ε， 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f （x )在[a ，+)∞上绝对可积］; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f （x ）在［a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子。

广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctan⁡x|−∞0+arctan⁡x|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsin⁡x|−10+arcsin⁡x|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxln⁡x 是发散的.证明：注意到 limx→0+1ln⁡x=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxln⁡x. 由于∫1/21dxln⁡x=∫01/2dtln⁡(1−t),且 ln⁡(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxln⁡x 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01ln⁡x1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 ln⁡x, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2ln⁡x1−xdx>2∫01/2ln⁡xdx,而∫01/2ln⁡xdx=xln⁡x|01/2−∫01/2dx=12(ln⁡12−1),则∫01/2ln⁡x1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21ln⁡x1−xdx=∫01/2ln⁡(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln⁡(1−t)t=−1, 则∫1/21ln⁡x1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cos⁡x2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cos⁡x2dx=12∫1+∞cos⁡ttdt.则|∫ABcos⁡ttdt|=|sin⁡tt|AB+12sin⁡tt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cos⁡x2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cos⁡t 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cos⁡x2|dx=12∫mπ(m+1)π|cos⁡t|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cos⁡t|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cos⁡x2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cos⁡x2|≥cos2⁡x2=12(1+cos⁡2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos⁡(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。

本节阐述广义积分收敛原理及判别法
1、正文
1.1广义积分收敛原理
无穷限积分收敛原理
1处：这里采用的是柯西收敛原理，而我们知道柯西收敛原理和语言的极限定义是等价的。

因为只是判定积分是否收敛，那么用柯西收敛原理是更好的。

无穷限积分的比较判别法
无穷限积分判别法的重点是找到满足条件的。

绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。

条件发散可推出绝对发散，但反之不然。

注记
1处：无穷下限的积分，我初步尝试了一下，发现和无穷上限的积分收敛原理和比较判别法是一样的。

2处：双无穷限的积分不难，就是判断无穷下限的积分和无穷上限的积分是否同时收敛。

瑕积分收敛原理
注意这个指的是点的左开区间。

瑕积分收敛的比较判别法
绝对收敛可推出条件收敛，但反之不然。

条件发散可推出绝对发散，但反之不然。

注记
1.左端点的无界积分的收敛原理和比较判别法是类似的。

2.对于区间中有一瑕点的无界积分，其要义是判定区间和的无界积分是否同时成立。

注意！
无论是无穷限积分还是无界积分，都要求它们的子闭区间是黎曼可积的。

1.2广义积分收敛判别法
无穷限积分收敛判别法的比较形式。

第二节 广义积分的收敛判别法【2 】上一节我们评论辩论了广义积分的盘算, 在现实运用中,我们将发明大量的积分是不能直接盘算的,有的积分固然可以直接盘算,但因为进程太庞杂,也不为盘算工作者采用,对这类问题盘算工作者常采用数值盘算办法或MonteCarlo 办法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决前提 — 积分收敛,不然其成果毫无意义. 是以,断定一个广义积分收敛与发散是异常主要的．定理9.1（Cauchy 收敛道理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要前提是：0>∀ε, 消失A>0, 使得b, b '>A 时,恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证实：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 运用柯西收敛道理立刻得此结论．同样对瑕积分⎰badx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛道理）设函数f(x)在[a,b)上有界说,在其任何闭子区间[a,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰badx x f )(收敛的充要前提是: 0>∀ε, 0>∃δ, 只要0<δηη<</,就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f界说9.5假如广义积分⎰+∞adx x f |)(|收敛,我们称广义积分⎰+∞a dx x f )(绝对收敛（也称f(x)在[a,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞a dx x f )(前提收敛,也称f(x)在[a,+)∞上前提可积． 因为a AA ≥∀/,,均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f是以,由Cauchy 收敛道理,我们得到下列定理． 定理9.3假如广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛,则广义积分⎰+∞a dx x f )(必收敛．它的逆命题不必定成立,后面我们将会看到如许的例子.对其它情势的广义积分,相似地有绝对收敛及前提收敛的界说及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无穷区间上的广义积分）设在[a,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数） 则当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时,⎰+∞a dx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞a dx x )(ϕ也发散．证实：由Cauchy 收敛道理立时得结论成立． 对瑕积分有相似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x)均为[a,b)上的非负函数,b 为两个函数的奇点,如消失一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a,b), 则 1）如⎰b a dx x g )(收敛,则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散,则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在现实运用时,我们常常用下列极限情势．定理9.6 假如f(x), g(x)是[a,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 (1) 假如+∞<≤l 0, 且⎰+∞a dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． (2) 假如+∞≤<l0, 且⎰+∞a dx x g )(发散,则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证实：假如,0)()(lim≠=∞→l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 消失A, 当A x≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0即)()()()()(x g l x f x g lεε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同时收敛或同时发散,在l=0或 l=∞时,可相似地评论辩论. 运用同样的办法,我们有定理9.7 对以b 为独一瑕点的两个瑕积分⎰badx x f )(与⎰ba dx x g )(假如f(x), g (x) 长短负函数,且,)()(lim l x g x f bx =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时,则⎰badx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤<l 0,且⎰badx x g )(发散时,则⎰badx x f )(也发散．对无穷区间上的广义积分中,取⎰∞+ap dx x1作比较标准,则得到下列Cauchy 判别法：设f(x)是[a,+)∞的函数,在其随意率性闭区间上可积,那么:定理9.8 若0≤f(x)≤pxc, p>1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛,如f(x)≥p xc,p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限情势为定理9.9 如+∞→x lim l x f x p=)((+∞<≤l 0, p>1), 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b liml x f x p=)(,而+∞≤<l 0,p ≤1, 则⎰+∞a dx x f )(发散.例9.8 断定下列广义积分的收敛性.(1)⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x (2)⎰∞++11dx xx nm(m>0, n>0) 解：（1）因为0x x +-+≤11)11ln(=+-≤x x 11121)1(1x x x ≤+由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-n mmn xx x 所以当n －m>1时,积分⎰∞++11dx x x n m 收敛. 当n －m ≤1时,积分⎰∞++11dx xx nm发散． 对于瑕积分,运用⎰-bapdx a x )(1作为比较标准,我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a 是f(x)在[a,b )上的独一奇点,在其随意率性闭区间上可积,那么（1） 如0≤f(x)≤p a x c)(- (c>0), p<1, 则⎰badx x f )(收敛．（2） 如f(x)≥pa x c)(- (c>0), p ≥1, 则⎰badx x f )(发散．瑕积分的Cauchy 断定法的极限情势为 定理9.11 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k<∞, p<1, 则⎰badx x f )(收敛如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰ba dx x f )(发散．例9.9 判别下列瑕积分的敛散性. (1)⎰--10222)1)(1(x k x dx(k2<1)(2)⎰2cos sin πxx dxqp (p,q>0) 解：（1）1是被积函数的独一瑕点因为 -→1limx )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先评论辩论,cos sin 4⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰40cos sin πx x dx q p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dx q p 发散． 再评论辩论 ⎰24cos sin ππx x dxq p 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-x x x q p pπ所以当 q<1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 收敛, 当q ≥1时,瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 发散． 综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛,且当+→0x 时函数f(x)单调趋势于+∞,则+→0lim x x f(x)=0. 证实：不妨设]1,0(∈∀x , f(x)≥0, 且f(x)在(0, 1)上单调削减.已知⎰10)(dx x f 收敛,由柯西收敛准则,有0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有,)(2ε<⎰xxdt t f从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f(x)ε2<即+→0lim x x f(x)=0. 例9.11 求证瑕积分⎰-10)]cos 1([1dx x x λ(λ>0), 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证实:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0limx λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫⎝⎛-x x所以当3λ<1时,即λ<31时,瑕积分收敛．当3λ≥1,即λ≥31时,瑕积分发散．前面评论辩论的长短负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行评论辩论,我们先给出下面的主要成果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积,f(x)在[a,b]上单调,则消失ξ∈[a,b] 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证实定理9.12,我们先评论辩论下列特别情况．引理9.1设f(x)在[a,b]上单调降低并且非负,函数g(x)在[a,b]上可积,则消失c ∈[a,b],使⎰badx x g x f )()(=f(a)⎰ca dx x g )(证实：作帮助函数)(x ψ= f(a),)(⎰xa dt t g 对[a,b]的任一分法P: a=x0<x1<x2<…<xn=b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x xii )()]()([111-=-∑⎰-|≤dx x g x f x f i ni x x ii |)(||)()(|111-=-∑⎰-≤)(1f L ni i ∑=ω△xi这里L 是|g(x)|在[a,b]的上界,)(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅,从这个估量式可知,当P 0→时,应该有dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--→⎰ba dx x g x f )()(我们来证实≤∈)(min ],[x b a x ψdx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--)(max ],[x b a x ψ∈≤为此,引入记号 G(x)=⎰xa dt t g )(并作如下变换dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈我们证清楚明了不等式)(min )(],[x G a f b a x ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈即)(min ],[x b a x ψ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max ],[x b a x ψ∈现令|p|0→, 取极限,就得到)(min ],[x b a x ψ∈≤⎰ba dx x g x f )()(≤)(max ],[x b a x ψ∈是以,消失c ∈[a,b],使得)(c ψ=⎰ba dx x g x f )()(（因为)(x ψ在［b a ,］上是持续函数）也就是⎰badx x g x f )()(=⎰ca dx x g a f )()(证毕下面我们证实定理9.12证实：如f(x)是单调降低的,则f(x)－f(b)单调降低且非负,由引理12.2.1知,消失c ∈[a,b ), 使⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-ca dx x gb f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bc c a dx x g b f dx x g a f对f(x)单调上升的情况,可作相似评论辩论.运用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理9.13 若下列两个前提之一知足,则⎰+∞adx x g x f )()(收敛（1）（Abel 判别法）⎰+∞adx x f )(收敛,g(x)在[a,∞]上单调有界;（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰Aadx x f )(在[a,∞]上有界,g(x)在[a,)∞上单调, 且+∞→x lim g(x)=0.证实：（1）0>∀ε, 设|g(x)|≤M,∈∀x [a,∞), 因⎰+∞a dx x f )(收敛,由Cauchy 收敛道理,a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有Mdx x f A A 2|)(|1ε<⎰由积分第二中值定理,我们得到|)()(|1⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅⎰|)(|ξA dx x f M |)(|1⎰⋅A dx x f M ξ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛(2) 设M 为F(A)在[a,+)∞上的一个上界,则a A A ≥∀1,, 显然有M dx x f A A 2|)(|1<⎰同时, 因为+∞→x lim g(x)=0,所以消失a A ≥0, 当x>A0时, 有g(x)|<M4ε于是,对01,A A A ≥∀有≤⎰|)(|1A A dx x f +⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛例9.12 评论辩论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性, 解：令f(x)=x1, g(x)=cosx则当x +∞→时,f(x)单调降低且趋于零, F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在[a,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛, 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+因⎰∞+121dx x 发散,⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散, 所以⎰∞+1cos dx xx前提收敛 例9.13 评论辩论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知,广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctanx 在[a, +∞)上单调有界,所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛. 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx 前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散 由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 前提收敛.对瑕积分也有下列情势的Abel 判别法和Dirichlet 判别法 定理9.14若下列两个前提之一知足,则⎰badx x g x f )()(收敛：（b 为独一瑕点）（1）（Abel 判别法）⎰badx x f )(收敛, g(x)在[a,b )上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰-ηb adx x f )(在[a,b )上有界, g(x) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx . 证实: (1) 只须用第二中值定理估量⎰--/)()(ηηb b dx x g x f读者可以模仿定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证实. (2) 读者可以模仿定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证实.例9.14 评论辩论积分 ⎰101sin dx x x p(0<p ≤2) 的敛散性 解: 对于0<p<1 , 因为p p x x x 11sin≤ 由⎰11dx xp 收敛知 ⎰11sin dx x x p绝对收敛敛对于0≤p<2, 因为函数f(x) =px-2, 当+→0x时单调趋于0, 而函数g(x)=21sin x x 知足2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤⎰ηηdx xx p所以积分⎰11sindx x x p ⎰-=10221sindx x x x p 收敛.但在这种情况下,dx x x p⎰11sin 是发散的,事实上由pp p p x x x x x x x 22cos211sin 1sin 2-=≥ 因⎰1021dx x p发散, ⎰1022cos dx x x p 收敛, 知dx x x p ⎰101sin 发散 从而当0≤p<2时, 积分前提收敛. 最后我们评论辩论p=2的情况, 因为⎰121sinηdx x x n1cos 1cos -= 当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰1021sin dx x x 发散. 值得留意的是, 两种广义积分之间消失着亲密的接洽, 设⎰badx x f )(中x=a 为f(x)的瑕点, 作变换y=a x -1, 则有 ⎰b adx x f )(=⎰∞+-+ab dy yya f 12,)1(尔后者是无穷区间上的广义积分.习题 9.21、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛, 前提收敛, 发散）(1)⎰∞+2sin ln ln ln xdx xx; (2)⎰+∞02sin dx x ;(3)⎰222sin cos 1πdx xx ; (4)⎰-121ln dx x x ; (5)⎰---1011ln )1(xdx x xq p ;(6))0,(ln 111>-⎰--q p dx xx x q p ;(7)⎰∞++01dx xx qp ; (8)⎰+∞--01dx e x x p ; (9)⎰∞+-+0211dx xx p ; (10)⎰∞+0sin 2sin dx x xe px ; (11))0(1sin 1≥+⎰∞+p dx xxx pq ;(12))0()1sin(0>+⎰∞+p dx x x x p．2．证实：若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛, 且当+→0x 时, 函数f(x)单调趋于+∞, 则+→0lim x x f(x)=0． 3. 若函数f(x)在),[+∞a 有持续导数f/(x), 且无穷积分⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x f )(/都收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．4. 设f(x)在),[+∞a 上可导,且单调削减,+∞→x limf(x)=0, 求证:⎰+∞adx x f )(收敛 ⇔⎰+∞adx x xf )(/收敛．5. 证实：若函数f(x)在),[+∞a 上一致持续, 且无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．6. 求证： 若无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 函数f(x)在),[+∞a 内单调, 则f(x)=o(x1)．7. 盘算下列广义二重积分的值．(1)⎰⎰Dqp yx dxdy,个中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ; (2)⎰⎰≤+≤--1022221y x yx dxdy ;(3)dxdy ey x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)(22, 并由此证实π112=⎰+∞∞--dx ex .8.评论辩论下列广义重积分的敛散性． (1)dxdy y x y x a ap ⎰⎰-00||),(ϕ, My x m ≤≤<|),(|0ϕ;(2)dxdy xy y x y x py x )(),(22122++⎰⎰≤+ϕM y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。

广义积分的敛散性判断反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

广义积分收敛辨别法则包括无穷积分收敛性的辨别、乘积函数积分收敛的辨别法、无界函数积分的收敛性。

通俗的讲，积分是指函数图形与坐标轴围成的面积。

例如f(x)从a到b 的积分就等于曲线f(x)，直线x=a，x=b和x轴围成的图形的面积。

当然,这块面积在x轴上方的部分取为正,下方取为负，然而有时候这个面积会少一条边，比如,积分上下限a或者b二者有一个是无穷大或者两个都为无穷大。

例如f(x)从a到正无穷大的积分，它表示f(x)，直线x=a，x轴围成的面积。

当然,因为缺少一条边，这块面积不是封闭的，它是向x轴正方向无穷延生的，虽然积分上下限为确定值，但是函数图形本身无法和直线x=a、x=b、x轴围成封闭的面积。

例如f(x)=1/x从0到1的积分,表示y=1/x、x=0、x=1、x轴围成的面积。

因为f(x)=1/x在0出的值为无穷大，所以这块面积也不是封闭的,它是向y轴延生的，像这种积分表示的面积无限延生的情况，称之为广义积分。

因为面积无限延生，因此有可能面积的值为无穷大，例如y=x从0到正无穷的积分表示y=x、x=0和x轴围成的面积，任何一个人都应该知道这个面积应该为无穷大，像这种积分表示的面积为无穷大的情况，称之为广义积分发散。

反之如果这个面积为一个有限数值，则称之为广义积分收敛。

广义积分的敛散性判断内容广义积分敛散性的分析包括判定绝对收敛性、条件收敛性、发散性，具有广泛的应用性，很多数学建模都得到广义积分，就此首先需要判定广义积分是否收敛，不然就需要考虑模型的合理性。

广义积分的敛散性判断方法分析广义积分的敛散性，首先基于简化的思想，具体做法有主部分离。

然后，可以依次判定：绝对收敛性、自身收敛性、绝对发散性与发散性，就此可以确定对应于相关收敛性的参数范围。