第四节反常积分无穷限广义积分无界函数的广义积分习题例题小结
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第四节 定积分的近似计算(略) 第五节 广义积分 ㈠.本课的基本要求掌握无穷区间和无界函数的广义积分的定义并运用 ㈡.本课的重点、难点无穷区间的广义积分为重点,无界函数的广义积分为难点 ㈢.教学内容前面讨论的定积分有二个前提:一是积分区间是有限的;二是被积函数在该区间是有界的。
而实际问题中往往要突破这两个限制,这就需要把定积分的概念加以推广而为反常积分。
一.无穷限的反常积分先考察位于曲线A x x x xy ===,112轴之上而夹在之下,直线之间的区域的面积。
1)(11)(lim12=+∞→-==+∞→⎰A I A A x dx A I A A时,有,当 自然,可以把这一极限理解为位于曲线112==x x xy 轴之上,直线之下,之右向右无限延展的区域的面积。
但是,如果对,1,1>=x xy 考察同样的问题,有)(ln 11+∞→+∞→=⎰A A dx xA在这种情形下,无限延展的区域就没有有限的面积了。
一般地: 定义1设⎰+∞→>+∞tat dxx f a t a x f )(,),[)(lim极限上连续,取在区间称为),[)(+∞a x f 在区间上的反常积分,记为⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )()(lim。
如果等号右端的极限存在,则反常积分⎰+∞adx x f )(收敛;如果等号右端的极限不存在,则称此反常积分发散。
类似地,可以定义],()(b x f -∞在上的反常积分为⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )()(lim对于),()(+∞-∞在x f 上的反常积分定义为=⎰+∞∞-dx x f )(+⎰-∞→ctt dx x f )(lim ⎰+∞→tct dx x f )(lim其中c 为介于a,b 之间的任意实数,a,b 各自独立地趋向于负、正无穷大,且仅当右端两个极限都存在时,反常积分⎰+∞∞-dx x f )(才收敛,否则是发散的。