1.5三角函数图像变换
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三角函数的图像与变化规律三角函数是数学中的重要概念,它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
而三角函数的图像与变化规律是我们理解和应用三角函数的关键。
本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面来探讨三角函数的图像与变化规律。
一、正弦函数的图像与变化规律正弦函数是最常见的三角函数之一,它的图像呈现出周期性的波动。
我们先来看一下正弦函数的图像。
在坐标系中,将x轴分成等分的小段,然后计算每个小段上的正弦函数值,再将这些值在坐标系中表示出来,就得到了正弦函数的图像。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线,它在x轴上的取值范围是无穷大,而在y轴上的取值范围是[-1,1]。
正弦函数的图像以原点为对称中心,左右两侧的波浪形状完全相同。
当x=0时,正弦函数的值为0,这是正弦函数的一个特殊点,称为零点。
正弦函数的周期是2π,即在一个周期内,正弦函数的图像会重复出现。
正弦函数的变化规律可以总结为以下几点:1. 周期性:正弦函数的图像在一个周期内重复出现,即在x轴上每增加2π,y轴上的值会再次回到原来的位置。
2. 对称性:正弦函数的图像以原点为对称中心,左右两侧的波浪形状完全相同。
3. 最大值和最小值:正弦函数的最大值为1,最小值为-1。
4. 零点:正弦函数在x=0时取得零值,这是正弦函数的一个特殊点。
二、余弦函数的图像与变化规律余弦函数也是一种常见的三角函数,它与正弦函数在图像上非常相似,但有一些细微的差别。
我们来看一下余弦函数的图像。
余弦函数的图像同样是一条连续的波浪线,它在x轴上的取值范围是无穷大,而在y轴上的取值范围也是[-1,1]。
余弦函数的图像以原点为对称中心,左右两侧的波浪形状完全相同。
当x=0时,余弦函数的值为1,这也是余弦函数的一个特殊点。
余弦函数的变化规律与正弦函数非常相似,但也有一些不同之处:1. 周期性:余弦函数的图像在一个周期内重复出现,即在x轴上每增加2π,y轴上的值会再次回到原来的位置。
数学公式知识:三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题,也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一,在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性,三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的,因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称,它们都是以角度或弧度为自变量的函数,其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比,余弦函数的函数值为邻边与斜边之比,正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系,因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像,它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离,平移前后图形形状不会改变,只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移,其实就是在自变量上加或减一个常数,或在函数值上加或减一个常数,使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化,但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述:1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数,a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数,a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数,a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例,缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y =sin x 的图象变换出y =sin(ωx +ϕ)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y =sin x 的图象向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0=平移|ϕ|个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω>0),便得y =sin(ωx +ϕ)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y =sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω>0),再沿x 轴向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0=平移ωϕ||个单位,便得y =sin(ωx +ϕ)的图象。
作y =sin x (长度为2π的某闭区间)的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象,先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一:左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位,所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位,所得函数的解析式为 _________图像变换二:纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______(伸长或缩短)为原来的______而得到的图像。
三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读:三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题,在此基础上进行了三个变式,分散考点,逐步加深对知识的理解,帮助学生掌握解题技能。
教学目标:掌握五点作图法作出三角函数f(x)=Asin(ωx +φ)的图像 理解三角函数f(x)=Asin(ωx +φ)的图像和性质。
教学重点:三角函数f(x)=Asin(ωx +φ)的图像伸缩变换和性质。
教学难点:解决三角函数的综合问题 教学手段:合作学习,讲练结合 教学过程: (一)高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
(二)高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并写出函数f(x)的解析式;(2)将y =f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到y =g(x)的图象,求y =g(x)的图象离原点O 最近的对称中心.选题意义:本题叙述简洁明了,不拖泥带水.题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的,显得平和而贴切.试题一共设置了两问,设问角度新颖,梯度明显,体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格.本题所包含的主要数学知识有:五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式,三角函数的性质等;所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等;考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。
学校 乐从中学 年级 高一 学科 数学 导学案 主备江自龙 审核 张活富 授课人 授课时间 班级 姓名 课题:1.5课型:新授课 课时:2 【学习目标】掌握参数对 变化过程;【学习过程】一、利用计算机探索sin y x =与函数y =sin(x +3π)的图像有什么变化。
结论:函数y =sin(x +3π),x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3π个单位长度而得到;一般地,函数y =sin(x +ϕ),x ∈R (其中ϕ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ>0时)或向右(当ϕ<0时=平行移动|ϕ|个单位长度而得到. y =sin(x +ϕ)与y =sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称为相位变换.当堂检测1.(1)y =sin(x +4π)是由y =sin x 向左平移 个单位得到的. (2)y =sin(x -4π)是由y =sin x 向右平移 个单位得到的.(3)y =sin(x -4π)是由y =sin(x +4π)向右平移 个单位得到的.2.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y =sin(x +4π),则原来的函数表达式为( )A.y =sin(x +43π)B.y =sin(x +2π)C.y =sin(x -4π) D.y =sin(x +4π)-4π 二、利用计算机探索A 对y=Asinx 的图像的影响函数y =sin x ,x ∈R 的图像 与 函数:y =2sin x ,x ∈R ,y =21sin x ,x ∈R 有什么关系?结论:(1)y =2sin x ,x ∈R 的值域是[-2,2],图象可看作把y =sin x ,x ∈R 上(教师“复备”栏或学生笔记栏)注意:的图象函数)sin(ϕω+=x A y 的图象函数)sin(ϕω+=x A y所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变).(2)y =21sin x ,x ∈R 的值域是[-21,21],图象可看作把y =sin x ,x ∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍而得(横坐标不变).一般地,函数y =A sin x ,x ∈R (其中A >0且A ≠1)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.函数y =A sin x ,x ∈R 的值域是 。