有限积分变换法

重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。

在微积分中，一类重要的积分就是重积分。

和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。

近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。

本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。

一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。

积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。

在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。

1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。

通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。

球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。

一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。

例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。

那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。

接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。

最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。

柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。

柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。

分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。

保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。

如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。

保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。

由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。

通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。

由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。

最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。

由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。

保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。

积分变换、数学物理方程与特殊函数经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。

由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。

这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。

下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。

首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。

Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。

复数形式的欧拉公式：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=+=---x i x e x i e ie e n w t e e n w tix ix inwtinwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数：⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。

2.矩形脉冲函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2,02,τττt t E t P ）（ 3.δ函数：⎩⎨⎧≠=∞+=0,00,)(x x x δ 表示密度分布的极限。

δ函数具有筛选性质：)0()()(-f dx x f x =⎰+∞∞δ其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-⎰+∞∞δ同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =℘，[])()(22w F t f =℘，则[][]⎩⎨⎧*=⋅℘⋅=*℘-)()()()()()()()(212112121t f t f w F w F w F w F t f t f卷积并不容易算出，但卷积定理提供了卷积计算的简便方法，即化卷积运算为乘积运算，使卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法，即又用到高等数学中求常函数的方法。

悬臂矩形薄板自由振动分析的有限积分变换法钟阳;高嫄嫄;田斌;李锐【摘要】The double finite integral transform method was used to obtain accurate vibration theoretical solution of rectangular thin cantilever plate. Compared with the superposition method and the Fourier series method, the approach used in this paper is concise in form and calculation. It is not need prior to select the deformation function arbitrarily due to the basic elasticity equations of the thin Cantilever plate were only used, therefore, the solution method is reasonable, and theoretical and the numerical solution is accurate. In order to prove the correction of formulation, the numerical results are compared with that in the other references.%为了求解悬臂矩形薄板振动问题的精确解,利用二维有限积分变换的方法将高阶偏微分方程问题转化为易于求解的线性代数问题,推导出了悬臂矩形薄板固有频率和振型的精确解,该方法不仅概念清晰、计算简便,而且较传统叠加法、傅立叶级数法等解析方法计算量有了明显减少.由于在求解过程中不需要预先人为选取挠度函数,而是直接从弹性薄板的基本方程出发,仅利用有限域积分变换的数学方法推导出完全满足边界条件的精确解,使得问题的求解更加直接、简便,所得到的解析解更加合理、数值解更加精确.最后,通过计算实例验证了本文所采用方法合理性和公式推导的正确性.【期刊名称】《土木工程与管理学报》【年(卷),期】2012(029)004【总页数】5页(P6-10)【关键词】悬臂矩形薄板;固有频率;振动分析;有限积分变换【作者】钟阳;高嫄嫄;田斌;李锐【作者单位】大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024;中国路桥工程有限责任公司科技部,北京100011;大连理工大学建设工程学部,辽宁大连116024【正文语种】中文【中图分类】TU33+9;TU311桥梁工程中的桥面板、高速公路中的水泥混凝土路面、机场跑道以及各种房屋建筑中的楼板等，都是以弹性薄板为力学模型进行计算的。

数学分析求积分的方法数学分析求积分法：①微分求积分法：该方法利用微积分中函数微分与函数积分之间的关系，分别从函数及它在 finite 時間内微分的结果，求出某个区间内函数的定积分，从而实现积分求解的目的。

常用的公式包括：利用导数、雅可比变换、级数等；②数值积分法：是指利用给定的原函数及其积分结果，通过分段来计算积分值，它的方法有牛顿切线求积分(Newton-Cotes Formula)、 Gauss?Legendre 积分规则、Runge-Kutta 法等。

这类方法中牛顿切线求积分是最普遍使用的，它把区间[a,b]划分为 n 个子区间，取每个子区间上一点近似作区间值，计算出这 n 个点的积分值之和，就是原区间的积分值；③崇拜子积分法：该法利用积分变换的思想，将积分的求解分解成多次子区间积分之和，这样就能明显减少求解积分时使用的计算量，从而达到降低积分计算复杂性的目的，而常见的崇拜子积分法有高斯求积分法、Trapezoidal 求积分法、Simpson 求积分法等。

④椭圆积分法：该法是一类新兴积分法，它利用椭圆函数将定积分区间划分为 m 个等分，取每个等分内的椭圆函数最大值近似作整个等分的积分值，求出 m 个等分的积分值之和，就是积分的值，其主要的特点是计算量较小，适用于定积分的求解；⑤柯西积分法：柯西积分法是一种积分法，它是在半变换的基础上，用柯西函数的复性与半变换的组合，能够很轻松地计算出定积分。

其最大的特点就是无变换与微分，求出定积分必须通过正确把握它的特点和运用二阶导数与三阶导数来实现；⑥代换法（置换法）：这是一种经典的求解积分方法，它利用不同类型函数的特性，将某些复杂积分变成简单积分，从而使积分变得容易求解。

其特点是变和不变的特性很强，可以利用代换法将函数的n阶积分改写成更所的几阶导数的积分，进而求出区间 [a,b] 内函数的定积分。

定积分变换上下限摘要：一、定积分概念介绍1.定积分的定义2.定积分的性质3.定积分的应用二、定积分变换上下限1.变换上下限的概念2.变换上下限的原理3.变换上下限的方法及举例三、定积分变换上下限的意义1.简化积分计算2.提高积分技巧3.拓展积分应用正文：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示一个函数在一定区间上的累积效果。

在研究定积分时，我们常常需要对上下限进行变换，以便于计算和分析。

本文将介绍定积分变换上下限的相关知识。

一、定积分概念介绍定积分是微积分中的一个重要概念，表示一个函数在一定区间上的累积效果。

根据定积分的定义，我们可以知道定积分与原函数、上限和下限有关。

同时，定积分还具有一些性质，如线性性质、保号性质、可积性质等。

在实际问题中，定积分可以应用于求解面积、体积、弧长等问题。

二、定积分变换上下限1.变换上下限的概念：在求解定积分时，我们常常需要对上下限进行变换，以便于计算和分析。

这种变换称为定积分变换上下限。

2.变换上下限的原理：定积分变换上下限的原理是基于微积分基本定理，通过对上下限的变换，可以将原积分问题转化为求解原函数的问题，从而简化积分计算。

3.变换上下限的方法及举例：在实际求解过程中，我们可以采用代换法、分部积分法等方法进行上下限的变换。

例如，当求解积分上限为x，下限为0 的积分时，我们可以通过代换法将上下限变换为x=0，x=1，从而简化积分计算。

三、定积分变换上下限的意义定积分变换上下限在求解积分问题中具有重要意义。

首先，变换上下限可以简化积分计算，将复杂的问题转化为求解原函数的问题，降低问题的难度。

其次，变换上下限有助于提高积分技巧，通过对上下限的变换，我们可以发现一些新的积分技巧和方法。

最后，定积分变换上下限有助于拓展积分应用，使定积分在更广泛的领域中得到应用。

总之，定积分变换上下限是微积分中一个重要的概念和方法。

定积分变换上下限【原创实用版】目录1.引言2.定积分的定义与性质3.定积分变换上下限的方法4.举例说明5.总结正文1.引言在数学分析中，定积分是一种重要的概念和工具，它广泛应用于各种实际问题中。

在求解定积分时，常常需要对上下限进行变换，以便于计算。

本文将介绍定积分变换上下限的方法。

2.定积分的定义与性质定积分是指将一个函数在一定区间上的值与区间长度的乘积求和。

设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，则定积分 f(x) 在 [a, b] 上的值为：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1 to n]f(xi)Δx，其中Δx = b - a / n。

定积分具有以下性质：(1) 线性性：∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx = ∫[a, b](f(x) + g(x))dx。

(2) 恒等性：∫[a, a]f(x)dx = 0。

(3) 可积函数的有界性：若 f(x) 在 [a, b] 上可积，则∫[a,b]f(x)dx 存在且有限。

3.定积分变换上下限的方法在求解定积分时，有时需要对上下限进行变换，以便于计算。

常见的变换方法有以下两种：(1) 换元法：通过引入一个新的变量，将原积分区间映射到另一个区间，从而简化积分计算。

例如，设 u = g(x)，则∫[a, b]f(x)dx = ∫[g(a), g(b)]f(u) * |dg(x)/du| du。

(2) 分部积分法：将原积分分解为两个积分的差，然后分别求解。

例如，∫[a, b](x^2 + 1)dx = x^3 / 3 + x |[a, b] - (x^2 + 1) |[a, b]。

4.举例说明假设我们要求解定积分∫[0, π]sin(x)dx，可以通过变换上下限的方法简化计算。

令 u = cos(x)，则 du = -sin(x)dx，dx = -du / sin(x)。

因此，原积分可化为∫[0, 1]u du = [u^2 / 2] |[0, 1] = 1 / 2。