积分变换法

(5)微分性质
n 1 x 0, n 1,2, ，则 若当 x 时， f
F f n x i F f x
n


（2.4.16）
(6)积分性质
x 1 F f d F f x x 0 i
2.4.18 2.4.19
（2.4.20）
f1 x f 2 x
定义为函数 f 1 x 和 f 2 x 的卷积 3.一些常用函数的 Fourier 变换


f f x d
1 2
表2.4.1 原函数
Fourier变换简表 像函数
（6）积分性质 （2.4.28）
（7）卷积性质
其中， , ; p0 ; a; 均为常数 a 0 ；而
t
L f1 t f 2 t L f1 t L f 2 t
（2.4.29）
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
（5）微分性质
（2.4.26）
L f n t p n L f t p n 1 f 0 p n 2 f ' 0 f n 1 0
t 1 L f d L f t 0 p


（2.4.27）
f t Me 0t ,0 t

F p f t e pt dt
0
（2.4.21）
f t
中国海洋大学 数学科学学院
1 i F p e pt dp i 2i
（2.4,22）
方钟波
4
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
为函数 f r 即 f x, y, z 的Fourier变换，而称函数

（2.4.9）
f r
即
G ω e 2
3
1

iω r
dω
（2.4.10）
f x, y, z
为函数 G ω 即 G 1 , 2 , 3 的Fourier变换。其中
F p k x, p f x dx
1 （1） e a 0 cos bxdx e 4 a 0 2 a x2 （2） e dx 0 2
ax2
b2
（2.4.1） (2.4.2) (2.4.3) (2.4.4) (2.4.5)
定义为函数 f1 t 和 f 2 t 的卷积 3.一些常用函数的 Laplace 变换 表2.4.2 原函数
0
（2.4.30）
Laplace变换简表 像函数
f t
1 i F p e pt dt i 2i 1或 H t
t n n是整数
方钟波
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
第四章 积分变换法
一、基本要求 1.掌握 Fourier 变换及 Laplace 变换的定义、存在条件及函数的正反变换的求法。 2.掌握并会应用 Fourier 变换及 Laplace 变换的主要性质。 3.学会正确使用积分变换表。 4.掌握用积分变换法求解数理方程的主要精神及一般步骤。重点掌握用 Fourier 变换法求解无界区 域中的偏微分方程的定解问题和用 Laplace 变换法求解常微分方程及方程组的初值问题。 二 、内容提要 （一）积分变换法 1.积分变换 所谓积分变换，就是把某函数类 A 中的函数 f x ，经过某种可逆的积分手续 变成另一函数类 B 中的函数 F p 。其中 F p 称为 f x 的像函数， f x 称为原函数，而 k x, p 是 p 和 x 的已知函数，称为积分变换核 2.积分变换法 对偏微分方程（常微分方程、积分方程）的定解问题中的各项实行积分变换，从而将偏微分 方程（常微分方程和积分方程）的求解问题转化为常微分方程（代数方程）的求解问题的方法称 之为积分变换法。其中对各项施行Fourier变换的方法，称为Fourier变换法；而对各项均施行Lapla ce变换的方法，称之为Laplace变换法。 Fourier变换法和Laplace变换法是两种常用于求解数理方程的积分变换法。前者多用于求解没 有初始条件的无界或半无界问题，而后者多用于求解常微分方程的初值问题。 3.积分变换法的解题步骤 用积分变换法求解数理方程（这里也包括常微分方程和积分方程）大体分为如下三步： （1） 对方程和定解条件中的各项（对某个适当的变量）去变换，得到像函数的常微分方程 的定解问题或代数方程。 （2）求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 （3）求像函数的逆，即得原定解问题的解。 4.用积分变换法求解数理方程时常用到的积分公式
s
x
0 Re x 1
1 x
e ax
2

1 s
1 1 s sin s 2
2

2a 2 a e a
2
1 a 0 x a2
2
e a x , x 0 a0 0 , x 0
1 a i
1 e
e x
x 2
(3) (4) (5)

0



e ax dx
2

a
,a 0



sin x dx x 2
0
e t t x 1 dt x , x 0
方钟波
中国海洋大学 数学科学学院
1
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
-0-
《数学物理方程》 -定解问题与5种求解方法
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
2011-01-19
School of Mathematical Sciences Ocean University of China
G 和 G ω 又分别称作 f x 和 f r 的像函数；而 f x 和 f r 又分别称作 G 和 G ω 的原
F f1 f 2 F f1 F f 2
（2.4.12） （2.4.13） （2.4.14）
Lf1 f 2 L f1 L f 2
（2.4.23） （2.4.24） （2.4.25）
L e p0t f t Fp p 0 , Rep p 0 0
L f t e p F p


p L f at F a
G , 2
3 1
1

2
, 3 e i 1x ,2 y ,3 z dω1 d 2 d3
(2.4.11)
ω i1 j 2 k 3 , r ix jy kz
而 i, j, k 分别为Descarfes坐标系中沿 x, y , z 轴的单位向量 函数 2.性质 (1)线性性质 (2)延迟性质 (3)位移性质 (4)相似性质
（二）Fourier 变换 1.定义 设函数 f x 在上 , 连续、分段光滑且绝对可积，则称函数

G
为函数 f x 的Fourier变换，记作 F f x G ，而称函数

f x e

ix
dx
（2.4.6）
1 f x 2
2
2
sh
b a
x2 a2 ln 2 , a, b 0 x b2

e

2
e

x2 4a2
,a 0
2a e a
2
x arctan , a 0 a
i2
e
a

x x0
e ix0
利用Fourier变换（和反变换）的定义、性质和表2.4.1，采取前面所述用积分变换法解数理方 程的三大步骤，便可用Fourier变换法求解相关的定解问题（见后面的例题分析）。 （三）Laplace 变换 1.定义 设函数 f t 满足以下条件： （1）当 t 0 时， f t 0 （2）当 t 0 时， f t 及除去有限个第一类间断点外，处处连续 （3）当 t 时，存在常数 M 及 0 0 ，使得 则称函数 为函数 f t 的Laplace变换，并记作 L f t F p ，而称函数
F e i0 x f x G 0


F f x x0 e ix0 F f x
F f ax 1 G a a
（2.4.15）
2
中国海洋大学 数学科学学院
方钟波
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics

1 f x 2


G e
ix
d
G

f x e
ix
dx
sin ax x
, a
, a 2 0, a
i e ia e ib

e ix a x b