数学物理方程第四章 积分变换法

分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。

保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。

如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。

保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。

由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。

通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。

由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。

最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。

由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。

保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。

“数学物理方程”课程教学大纲英文名称：Mathematical and physical equation课程编号：math2029学时：32 学分: 2适用对象：全校二年级本科生先修课程：高等数学，线性代数，复变函数，积分变换。

使用教材及参考书：申建中刘峰编，《数学物理方程》，2010年，西安交通大学出版社一、课程性质、目的和任务“数学物理方程”是高等学校工科本科有关专业的一门基础课。

本课程旨在使学生初步掌握数学物理方程的基本理论和基本方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。

本课程的内容包括：弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等定解问题的提出，达朗贝尔法、分离变量法、贝塞尔函数与勒让德多项式的基本性质和应用。

二、教学基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。

文中用黑体字排印的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。

其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。

非黑体字排印的，也是教学中必不可少的，只是在要求是低于前者。

其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。

也是教学中必不可少的，属基本要求。

第一章数学建模与基本原理介绍了解三个典型方程(弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)的建立,了解定解条件的物理意义及三种定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法,了解偏微分方程的一些基本概念(解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐交),理解线性问题的叠加定理。

第二章分离变量法掌握有界弦自由振动问题和有限长杆上热传导问题的分离变量解法,掌握圆域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题的分离变量解法,会用固有函数法解非齐次方程的定解问题,会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题。

第三章贝塞尔函数了解贝塞尔(Bessel)方程的幂级数解法,掌握整数阶贝塞尔函数的一些性质(递推公式、零点、正交性),了解傅里叶——贝塞尔展开式,会用贝塞尔函数解有关的定解问题。

第四章 积分变换法积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求.§4⋅1 热传导方程Cauchy 问题4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题2(,), , 0 (1. 1)(,0)(), (1. 2)t xx u a u f x t x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 下面利用Fourier 变换求解该定解问题.设0>β为常数，函数2x e β-的Fourier 变换为()224()x F e e ωββπωβ--=(1.3)为书写方便起见，引入记号ˆ()(())(),f F f x ωω=,如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(ˆt t x f F t fωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待.对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆˆ(,)(,), 0ˆˆ(,0)() .du t a u t f t t dtuωωωωωϕω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得2222()0ˆˆˆ(,)()(,)t a t a t ut e f e d ωωτωϕωωττ---=+⎰ (1.4) 利用（1.3）得),)( 21(22224t eta F e ta x t a ωπω--=),)()(21()(4)(2222τωτπττω--=----t e t a F e t a x t a记2241Γ(,)()2x a tx t eu t a πt-=（1.5）其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有22ˆ((,))()(,)a t e F x t t ωωω-=Γ=Γ22()ˆ((,))()(,)a t e F x t t ωττωωτ--=Γ-=Γ-利用上面结果将（1.4）改写为ˆˆˆˆˆ(,)()(,)(,)(,)tu t t f t d ωϕωωωτωττ=Γ+Γ-⎰ (1.6) 对（1.6）两边取Fourier 逆变换，并利用Fourier 变换卷积公式 ))(()))((ˆ)(ˆ(21211x f f x f fF *=-ωω 便得0(,)()Γ(,(,)*Γ(,)tu x t x x t)f x x t d ϕτττ=*+-⎰()(,)(,)(,)t x t d d f x t d ϕξξξτξτξτξ∞∞-∞-∞=Γ-+Γ--⎰⎰⎰2222()()4()401()(,)2 2( )x x t a t a td ed f ed at at ξξττϕξξξτξππτ----∞∞--∞-∞=+-⎰⎰⎰(1.7)（1.7）即为定解问题（1.1）—（1.2）的解.在),(t x u 的表达式（1.7）中，函数(;)x t Γ起着一个基本作用. 如果令0≡f ，)()(x x δϕ=，则有(,)()(,)(;).u x t x x t x t δ=*Γ=Γ因此，(;)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (1. 8)(,0)(), . (1. 9)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩而(,)x t ξΓ-和(,)x t ξτΓ--分别是下面两问题的解20, , 0 (1. 10)(,0)(), . (1. 11)t xx u a u x t u x x x δξ⎧-=-∞<<∞>⎨=--∞<<∞⎩ 2()(),, 0 (1. 12)(,0)0, . (1. 13)t xx u a u x t x t u x x δξδτ⎧-=---∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 由于知道了(;)x t Γ,就可直接写出（1.1）—（1.2）的解（1.7）式. 类似于求解线性方程组0=Ax ，其中A 为n m ⨯矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，),(t x Γ的作用就相当于向量空间中的基，故称),(t x Γ为定解问题（1.1）—（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示Cauchy 问题的解，也可用来构造Green 函数表示边值问题的解.基本解有明确的物理解释. 若在初始时刻0t =时在0x =处置放一单位点热源，则此单位点热源在x 轴上产生的温度分布便是(,)x t Γ. 类似地，若在初始时刻0t =时在x ξ=处置放一单位点热源，则此点热源在x 轴上产生的温度分布为(,)x t ξΓ-. 而将初始时刻0t =变为t τ=时，其温度分布就是(,)x t ξτΓ--.注1 在（1.1）—（1.2）解的表达式（1.7）中，如果将其中的第一项和第二项分别记为1(,)u x t 和2(,)u x t ，则1(,)u x t 是相应于(,)0f x t =时齐次方程的解，而2(,)u x t 是相应于0)(=x ϕ时非齐次方程的解.若记1(,)()*Γ(,)(,)u x t x x t M x t ϕϕ==，则由齐次化原理可知20(,)(,)tf u x t M x t d τττ=-⎰.另外，和1(,)u x t 表达式中的卷积形式类似，2(,)u x t 也可表示成某种卷积形式，请同学们试给出这一表示形式. 例1.1 求解如下定解问题20, , 0 (1.14)(,0)(), . (1.15)t xx x u a u bu cu x t u x x x ϕ⎧---=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 其中,,a b c 均为常数.解 对（1.14）-（1.15）关于x 作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆˆˆ(,)(,)(,), 0ˆˆ(,0)()dut a u t bi u t cu t t dtu ωωωωωωωϕω⎧=-++>⎪⎨⎪=⎩解之可得22() ˆˆ(,)().a bi c tut e ωωωϕω---= (1.16)为了求函数22()a bi c teωω---的Fourier 逆变换，利用配方法将其改写为222222224()()42.b a c bi t a t a bi c taaeeeωωω-------=由于222241()(),2x a t a tF eea tωωπ--=利用Fourier 变换的位移性质得000ˆ(())()()()() ,i x F f x e F f f ωωωωωω=-=- 取022biaω=得222222()4221()().2x bibi ixa t a ta aF ee ea tωωπ---=故有2222224()42((,))()b a c bi t a t aaF g x t eeωω----=22(),a bi c teωω---=其中22222244421(,)2b a c x bx taa ta g x t eeea tπ----=22()4.2x bt cta tee a tπ+-=记22()41Γ(,)()2x bt c ta tex t e u t a πt+-=其中)(t u 为单位阶跃函数. 1(;)x t Γ即为定解问题（1.14）—（1.15）的基本解.将（1.16）改写为1ˆˆˆ(,)()(,) ,u t t ωϕωω=Γ.,求Fourier 逆变换得1(,)()Γ(,)u x t x x t ϕ=*1()(,)x t d ϕξξξ∞-∞=Γ-⎰ 22()4() .2x bt cta te ed a tξϕξξπ-+-∞-∞=⎰如果将（1.15）中的齐次方程改为非齐次方程 ，考虑如下定解问题2(,),, 0 (,0)0, . t xx x u a u bu cu f x t x t u x x ⎧=+++-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩请同学们写出该定解问题的解.例1.2 求解如下定解问题20, , 0(,0)(), .t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 其中0, ()0, .A x x x x x ϕ>⎧=⎨<⎩解 由（1.7）可得该问题的解为22220()()441(,)(),2 2 x x a ta tx A u x t ed ed at at ξξϕξξξππ----∞∞-∞==⎰⎰对积分作变量代换 2x a tξα-=得 02222202020(,) [][]2x x a t x x a t x x a t Au x t e d Aed e d Ae d αααααπααππαπ---∞----∞--==+=+⎰⎰⎰⎰引入下面函数22()xx e d ααπ-Φ=⎰（1.17）该函数称为误差函数. 利用误差函数可得(,)()222x x A A u x t a t-=+Φ. 4.1.2* 二维热传导方程Cauchy 问题为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy 问题222()(,,), (,)R , 0 (1.18)(,,0)(,), (,)R . (1.19)t xx yy u a u u f x y t x y t u x y x y x y ϕ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩ 为求解(1.19)—(1.20)，先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解222()0, (,)R , 0 (1.20)(,,0)()(), (,)R . (1.21)t xx yy u a u u x y t u x y x y x y δδ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩引入二元函数的Fourier 变换12()12()(,)(,)i x y F f f x y e dxdy ωωωω∞∞-+-∞-∞=⎰⎰和一元函数Fourier 变换的性质相对应，二元函数的Fourier 变换也有类似性质.对(1.20)-(1.21)关于空间变量作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆ(,0) 1.dut a u t t dtuωωωω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩其中2221212(,) , ωωωωωω==+. 解之可得22222212ˆ(,)a ta t a t ut e e e ωωωω---==.故有2212222211222222222()1121221244421(,,)()(,)(2)11=2211=221=.(2)a t i x y a t ix a t iy xy a t a tx y a tu x y t F f eed d eed e e d eea ta t e a t ωωωωωωωωωωωπωωπππππ∞∞-+--∞-∞∞∞---∞-∞--+-==⎰⎰⎰⎰即(1.18)-(1.19)的基本解为222421Γ(,,)().(2)x y a tx y t eu t a πt +-=与（1.7）相对应，（1.20）—（1.21）的解为(,,)(,)*Γ(,,)(,,)*Γ(,,)tu x y t x y x y t f x y x y t d ϕτττ=+-⎰(,)(,,)x y t d d ϕξηξηξη∞∞-∞-∞=Γ--+⎰⎰(,,)(,,).t d f x y t d d τξητξητξη∞∞-∞-∞Γ---⎰⎰⎰作为练习，同学们试用Fourier 变换求解三维热传导方程Cauchy 问题. §4⋅2 波动方程Cauchy 问题4．2．1 一维波动方程Cauchy 问题考虑如下定解问题2(,), , 0 (2.1)(,0)(), (,0)(), . (2.2)tt xx t u a u f x t x t u x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩20, , 0 (2.3)(,0)0, (,0)(), . (2.4)tt xx t u a u x t u x u x x x ψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 若记（2.3）—（2.4）的解为(,)(,)u x t M x t ψ=，则由叠加原理和齐次化原理可得（2.1）—（2.2）的解为0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d tτϕψττ∂=++-∂⎰ (2.5)因此，只须求解定解问题（2.3）—（2.4）.对（2.3）—（2.4）关于空间变量x 作Fourier 变换得2222ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆˆˆ(,0)0, (,0)().t d u t a u t t dt u uωωωωωψω⎧+=>⎪⎨⎪==⎩ 解之可得sin ˆˆ(,)() .a tut a ωωψωω= 记1, 2(;) 0, .x atax t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩查Fourier 变换表或直接计算可得sin ˆ((;))()(,)a t F x t t a ωωωωΓ=Γ= 故有ˆˆˆ(,)()(,),ut t ωψωω=Γ 对上式取Fourier 逆变换并利用卷积公式得(,)()*Γ(,)u x t x x t ψ=()(,)x t d ψξξξ∞-∞=Γ-⎰1()2x atx at d aψξξ+-=⎰ . 利用（2.5）便得（2.1）—（2.2）的解为0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d t τϕψττ∂=++-∂⎰11(())()22x at x at x at x at d d t a aϕξξψξξ++--∂=+∂⎰⎰ ()0()1(,)2tx a t x a t d f d a τττξτξ+---+⎰⎰[]11()()()22x at x atx at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰ ()0()1(,)2tx a t x a t d f d a τττξτξ+---+⎰⎰ (2.6)当0f ≡时，（2.6）称为一维波方程Cauchy 问题的达朗贝尔（D ’Alembert ）公式.注1 在（2.4）中取()()x x ψδ=，则有(,)(;)u x t x t =Γ，即(;)x t Γ是如下定解问题20, , 0(,0)0, (,0)() .tt xx t u a u x t u x u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 的解，称其为一维波动方程的基本解. 利用基本解(;)x t Γ，就可写出（2.1）—（2.2）的解（2.6）式. (;)x t Γ在（2.6）的表达式中也起到一个“基”的作用.4.2.2* 二维和三维波动方程Cauchy 问题下面，首先利用Fourier 变换求解三维波动方程Cauchy 问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy 问题的解.考虑三维波动方程Cauchy 问题2333(,,,),(,,),0, (2.7)(,,,0)(,,),(,,), (2.8)(,,,0)(,,),(,,). (2.9)tt tu a u f x y z t x y z R t u x y z x y z x y z R u x y z x y z x y z R ϕψ⎧-∆=∈>⎪=∈⎨⎪=∈⎩为求解定解问题(2.7)—(2.9)，先求出三维波动方程的基本解，即如下问题的解,23330, (,,), 0 (2.10)(,,,0)0, (,,) (2.11)(,,,0)()()(), (,,). tt t u a u x y z R t u x y z x y z R u x y z x y z x y z R δδδ-∆=∈>=∈=∈ (2.12)⎧⎪⎨⎪⎩记2222123123(,,) , ωωωωωωωω==++. 对定解问题(2.10)—(2.12)关于空间变量 作Fourier 变换得2222ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆˆ(,0)0, (,0) 1.t d u t a u t t dt uu ωωωωω⎧+=>⎪⎨⎪==⎩解之可得sin ||ˆ(,).||a tut a ωωω=故有123312331 ()1233()1233ˆ(,,,)()(,,,)1ˆ =(,)(2)sin 1 =(2)i x y z R i x y z R u x y z t F u x y z t u t e d d d a t e d d d a ωωωωωωωωωωπωωωωπω-++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰为计算上面积分,首先对上面积分作变量代换v A ωT T =,其中123(,,) , v v v v =A 为三阶正交矩阵. 选A 使得将(,,)x y z 变为(0,0,)r ，222 r x y z =++. 根据正交变换的保内积性可得，该变换将123 , x y z ωωωω++分别变为3 , v rv .故有33 1233sin 1(,,,)(2)i rv R a v t u x y z t e dv dv dv a v π=⎰⎰⎰，再利用球坐标变换123cos sin sin sin cos v v v ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 可得22 cos 3000cos 200 201sin (,,,)=sin (2) =sin (2) =sin() ()(2)i r i r i r i r a t u x y z t d d e d a i a t e d ar i a t e e d ar ππρϕπρϕρρρθρρϕϕπρρρπρρπ∞∞∞---⎰⎰⎰⎰⎰22sin() ()81( )()16i r i r i a t i a t i r ir i a t e e d ar e e e e d ar ρρρρρρρρπρπ∞--∞∞---∞=--=---⎰⎰. 注意到()(0)2()2()i i e d F e αραρωρπδωαπδα∞=-∞==-=⎰，221(,,,)( )()1612[()(())()()]161[()()]41().4 i a t i a t i r ir u x y z t e e e e d ar r at r at r at at r ar r at r at ar r at ar ρρρρρππδδδδπδδπδπ∞---∞=---=-⋅++-+----=--+=-⎰记1(,,,)()4x y z t r at arδπΓ=- (,,,)x y z t Γ即为三维波动方程的基本解.因此，当0==ϕf 时，(2.7)—(2.9)的解为33R R (,,,)(,,,) =(,,)(,,,)=(,,)(,,,)()=(,,). 4u x y z t M x y z t x y z x y z t x y z t d d d r at d d d arψψψξηζξηζξηζδψξηζξηζπ=*ΓΓ----⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222()()()r x y z ξηζ=-+-+-.对任一0t >， 记以点(,,)x y z 为心at 为半径的球面为(,,)r S x y z ，即3(,,){ (,,) }r S x y z R r at ξηζ=∈=. 将上面的积分化为累次积分并由δ函数的定义可得(,,)(,,)2(,,)2(,,,)(,,,)(,,)=()()4(,,)=4(,,) =41=(,,4rratS x y z r atS x y z S x y z u x y z t M x y z t r at ds dr ar ds ar ds a t a t ψψξηζδπψξηζπψξηζπψξηζπ∞==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)) . (2.13)at S x y z ds ⎰⎰最后，由叠加原理和齐次化原理便得(2.7)—(2.9)的解为22(,,)(,,)111(,,,)(,,)(,,)44at at S x y z S x y z u x y z t ds ds a t t a t ϕξηζψξηζππ⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰211(,,,)4r f t d d d a r a ξηζξηζπΩ+-⎰⎰⎰ (2.14) 其中 (,,){ (,,) }a t B x y z r at ξηζΩ==<.(2.14)称为三维波动方程Cauchy 问题的克希霍夫（Kirchhoff ）公式.利用Fourier 变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果（2.13），下面用降维法求二维波动方程Cauchy 问题.考虑如下三维波动方程Cauchy 问题2330,(,,),0 (,,,0)0,(,,,0)(,),(,,) tt t u a u x y z R t u x y z u x y z x y x y z R ψ⎧-∆=∈>⎪⎨==∈⎪⎩（2.15）（2.16）对于定解问题（2.15）—（2.16），由于初始数据与z 无关，可推知解u 与z 也无关，故有zz u ＝0，即定解问题（2.15）－（2.16）其实是一个二维波动方程Cauchy 问题, 由(2.13)可得该问题的解为2(,,)2(,,)1(,,)(,)41=(,) (2.17)2at atS x y z S x y z u x y t ds a t ds a t ψξηπψξηπ+=⎰⎰⎰⎰其中22222(,,){(,,)|()()(),}atS x y z x y z a t z ξηζξηζξ+=-+-+-=≥. 对于上半球面(,,)atS x y z +直接计算得 2222221()() ()()ds d d atd d a t x y ζζξηξηξηξη∂∂=++∂∂=----将上式代入到（2.17）中便得222(,)(,,)(,,)1(,). (2.18)2at B x y u x y t x y t d d a a t rψξηξζπ=Γ=-⎰⎰其中22()()r x y ξη=---，(,){(,)|}at B x y r at ξη=<.和三维情形类似，由（2.18）可得二维波动方程Cauchy 问题2222(,,),(,),0 (2.19)(,,,0)(,),(,), (2.20)(,,,0)(,),(,). (2.21)tt tu a u f x y t x y R t u x y z x y x y R u x y z x y x y R ϕψ⎧-∆=∈>⎪=∈⎨⎪=∈⎩ 的解为222222(,)(,)1(,)1(,)(,,)22at at B x y B x y u x y t d d d d a t a a t r a t r ϕξηψξηξηξηππ∂=++∂--⎰⎰⎰⎰()222(,)1(,,)2()a t tB x y f d d d a a t r τξηττξηπτ---⎰⎰⎰（2.22） （2.22）称为二维波动方程Cauchy 问题的波以松（Poisson ）公式.4.2.3 解的物理意义对一维波动方程Cauchy 问题，如果无外力作用，则解由D’Alembert 公式给出，即[]11(,)()()() .22x atx at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰ 将上式改写为(,)()() ,u x t f x at g x at =++-其中011()()() ,22x atf x at x at d a ϕψξξ++=++⎰11()()() .22x at g x at x at d aϕψξξ--=-+⎰ 记1(,)()u x t f x at =+，2(,)()u x t g x at =-，则12(,)(,)(,).u x t u x t u x t =+.首先考虑1(,)() .u x t f x at =+当0t =时1(,0)() .u x f x =在(,)x u 平面上画出函数()f x 的图形，则()f x at +的图形可通过()f x 的图形向左平移at 个单位长度而得. 随着t 的增加，()f x 的图形不断向左平移，移动速度为a ，故称1(,)u x t 为左传播波，a 为波速. 同样道理，2(,)()u x t g x at =-称为右传播波. D’Alembert 公式表明:弦线在t 时刻的振动是初始振动所产生的右传播波和左传播波的叠加.其次，从D’Alember t 公式还可看出:u 在(,)x t 的值(,)u x t 只与x 轴上区间[],x at x at -+上初始值有关，而与其它点的初始值无关. 这是由于波速为a ，在区间[],x at x at -+外的初始扰动在时刻t 还未传播到点x ，故称区间[],x at x at -+为点(,)x t 的依赖区间. 在(,)x t 平面上，过(,)x t 点分别作斜率为1a±的直线，两条直线在x 轴上所截得的区间便是[],x at x at -+（图2.1()a ）.给定x 轴上的区间[]12,x x ，过点1(,0)x 作直线1x x at =+，过点2(,0)x 作直线2x x at =-，它们和x 轴构成了一个三角形区域（图2.1()b ）.由于该区域内任一点的依赖区间都落在区间[]12,x x 内，因此，解在此三角形区域内的值完全由区间[]12,x x 上的初始值决定，而与此区间外的初始值无关，故称此三角形区域为区间[]12,x x 的决定区域. 同理，过点1(,0)x 作直线1x x at =-，过点2(,0)x 作直线2x x at =+，它们和x 轴构成一个梯形区域（图2.1()c ），该区域称为区间[]12,x x 的影响区域，它表示区间[]12,x x 上初始扰动对弦线振动的作用范围.t (x , t ) t t决定区域 影响区域x x x 0 x at - x a t + 0 1x 2x 0 1x 2x(a ) (b ) (c )图2.1由上面分析可得,波以常速a 沿两族直线x at c ±=向左﹑右两个方向传播，这是波动现象的一个基本特征. 直线x at c ±= 称为一维波动方程的特征线，它们在一维波动问题的研究中起着重要作用.当0f =时，对公式（2.14）和（2.22）进行分析，便可得到和上面类似的结论.对二维波动方程，一点(,,)x y t 的依赖区域是以(,)x y 为心，at 为半径的圆域；而对三维波动方程，一点(,,,)x y z t 的依赖区域是以(,,)x y z 为心，at 为半径的球面，而不是球形区域. 反映在波的传播过程中，平面波有前阵面而无后阵面，正像把一块石子扔在湖中，在湖面上激起层层浪花，这种现象称为波的弥漫现象；而空间波既有前阵面又有后阵面，正像人们听到声音，一会儿就消失了，这种现象称为空间波传播的无后效现象,此即Huygens 原理.§4⋅3 积分变换法举例在前二节中，利用Fourier 变换求出了热传导方程和波动方程Cauchy 问题的解. 下面再进一步举例，说明积分变换法在求解偏微分方程定解问题中的作用.例3.1 求解如下定解问题(,), , 0 (3.1)(,0)(), . (3.2)t x u au f x t x t u x x x ϕ+=-∞<<∞>⎧⎨=-∞<<∞⎩其中a 为实数.解 对（3.1）—（3.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得ˆ(,)ˆˆ(,)(,), 0ˆˆ(,0)().du t ai u t f t t dtuωωωωωϕω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 解之可得()0ˆˆˆ(,)()(,)tait ai t ut e f e d ωτωωϕωωττ---=+⎰ （3.3） 由于(())()ait F x at e ωδω--= ()((()))()ai t F x a t e τωδτω----=故（3.3）可表示为ˆˆˆˆˆ(,)()()()(,)(())()t u t x at f x a t d ωϕωδωωτδτωτ=-+--⎰对上式取Fourier 逆变换得0(,)()()(,)(()tu x t x x at f x x a t d ϕδτδττ=*-+*--⎰()()(,)(())t x at d d f x a t d ϕξδξξτξτδξτξ∞∞-∞-∞=--+---⎰⎰⎰()((),).t x at f x a t d ϕτττ=-+--⎰ 例3.2 求半平面上调和方程边值问题的有界解(,0)(), . (3.5)xx yy u x f x x ⎨=-∞<<∞⎩ 解 对（3.4）—（3.5）关于变量x 作Fourier 变换得222ˆ(,)ˆ()(,)0, 0ˆˆ(,0)().d u y i u y t dy u f ωωωωω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 解之可得12ˆ(,)y y uy C e C e ωωω-=+ 由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得ˆˆ(,)() y u t f e ωωω-= （3.6） 直接求yeω-的Fourier 逆变换得11()()2y y ix F e x ee d ωωωωπ∞----∞=⎰1cos()y e x d ωωωπ∞-=⎰2201sin()cos()y x x y x e x y ωωωπ∞--=+ 221(,)yg x y x y π==+故（3.6）可表示为ˆˆˆ(,)() g(,)uy f y ωωω= 对上式取Fourier 逆变换得)))(,(*)((),(x y g f y x u ⋅⋅=() g(,)f x y d ξξξ∞-∞=-⎰221().()yf d x y ξξπξ∞-∞=-+⎰ 例3.3* 设有一单位长度均匀杆，侧面绝热，两端温度为零度.若初始温度为sin 2x π，求杆内的温度分布.解 设(,)u x t 为杆内温度分布，则u 满足如下定解问题(0,)(1,)0, 0 (3.8)(,0)sin 2, 0 1. (t xx u t u t t u x x x π==≥=≤≤ 3.9)⎪⎨⎪⎩对（3.7）—（3.9）关于时间变量t 作Laplace 变换,并记(,)u x t 的像函数为(,)u x s 可得222(,)(,)(,0)0(0,)(1,)0.d u x s su x s u x a dx u s u s ⎧--=⎪⎨⎪==⎩即2222(,)1(,)sin 2 (3.10) (0,)(1,)0 (3.11)d u x s s u x s x dx a a u s u s π⎧-=-⎪⎨⎪==⎩（3.10）是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程 通解为1222sin 2(,)4s s x x aaxu x s C eC es a ππ-=+++利用边界条件（3.11）得10C =，20,C =故22sin 2(,)4xu x s s a ππ=+取Laplace 逆变换可得224(,)sin 2a tu x t e x ππ-=.例3.4* 求下面半无界弦振动问题有界的解2cos , 0, 0 (3.12) (,0)0, (,0)0, 0 (3.13)(0,)0, 0. tt xx t u a u t x t u x u x x u t t ρω-=>>==≥=≥ (3.14)⎧⎪⎨⎪⎩解 对（3.12）—（3.14）关于时间变量t 作Laplace 变换得222222(,)(,)(0,)0,d u x s s s u x s adx s u s u ρω⎧-=⎪+⎨⎪=⎩有界. 或者2222222(,)(1)(,)()(0,)0,d u x s s su x s dxa a s u s u ρω⎧--=⎪+⎨⎪=⎩有界. 解之可得1222(,)()s s x x aau x s C e C es s ρω-=+++由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得22(,)(1)()s x au x s es s ρω-=-+ (3.15)对（3.15）取Laplace 逆变换可得)()(),(221t s s t x u -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωρL )()(221t s s e x a s -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ωρL (3.16) 由于)()(221t s s -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωρL =)()1(2221t s s s -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωωρL =))(())(1(221212t s s t s --ωωρωρ+- L L 2222(1cos )sin 2tt ρρωωωω=-= (3.17) 利用Laplace 变换的延迟性质)()))(()((s f e s t u t f s τττ-=--L其中()u t 为阶跃函数. 取x aτ=得 )()(221t s s e x a s -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωρL =)()()(221a x t u a x t s s ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωρL 22()2sin ()2xt x a u t aωρω-=- 22()2sin , 2 0, 0 . x t x a t a x t a ωρω⎧-⎪≥⎪=⎨⎪≤<⎪⎩(3.18)将（3.17）—（3.18）代入到（3.16）中便得222222sin sin () , 22(,)2sin , 0 . 2t x x t t a au x t t x t a ρωωωρωω⎧⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪≤<⎪⎩ 注1 定解问题（3.7）—（3.9）也可用分离变量法求解. 一般而言，Laplace变换方法的求解过程比较繁琐，而分离变量法已成固定模式，求解过程相对简明.习 题 四1. 用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 20, , 0, 2(,0)0, 2.t xx u a u x t A x u x x ⎧-=-∞<<∞>⎪>⎨⎧=⎨⎪<⎩⎩（2） 40, , 0, 1(,0) 0, 1t xx u u x t h x u x x -=-∞<<∞>⎧⎪⎧<⎨⎪=⎨⎪>⎪⎩⎩2*用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 20, , 0 , 0(,0) 0, 0.t xx x u a u x t e x u x x -⎧-=-∞<<∞>⎪⎧>⎨=⎨⎪<⎩⎩（2） 2, , 0(,0)0, . t t xx u a u e x t u x x -⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 3. 用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 2, , 0(,0)sin , .t t x u u xe x t u x x x -⎧+=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩（2） 23, , 0(,0)(), . t x u u u x t u x x x ϕ=+-∞<<∞>⎧⎨=-∞<<∞⎩4. 求解如下一维波动方程Cauchy 问题（1） sin , , 0(,0)0, (,0)0, . tt xx t u u t x x t u x u x x -=-∞<<∞>⎧⎨==-∞<<∞⎩（2） 22, , 0 1(,0)sin , (,0), . 1tt xx t u a u tx x t u x x u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪+⎩5*求解如下Cauchy 问题（1） 222()0, (,)R , 0(,,0), (,,0)=0, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y xy u x y x y ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩（2） 2222()0, (,)R , 0(,,0)0, (,,0)=, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y u x y x y x y ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩ （3） 2323()0, (,,)R , 0 (,,,0)0, (,,,0)=, (,,)R .tt xx yy zzt u a u u u x y z t u x y z u x y z x z x y z ⎧-++=∈>⎪⎨=∈⎪⎩6. 由三维波动方程Cauchy 问题解的公式，利用降维法求解如下问题20, , 0 (,0)0, (,0)(), .tt xx t u a u x t u x u x x x ψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩7. 考虑如下定解问题20, , 0(,0)(), (,0)(), .tt xx t u a u x t u x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 设()x ϕ和()x ψ为直线R 上奇（偶，周期为T 的）函数，证明该问题的解(,)u x t 关于变量x 也是奇（偶，周期为T 的）函数. 对于一维热传导方程Cauchy 问题，类似结果是否成立？8*设()x ϕ和()x ψ在{0}x x ≥二阶连续可导，(0)(0)0ϕψ==，求解如下波动方程半无界问题20, 0, 0(0,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0 . tt xx t u a u x t u t t u x x u x x x ϕψ⎧-=<<∞>⎪=≥⎨⎪==<<∞⎩如将该问题的边界条件换为 (0,)0, 0x u t t =≥，如何求解相应的定解问题？9．考虑如下定解问题000, , 0(), 0, .tt xx t t t u u x t u x u x ϕ==-=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩其中初始波形为如下锯齿波1, 12()3, 230, .x x x x x ϕ-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它（1）分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.（2）如果将初始位移换为1()()()x x x ϕϕϕ=--，分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.10． 考虑如下定解问题030, , 00, (), . tt xx t t t u u x t u u x x ψ==-=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩其中2e , 13()0, .x x x ψ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 试找出(,)u x t 恒为零的区域,又弦线上10x =-的点在那个时刻开始振动. 11. 考虑如下定解问题2200()0, (,), 00, (,), (,).tt xx yy t t t u u u x y R t u u x y x y R ψ==⎧-+=∈>⎪⎨==∈⎪⎩ 其中, (,)(,)0, .x y x y ψ∈Ω⎧=⎨⎩正值其它 若区域Ω为正方形{ (,) 1 1 , 1 1 }x y x y -<<-<<，试指出(,,10)u x y 恒为零的区域.12. 考虑如下定解问题3300()0, (,,), 00, (,,), (,,).tt xx yy zz t t t u u u u x y z R t u u x y z x y z R ψ==⎧-++=∈>⎪⎨==∈⎪⎩ 若(,,)x y z ψ除在球形域222{ (,,) (1) 1 }x y z x y z -++≤取正值外其它恒为零，试指出(,,,10)u x y z 恒为零的区域.13*求解下面定解问题21200, , 0(,0),0, .tt xx x t t u u u x t u x e u x -=-+=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 14*考虑下面定解问题20, , 0 (,0)cos , . t xx u a u x t u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩求出该定解问题解的有限表达形式.[利用结果2240cos ,0]4b ax ae bxdx ea aπ-∞-=>⎰.15*考虑下面定解问题230, , 0 (,0), . t xx u a u x t u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨=-∞<<∞⎪⎩求出该问题解的有限表达形式.16*利用误差函数求解下面定解问题20, , 0 (,0)(), . t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩其中, 0(), 0.A x xB x ϕ>⎧=⎨<⎩。

华中科技大学文华学院《数学物理方程与特殊函数》课程教学大纲一、课程名称：数学物理方程与特殊函数Equations of Mathematical Physics with Special functions二、课程编码：三、学时与学分：48/3四、先修课程：微积分、线性代数、复变函数与积分变换五、课程性质：必修六、课程教学目标及要求开设本课程的主要目的，在于通过典型物理问题数学模型的建立、定解条件的给出以及对模型实施具体求解和分析检验的全过程，搭建起贯通数学理论到实际应用的桥梁，在“缩微”的科研活动中进一步发展学生分析问题与解决问题的能力，使学生既能获得运用数学方法求解实际工程物理和技术问题的初步经验，又能了解Bessel函数与Legendre多项式等特殊函数的概念和基本性质，掌握求解数学物理方程常见定解问题的主要解法，特别是明确所述特殊函数在数学物理方程求解中的作用，进而为其进入各相关专业的深入学习，和深化其数学知识的积累，奠定良好的必要基础。

七、适用学科专业光信息、通信、电子、电力及相关专业（本科）八、基本教学内容与学时安排第一章数学物理方程基本概念（4学时）【内容】偏微方程基本概念，二阶线性方程的特征线与分类，典型方程的推导。

【基本要求】（1）了解三个典型方程(弦振动、热传导和Laplace方程)的推导过程；（2）掌握定解问题归属于初值、边值和混合问题的判识方法；（3）掌握二阶线性偏微方程的特征方程与特征线的求法，能以其为线索，用合适的变元代换将其化为标准方程。

【重点与难点】重点：各类泛定方程与定解问题的判识与解的确认，特征方程与特征线的求法，二阶线性偏微方程化为标准方程。

难点：推导三个典型方程。

第二章分离变量法（12学时）【内容】函数的Fourier级数展开理论与二阶常微方程的特征值理论；两端固定的弦自由振动、有限长杆上的热传导以及矩形薄板与圆盘上稳恒状态的温度分布；两端固定的弦的强迫振动、有热源的有限长杆上的热传导与Poisson 方程的特征函数展开求解法；非齐次边界条件齐次化的辅助函数法。