2007年南师附中高三数学模拟试卷(四)

南师大附中2007-2008学年度高三第一学期期中考试数学试题（满分160分，考试用时120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a+b｜等于____________.2向量OA=(1,2),OB=(2，-1)，OC=(1+m,3)，若点A、B、C三点共线，则实数m应满足的条件为___. 3条件p:a＞1；条件q：存在x∈［0，2］，使a＞x.p是q的_______________条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）4若-π/３＜x＜π/６，要使cos x=2m-1成立，则实数m的取值范围是___________5A＝｛x｜｜x-1｜＜2｝,B＝｛x｜(x+1)(x-a)＜0｝，且A∩Ｂ＝Ｂ，则实数a的取值范围是_________ 6等比数列｛a n｝的前n项和为S n＝x·3n-1／6，则常数x的值为_________7已知函数f(x)=lg(1-x)/(1+x)，若f(a)=1／2，则f(-a)=____________8设x≥1，则函数y=(x+2)(x+3)/(x+1)的最小值是______________9函数f(x)=√3·sinωx cosωx+cos2ωx（其中0＜ω＜2），若函数f(x)图像的一条对称轴为x=π/３，那么ω=____________10已知数列｛a n｝中，a1=1,a2=2,a n=a n-1-a n-2（n∈N*n≥3），则a2007＝__________11已知函数f(x)=-x２＋ax+b2-b+1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若当x∈［-1，1］时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是___________a，(a≤b)12定义运算a*b＝b,(a＞b) ，例如，1*２＝１，则函数f(x)=x２*（１-｜x｜）的最大值为________ 13估测函数f(x)=e x-1/x的零点所在的区间是_________(要求区间长度不超过0.25，e ≈2.71)14数列｛a n｝是正项等差数列，若b n＝(a1+2a2+3a3+…+na n)/(１＋２＋３＋…+n)，则数列｛b n｝也为等差数列.类比上述结论，若｛c n｝为正项等比数列，写出d n＝________，则数列｛d n｝也为等比数列.二、解答题：本大题共6小题，共90分15(本小题满分12分)解关于x的不等式：(1-a)/(x-1)＞a(a≥0)16(本小题满分14分)已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα),α∈(π/２，３π/２) ．(1)若｜ＡＣ｜＝｜ＢＣ｜，求角α的值；(2)若ＡＣ·BＣ=-1，求(2sin２α+sin2α)/(１＋tanα)的值.17(本小题满分14分)已知数列｛a n｝的前n项和S n=9-6n，且a n+1＝２n·b n（n∈N*(1)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；1(2)求数列｛n(2-log２｜b n｜) ｝的前n项和T n３某市原水价为1.5元/吨，从2006年5月1日起执行新的水价标准，实行分段计量水价：当家庭人口数不超过4人时，月用水量如表1所示；当家庭人口数超过4人时，人均月用水量如表2所示,水费由第一级别开始逐级计算，月用水量超出第一级别的部分按第二级别水价收取水费，月用水量超出第二级别的3所示.表1：表2：表3：(1)某家庭有3口人，5月份的用水量为35吨，求该家庭在5月份的水费比实施新的水价标准之前多少元?(2)如果按新的水价标准收费，试写出某人口数为n(n∈N*且n≥4)的家庭某月的用水水费总额y(元)关于月用水量x(吨)的函数设函数f(x)的定义域是(0，+∞)，对任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n)x＞1时，f(x)＞0．f(2)=1 (1)求f(1/2)的值；(2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数；(3)求方程4sinx＝f(x)的根的个数20(本小题满分18分)已知数列｛a n｝、｛b n｝、｛c n｝的通项公式满足b n=a n+1-a n，c n=b n+1-b n（n∈N*b n｝是一个非零常数列，则称数列｛a n｝是一阶等差数列；若数列｛c n｝是一个非零常数列，则称数列｛a n｝是二阶等差数列(1)试写出满足条件a １＝１,b1=1，c n=1（n∈N*a n｝的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛a n｝的通项公式a n；(3)若数列｛a n｝首项a１＝２，且满足c n-b n+1+3a n＝-2n+1（n∈N*a n｝的通项公式数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1.√32.m=-1/33.充分不必要条件4.(3/4，1 ］5.［-1，3］6. 1/67. -1/28. 69. 1/2 10. 1 11.b＜-1或b＞2 12.(3-√5)/2 13.（0.5，0.75）不唯一14.（c1·c22·c33·…·c n n）1/(1+2+3+…+n)二、解答题：本大题共6小题，共90分15（本小题满分12分）不等式可化为(ax-1)/(x-1)＜0，即（x-1）（ax-1）＜0，（2分）（1）若a=0，则不等式的解集是｛x｜x＞1｝．（4分）（2）若a＞0，则不等式可化为（x-1）(x-1/a)＜0，（6分）①当0＜a＜1时，1＜1/a，不等式的解集为｛x｜1＜x＜1/a｝；（8分）②当a＞1时，1＞1/a，不等式的解集为｛x｜1/a＜x＜1｝；（10分）③当a=1时，不等式的解集为∮（12分）16（本小题满分14分）（1）∵ＡＣ=（cosα-3，sinα），BＣ=（cosα，sinα-3），（2分）∴｜ＡＣ｜=√（cosα-3）２＋sin２α＝√10-6cosα，｜BＣ｜=√cosα２＋（sinα-3）２＝√10-6sinα4分）由｜ＡＣ｜=｜BＣ｜得sinα＝cosα又∵α∈(π/２，3π/２)，∴α=5π/４．（6分）（2）由ＡＣ·BＣ＝-1，得（cosα-3）cosα＋sinα（sinα-3）=-1∴sinα＋cosα=2/39分）又(2sin２α＋sin2α)/(1+tanα)＝(2sin２α+2sinαcosα)/(１＋sinα/cosα)＝２sinαcosα12分）由①式两边平方得1+2sinαcosα=4/9，∴2sinαcosα=-5/9∴(2sin２α＋sin2α)/(1+tanα)＝-5/914分）17（本小题满分14分）（1）当n=1时，a1=S1=3，（2分）当n≥2时，a n=S n-S n-1=-6，（4分）即数列的通项公式为a n＝3（n=1），-6（n≥2）．（6分）b n＝a n+1/2n＝-6/2n．（8分）（2）1/｛n〔2-log2(｜b n｜/３) 〕｝＝1/〔n（n+1）〕=1/n-1/(n+1)11分）故T n＝(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/n+1)=n/(n+1)14分）18（本小题满分16分）（1）如果按原来的水价，水费为35×１．５＝５２．５元，（3分）如果按新标准则∵35＞25，∴水费按三个级别来收取，25×1.9+（33-25）×2.5+（35-33）×3=73.5元，（6分）相差73.5-52.5＝21元答：该家庭在5月份的水费比实施新的水价标准之前多21元8分）（2）若n≥5时，当月用水量0≤x≤6n时，水费y=1.9x；（10分）当月用水量6n＜x≤8n时，水费y=1.9×６n+2.5×（x-6n）；（12分）当月用水量x＞8n时，y=1.9×6n+2.5×（8n-6n）+3（x-8n），（14分）综上所述：若n≥5时，某家庭某月的用水水费总额y（元）关于月用水量x（吨）的函数为1.9x 0≤x≤6n，y= 2.5x-3.6n 6n＜x≤8n，（16分）3x-7.6n x＞8n．19（本小题满分16分）（1）令m=n=1，则f（1×１）＝f（1）+f（1（1）=0令m=2，n=1/2，则f（1）=f(2×1/2)=f（2）+f(1/2)2分）∴f(1/2)=f（1）-f（2）= -14分）（2）设0＜x1＜x2，则x2/x1＞1，∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f(x2/x1)＞06分）f（x2）＝f(x1×x2/x1)＝f（x1）+f(x2/x1)＞f（x1）．（8分）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数10分）（3）∵y=4sinx的图像如下所示，由图可知y最大值为4，又∵f（4）=f（2×２）＝2f（2）=2，f（16）=f（4×４）＝２f（4）=412分）由y=f（x）在x＞0单调递增，且f（1）=0，f（16）=4可得f（x）的图像大致形状如上所示，由图可知，y=4sinx的图像与y=f（x）的图像在［０，２π］内有一个交点，在（2π，４π］内有两个交点，在（4π，５π］内有两个交点，又5π＜１６＜６π，所以总共有5个交点∴方程4sinx＝f（x）的根的个数是516分）20（本小题满分18分）（1）a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=114分）（2）依题意b n+1-b n=c n=1，n=1，2，3，…所以b n=（b n-b n-1）＋（b n-1-b n-2）＋（b n-2-b n-3）＋…+（b2-b1）+b1=1+1+1+…+1=n6分）又a n+1-a n=b n＝n，n=1，2，3，…所以a n＝（a n-a n-1）＋（a n-1-a n-2）＋（a n-2-a n-3）＋…+（a2-a1）＋a１=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n2-n+2)/210分）（3）由已知c n-b n+1＋３a n= -2n+1，可得b n+1-b n-b n+1+3a n＝-2n+1，即b n-3a n=2n+1，∴a n+1=4a n+2n+1．（12分）解法一：整理得：a n+1＋２n+1=4（a n+2n），（15分）因而数列｛a n+2n｝是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，∴a n+2n＝4·4n-1＝４n，即a n=4n-2n．（18分）解法二：在等式a n+1＝4a n+2n+1两边同时除以2n+1得：a n+1/２n+1=2·a n/2n＋１．（15分）令k n=a n/2n，则k n+1＝２k n+1，即k n+1＋１＝２（k n+1）故数列｛k n+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以k n+1=2·2n-1＝２n，即k n=2n-1．∴a n=2n k n=2n（２n-1）=4n-2n．（18分）解法三：∵a１＝２，∴a2＝１２＝２２×（2２-1），a3＝５６＝２３×（２３-1），a4＝３２＝２４×（２４-1）猜想：a n=2n（2n-1）＝４n-2n．（15分）下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a１＝２＝4-2，猜想成立；（ii）假设n=k时，猜想成立，即a k=4k-2k．那么当n=k+1时，a k+1＝４a k+2k+1＝４（4k-2k）＋２k+1=4 k+1-2 k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，a n=4n-2n．（18分）。

z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（ ）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（ ）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：； （2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数． （1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】 【答案】【14题答案】 【答案】【15题答案】【答案】 【16题答案】 【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】 【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。

南京师大附中数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝{x ｜x ＝ab ，a ，A b ∈，a ≠b }，则集合B 的子集的个数为（ ）．A ．4B ．8C ．16D ．15 2．函数)01(12<≤---=x x y 的反函数是（ ）．A ．)10(12<≤-=x x yB ．)01(12≤<--=x x yC ．)01(12≤<---=x x yD ．)10(12<≤--=x x y 3．已知θtan 和)4πtan(θ-是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是（ ）． A ．1-=+q p B ．01=--q p C ．01=-+q p D ．01=+-q p4．下列命题组中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是（ ）． A ．M ：a ＞b N ：22bc ac > B ．M ：||||||b a b a +=- N ：ab ≤0 C ．M ：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0 N ：ac ＞bd D ．M ：a ＞b ，c ＞d N ：a -d ＞b -c5．与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是（ ）． A ．04=-y x B ．044=--y xC ．024=--y xD ．04=-y x 或044=--y x6．正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是VA 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是（ ）．A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7．将x x f y cos )(=的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是（ ）． A ．x sin 2 B ．x cos 2C ．x sin 2-D ．x cos -8．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）．A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S 9．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是（ ）． A ．21[-，]21 B ．21[-，]1 C ．21[-，21()21 ，]1 D ．21[-，23()23 ，]1 10．若圆222)5()3(r y x =++-上有且仅有两个点到直线0234=--y x 的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ）．A ．（4，6）B ．[4，)6C ．（4，]6D ．[4，6]11．某种体育彩票抽奖规定，从01到36共36个号码中抽出7个为一注，每注2元，某人想从01到10中选3个连续号，从11到20中选2个连续号，从21到30中选1个号，从31到36中选1个号组成一注，现这人把这些特殊的号全买，要花费的钱数是（ ）． A ．3 360元 B ．6 720元 C ．4 320元 D ．8 640元 12．已知ab ≠0，b axx12=（x ＞0，且x ≠1），则6)2(b a x x +展开式中的常数项为（ ）． A ．12 B ．60 C ．30 D ．160二、填空题（每小题4分，共16分）13．在10件产品中，有4件是一级品，6件是二级品，从中任取3件，则至少有一件是二级品的概率为__________（用数字作答）．14．已知P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线12222=-b y a x 上一点，1PF ⊥2PF ，且21tan 21=∠F PF ，则此双曲线的离心率为__________． 15．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离是球直径的41，且5||=AB ，BC AC ⊥，则该球的表面积为__________．16．对于函数)1lg()(22+++=x x x x f 有以下四个结论：①)(x f 的定义域为R ；②)(x f 在（0，＋∞）上是增函数； ③)(x f 是偶函数；④若已知a ，R ∈m ，且m a f =)(，则m a a f -=-22)(．其中正确的命题的序号是__________．三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分）17．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，试求这个新数列的前10项之和．18．已知向量θ(cos =a，)sin θ，β(cos =b ，)sin β，且a 与b 之间有关系式：||3||b k a b a k-=+，其中k ＞0．（1）试用k 表示b a⋅；（2）求b a⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角α的值．19．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点，（1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度； （2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．20．如图，P 为双曲线12222=-by a x （a 、b 为正常数）上任一点，过P 点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点．若．（1）求证：A 、B 两点的横坐标之积为常数； （2）求△AOB 的面积（其中O 为原点）．21．某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为1)(+=n kn g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?22．对于函数1)(2++=bx ax x f （a ＞0），如果方程x x f =)(有相异两根1x ，2x ． （1）若211x x <<，且)(x f 的图象关于直线x ＝m 对称．求证：21>m ； （2）若201<<x 且2||21=-x x ，求b 的取值范围；（3）α、β为区间1[x ，]2x 上的两个不同的点，求证：02))(1(2<++--βααβb a ．参考答案1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．A 11．D 12．B 13．3029 14．5 15．3π100 16．①②④ 17．设}{n a 的公比为q ，由题知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+，，，221102111d q a d q a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.1211d q a ，，则12-=n n a ，n b n -=1．这个新数列的前10项之和为)()()(10102211b a b a b a ++++++ 21(a a +=9782)]9(0[102121)()10102110=-++--=++++++b b b a18．（1）因为||3||b k a b a k-=+，所以22||3||b k a b a k -=+，2)(b a k +2)(3b k a -=，2222223632b k b a k a b b a k a k +-=++⋅⋅，22)3(8a k b a k -=⋅22)13(b k -+，k k k b a 81)13(1)3(22⋅⋅⋅-+-=kk k k 4182222+=+=． （2）由（1）b a⋅ 214142414412=≥+=+=⋅k k k k k k ，当且仅当k k 414=，即1=k 时取等号．此时，b a ⋅21cos ||||==⋅⋅θb a ，21cos =θ，3π=θ，所以b a⋅的最小值为21，此时a 与b 的夹角θ为3π19．（1）取AC 中点F ，连接DF ．因为D 是1AC 的中点，所以DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点，所以DF ∥BE ，DF ＝BE ，所以四边形BEDF 是平行四边形，所以DE ∥BF ，DE ＝BF ．因为1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，所以1BB ⊥BF ．又因为F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，所以BF ⊥AC ，a BF 23=．因为1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，所以BF ⊥1CC ，所以BF ⊥面11A ACC ，又因为⊂1AC 面11A ACC ，所以BF ⊥1AC ，因为DE ∥BF ，所以DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，所以DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）因为11//CC BB ，DE ⊥1BB ，所以DE ⊥1CC ，又因为DE ⊥1AC ，所以DE ⊥面11A ACC ．又⊂DE 面1AEC ，所以面1AEC ⊥面1ACC ，所以二面角C AC E --1的大小为90°． （3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅，所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 2320．（1）设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、P （0x ，0y ）．因为2=PB AP ，所以02132x x x =+，02132y y y =+．又11x a b y =，22x a b y -=．所以)2(22121x x aby y -=+．从而)2(3210x x a b y -=．又因为P 点在双曲线上．所以1220220=-b y a x ，222122219)2(9)2(ax x a x x --+ 221891a x x =⇒=为常数． （2）又∠α=A OX ，则ααco s ||t an 1xOA a b ==⋅，αcos ||2x OB =αααααtan 2sin cos cos 212sin ||||212121x x x x OB OA S AOB ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆ 289a =ab a b 89=⋅ 21．（1）由1)(+=n kn g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，所以)10100()(n n f += n n 100)1810(-+-． （2）由0001100)1810)(10100()(=-+-+=n n n n f 80-52092800001)191(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ．当且仅当1+n19+=n ，即n ＝8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元22．（1）1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，且a ＞0．因为211x x <<，所以0)1)(1(21<--x x ，即12121-+<x x x x ，于是)11(212aa b a b m x ---=-== )(2121x x +=21]1)[(21)(2121212121=-+-+>-x x x x x x ． （2）由方程2)(ax x g = 01)1(=+-+x b ，可知0121>=ax x ，所以1x 、2x 同号．由201<<x ，则212=-x x ，所以0212>+=x x ，所以0)2(<g ，即4a ＋2b -1＜0，又44)1()(22212=--=-aa b x x ，所以1)1(122+-=+b a ，（因为a ＞0）代入①式得：b b 231)1(22-<+-，解之得41<b ． （3）由条件得a b x x -=+121，ax x 121=，不妨设βα<，则)(201x ->α))((222)(22)(2121212βααβαβαββ++-=++-=-x x x x x x x 212x x +αββααββαa x x x x x x 22))((22))((212121=+++->--+2))(1(++--βαb ，故02))(1(2<++--βααβb a ．。

江苏省南京师范大学附属中学2007年高考数学模拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷（第1题至10题），第Ⅱ卷（第11题至21题）．共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C p p -=- 一组数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++-其中x 为这组数据的平均值一、选择题：本大题共10小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A B y x y x A ==+=∈{}{|}01122，，，，则A 与B 的关系为 （ B ） A. A B =B. A B ⊂≠C. A B ⊃≠D. A B ⊇23. 不等式组30,0x y y +≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（ D ）A ．1B ．21C ．41 D ．81 4. 下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是（ B ）A ．)6sin(π-=x yB ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x y D ．)32sin(π-=x y5．设a >0, b >0,则以下不等式中不恒成立的是 （D ）A.2a bb a+≥ B. b a -≥a -b C. a 2+b 2+2≥2a +2b D. a 3+b 3≥2ab26.如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线 01=-+y x 对称，则k -m 的值为 （ A ）A ．4B ．2C ．-2D ．-47.已知等差数列{}n a 的前n 次和为n s ，且55,1052==s s ，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q （*n N ∈）的直线一个方向向量的坐标可以是 （B ） A ．（21,2） B.（2,21--） C.（1,21--） D. （1,1--） 8. 已知函数y ＝32321x x +-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 （ B ）A ．49m ≥-B ．409m -≤< C ．49m <- D ． 409m -<<9. 如图为正八面体的展开图，则在原正八面体中直线AB 、CD所成的角的度数为( D )A ．900B ．600C ．450D ． 30010. 在数1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足54433221,,,a a a a a a a a ><>< 的排列总数为 （ C ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 48第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分． 11. 已知二项式(x -x1)n 的展开式中含x 3的项是第4项，则n 的值为____________.9 12. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对分别为a 、b 、c ，若120A =,a =4,b c +=则ABC ∆的面积为13. 双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的半焦距为c , 直线2y x =与双曲线的一个交点的横坐标恰为c ，则该双曲线的离心率为 ． 2+114．在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB =83cm ，∠ACB =60°，则球心O 到平面ABC 的距离为______________cm. 6cm15. 甲乙两班每班选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是： ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为21,则甲班代表队三盘比赛中两胜一负的概率是_____. 设A={1班第1盘胜}, B={1班第2盘胜}, C={1班第3盘胜}83818181)()()(=++=++∴C B A P BC A P C AB P 16．已知函数2()||(,0)f x x ax b x R b =--∈≠，给出以下三个条件: (1) 存在0R x ∈，使得00()()f x f x -≠； (2) (3)(0)f f =成立；(3) ()f x 在区间[,)a -+∞上是增函数.若()f x 同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则()f x 的一个可能的解析式为()f x = .答案：满足条件(1)(2)时,231y x x =-+等；满足条件(1)(3)时,221y x x =++等；满足条件(2)(3)时,239y x x =+-等.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分14分） 已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x x x ==其中[,]62x ππ∈,设函数23()||.2f x a b b =⋅++ （Ⅰ）求函数)(x f 的的值域； （Ⅱ）若)(x f =8, 求函数()12f x π-的值.解：（1）222233()||cos 2cos 4cos sin 22f x a b b x x x x x =⋅++=++++……2分251cos 25cos 5cos 25222x x x x x +=++=+⨯+5sin(2)56x π=++ …………………………5分由67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得, 1)62sin(21≤+≤-∴πx ………………7分5,()[,10].622x f x ππ∴≤≤时函数的值域为 ……………………8分 （2）3()5sin(2)58,sin(2)665f x x x ππ=++=+=则,67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得所以4cos(2),65x π+=-()12f x π-=5sin 255sin(2)57.662x x ππ=+=+-+=+18．（本小题满分14分）在直角梯形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD=a ，DC=2a ,SD =a 2，过DC 作截面EFCD 与SA ，SB 分别交于点E ，F .（Ⅰ）求证：四边形EFCD 为直角梯形； （Ⅱ）求二面角D-SC-B 的大小； （Ⅲ）当SFFB 为何值时，能使△DFC 解：（Ⅰ）∵ CD ∥AB ，AB ⊂平面SAB ∴CD ∥平面SAB,面EFCD ∩面SAB =EF ，∴CD ∥EF ∵090D ∠=,CD AD ∴⊥又SD ⊥面ABCD∴SD CD ⊥ CD ∴⊥平面SAD ，∴CD ED ⊥又EF AB CD <<EFCD ∴为直角梯形（Ⅱ）取CD 中点G ，连BG ，则BG//AD ，易得BG ⊥面SDC作GM ⊥SC 于M ，连BM ，则由三垂线定理得BM ⊥SC，故∠BMG 即为所求二面角的平面角。