高三数学_南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题

2020届江苏省南师附中高三年级第一次模拟考试数学II(附加题) 2020.03.1921．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1A⎡=⎢⎣2⎤⎥⎦，2B⎡=⎢⎣1a⎤⎥⎦，且AB BA=（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值.B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.C .[选修4—5：不等式选讲]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15. （1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.23.已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021k n n k nT k a =-=∑+．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．。

2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题一、填空题1．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤，则A B =I __________.【答案】{5,7}【解析】根据交集的定义，即可求解.【详解】 {}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤{5,7}A B =I .故答案为:{5,7}.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若复数()()12bi i +-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数b 的值是_________.【答案】2-【解析】求出()()12bi i +-实部和虚部，由纯虚数的定义，即可求解.【详解】()()122(21)bi i b b i +-=++-，()()12bi i +-是纯虚数，20210b b +=⎧⎨-≠⎩解得2b =-.故答案为：-2【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的分类，属于基础题.3．在下图所示的算法中，若输出y 的值为6，则输入x 的值为_____________.【答案】1-【解析】算法表示分段函数，由6y =，对x 分类讨论，即可求解.【详解】当1x ≤时，56,1y x x =-==-；当1x >时，56,1y x x =+==（舍去），所以1x =-.故答案为:1-.【点睛】本题考查算法程序的应用问题，解题时应模拟程序运行过程，属于基础题.4．函数()21lg 2y x x x =++的定义域是_______________.【答案】(0,)+∞【解析】根据函数的限制条件，得出不等式组，即可求解.【详解】函数有意义，须21020x x x +≥⎧⎨+>⎩，解得0x >， 函数的定义域为(0,)+∞.故答案为:(0,)+∞.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.5．某中学高一、高二、髙三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视惰况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____________.【答案】35【解析】根据分层抽样各层按比例分配，即可求解【详解】分层抽样的方法抽取了容量为100的样本， 则高三年级应抽取的学生人数为700100352000⨯=. 故答案为:35.【点睛】本题考查分层抽样样本抽取个数，属于基础题.6．已知集合{}0,1,2,3,4A =，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为______________. 【答案】25【解析】用组合数求出从集合A 中随机抽取2个数所有方法，再求出和是偶数的基本事件的个数，按求古典概型的概率，即可求解.【详解】从集合A 中随机抽取2个数有2554102C ⨯==， 其和是偶数则这两数同为奇数或同为偶数有22324C C +=， 和是偶数的概率为42105=. 故答案为:25. 【点睛】 本题考查古典概型的概率，属于基础题.，7．已知正四棱锥的底面边长为体积为8，则正四棱锥的侧面积为_____________.【答案】【解析】根据题意求出正四棱锥的高，再求出侧面的斜高，即可求解.【详解】设正四棱锥的高为h ，侧面的斜高为h '，218,3,3V h h h '=⨯⨯====正四棱锥的侧面积142S =⨯=故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积和侧面积，注意应用其几何结构特征，属于基础题.8．设数列{}n a ()*n N ∈是等比数列，前n 项和为n S .已知324239,27a a a -==，则3S 的值为_____________.【答案】13【解析】设等比数列的公比为q ，将已知条件转化为关于q 的方程，求出n a ，即可得出结论.【详解】设等比数列的公比为q ，427a =,4432223239a a a a q q-=-=， 即2690,3q q q -+==，133,13913n n a S -==++=.故答案为:13.【点睛】本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.9．已知12,F F 是椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F ∆为等腰三角形，012120F F P ∠=，则C 的离心率为______． 【答案】14【解析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，根据椭圆离心率的定义，即可求得椭圆的离心率．【详解】如图所示，由题意知：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --，直线AP 的方程为：)y x a =+，由012120F F P ∠=，2122PF F F c ==，则()2,3P c c ， 代入直线()3:326AP c c a =+，整理得：4a c =， ∴所求的椭圆离心率为14c e a ==． 故答案为：14．【点睛】本题考查了椭圆标准方程离心率的求解，及直线方程的应用，其中解答中应用题设条件求得点P 的坐标，代入直线的方程，得出4a c =是解答的关键，同时注意数形结合思想的应用，是中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ，点N 在线段OA 的延长线上.设直线MN 与直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为____________.【答案】12【解析】求出直线OA 方程，设点N 坐标，求出直线MN 的方程，进而求出直线MN 与x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积S 表示成N 点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.【详解】点()1,2A ，直线OA 方程为2y x =，点N 在线段OA 的延长线上，设(,2),1N a a a >，当4a =时，(4,8),16N S =，当1a >，且4a ≠时，直线MN 方程为222(4)4a y x a --=--，令430,4311a y x a a -==-=+--， 1123(1)3()211a S a a a a =⨯⨯+=+-- 13(1)6121a a =-++≥-，当且仅当2a =时，等号成立. 所以S 的最小值为12.故答案为:12.【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档题. 11．已知函数()2ln f x x x =+，若直线1:1l y kx =-与曲线()y f x =相切.则实数k 的值为 ____________.【答案】3【解析】设切点为00(,)M x y ，求出0(),()f x f x ''，求出切线方程，将(0,1)-代入，求出切点坐标，即可求解.【详解】设切点为()()000011(,),2,2M x y f x k f x x x ''=+==+， 切线1l 方程为000012ln (2)()y x x x x x --=+-， 令000,ln 11,1,3x y x x k ==-=-=∴=.故答案为:3.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意切点坐标的应用，属于基础题.12．如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,2AB DC ADC AB ∠==°，1AD =，E 为BC 的中点，若1AE BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ____________，【答案】2【解析】以A 为坐标原点，,AB AD 所在的直线为,x y 轴建立坐标系，得出,B D 坐标，设C 点坐标，根据已知求出C 坐标，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在的直线为,x y 轴建立坐标系，则(2,0),(0,1)B D ，设11(,1),0,(1,),(1,)2222x x C x x E AE >+=+u u u r ， 2113(2,1)(1,)12222x AE BC x x ⋅=-⋅+=-=-u u u r u u u r ， 解得1x =，舍去负值，(1,1),(2,0)(1,1)2C AB AC ∴⋅=⋅=u u u r u u u r .故答案为:2.【点睛】本题考查向量的坐标表示，以及向量数量积的运算，属于基础题.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin 2sin 3sin A B A B C +=，则sin C 的最大值为_____________. 34 【解析】由已知可得222223a b ab c ++=，结合余弦定理，求出cos C 用,a b 表示，用基本不等式求出cos C 的最小值，即可求解.【详解】2222sin sin 2sin 3sin A B A B C +=, 由正弦定理得222223a b ab c +=，由余弦定理得2223336cos c a b ab C =+-，226cos 22ab C a b ab =+-，226cos 22,cos 6a b C C b a =+≥≥， 当且仅当2a b =时，等号成立， 234sin 1cos 6C C ∴=-≤，所以sin C的最大值为6. 故答案为. 【点睛】 本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.14．已知函数()41,16,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】3(,3)2【解析】令(),()t f x f t a ==，作出函数()f x 的图像，求出()t f x =有5个交点时，t 值的个数以及范围，转化,()y a y f t ==交点的个数及交点横坐标范围，数形结合，求出a 的范围.【详解】令(),()t f x f t a ==，作出函数()f x 的图像，如下图所示：当0,3t t <>时，()t f x =没有实数解，当0t =或3,()t t f x ==，有1个实数解，当01t <<时，()t f x =有3个实数解，当13t ≤<时，()t f x =有2个实数解，要使()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则()f t a =在(0,1),(1,3)各有一个解，即,()y a y f x ==在(0,1),(1,3)各有一个交点，3(0)0,(1)3,(3)2f f f ===所以实数a 的取值范围是3(,3)2. 故答案为:3(,3)2,【点睛】本题考查复合函数零点个数求参数，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，属于较难题.二、解答题15．已知函数2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π. （1）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且3a =，4b c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3[3,3]2（2）312【解析】（1）由二倍角正弦、降幂公式、辅助角公式，化简()f x 为正弦型三角函数，由周期值，求出解析式，用整体代换结合正弦函数的图像，即可求解；（2）由（1）和32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出A ，再由余弦定理求出bc ，即可求解. 【详解】（1）333()(1cos 2)2322232f x x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. 因为()f x 的周期为π，且0>ω， 所以22ππω=，解得，1ω=， 所以3()3232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 又2x ππ≤≤，得472333x πππ≤+≤，31sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 3333sin 23232x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭， 即函数()y f x =在[,]2x ππ∈上的值域为3[3,3]2-. （2）因为()32A f =，所以3sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=. 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即229b c bc =+-，所以29()3b c bc =+-，因为4b c +=，所以73bc =. 所以173sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】 本题考查三角恒等变换化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理解三角形以及求三角形的面积，属于中档题.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=o，AC BC =，点D E 、分别为1AB AC 、的中点.（1）求证:平面1ACD ⊥平面ABC ； （2）求证：//DE 平面11BCC B .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由已知可得1,CD AB A D AB ⊥⊥，可证AB ⊥平面1A CD ，即可证明结论； （2）连接1C A 、1C B ，可得E 为1AC 中点，结合已知可证1//DE BC ，即可证明结论. 【详解】（1）因为AC BC =，且点D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥. 因为侧面11AA B B 为菱形，所以1AA AB =，又160A AB ∠=︒， 所以1A AB ∆为等边三角形，点D 为AB 的中点，所以1A D AB ⊥，且1A D CD D =I ，1A D 、CD ⊂平面1A CD 所以AB ⊥平面1A CD ，又AB Ì平面ABC所以平面1ACD ⊥平面ABC . （2）连接1C A 、1C B ，因为111ABC A B C -是三棱柱 所以11//AA CC ，11AA CC =， 所以四边形11AAC C 是平行四边形 点E 为1A C 的中点，故11A C AC E =I ， 所以点E 为1AC 的中点，又点D 为AB 的中点， 所以在1ABC ∆中，有1//DE BC因为DE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ， 所以//DE 平面11BCC B .【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，注意空间垂直之间的转换，属于基础题.17．在平面直角坐拯系xOy 中，()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点⎛ ⎝⎭在此椭圆上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设宜线l 与圆22:1O x y +=相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于,A B .两点.若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）y x =-+.【解析】（1）将离心率中的,a c 关系，转化为,a b 关系，点1,2⎛ ⎝⎭代入方程，即可求解；（2）根据已知可得4||3AB =，设直线方程:0,0l y kx m k m =+<>，由直线l 与圆相切，可得出,m k 关系，将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，进而求出,A B 两点坐标关系，求出||AB 且等于43，即可求解. 【详解】（1）e a b c =∴=∴=Q ， 可得椭圆方程为222212x y c c+=，将点代入，解得方程为2212x y +=（2）2124,||||,||3233AOB S AB OP AB ∆=∴⋅=∴=Q 因为直线l 与单位圆O 相切于第一象限内的点， 可设:0,0l y kx mk m =+<>l Q 与O e 相切，圆心O 到直线l 距离为1d ∴==，221m k ∴=+ ①设()()1122,,,A x y B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()222124220kxkmx m +++-=2222222168(1)(21)8(21)80k m m k k m k ∆=--+=-+=>，12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩AB ∴= ②将①代入②，得4||3AB ==解之可得：4220k k +-=， 21k =∴或2-（舍），1k ∴=± 代入①式可得m =， 因为k 0<，0m >，1,k m =-=所以直线l的方程为y x =-+. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求相交弦长，考查计算求解能力和推理能力，属于中档题.18．某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为r ，高为h ，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I 圆柱和第II 圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I 圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II 圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II 圆柱上下底面圆的内接正方形.（1）当2,8r h ==时，若第I 圆柱和第II 圆柱的体积相等，求该手王作品的体积； （2）对于给定的r 和()2h h r >，求手工作品体积的最大值. 【答案】（1）32323π+（2）3242(2)3r r h r π+- 【解析】（1）由已知可得第I 圆柱和第II 圆柱高相等为4，等于圆柱底面直径，第I 圆柱的球体最大直径为4，再由条件可求出正四棱柱的底面边长，从而求出体积，即可求解；（2）设第I 圆柱的高为x ，则第II 圆柱的高为h x -，求出正四棱柱体积为222(2)()2()V r h x r h x =⋅-=-，而球半径为x 与2r 较小值，对,2x r 分类讨论，当2r x h ≤<是，球的半径为r ，体积定值，只需求2V 最大值即可；当02x r <<，球最大半径为2x，求出球的体积与正四棱柱体积和，通过求导，求出最大值，对比x 两个范围的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为第I 圆柱和第II 圆柱的体积一样大， 所以它们的高一样，可设为42h r '== 第I 圆柱的球体直径不超过h '和2r因此第I 圆柱内的最大球体半径即为2R r == 球体体积3143233V R ππ== 因为正四棱柱的底面正方形内接于半径为2r =的圆 所以正方形的对角线长为24r =，边长为2正四棱柱体积22(22)8432V h =⋅'=⨯=， 手工作业的体积为1232323V V V π=+=+.（2）设第I 圆柱的高为x ，则第II 圆柱的高为h x -， ①当2r x h ≤<时，第I 圆柱内的球体直径应不超过x 和2r ， 故球体的最大半径应为r由（1）可知，此时第II 圆柱内的正四棱柱底面积为222)2r r =， 故当2x r =时，h x -最大为2h r -， 手工作品的体积最大值为32042(2)3V r r h r π=+-. ②当02x r <<时，第I 圆柱内的球体直径应不超过x 和2r ， 故球体的最大直径应为x ，球体体积33314413326x V R x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，正四棱柱体积222(2)()2()V r h x r h x =⋅-=- 所以手工作品的体积为32121()2()(02)6V x V V x r h x x r π=+=+-<<. 22221141()2222V x x r x r x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()02V x x r r π'=⇒=<x 20,r π⎛⎫⎪⎝⎭ 2r π2,2r r π⎛⎫⎪⎝⎭()V x ' 0<0=0>(x)V递减 极小 递增23232044(0)2,(2)2(2)4233V r h V r r r h r r r h V ππ⎛⎫==+-=-+= ⎪⎝⎭，因为3404π->， 所以0(2)(0)V r V V => 所以当2x r =时，手工作品的体积最大值为32042(2)3V r r h r π=+- 【点睛】本题考查球的体积和正四棱柱的体积，解题的关键确定球的半径，考查导数求最值的应用，属于中档题.19．设m 为实数，已知函数()xx mf x e+=的导函数为()f x '，且(0)0f '=. （1）求m 的值；（2）设a 为实数，若对于任意x ∈R ，不等式2()x a f x +≥恒成立，且存在唯一的实数0x 使得200()x a f x +=成立，求a 的值；（3）是否存在负数k ，使得3y kx e=+是曲线()y f x =的切线.若存在，求出k 的所有值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）1m =（2）1a =（3）1e-【解析】（1）求出()f x '，再由(0)0f '=，即可求出m 值； （2）由（1）的结论将问题转化为210x x x a e ++-≥恒成立，设21()xx x x a e ϕ+=+-，即为min ()0x ϕ≥，通过导数法求出min ()x ϕ，求出a 的取值范围，再由200()x a f x +=唯一解，求出a 的值；（3）设切点的横坐标为t ，求出切线斜率，结合已知得ttk e =-，将切点坐标代入3y kx e =+，整理得到关于t 的方程231tt t e e++=，转化为关于t 的方程正数解的情况，即为21t t t y e ++=与直线3y e =在第一象限交点情况，通过求导，求出21tt t y e++=单调区间，以及最值，即可求解. 【详解】（1）因为1()()xx m f x e -+'=，所以01(0)(0)10m f m e-+'==-=， 故1m =.（2）因为2,()x R x a f x ∀∈+≥，所以210x x x a e++-≥恒成立. 记21()x x x x a eϕ+=+-，则1()22x x x x x x e e ϕ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭， 因为x ∈R ，且0x e >， 所以120x e+>， 因此为0x <时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当0x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 所以()(0)10min x a ϕϕ==-≥，即1a ≥， 当1a >时，2()()10x x a f x a ϕ=+-≥->， 故方程2()x a f x +=无解，当1a =时，当0x ≠时，由单调性知2()()0x x a f x ϕ=+->所以存在唯一的00x =使得200()x a f x +=，即1a =.（3）设切点的横坐标为t ，则()31tk f t t kt e e ='⎧⎪+⎨+=⎪⎩，即31tt t k e t kt e e ⎧=-⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩， 231t t t t e e e +=+，即231(*)tt t e e ++= 原命题等价于存在正数t 使得方程(*)成立.记21()tt t g t e++=，则()2(21)1(1)()ttt t t t t g t e e +-++--'==，令()0g t '=，则1t =，因此当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增，3()(1)g t g e<=； 当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减，3()(1)g t g e<=， 则3()(1)max g t g e==. 故存在唯一的正数1t =使得方程(*)成立， 即存在唯一的负数1e et t k -==-， 使得3y kx e=+是曲线()y f x =的切线. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、方程的解等知识，考查运算求解能力、推理论证能力与问题转化能力，综合性较强，属于难题.20．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭（2）13144323n n n n T -=--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3).【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，将已知条件用1,a d 表示，解方程组，即可求出n a ；令1111,,2,n n n n b S n b S S -==≥=-，得出{}n b 为等比数列，即可求出通项； （2）（i ）由题意121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，求出nk x 的通项公式，进而求出1,3nnk n n k n x T ==∑就为数列{}3n n的前n 项和，利用错位相减法即可求解； （ii ）根据已知得出,m n 的函数关系，利用**,m N n N ∈∈，结合函数值的变化，即可求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+， 将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=Q由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ② ①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ，因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)n n n n n nb b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①则231111133333n n n n nT +-=++⋯++ ② ①-②得：2111111332111111133333323313nnn n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-L ， 13144323n n nnT -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅， 从而3321432n nn m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360x x f x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323n n n +<<--，从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3). 【点睛】本题考查等差数列的通项基本运算和前n 项和，考查由前n 项求等比数列的通项，考查错位相减法求前n 项和，以及不定方程的求解，考查计算、推理能力，属于较难题. 21．.选修4-2:矩阵与变换已知,a b R ∈，矩阵1?3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线10x y --=变换为自身,求a,b的值． 【答案】【解析】试题分析：利用相关点法列等量关系：设直线上任意一点(?)P x y ，在变换A T 的作用下变成点(?)P x y '''，，由13a x x b y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，得,{3.x x ay y bx y ''=-+=+，与重合，解得试题解析：设直线上任意一点(?)P x y ，在变换A T 的作用下变成点(?)P x y '''，，由13a x x b y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，得,{3.x x ay y bx y ''=-+=+， 4分 因为(?)P x y '''，在直线上，所以10x y '-'-=，即， 6分又因为(?)P x y ，在直线上，所以． 8分因此11,{3 1.b a --=-=-解得. 10分【考点】矩阵变换22．在极坐标系中，己知直线l 的极坐标方程是sin 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，求直线l 被圆C 截得的弦长. 【答案】22【解析】直线、圆方程化简整理，222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 代入，将直线方程、圆方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，即可求出相交弦长. 【详解】 解：22sin()22,cos sin 22422πρθρθρθ-=-=， 直线l 的直角坐标系方程40x y --=，24cos ρρθ=，圆C 的直角坐标方程是22224(2)4x y x x y +=⇒-+=， 圆心为(2,0)，半径为2， 所以圆心到直线l 的距离为211d ==+，所以弦长为22224222l r d =-=-=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查圆的相交弦长，注意应用几何法求弦长，属于中档题.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的疋方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，过点P 作AD 的垂线，垂足为O ，且满足1AO =，点E 在棱PB 上，2PE EB =（1）当2PO =时，求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）当PO 取何值时，二面角B PC D --. 【答案】（1.（2）1PO = 【解析】在底面ABCD 内过点O 作OF AD ⊥，OF 交BC 与F ，由已知可证PO ⊥底面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出,,,A B C D 坐标.（1）由条件得出,,P E AE u u u r坐标，求出平面PCD 法向量，根据向量的线面角公式，即可求解；（2）设(0,0,)P t ，分别求出平面PCD 、平面PCB 的法向量，根据向量的面面角公式，结合已知，得到关于t 的方程，求解即可得出结论 【详解】解：因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，PO AD ⊥，PO ⊂平面PAD ， AD =平面PAD I 平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ，在底面ABCD 内过点O 作OF AD ⊥， OF 交BC 与F ，则2CF BF =，又PO ⊥底面ABCD ， 所以PO OF ⊥，PO AD ⊥，以OF ，AD ，PO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,1,0),(3,1,0),(3,2,0),(0,2,0)A B C D --，（1）点(0,0,2)P ，因为2PE EB =， 所以点22(2,,)33E -， 22122,,(0,1,0)2,,3333AE ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，(3,0,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r，设平面PCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，满足30002200x x m DC y z y z m DP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ，取1y z ==，法向量为(0,1,1)m =u r，22212201133cos ,821221133AE m ⨯+⨯+⨯<>==⎛⎫⎛⎫++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r r ，所以直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为38282. （2）设,(0,0,),(3,0,0),(0,2,)PO t P t DC DP t ===-u u u r u u u r， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，满足30002020x x m DC y tz y tz m DP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ， 取2z =，法向量为(0,,2)n t =r， (0,3,0),(3,1,)BC BP t ==-u u u r u u u r设平面PCB 的一个法向量为(,,)s x y z =r，满足30003030y y s BC x y tz x tz s BP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ，取3z =，法向量(,0,3)s t =r，由题意22227cos ,12523n s t t <>==-+⋅+r r整理得4213140t t +-=，()()221410t t +-=，21,1t t ==±，即1PO =.【点睛】本题考查空间向量法求直线与平面所成的角、二面角，考查计算求解能力，属于中档题. 24．考虑集合{}1,2,3,...,n 的所有()1,*r r n n N ≤≤∈元子集及每一个这样的子集中的最小数，用(),F n r 表示这些最小的数的算术平均数 （1）求()6,3F ； （2）求(),F n r . 【答案】（1）74（2）1(,)1n F n r r +=+ 【解析】（1）从1，2，3，4，5，6取出3个数，分别求出最小值为1,2,3,4子集个数，进而求出子集中所有最小数的和，即可求解；（2）{1,2,3,,}n K 的所有r 元子集中，求出最小数为k 的子集有1r n k C --个，(1,2,,1)k n r =-+K ，结合111121r r r rn n r n C C C C ------+++=L ，求出这些子集最小值的和，即可求解. 【详解】解：（1）1，2，3，4，5，6，中每次取3个数，则 最小数为1的有25C 个 最小数为2的有24C 个 最小数为3的有23C 个 最小数为4的有22C 个222254323612347(6,3)4C C C C F C ⋅+⋅+⋅+⋅∴== （2）集合{1,2,3,,}n K 的所有r 元子集有rn C 个时， 其中最小数为k 的子集有1r n k C --个(1,2,,1)k n r =-+K ，所以有111121r r r rn n r n C C C C ------+++=⊗L ，这些子集中最小的之和为1111212(1)r r r n n r S C C n r C ------=+++-+L ， 利用⊗式可得111r r r r n n r n S C C C C +-+=+++=L于是111(,)1r n r r n n C S n F n r C C r +++===+.【点睛】本题考查集合子集的个数，考查子集最小数的和以及组合数的运算，考查计算、推理能力，属于中档题.。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值； （2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】 【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部． 【详解】 由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】 【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出． 【详解】 抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案． 【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】 ：因为a r∥b r， 所以4x+（1﹣x ）y=0， 又x ＞0，y ＞0， 所以1x +4y=1， 故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9． 当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． （x+y ）min =9． 故答案为9． 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ． 【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】 【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】 【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式2080y ≤可得； （3）由函数单调性可得最小值． 【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元． 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程． 【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立； 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析； （2）n a n =； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=， 所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】 （1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =， 不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ； （1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题（含附加题）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知{}231,x A x x R +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______.2.复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点在第__________象限．3.某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_________.4. 按按按按按按按按按按按按按按3按按按按按按__________按5.抛物线y 2=8x 的焦点坐标是6.若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是______．7.已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______. 8.已知等差数列{a n }中，a 3﹣2a 4＝﹣1，a 3＝0，则{a n }的前10项和是_____.9.已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________． 10.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________．的11.已知不等式2121xx ->-的解集为A ，()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是________. 12.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 13.如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1圆，圆B 是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是______．14.已知1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，若12x x <，则()12f x x 的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知,,a b c 分别是ABC ∆三个角,,A B C 所对的边，且满足cos cos cos cos c Aa Bb A C+=．(1)求证：A C =；(2)若2b =,1BA BC ⋅=uu r uu u r，求sin B 的值．16.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平面BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平面ADD 1A 1； （2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.的17.如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD .（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18.如图，已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为12-，求k 的值； （3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求M 的坐标. 19.已知函数()1af x lnx x=++，a ∈R . （1）若函数f （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +b ，求a ，b 的值； （2）记g （x ）＝f （x ）+ax ，若函数g （x ）在区间（0，12）上有最小值，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝0时，关于x 的方程f （x ）＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.20.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n S n +1﹣a n +1S n ＝a n +1﹣λa n ，对一切n ∈N *都成立.的（1）当λ＝1时； ①求数列{a n }的通项公式；②若b n ＝（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{a n }是等差数列如果存在，求出λ值；若不存在，说明理由.21.已知矩阵M ＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1） 求M 2；（2） 求矩阵M 的特征值和特征向量．22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q 的极坐标.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）及点M （2，0），动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.（1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上.24.对于给定正整数n ，设2012(1)nnn x a a x a x a x L -=++++，记01nn kk S a ==∑.（1）计算1234S S S S ，，，的值； （2）求n S .的。