数列之特征方程法+不动点法

求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列 对于数列2n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ． 若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ． 此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++ 由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。

数列不动点法
数列不动点法是一种求解方程根的数值方法。

其基本思想是通过构造一个数列，使得数列的每一项都是方程的一个近似解，然后迭代该数列，直到数列的两个相邻项之差小于预设的精度要求，此时数列的极限就是方程的根。

具体的实现方法是，先将方程化为等价的形式g(x)=0，然后选取一个初始值x0，构造数列xn+1=g(xn)，不断迭代直到满足精度要求。

一般来说，数列需要收敛才能求得方程的根，所以选取初始值时需要注意。

数列不动点法的优点是计算简单，收敛速度比较快，且适用于一般的非线性方程。

但其缺点也比较明显，比如可能会出现不收敛的情况，且对于复杂的方程，可能需要多次迭代才能求得根。

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求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。

1. 原理。

- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。

- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。

- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。

- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。

2. 例题。

- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。

- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。

- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。

- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。

- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。

- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。

- 所以a_n=-1 + 2^n。

- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。

- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。

- 解得x_1=x_2=1。

- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。

- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。

- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。

- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。

- 所以a_n=n。

二、数列不动点法。

1. 原理。

- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。

数列的不动点法原理宝子，今天咱们来唠唠数列里超有趣的不动点法原理呀。

你想啊，数列就像是一列小火车，按照一定的规则在数字的轨道上跑。

那不动点呢，就像是这个小火车跑到了一个特殊的站台，到了这个站台之后呢，下一次它还在这个站台，或者说有一种特殊的关系。

比如说有这么一个数列的递推公式，像a_n + 1 = f(a_n)。

不动点就是满足x = f(x)的那个x的值哦。

这就好比是小火车跑到了一个站台x，按照规则f，下一次它还是在这个站台。

咱举个简单的例子哈。

假如有数列a_n + 1=(1)/(2)a_n+1。

我们来找找它的不动点。

设这个不动点是x，那按照定义就有x=(1)/(2)x + 1。

你看，就像解一个小方程一样，把x移到一边，得到(1)/(2)x=1，解得x = 2。

这个2就是这个数列递推关系的一个不动点啦。

那这个不动点有啥用呢？它可神奇了呢。

当我们知道了不动点之后，我们可以对数列进行一些变形。

就拿刚才那个数列来说，我们可以把递推公式a_n +1=(1)/(2)a_n+1变形为a_n + 1-2=(1)/(2)(a_n-2)。

你看，这时候就出现了一个新的数列b_n=a_n-2，这个新数列的递推公式就变得更有规律啦，是b_n + 1=(1)/(2)b_n，这就是等比数列的形式了呀。

再比如说更复杂一点的数列。

有些数列看起来乱乱的，但是一旦找到了不动点，就像在黑暗中找到了一盏明灯。

比如说有数列a_n + 1=frac{a_n^2+1}{2a_n}。

设不动点为x，那就是x=frac{x^2+1}{2x}，整理一下得到2x^2=x^2+1，也就是x^2=1，解得x = 1或者x=-1。

然后我们就可以根据这两个不动点对原数列进行变形啦。

从本质上来说，不动点法就是利用数列递推关系中的这个特殊的“稳定点”，把数列转化成我们熟悉的形式。

就像是把一个调皮捣蛋、不好管理的小怪兽，变成了一个乖乖听话、有规律的小动物。

而且啊，不动点法在很多类型的数列问题中都能派上用场。

例4已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
例5.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2，3，…），则它的通项公式是 =________.
解：已知等式可化为：
( ) (n+1) ,即
时，
= = .
评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .
练习2．已知数列 满足
，求数列 的通项
说明：(1)若方程 有两不同的解s , t,
则 , ,
由等比数列性质可得 , ,
由上两式消去 可得 .
(2)若方程 有两相等的解 ，则
，
,即 是等差数列，
由等差数列性质可知 ，
所以 ．
例26、数列 满足 ，且 求数列 的通项。
解： ……①
令 ，解得 ，将它们代回①得，
分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足 ，且 成等比数列，求数列 的通项公式。
解：∵对任意 有
∴当n=1时， ，解得 或
当n≥2时， ⑵
-⑵整理得：
∵ 各项均为正数，∴
当 时， ，此时 成立
当 时， ，此时 不成立，故 舍去
令 ,则可化为 .然后转化为类型5来解，
.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，

)
8(an
1 7
)
an
1 7
8 7
8n1
即
an
8n 1 7
2.递推式形如
an1
Aan Can
B D
的数列
①当特征值 ,
是实数且不等时,
an an
为等比数列
②当特征值 ,
是实数且相等时,
an
1
为等差数列
③当特征值 , 是复数时,个别数列 an 具有周期性
练习2.
附录22 不动点法求数列的通项公式
一、有关概念
1.不动点 2.特征方程与特征值
二、常见题型
1.递推式形如 Aan1 Ban C 0 的数列
2.递推式形如
an1
Aan Can
B D
的数列
3.递推式形如 Aan2 Ban1 Can 0 的数列
1.不动点：方程 f (x) x 的根称为函数 f (x) 的不动点 例1：函数 f (x) x2 2x 的不动点是__x___0__或__x___3_
x x 3 3x 1
其特征值为虚根，故 {an}为周期数列
a1 0
, a2
a1 3 3a1 1
3
, a3
a2 3a2
3 1
3
a4
a3 3 0 3a3 1
周期为3也，故 a20 a2 3
3.递推式形如 Aan2 Ban1 Can 0 的数列
①当特征值 , 是实数且不等时,
能否找到一个图形,当它的面积无限减小时,它的周长则无限增大
解：因 an1 3an 1
即
(an1
1 2
)
3(an
1 2
)
故
an

不动点法求数列
不动点法求数列通项原理是不动点是使f(x)=x的x值。

1、不动点法是作为求解函数迭代的方法而被研究的。

所以在开始之前，我们先介绍一下递推数列与函数迭代的关系。

如果我们把函数看作从R到R的一个映射，那么不动点经过这一映射之后，还是它本身，就像固定在数轴上“不动”，所以叫作“不动点”。

2、设不动点为x0,则f(x0)-x0=0,即x是f(x)-x0=0的根，所以f(x)-x0因式分解时有x-x0这个因子，对数列有a(n+1)=f（an）,两边同时减去不动点x0有a(n+1)-x0=f（an）-x0，f（an）-x0只不过是把x换成了an，所以f（an）-x0有an-x0这个因子，所以a(n+1)-x0=（an-x0）*g （an）,减去不动点后两边出现了形式相同的项an-x0，g（an）则相当于公比。

3、数列通项公式（an=f(n)）表示的是数列的第n项a与项的序数n之间的关系。

对于一个数列{ an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差位公差，记为d ；从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。

数列特征根法和不动点法的原理
嘿，朋友！今天咱来聊聊数列里超厉害的两个方法：特征根法和不动点法的原理，这可有意思啦！比如说，你想想看，一棵大树有它的根深深扎在地下，让它稳稳站立，这特征根就像数列的“根”一样重要啊！
咱先说特征根法。

就拿斐波那契数列来说吧，1, 1, 2, 3, 5, 8……它就可以用特征根法来研究呢！你知道吗，通过找到它的特征根，我们就能更好地理解这个数列的规律啦！哎呀呀，这是不是很神奇？就好像你找到了一把钥匙，能打开数列的秘密之门！
再来说说不动点法。

打个比方，就像你玩捉迷藏，找到了一个固定的位置，那就是“不动点”呀！比如对于一个数列，我们可以通过不动点法找到那个特殊的点，从而搞清楚数列的行为。

比如说一个简单的分式递推数列，通过不动点，我们就能看清它的趋势和特点呢！哇塞，是不是超级厉害？
“这有啥用呢？”你可能会这么问。

嘿，用处可大了去啦！在很多数学问题里，用这两个方法能让我们迅速找到答案，就像有了指南针一样！而且，这对研究更复杂的数学现象也特别重要呢。

特征根法和不动点法，就像是数学世界里的两把神奇钥匙，能开启无数知识的大门。

它们能让看似杂乱无章的数列变得有规律可循，让我们对数学的奥秘有更深的领悟。

所以啊，好好去了解它们吧，你会发现一个无比精彩的数学世界在等着你呢！朋友，还等什么，赶紧去探索吧！。

《数列》竞赛知识总结【不动点法】一阶分式型递推数列()10n n n ax b x ad bc cx d++=-≠+以及给定1a的统一求法：对于函数)(x f ，满足)(00x f x =的点))(,(00x f x 称作函数)(x f 的不动点.而我们称满足dcy b ay y ++=的y 为具有递推公式dcx b ax x n n n ++=+1的数列的不动点.（1）当d cx bax x n n n ++=+1有两个不动点21,y y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21y x y x n n 成等比数列，且11111222n n n n x y x y a cy x y a cy x y ++---=⋅---. （2）当d cx bax x n n n ++=+1只有有一个不动点y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-y x n 1成等差数列.且1121n n c x y a d x y+=+-+-.【特征根法】一般地，我们称由初始值12k a a a ⋯，，，及递推关系()1122n k n k n k k n a c a c a c a f n ++-+-⋯=++++所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中1c ，2c ，…，k c 为常数，且0k c ≠．当()0f n =时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）．我们把对应于常系数齐次线性递归数列1122n k n k n k k n a c a c a c a ++-+-⋯=+++①的方程1212k k k k x c x c x c --⋯=+++②称为其特征方程，方程的根称为{}n a 的特征根．下面不加证明地引进两个定理．定理1 若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根1x ，2x ，…，k x ，那么1122n n nn k k a A x A x A x ⋯=+++，其中1A ，2A ，…，k A 是待定系数，可由初始值确定．定理2 若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根1x ，2x ，…，()s x s k <，其中()1i x i s ≤≤是②的i t 重根，12s t t t k ⋯+++=，那么()()()1122n nn n s s a A n x A n x A n x ⋯=+++，其中()()()()112s i i i i t i t A n B B n B n -⋯=+++，12i =，，…，s ．这里的()1i B ，()2i B ，()i it B （12i =，，…，s ）是待定系数，可由初始值确定．二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12,（1.1）以及给定初始项21,a a 的统一求法：我们称方程q px x+=2为具有递推形式n n n qa pa a +=++12的二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12的特征方程.(1)若(1.1)的特征方程有两个不同的根βα,，则nnn y x a βα⋅+⋅=，式中的y x ,由n=1,2时给定的21,a a 确定;(2)若特征方程有两个相同的根α，则令nn y xn a α)(+=，其中y x ,由给定的21,a a 确定;(3)特征方程有两个虚根，则.【数学归纳法】⑴第一数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k =≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．⑵第二数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k ≤≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．【求和公式法】1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

数列不动点法
数列不动点法是一种常用的数值计算方法，主要应用于求解方程和求解微分方程初值问题。

其基本思想是构造一个数列，使得这个数列的极限值是方程或微分方程初值问题的解。

具体地说，对于方程f(x)=x，我们可以通过构造一个数列 {x_n}，满足 x_{n+1}=f(x_n)，并且 x_0 是一个合适的初始值，使得当 n 趋近于无穷大时，数列{x_n} 的极限值就是方程 f(x)=x 的解。

同样地，对于微分方程初值问题 y'=f(y)，y(t_0)=y_0，我们可以通过构造一个数列 {y_n}，满足 y_{n+1}=y_n+hf(y_n)，其中 h 是步长，y_0 是一个合适的初始值，使得当 n 趋近于无穷大时，数列 {y_n} 的极限值就是微分方程初值问题的解 y(t)。

数列不动点法的优点是简单易行，适用范围广，但其精度和收敛速度受到初始值、步长等因素的影响。

因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的方法和参数，以提高计算精度和效率。

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类型四 用“不动点法”求数列的通项公式设已知数列}{n a 的项满足 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理 1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c dx -=作换元,0x a b n n -= 则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.【典例1】已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a【典例2】已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？定理2.如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时， 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11h ra hq r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以rp r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ，将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ ⑤由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a r p r p c n n n λλλλλλ ⑥∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程. ∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得N ,2121211∈--=--⋅--=-n c rp rp a a r p r p c n n n n λλλλλλ当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有.))(()(12121111211------=--=n n n rp r p a a r p r p c c λλλλλλ当01=c 即11λ=a 时，上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.【典例3】已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.【典例4】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？下面分两种情况给出递推数列dt c bt a t n n n +⋅+⋅=+1通项的求解通法.(1)当c=0,时,由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1dbt d a t n n +⋅=⇒+1,记k da=,c d b =，则有c t k t n n +⋅=+1 （k ≠0）,∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,由kx+c=x ⇒x=k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒)1(11k ct k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k ct n --是公比为k 的等比数列,∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k kct k c t .(2)当c ≠0时,数列{n t }的特征函数为：)(x f =dx c bx a +⋅+⋅由x dx c bx a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有: 0)(121=--+b x a d cx ,0)(222=--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+=……(1) 222)(x a d cx b -+= (2)又设212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数).由212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++ ⇒2121x t x t k x dt c b t a x d t c bt a n n n n n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅⇒212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --⋅=--+--+ (3)将(1)、（2）式代入(3)式得:2122221121x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --⋅=--+--+⇒212211))(())((x t x t k x t cx a x t cx a n n n n --⋅=---- ⇒21cx a cx a k --=∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证021≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--n cxa cx a x t x t⇒12121111212111211--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⋅-=n n n cxa cx a x t x t cxa cx a x t xt x x t .【典例5】已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。

精心整理求递推数列通项的特点根法与不动点法一、形如 a n 2pa n 1 qa n ( p,q 是常数）的数列形如 a 1m 1 , a 2 m 2 , a n 2pa n 1 qa n ( p, q 是常数）的二 推数列都可用特点根法求得通 a n ，其特点方程 x 2pxq ⋯①若 ①有二异根 , ， 可令 a n c 1 nc 2n(c 1, c 2 是待定常数）若 ①有二重根， 可令 a n (c 1 nc 2 )n(c 1, c 2 是待定常数）再利用 a 1m 1, a 2m 2 , 可求得 c 1, c 2 ， 而求得 a n ．例 1 ．已知数列 { a n } 足 a 1 2, a 2 3, a n 23a n 12a n (n N * ) ，求数列 { a n } 的通 a n ． 解：其特点方程 x 23x 2 ，解得 x 11, x 22 ，令 a n c 1 1nc 2 2n ，由a 1c 1 1c 1 2c 2 2 ，得1，a n1 2n 1 ．a 2 c 1 4c 2 3c 22例 2 ．已知数列 { a n } 足 a 11,a 2 2, 4a n24a n1 a n (nN * ) ，求数列 { a n } 的通 a n ．n解：其特点方程 4x24x 1，解得 x 1x 21，令 a nc 1 nc 2 1，22 a 1 (c 1c 2 ) 1 1c 1423n 2由(c 1 2c 2 ) 1，得c 2 6 ，a n2n 1．a 2 42二、形如 a n 2Aa nB的数列Ca n D于数列 a n 2Aa nB， a 1 m, n N * (A, B, C, D 是常数且 C 0, AD BC 0）Ca n D其特点方程 xAxB， 形 Cx 2( DA)x B0 ⋯②Cx D若 ②有二异根 , ， 可令a n1 c a n（此中 c 是待定常数），代入 a 1, a 2 的a n1a n值可求得 c 值．这样数列 a n是首项为a 1，公比为 c 的等比数列，于是这样可求得 a n ．a na 1若 ②有二重根，则可令11 （此中c 是待定常数），代入a 1, a 2a n 1a nc的值可求得 c 值．这样数列1是首项为1 ，公差为 c 的等差数列，于是这样可求得a n ．a na n此方法又称不动点法．例 3 ． 已知数列 { a n } 知足 a 1 2, a na n 1 2(n2) ，求数列 { a n } 的通项 a n ．2a n 1 1解：其特点方程为 xx 2，化简得 2x22 0 ，解得 x 1 1, x 21，令an 11 c a n 12x1a n 11 a n 1由 a 1 2, 得 a 24，可得 c1 ，53a n 1a 1 1 11a n 1 1 1 n 1数列是以为首项，以为公比的等比数列，，a n1a 1 1 3 3 a n 1 33a n3n(1)n ．3n( 1)n例 4 ． 已知数列 { a n } 知足 a 1 2, a n 1 2a n1(n N * ) ，求数列 { a n } 的通项 a n ．4a n 6解：其特点方程为 x 2x1，即 4x24 x1 0，解得 x 1 x 21，令11 11 c4x 62a n1a n2 23，求得 c由 a 1 2, 得 a 21，14数 列1 1 是 以12为首项，以1为公差的等差数列，a n152a 121 12 (n 1) 1 n3 ，a n552a n135n ．10n6。

数列中特征方程解决数列的相关问题——数列中不动点的应用在高中，对于数列我们只是对等比和等差数列，进行系统的学习，然而在有些考题中，对数列的考查则是在数列构造上，通过构造数列化归到我们熟悉的等比等差数列。

特征方程在数学中应用很广，高等数学中的微分方程以及其他学科都有其出现，就数列而言，利用特征方程和不动点，构造等比数列（等差数列），解决数列问题，为学生提供了更快捷的思路对于相关数列题目。

牛顿说一个好例子胜过十条定理，那么就先分析三种形式的关于数列的题设的四种情况。

1n n n ba ca da e++=+型1.当d=0时，1n n b ca a e e+=+，即1n n a ka m +=+ 即其特征方程为 x kx m =+，属于一次型方程。

注解 其中把()f x kx m =+叫做其的特征函数，2,3中类似。

2.当d ≠0时，1n n n ba c a da e ++=+的特征方程为bx cx dx e+=+，属于分式型方程。

注解 上述分式通过变形可以表示成二次型方程，()20dx e b x c +--=，与第3种情况相近，但和第4种条件有本质区别212n n n ba ca ba d++=+型（b ≠0） 3 . 上述类型的特征方程为 22b x cx b x d+=+，属于分式型方程210n n n aa pa qa ++++=型4．上述类型的特征方程为20ax px q ++=，属于二次型方程针对前三种情况而言，先简绍一个概念，不动点在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点"。

即函数()f x x =，x 的取值称之为不动点，具体展开讲，对于高中生有些难以接受，知道最基本的概念就好。

前三种情况说的概括一点已知()1n n a f a +=，是数列的一种递推关系，对于数列而言，引进一个极限想法，在无穷远处，数列的1n a +和n a 是一致的，当然这种情况的认定要基于数列不属于类似{}1,1,1,1,1,1,...,1,1----，sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭的数列，要求数列收敛或单调发散。

特征根法和不动点法的原理
特征根法和不动点法都是数学分析中常用的求解方法，它们能够
帮助研究者把复杂的问题分解成一些简单问题，从而有效地得到解决
方案。

特征根法（Characteristic Root Method）是一种对线性微分方
程组求解的一种方法。

这种方法的基本思想是，假设原方程是微分方
程组的N个方程的形式，将其转化为一个n阶矩阵。

如果这n阶矩阵
存在特征根，就可以解决这一系列方程age组。

它可以通过对n阶矩
阵进行特征值分解，确定每个特征矩阵的特征根，并利用这些特征根
来求解方程组。

不动点法（Fixed-point Method）是一种常用的求解非线性方程
的方法。

它可以把复杂的非线性问题转变为求解一个不动点的简单问题。

不动点是一种极小值，即满足变动的函数的值不改变的位置，而
不动点法就是利用不动点的概念来求解本题的核心方法。

特征根法和不动点法都是数学研究常用的求解方法，他们能够有
效地帮助研究者将复杂问题分解成小问题，从而很好地求出解决方案。

数列通项公式的几种求法作者：王俊义来源：《中学生数理化·高考数学》2019年第01期一、累加法例1二、构造法例2三、对数变换法例3四、特征根法例4解析：设能构造an个符合条件的n位数，易知a1=3，a2=8，当n≥3时，如果该n位数第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1个，如果该n位数第一个数字是1，那么第二个数字只能是2或3，因而这样的n位数只能有2an-2个，于是递推关系为an=2aw-1+2an-2，n=2，3，4，...定理：设x1，x2是特征方程x2=cx+c2的两个根。

①当xc1≠x2时，an的一般表达式为an=aqx"+aqx2;②当x1=x2时，an的一般表达式为an=（β+β2n）x"，这里的a1，a2，β1，β2都是由初始值确定的常数。

（证明略）五、不动点法例5六、待定系数法例6 如图1，将一个圆分成n（n≥2）个扇形区域，现用k（k≥2）种不同颜色对这n个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，问：有多少种不同的涂色方法？解析：有k种不同颜色对n个区域涂色，记种数为an（n≥2，k≥2），易知：A，有k種涂法，A2有k-1种涂法，…，A，有k-1种涂法（不论是否与A，同色），共有k（k-1）’n-1.种涂法，但这k（k-1）"-1种涂法分两类：一类是A。

与A.不同色;另一类是A。

与A，同色，可看作A。

和A，合成一个区域，即an-1，得递推关系（n为区域数，k为颜色种数）。

评注：对于形如an+1=kan+f（n）的递推式，常用待定系数法构造等比数列（不一定是等比数列）形式的数列，进而求出通项公式。