数列不动点

用不动点法求数列的通项公式
不动点法求数列的通项公式，属于数学当中的经典问题。

在数列
求解中，通项公式是根据一系列给定的数据，推导出整个数列通项的
一个重要方法，常用于数学教学中。

不动点法就是一种特殊的求解数
列通项公式的方法，也称为四平方定理，它是以π（取3.14）为精
度来进行计算的。

不动点法求数列的通项公式是基于一个给定数列，建立一个满足
条件的多项式，其本质上是一个多项式合成问题，通过证明不动点法
的公式有解，从而得到了一个关于数列的通项的求解公式。

不动点法的求解步骤：
1、首先将给定的数列表示为：x0, x1, x2,..., xn。

2、接着求出其差分序列，即：y0 = x1 - x0, y1 = x2 - x1,… yn-
1=xn - xn-1。

3、对差分序列求出n-1阶伴随矩阵：A = (aij)n-1 * (n-1)，其系
数aij满足：aij(i≥j) = yi + 1 - yj，aij(i < j) = -(yi - yj)。

4、解半平方定理，即:det(A)= B^2 - 4AC = 0, 求出参数A，B，C，
其中A为半平方定理中的A，B为半平方定理中的B，C为半平方定理
中的C。

5、由A，B，C，求出数列的通项公式：an = x0 + nb + cn(n-1)/2。

总结一下，不动点法求数列的通项公式主要步骤：首先表示数列
为x0, x1, x2 ... xn；接着求出差分序列；依据差分序列求出伴随矩阵；然后解得半平方定理；最后根据参数求出数列的通项公式，即an
= x0 + nb + cn(n-1)/2。

数列不动点法
数列不动点法是一种求解方程根的数值方法。

其基本思想是通过构造一个数列，使得数列的每一项都是方程的一个近似解，然后迭代该数列，直到数列的两个相邻项之差小于预设的精度要求，此时数列的极限就是方程的根。

具体的实现方法是，先将方程化为等价的形式g(x)=0，然后选取一个初始值x0，构造数列xn+1=g(xn)，不断迭代直到满足精度要求。

一般来说，数列需要收敛才能求得方程的根，所以选取初始值时需要注意。

数列不动点法的优点是计算简单，收敛速度比较快，且适用于一般的非线性方程。

但其缺点也比较明显，比如可能会出现不收敛的情况，且对于复杂的方程，可能需要多次迭代才能求得根。

- 1 -。

利用“不动点"法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型,对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况,因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果,来简化对数列通项问题的探究.笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1 不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立,则称x 0为f x ()的 不动点,或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。

2 求线性递推数列的通项定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。

证：∵x 0是f x ()的不动点,所以ax b x 00+=，所以b x ax -=-00，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··,∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列.例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n 。

证:（1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1,即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1｝是等比数列。

用不动点法求数列的通项界说：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.应用递推数列)(x f 的不动点,可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所肯定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种办法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点,n a 知足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ,则)(1p a a p a n n -=--,等于}{p a n -公比为a 的等比数列.证实：因为 p 是)(x f 的不动点ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所所以}{p a n -公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ,}{n a 知足递推关系1),(1>=-n a f a n n ,初值前提)(11a f a ≠（1）：如有)(x f 两个相异的不动点q p ,,则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有独一不动点p ,则k pa p a n n +-=--111 （这里da ck +=2）证实：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(,所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a bqd q pc a b pd p ,所以q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qc a pc a qd b a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qca pca k --=,则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的独一解,所以0)(2=--+b p a d cp所以ap cp pd b -=-2,cda p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2,则k pa p a n n +-=--111例1：设}{n a 知足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 知足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ,求数列}{n a 的通项公式 定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex c bx ax x f 有两个不合的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+肯定着数列}{n u ,那么当且仅当ae b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++ 证实: k x 是)(x f 的两个不动点∴fex cbx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,1121x x 0≠∴方程组有独一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.其实不动点法除懂得决上面所斟酌的求数列通项的几种情况,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式;（２）证实：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 设p q ，为实数,αβ，是方程20x px q -+=的两个实根,数列{}n x 知足1x p =,22x p q =-,12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证实：p αβ+=,q αβ=;（2）求数列{}n x 的通项公式;（3）若1p =,14q =,求{}n x 的前n 项和n S ．已知函数2()1f x x x =+-,αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>）,()f x '是()f x 的导数,设11a =,1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值;（2）证实：对随意率性的正整数n ,都有n a α>; （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==-，，,求数列{}n b 的前n 项和n S13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 知足,*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-,证实：{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式.山东文20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对随意率性的n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值;（11）当b=2时,记1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T。

数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。

1. 原理。

- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。

- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。

- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。

- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。

2. 例题。

- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。

- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。

- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。

- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。

- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。

- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。

- 所以a_n=-1 + 2^n。

- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。

- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。

- 解得x_1=x_2=1。

- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。

- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。

- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。

- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。

- 所以a_n=n。

二、数列不动点法。

1. 原理。

- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。

关于不动点解数列问题关于不动点解数列问题当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)令，即，cx2+(d-a)x-b=0令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2) 简单地说就是在递推中令an=x 代入a(n+1)也等于x然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）我还是给几个具体的例子吧：1。

已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕求an的通项a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题.将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)即cx2+(d-a)x-b=0记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到-x1=(b-dx1)/(a-cx1)-x2=(b-dx2)/(a-cx2)将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1) 所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a -cx2)]^(n-1)-1}2。

不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解.首,比如：◎例∵∴令∴=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)∵a[1]=2∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法,令：x=2-1/x∴∵∴∵∴∴例3【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n将上面两式相减,得：a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1) (n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n(n+2)a[n+1]=na[n]+2a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2)【1】采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1【重合不动点】.b[3]/b[2]=2/4【这里保留分子】b[2]/b[1]=1/3【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘,得：b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]∵a[1]=1/2∴b[1]=a[1]-1=-1/2∴b[n]=-1/[n(n+1)]∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3∴∴∴∴∴◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)y^2=2解得不动点是：y=±√2【相异不动点为无理数】∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)【使用不动点】={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2∴∵∴∴∴◎例,但采用求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：x[1]=i,x[2]=-i【相异不动点为虚数,i为虚数单位】∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i)【使用不动点】={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}=i(a[n]-i)/(a[n]+i)∵a[1]=2∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)∴∵∴令∵θ∵∴∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]。

数列的特征值法与不动点法
一、特征值法
特征值法是一种对数列的处理方法，根据序列中的元素和它们两两之间的距离来识别出特征值以便将序列分割成若干个子序列，并计算每个子序列的最小元素、最大元素、中间元素、最长元素等。

特征值法的步骤如下：
1.计算数列中每个元素与它前一个元素之间的距离，即距差Xj=Xj-Xj-1，其中j=2,3,…,n；
2.根据第一步所得的距差Xj，计算距差Xj的绝对值X，j，=，Xj，其中j=2,3,…,n；
3.根据距差X，j，计算距差Xj大于一些正实数值T的个数，即：
N(T)={X，j，>T}，其中j=2,3,…,n；
4.如果N(T)的数值大于等于一些正整数K，则将该正实数值T作为数列序列的一个特征值，即T称为该序列的特征值。

二、不动点法
不动点法是一种可以用来分析数列结构的方法，这种方法通过比较不同分割点位置上的不同序列的值，以确定分割点之间的结构。

1.将数列分为两个子序列，计算每个子序列的均值；
2.计算不同分割点位置上的不同序列的均值之差；
3.如果均值之差小于一些阈值，则该分割点位置就是不动点；
4.重复以上步骤，可以得到数列中所有不动点的位置。

不动点法求数列
不动点法求数列通项原理是不动点是使f(x)=x的x值。

1、不动点法是作为求解函数迭代的方法而被研究的。

所以在开始之前，我们先介绍一下递推数列与函数迭代的关系。

如果我们把函数看作从R到R的一个映射，那么不动点经过这一映射之后，还是它本身，就像固定在数轴上“不动”，所以叫作“不动点”。

2、设不动点为x0,则f(x0)-x0=0,即x是f(x)-x0=0的根，所以f(x)-x0因式分解时有x-x0这个因子，对数列有a(n+1)=f（an）,两边同时减去不动点x0有a(n+1)-x0=f（an）-x0，f（an）-x0只不过是把x换成了an，所以f（an）-x0有an-x0这个因子，所以a(n+1)-x0=（an-x0）*g （an）,减去不动点后两边出现了形式相同的项an-x0，g（an）则相当于公比。

3、数列通项公式（an=f(n)）表示的是数列的第n项a与项的序数n之间的关系。

对于一个数列{ an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差位公差，记为d ；从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。

数列问题不动点法的运用
有一位名叫ZeroToss的网友给我提出下列的数列问题，问我如何解决?
其实，本题可用“不动点法”求数列的通项公式。

首先，我们要知道，什么叫做函数的“不动点”？
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”。

巧用“不动点”法求数列的通项公式，是高考中的一种比较特殊的方法。

为了让同学们好好理解并掌握这一方法。

下面我们以典型例题来加以说明（由于篇幅的关系，我们只讲步骤和方法，至于详细的证明，同学们可以在相关的《高中数学竞赛教程中》找到）。

当函数有两个“不动点”时，请同学们看下面的几个例题，即可掌握方法。

从上面的方法中，大家可以概括总结出函数“不动点”法求数列通项公式的基本方法了吗？
其实，第二种题型，相应的函数有两个不动点的，一般是形如
a(n+1)=(pan+m)/(qan+u)这样的数列求通项.这样的数列相应的函数的不动点为f(x)=(px+m)/(qx+u)=x的解x1=u，x2=v，最后一般都化归为:数列{(an-u)/(an-v)}是等比数列来求通项的问题。

我们现在再来看网友ZeroToss提出的数列问题的解答：。

数列不动点法求通项
以《数列不动点法求通项》为标题，写一篇3000字的中文文章什么叫数列不动点法？它是一种求解数学数列中特定元素的解法，又称作不动点迭代。

其中的一种典型的应用场景就是通过它来求解数列的通项。

一、数列不动点法的基本原理与概念
数列不动点法是一种基于极限理论的迭代解法，其核心思想就是能够将一组数字反复迭代，最终能够收敛到一个不变的、固定的数字，这个数字就叫做不动点，也叫稳定点或者可靠的结果。

在数列的研究中，数列的不动点可以帮助我们了解其数列的总体规律，并且可以推导出满足条件的通项。

二、数列不动点法求解数列的通项的过程
1、将每一项的值进行相应的迭代，得到迭代后的值。

2、将迭代后的值进行比较，如果出现不动点，则表明数列收敛到某一个点，那么就可以利用该点作为数列的通项，即可将数列中任意一个元素进行表达。

3、进一步利用已求得的不动点，寻找数列的特征值，并结合相应的条件，寻找出满足条件的通项。

三、数列不动点法的优势
数列不动点法比较简单，只需要根据数学原理，采用简单的迭代方式，就能够推导数列中任意一个元素，从而大大节约了解决数列问题所需要的时间和精力。

此外，数列不动点法在求解数列的通项时，
和其他方法相比，更加精准，可以得到更为准确的结果。

四、数列不动点法应用的实例
1、数列 4、9、14、19、24……的第n项是多少？
利用数列不动点法，可以得出第n项的值为5n+4，即第n项的值等于第一项的值（4）加上公差（5）乘以（n-1）次。

2、数列 8、7、6、5、4……的第n项是多少？
利用数列不动点法，可以得出第n项的值为n+7，即第n项的值为第一项的值（8）减去公差（1）乘以（n-1）。

数列不动点法
数列不动点法是一种常用的数值计算方法，主要应用于求解方程和求解微分方程初值问题。

其基本思想是构造一个数列，使得这个数列的极限值是方程或微分方程初值问题的解。

具体地说，对于方程f(x)=x，我们可以通过构造一个数列 {x_n}，满足 x_{n+1}=f(x_n)，并且 x_0 是一个合适的初始值，使得当 n 趋近于无穷大时，数列{x_n} 的极限值就是方程 f(x)=x 的解。

同样地，对于微分方程初值问题 y'=f(y)，y(t_0)=y_0，我们可以通过构造一个数列 {y_n}，满足 y_{n+1}=y_n+hf(y_n)，其中 h 是步长，y_0 是一个合适的初始值，使得当 n 趋近于无穷大时，数列 {y_n} 的极限值就是微分方程初值问题的解 y(t)。

数列不动点法的优点是简单易行，适用范围广，但其精度和收敛速度受到初始值、步长等因素的影响。

因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的方法和参数，以提高计算精度和效率。

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不动点法求数列通项的原理不动点法（Fixed Point Method）是一种数值分析方法，用于求解函数的根或方程的解。

它的基本原理是通过构造一个迭代序列，使得序列中的点逐渐趋向于方程的解或函数的根。

通过不断迭代，序列中的点趋近于不动点，即一个函数值等于自变量的点。

为了说明不动点法的原理，我们假设要求解一个数列的通项,通项的迭代公式为x[n]=f(x[n-1])，其中x[n]表示第n个迭代点，f(x)是一个函数，表示迭代公式。

我们希望通过不断迭代求得一个稳定的解x*，使得x*=f(x*)，也就是找到一个不动点。

不动点法的主要思路分为以下几步：1.选择初始值：选择一个初始值x[0]作为迭代的起点。

2.迭代计算：根据迭代公式x[n]=f(x[n-1])，不断计算迭代点，直到达到停止准则（如迭代次数达到预设值或前后两次迭代点的差小于指定的误差）。

3.根据停止准则确定迭代结果：当满足停止准则时，我们认为当前的迭代点x[n]是通项的近似解。

不动点法的有效性和收敛性要求函数f(x)满足一定的条件：1.存在性：函数f(x)在定义域内存在不动点x*，即x*=f(x*)。

2.唯一性：不动点x*是唯一的，即函数f(x)只有一个不动点。

3.迭代公式的收敛性：迭代公式应该具有收敛性，即随着迭代次数增加，迭代序列应该趋近于不动点。

对于不动点法而言，有一个重要的收敛性定理：若函数f(x)在一些闭区间内连续可微，并且满足，f'(x)，<1，则迭代序列将收敛到不动点。

这个定理应用了几何级数的收敛性质，确保了函数值的收敛。

例如，假设要求解一个数列的通项a[n]=a[n-1]/2+3，我们可以设定迭代公式为x[n]=x[n-1]/2+3、选择一个合适的初始值x[0]，如x[0]=0，运用迭代计算，我们可以得到迭代序列如下：x[0]=0x[1]=x[0]/2+3=1.5x[2]=x[1]/2+3=2.75x[3]=x[2]/2+3=3.375...通过不断迭代，我们可以观察到迭代序列趋近于一个稳定的值，即不动点。

实数数列的不动点和蛛网图浙江省诸暨市百泰教育杨岸杰2019.11一、数列的不动点和蛛网图有关的题目，前几年也经常见到；二、2019年浙江卷的第10题，使得这类题目成为超级热点；三、同类试题层出不穷，2020届学生顿时陷入“蛛网”之中；四、老师中的“挺蛛派”与“反蛛派”各抒己见、争论激烈；数列的“不动点”以及“蛛网图”到底是什么东东？具体又怎么使用？我们来个“白话版”的解释。

第一讲 实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.,,n n a a n N ++=∈21如：,n n a y a x +1把当作把当做;y x ⇒=22、数列的迭代：,.n n a a a n N ++==∈211已知2,根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.y x =2特征函数：.y x 前一次计算时的,是后一次计算的3、数列的不动点：,,.{}.n n n a a a a n N a a ++==∈2111例1.已知若是常数数列,求的值n n na a a +==21解：n n a a ∴==0或1a ∴=10或1n n n a a n N a ++=∈1满足，的的数值.(1)数列的“不动点”其实不是点,而是数值；,n n a y a x +→→1得到的函数a a a a a a ======⋅⋅⋅221232243416256.n a a ==1(2)若不动点,则数列是常数数列,不动点二、进一步分析:|n n n n N a a a ++∈=1满足，的的数值，叫数列的“不动点”；任何实数数列都有不动点吗？n n a a +=+218n a =n n a a ⇔-+=280n a ⇒无实数解.{},{}n n n n a a a a a b a b +==+211例2已知数列满足.若数列有不动点,则实数的取值范围是.(1)数列角度:n n n n a a a a b ++=⎧⎨=+⎩121n n a b a ⇔+=2n n a a b ⇔-+=20b ⇒∆=-≥140b ⇒≤14(2)函数角度:y x y x b =⎧⎨=+⎩2有解x b x ⇔+=2x x b ⇔-+=20b ⇒∆=-≥140b ⇒≤14(3)函数图像的角度:{}n a y x ⇔=数列有不动点生成函数的图①像与直线有交点；y x ==生成函数图像与直线的交点的横（纵）坐标②不动点.*(){},,,.,.,.,.,n n n a a a a a b n N A b a R a B b a R a C b a R a D b a R a +==+∈=∀∈>=∀∈>=-∀∈>=-∀∈>21110101010例3、2019浙江10改编已知数列满足则( )11当时,10恒成立当时,10恒成立24当2时,10恒成立当4时,10恒成立解：1{}4n b a ≤(1)当时，数列有不动点,n nn na ab y x b a a y x ++⎧⎧=+=+⎨⎨==⎩⎩2211即，有实数解；()2图像角度：214b y x b y x ≤=+=当时,抛物线与直线有交点；()x 03不动点的数值：B b =1①中，4x x x +==2011由得：42C b =-②中2，x x x -==-20由2得：1或2D b =-③中4，x x x -±-==20117由4得：2,n B a a a ==>11011选项中,取,则10不成立；,C D 同理可排除.<实际不用算,看图判断出:不动点10即可.问题:,?n n b a a a a +==+>2111011当,即时，无论取何值10为什么恒成立221、观察抛物线和直线的位置关系：()y x y x =+>=21211函数角度：恒成立；2()n n n a a a +=+>2112数列角度：恒成立；2{}n a ⇒严格单调递增a >102、如何保证10呢？a a =+22112≥12()a ∴≥+=23113224()a ∴≥+=2431174216a ∴>532>1a ∴>6114>2a ∴>74a ∴>816a a ∴>>>1081610三、不动点的分类.,.{}.n n n a a a a n N a ++==-∈11例4已知，21讨论的单调性()a =1解：1当1时，n a =1，{}n a 为常数数列；()a >12当1时，n a >用归纳法或同号法，可证明:1n n n a a a +∴->->110{}n a ∴递增a =1如2时，,,,,⇒⋅⋅⋅235917n a x n =0与不动点1的差,随增大而增大.()a <13当1时，{}n n a a <同理可证1，且递减a =1如0时，,,,,⇒---⋅⋅⋅0137n a x n =0与不动点1的差,也随增大而增大.n a n a ≠1总之,当1时,随着增大,逐渐“远离”不动点.这种不动点，叫“排斥不动点”.()a =1解：1当1时，{}n a 为常数数列；n a =1，()a >12当1时，a =1如2时，,,,,⇒⋅⋅⋅35917224816,n n a x =0数列递减，随增大向不动点1逐渐“靠拢”；()a <13当1时，a =1如0时，,,,,⇒⋅⋅⋅13715024816,n n a x =0数列递增，随增大向不动点1逐渐“靠拢”；这种不动点，叫“吸引不动点”..,.{}.n n n a a a a n N a ++==+∈1111例5已知，讨论的单调性22总之，不动点可分为等，具体的判定方法和应用，我们“排斥不动点”、“吸引不动点”下节课会结合“蛛网图”讨论.小结2、数列的“生成函数”：1、数列的迭代运算：3、数列的不动点：,n n a y a x +→→1得到的函数逐个代入，计算各项的过程.n n a a +⇒=+121的生成函数是：,n n a a a +==+11如：121a =⇒11a =23a ⇒=37.y x 前一次计算时的,是后一次计算的(1)数列本身的角度：{}n a ⇔数列有不动点①=②不动点=a 1不①当动点时，②不动点分成：.吸引不动点，排斥不等点等y x =生成函数的图像与直线有交点；|n n n a a n N a ++=∈1满足，的的数值，叫数列的“不动点”；(2)生成函数图像的角度：y x =生成函数图像与直线的交点的横(纵)坐标.{}.n a 为常数数列⇒蛛网图的原理！1011111111.(2019.1110){}21().(1){}(2)2,,1(3)11();()1;()1()122n n n n n n a a a n N a x a n N a a a a a b a c a d a ++++=-∈==∈<<==<<>温州一模改编已知数列满足，则：数列的生成函数为；不动点为；判断命题“若则对任意都有”的真假;请根据的不同取值，分析不等点的排斥和吸引情况: 练 习第一课到此结束,谢谢大家观看！第二讲 “蛛网图”的来历和本质迭代计算是一个代数运算的过程；.,.{}.n n n a a a a n N a ++==-∈11上节课例4已知，21讨论的单调性a =1当2时,a a =-=21213a a =-=32215a a =-=43219y x前一步的，是后一步的→“蛛网图”是把迭代过程几何(图象)化处理.一、“蛛网图”的来历和本质,,,,a =⇒⋅⋅⋅12时，235917,,,,a =⇒---⋅⋅⋅10时，0137,.{}.n n n a a a a n N a ++==-∈11已知，21讨论的单调性x y 刚才是在轴、轴上转换的.l y x =我们也可以通过辅助线:进行转换.:l y x =蛛网图:利用数列的生成函数图像,以及辅助线，对迭代过程进行图象化处理.代数迭代过程yx−−−−→前一个后一个l y x=辅助线:蛛网图DaddyMummyBabyy x =(1)画出生成函数图像和直线；1212,(,)a x a y a a (2)当，当在生成函数图像上画出点；22(,)y x a a =(3)向直线作水平线，得交点；23(,)a a ⋅⋅⋅(4)向生成函数图像作铅垂线线，得交点，二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.()n n a f a x +=10对于型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：()()f x f x ''<0(1)若1，则该不动点为“吸引不动点”；(其中不恒等于0)()f x '>0(2)若1，则该不动点为“排斥不动点”；()()f x '=03若1，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.(),f x '<01、1吸引不动点-图11-图12(),,f x a a a a '>><2121定理:当0时,若则数列递增;若则数列递减.(){}{}.k k f x a a -'<212定理:当0时,与单调性相反.每次都“吸引过头”(),f x '>02、1排斥不动点(),,f x a a a a '>><2121定理:当0时,若则数列递增;若则数列递减.左侧吸引，右侧排斥()f x x≥左侧排斥，右侧吸引()f x '=03、1时()f x x ≤，数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关！,;,.n n n n a a n N a a n N ++++∈∈≥>11数列单调递增：数列严格单调递增：():():()f x f x f x '⎧>⎧⎨⎪'<⎨⎩⎪'=⎩0001排斥不动点相交型不动点：1吸引不动点相切型不动点：1时，上增下减小结一、不动点的分类二、蛛网图的原理y x =借助于直线，把递推数列的迭代过程，用图像表示出来.优点：代数问题几何化，形象、直观；缺点：不能替代大题目的代数证明.1011111111.(2019.1110){}21().(1){}(2)2,,1(3)11();()1;()1()122n n n n n n a a a n N a x a n N a a a a a b a c a d a ++++=-∈==∈<<==<<>温州一模改编已知数列满足，则：数列的生成函数为；不动点为；判断命题“若则对任意都有”的真假;请根据的不同取值，分析不等点的排斥和吸引情况: 第一讲练习答案0(1)211;y x x =-=答案：，(2)真命题；1112a <<时排斥，数列递减；111,n a a ==时，常数数列；121(3),0,2a a ==时没有后面的项；11a >时吸引，数列递减.第二课到此结束,谢谢大家观看！“不动点”“蛛网图”第三讲和的应用（一）应用1、判定数列的单调性和极限1a 应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围1n n a ka b ++应用4、判定与的大小关系应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围应用1、判定数列的单调性和极限11131.{}21.=2=4n n n a a a n N a a ++=-∈例已知数列满足，分别判断和时数列的单调性；11112.{}e .11n a n n a a n N a a -++=∈><例已知数列满足，分别判断和时数列的单调性；11113(2019.1191[,),sin ,.3222019(1);(4),.2020n n n a a a n N a n N π++++∈=∈<∈例月高中联盟期中改编)已知判定数列单调性判断是否恒成立00(1);(4)(4)2019.n n N n n a +⇒∈>>选项：数列递增选项：极限为1不恒成立，存在，使得时,1a 应用2、已知数列的生成函数和单调性，求的取值范围由例1,例2可知:生成函数确定的情况下,数列的单调性有时还与迭代初始值有关.21111(0921){}(3).4(II)n n n n n a a a n N n N a a a ++++=+∈∈≥例4安徽理首项为正数的数列满足，若对一切，都有，求的取值范围.11(0,1][3,)a a ∴∈∈+∞或21()(3)4f x x =+解：(1)1f ⇒=(3)3f =，1111{}32.n n nn n a a n N a a a a +++=∈->例5(2019.10.浙江十校联考17)已知数列满足，且对任意,有,则的取值范围是21211::2310,,1322x x x x x x =-+===-解由得不动点132y y x x ==-画出函数及直线的图像111(1)22a <时，是吸引不动点，数列递增；111(2)1122a <<⇒时，吸引、排斥数列递减；13(3)112a <<⇒时，排斥递增到“高台跳水”；123(4)0.2a a ><时，112a ∴<2y p x x p =-++解:(1)生成函数为3(2)n S S ≥恒成立是什么意思？l y x ⇒=在:上方,数列递增430;0a a ≥⎧⇒⎨≤⎩3,2,x x p x p x p≥⎧=⎨+<⎩164a p∴-≤≤-4323S S S S ≥⎧⇒⎨≥⎩12340a a a a ∴<<≤≤(.){}(),.n n n n n n p a a p a a p n N a a n S S S n N p+++>=-++∈≥∈1113例6201911宁波十校15已知常数0，数列满足2，首项为前项和为.若对任意成立，则的取值范围为13,(3),2,n n n n n a a pa a p a p+≥⎧=⎨+<⎩1230a a a p<<≤<21314120,40,60a a p a a p a a p ∴=+<=+≤=+≥.n n n S S S n N p+≥∈13前项和为.若对任意成立，则的取值范围为n n n a p a a p +=-++1法22：n n n n a a p a a p +⇒-=-++1,,n n n p a pa a p≤⎧=⎨>⎩22n n a a +∴->10{}n a ∴递增“后中续解学数法，请关学星空”注微信公众号上的解析.p >0.n n n S S S n N p+≥∈13前项和为.若对任意成立，则的取值范围为,nn n n n a b b b b p+==-++11法则23：设1{},nn n n S b n T T p =记数列的前项和为则T ≥3{}n b ⇒作图或者作差数列递增，,,,n n n n n b b b b b ++≤⎧∴=⎨>⎩12131b b ∴≤≥340且0后面同理应用1、判定数列的单调性和极限；1a 应用2、已知数列的生成函数及单调性，求的取值范围小结一、不动点和蛛网图的应用（一）二、注意事项1、灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；2、生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.“3退、碰”的到复杂而思想陌生的问题,要注意和“换元法”的应用.(),(),{},(),{}A. B. C. D.,)n x n n a x x f x a a x a f n n N a a -+--≤⎧=⎨>⎩=∈936101.(2017河北保定一模）已知函数若数列满足10，且数列是递增数列，则实数的取值范围是()24(1,3)(1,2](2,3)[311练 习第三课到此结束,谢谢大家观看！第四讲和“不动点”“蛛网图”的应用应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围y x x c =-++2分析：生成函数，c 抛物线随着的变化而上下平移.()c =1当0时，,x x x =-+2从不动点角度：令x ⇒=20⇒相切,n n n c x x x x +==-+=211从数列角度：0时，0n x ⇒=0()c <2当0时，y x =抛物线在直线的下方{}n x ⇒递减()c >3当0时，.c =假如05，蛛网图判断：(4)怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！.y x 前一个，是后一个2111.(1221){}0,,.{}.n n n n n x x x x x c n N x c ++==-++∈例安徽理改编数列满足若单调递增，则实数的取值范围是（原题是大题，这里改成填空题）max y ⇒≤对称轴,y x =即:顶点不得高于直线c ⇒≤14211112(2019.119{},,2,22A 0.5 B.1 C.2 D.4n n n n n a a a a a m n a m +==-+<例义乌一模）若数列满足若对任意正整数都有则实数的最大值为().212y x x m =-+解：生成函数，图像是抛物线，开口向上212y x x m x =-+>(1)若，则数列递增，2122n a x x x m ∴<=-+的必要条件是：方程有解2120420,22x x m m m -+=⇒∆=-≥∴≤有解2m y x ==(2)当时，抛物线与直线相切112a y x =∴=，在直线上方迭代，数列递增，不动点为2,12n a ∴≤<2,符合题意C ∴答案：11{}1,e 1,2,A 2 B.12 C.3 D.23n a m n n n a a a n N a m m m m m -++==+∈≤≥≤≤≥≤≤例3数列满足若对一切,则的取值范围是().e 1x m y -=+解：生成函数为e 1x y m ⇒=+左加右减：，向右平移个单位(1)2m y x <=当时,图像在直线上方,没有不动点，无限递增，不合题意；(2)2m =当时,2相切型不动点[1,2)n a ∈生成函数递增，，符合题意；(3)3m >当时,1(1,2)x ∈吸引不动点11,12n a a x ∴≤<<=1,符合题意.A∴答案：211111.(){}().,1,22,0,.n n n n n n n a a a k a a a k a a M a M k ++=-===>≤例4超级全能生已知数列满足若则的最小值是；若且存在常数，使得任意则实数的取值范围是1121:(1),2n n n a a a a +=-=解2,y x x ⇒=-110,2n n a a +<<≤可知:221n n n n n a a a a a +∴=-=-11n n n a a a +∴=-1[,1)2∈2112.{}().2,0,.n n n n n a a k a a a M a M k +-=-=>≤例4已知数列满足若且存在常数，使得任意则实数的取值范围是2()y k x x =-⇒⇒分析：生成函数含参考虑参数对图像的影响坐标变换10k =（）时，112,0,n a a +==符合题意；22()y x x y k x x =-=-通过怎样的坐标变换，才会得到？x y k 不变,变倍20k k ≠（）时，的取值对图像的影响：动图211 2.{}().2,0,.n n n n n a a k a a a M a M k +-=-=>≤例4已知数列满足若且存在常数，使得任意则实数的取值范围是2()y k x x =-解：(1)0k >时，220,a k =-<3a 在左侧迭代，B 注意：原点吸引,排斥；(2,2)k -20k a ∴>≥时，左侧的排斥不动点2()y k x x y x⎧=--⎨=⎩法、一法二、算临界状态011x k ⇒=--121k k⇒-≥--(21)(1)0k k ⇒+-≤01k ⇒<≤k y x =点(-2,-2)在直线上1k =,此时k 、(-2,-2)不低于点（-法三2,-2）01k k ∴≥∴<≤-2-2，0k ∴<时，抛物线开口向上k (2,-2)k y x =(2,-2)在直线的上方时，数列发散；2k ∴≤-2，01k ∴>≥-2(2)0k a >≥时，左侧的排斥不动点k 即(-2,-2)不低于点（-2,-2）01k k ∴≥∴<≤-2-2，2(3)0k a <≤时，右侧的排斥不动点2k ∴≤-2，01k ∴>≥-k 即(2,-2)不高于点（2,2）11k -≤≤综上所述，(1)0k =⋅⋅⋅综合以上分析可知：时，2,0,0,0，成立；211-()2,.0,.n n n n a k a a a M a M k +=-=>≤∈例42.已知，若存在常数，使得任意则实数(1),{}n n a M a ≤问的是那就构造数列换元法：;21(2)(),n n n a k a a +=⋅-看着不爽，换元！2112,,0,.n n n n n n b a b b k b b M b M k +=⇔==⋅->≤设,则已知存在常数使得,求的范围1(1)02,0(2)2n k b b n M ===≥=解：时，，存在；2(2)0k y k x x ≠=⋅-时，生成函数；200x k x x x x =⋅-<=令，则时无解；是一个不动点；12111011111x k x x x x k k k>=⋅-⇒-=⇒=-=+当时，不动点，(排斥不动点)；121(),21101i b x k M k k>>+><≤若初始值即，即时,如图1，数列发散,不存在；故需有；()12n ii k b ==当时,,符合题意；1图1222()010(,)(0,)02 2.n iii k x y x x y y x x b M <<<==<≤=当时,,即曲线与直线只有原点与两个交点，如图2；此时曲线在直线下方且初始值2在内,故数列递减，故，存在211{}().2,0,.n n n n n a a k a a a M a M k +=-=>≤例4.已知数列满足若且存在常数，使得任意求实数的取值范围()大题目怎么办？第四课到此结束,谢谢大家观看！第四讲和“不动点”“蛛网图”的应用1n n a ka b ++应用4、判定与的大小关系(),(),{},(),{}A. B. C. D.,)n x n n a x x f x a a x a f n n N a a -+--≤⎧=⎨>⎩=∈936101.(2017河北保定一模）已知函数若数列满足10，且数列是递增数列，则实数的取值范围是()24(1,3)(1,2](2,3)[11格3严第3,4课练 习 解 答{}n a 解：严格单调递增()f n ⇔严格单调递增a ->30⎧⎪⇒⎨⎪⎩a a >≠0且1()()f f >1110a a⇔>-22410a a a a a <⎧⎪⇒>≠⎨⎪<->⎩30且112或2a ⇒<<23C 答案:211{}().2,0,.n n n n n a a k a a a M a M k +=-=>≤2.已知数列满足若且存在常数，使得任意求实数的取值范围北京刘战超老师给出的数学归纳法1:(1)02;0(2),2n n k a a n a ===≥∴≤解当时，1022n n k a k-<≤≤≤(2)下面用数学归纳法证明“当1时，”：1122n a ==≤当时，成立；211=()n n n n a k a a ++-则当时，12022n n n a k-≥≤≤≤假设时，“”成立2.n M a M ≥≤此时，对任意，都有1n n a k a =⋅⋅-121n k k -≤⋅⋅2nk=2≤也成立1022n n n N a k-+∈≤≤≤对一切,成立,1(3)2.n n n n k a k n a M a ->≥→+∞→+∞≤同理可证：“当1时，”，当时，此时，不存在正数，使得恒成立1 1.k -≤≤综上所述，1n n a ka b ++应用4、判定与的大小关系11.n n n n a a a ka b +++判定单调性是比较与的大小，实际上可以推广到与或其它形式1111131(91[,),,.(2);32s 4in 42n n n n a n N a a n a N a π+++++∈∈≥+=∈例1联盟)已知判断,是否恒成立()浙江省上虞市戴刚峰老师提供，特此鸣谢！111[,]32a ∈解：初始值开始迭代，3144y x =+直线111n n a a a +⇒≤<<⇒迭代区域在直线上方13144n n a a +∴≥+恒成立。

数列不动点的几何意义
《数列不动点的几何意义》
嘿呀，今天咱来聊聊数列不动点这玩意儿的几何意义。

就说我有一次在纸上随便画一些点和线，就像小孩子乱涂乱画一样。

然后我就发现这些点和线好像有点规律呢，这就跟数列有点像。

我就开始琢磨这些点会不会有个固定的地方，不管我怎么弄它都在那儿，嘿，这不就是不动点嘛！
我看着那些点，就好像它们在玩一个游戏，有的点跑这儿跑那儿，可总有那么一个或几个点稳稳地待在那儿，就像有了自己的小基地一样。

它们就像是数列里的那些特殊的点，有着自己独特的地位。

然后我又想啊，这几何意义不就是这些不动点给整个画面带来了一种稳定感嘛。

就像一个团队里总有那么几个靠谱的人，能让大家心里踏实。

再仔细想想，生活中不也有这样的“不动点”嘛。

比如咱的家，不管咱在外面怎么闯荡，怎么疯玩，家总是在那儿，是我们的港湾，这就是生活中的“不动点”呀。

哎呀呀，原来数列不动点的几何意义在生活中也能找到影子呢，还挺有意思的不是！嘿嘿，我这小发现还不错吧。

以上就是我对数列不动点几何意义的一些小感受啦，你们觉得呢？。