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数列问题不动点法的运用
有一位名叫ZeroToss的网友给我提出下列的数列问题，问我如何解决?
其实，本题可用“不动点法”求数列的通项公式。
首先，我们要知道，什么叫做函数的“不动点”？
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”。
巧用“不动点”法求数列的通项公式，是高考中的一种比较特殊的方法。
为了让同学们好好理解并掌握这一方法。
下面我们以典型例题来加以说明（由于篇幅的关系，我们只讲步骤和方法，至于详细的证明，同学们可以在相关的《高中数学竞赛教程中》找到）。
当函数有两个“不动点”时，请同学们看下面的几个例题，即可掌握方法。
从上面的方法中，大家可以概括总结出函数“不动点”法求数列通项公式的基本方法了吗？
其实，第二种题型，相应的函数有两个不动点的，一般是形如
a(n+1)=(pan+m)/(qan+u)这样的数列求通项.这样的数列相应的函数的不动点为f(x)=(px+m)/(qx+u)=x的解x1=u，x2=v，最后一般都化归为:数列{(an-u)/(an-v)}是等比数列来求通项的问题。
我们现在再来看网友ZeroToss提出的数列问题的解答：。
高考数学数列题求解题技巧数学数列题是高考数学中常见的题型之一，也是考查学生对数列概念和性质的理解和运用能力的重要手段之一。
下面将给出一些解题技巧，帮助你在高考中更好地解答数列题。
1. 确定数列类型在解答数列题时，首先要明确数列的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
通过观察数列的通项公式、公式中的递推关系或者数列中的规律，确定数列的类型，有助于我们更好地理解和解答问题。
2. 求解等差数列对于等差数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等差数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等差数列的的首项a1和公差d：Sn = (n/2)(a1 + an)Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中n为项数，a1为首项，an为第n项，d为公差。
（2）已知前n项和的两倍：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的两倍为2Sn，则可以使用以下公式求解首项a1：2Sn = n(2a1 + (n-1)d)（3）已知前n项和的平方：如果我们知道等差数列的前n项和Sn的平方为Sn²，则可以使用以下公式求解公差d：Sn² = n(2a1 + (n-1)d)²/43. 求解等比数列对于等比数列，我们通常可以使用以下几种方法进行求解：（1）已知前n项和：当已知等比数列的前n项和Sn 时，我们可以使用以下公式求解等比数列的的首项a1和公比q：Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)其中n为项数，a1为首项，q为公比。
（2）已知前n项积：若已知等比数列的前n项积为Pn，则可以使用以下公式求解首项a1和公比q： Sn = a1(1 - qⁿ)/(1 - q)4. 拆分序列有时，在解答数列题时，我们可以将给定的数列拆分为两个或多个较为简单的数列进行求解。
例如，当我们遇到递推关系较为复杂的数列时，可以考虑将数列拆分为两个或多个等差数列或等比数列，然后分别求解。
利用“不动点"法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型,对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况,因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果,来简化对数列通项问题的探究.笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1 不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立,则称x 0为f x ()的 不动点,或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。
2 求线性递推数列的通项定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。
证：∵x 0是f x ()的不动点,所以ax b x 00+=，所以b x ax -=-00，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··,∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列.例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n 。
证:（1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1,即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1｝是等比数列。
求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…① 若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅， 由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+． 例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列 对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D +=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中是待定常数），代入12,a a 的值可求得值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为的等比数列，于是这样可求得n a ． 若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中是待定常数），代入12,a a 的值可求得值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为的等差数列，于是这样可求得n a ． 此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n nn n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， 数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++ 由12,a =得2314a =，求得1c =， 数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。
数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。
- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。
热点08 利用“不动点”法巧解数列问题规律方法总结由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究.经典例题解析1.不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为()f x 图象的不动点. 2.求线性递推数列的通项定理1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且0x 为()f x 的不动点，{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明0{}n a x -是公比为a 的等比数列.证：∵0x 是()f x 的不动点，所以00ax b x +=，所以00b x ax -=-，所以na 0101010()()n n n x a ab x a a ax a a x ----=+-=-=-··，∴数列0{}n a x -是公比为a 的等比数列.例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列.(2)解略.3.求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax bf x c ad bc cx d+=≠-≠+，，且12x x 、是()f x 的不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列12{}n n a x a x --是公比为12a x c a x c --的等比数列；（ⅱ）120x x x ==，则数列01{}n a x -是公差为2ca d +的等差数列.证：（ⅰ）由题设知111111111()ax b b dx x x dx b a cx x cx d a cx +-=⇔=-⇔-=-+- 同理222().dx b a cx x -=-∴111122n n n n n n aa b x a x ca daa b a x x ca d+++--+=+--+1122()()n n a cx a b dx a cx a b dx -+-=-+-1122n n a x a cx a cx a x --=⋅--， 所以数列12{}n n a x a x --是公比为12a cx a cx --的等比数列. （ⅱ）由题设知ax bcx d ++＝x 的解为120x x x ==，∴且00b dx a cx --＝0x -.所以100011()n n n n n ca d aa b a x a cx a b dx x ca d ++==+--+--+00000()()()()n n n n ca d ca db dx a cx a x a cx a a cx ++==----+-000000001()()n n n ca cx d cx d cx c a cx a x a cx a cx a x -+++==+⋅-----00122n a dd c c c a d a cx a x a c c-+⋅=+⋅----⋅000112n n c c a cx a x a x a d =+=+---+，所以数列01{}n a x -是公差为2ca d+的等差数列.例2 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a -⋅-=有一根为1n S -*()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式. 解：依题112a =，且2(1)(1)0n n n n S a S a --⋅--=，将1n n n a S S -=-代入上式，得112n n S S -=-，记()12f x x=-，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理2（ⅱ）知：12111111n n n n S S S S +-==-+---，所以数列11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以1n n S n =+，因此数列{}n a 的通项公式为11n a n =+. 例3 已知数列{}n a 中，1111,.n na a c a +==-（1）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式. （2）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 解：（1）依题1525122n n n n a a a a +-=-=，记52()2x f x x-=，令()f x x =，求出不动点121,22x x ==；由定理2（ⅰ）知：11112222n n nna a a a+--=-=⋅，12111222n n n na a a a +--=-=⋅ ； 两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212a a -=--为首项的等比数列，所以，112132,2,14242n n n n n a a a ---⎛⎫=-⋅=-⎪+⎝⎭-从而124.33n n b -=--（2）解略.定理3 设2()(0)2ax bf x a ax d+=≠+，且12x x 、是()f x 的不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，则有2111122()n n n n a x a x a x a x ++--=--；若11120a x a x ->-，则12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列.证：∵12x x 、是()f x 的不动点，∴211dx b ax =-，222dx b ax =-.21112122(2)(2)n n n n n n a x a a b a a d x a x a a b a a d x ++-⋅+-⋅+=-⋅+-⋅+2211222222n n n n a a b a a x ax ba ab a a x ax b⋅+-⋅⋅+-=⋅+-⋅⋅+-22211122222(2)()(2)n n n n n n a a a x x a x a a a x x a x -⋅+-==-⋅+-，又11120a x a x ->-，则120n n a x a x ->-， ∴111122ln2ln n n n n a x a x a x a x ++--=--，故12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列.例4已知数列{}n x 满足14x =，21324n n n x x x +-=-.⑴求证：3n x >；⑵求证：1n n x x +<；⑶求数列{}n x 的通项公式. 证：⑴、⑵证略；⑶依题21324n n n x x x +-=-，记23()24x f x x -=-，令()f x x =，求出不动点121,3x x ==；由定理3知：2213(1)112424n n n n n x x x x x +---=-=--，2213(3)332424n n n n n x x x x x +---=-=--，所以2111133n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，又111413343x x --==--，所以133111log 2log 33n n n n x x x x ++--=--. 又1311log 13x x -=-，令31log 3n n n x a x -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.所以12n n a -=.由31log 3n n n x a x -=-，得133n a n n x x -=-.所以11121231313131n n n n a n a x --++--==--. 利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明.定理4 设222()(0),4b bf x ax bx a a-=++>且0x 是()f x 的最小不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，则有2010().n n a x a a x --=-定理5 设23322()(0),3273b b bf x ax bx x a a a a=+++-≠且0x 是()f x 的不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，则有3010().n n a x a a x --=-跟踪训练一、填空题1. 已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________. 【答案】1 【解析】【分析】由题意，可得111n n n n a b a a +==+，转化21n n n a a a +=+为11111n n n a a a +=-+，可得10012100122310010110111111111111111S a a a a a a a a a a =+++=-+-++-=-+++，结合101a 的范围即得解.【详解】由1n n n a b a +=，可得1n n n a b a +=，由21n n n a a a +=+，可得111n n n a a a +=+，故11n n b a =+. 因为()1111111n n n n n a a a a a +==-++，所以11111n n n a a a +=-+， 所以10012100122310010110111111111111111S a a a a a a a a a a =+++=-+-++-=-+++. 由题意可知0n a >，则210n n n a a a +-=>，故{}n a 为递增数列.因为11a =，所以101101a <<，故()100101110,1S a =-∈，所以k 的最小值为1. 【点睛】本题考查了数列的递推公式以及裂项求和法，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中档题2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2211,n n n n a a a n a +=-=-，则100S =__________. 【答案】1189 【解析】【分析】由2211,n n n n a a a n a +=-=-，两式相加得221+1n n a a n +=-，然后进一步通过迭代法可求得答案【详解】解：因为2211,n n n n a a a n a +=-=-， 所以221+1n n a a n +=-，所以234598994849()()()014811762a a a a a a ⨯++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==， 由2211,n n n n a a a n a +=-=-，可得3110a a =-=所以100502512631210111212a a a a a a =-=-=-=-=-=， 所以100123459899100()()()S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅+++11176121189=++=，故答案为：1189二、解答题3. 数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图像上，其中k 为常数，且0k ≠（1）若124,,a a a 成等比数列，求k 的值； （2）当3k =时，求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .【答案】（1）2k =；（2）223n S n n =+.【解析】【分析】（1）首先由条件，列式表示为2a k =，31a k =+，42a k =，再根据数列是等比数列求k 的值；（2）由条件，归纳可知()2123211n n a a n -+=-+，再求数列{}n a 的前2n 项的和2n S . 【详解】解：（1）由11n n a a kn ++=+可得121a a k +=+，2321a a k +=+，3431a a k +=+， 所以2a k =，31a k =+，42a k =.又1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =，则22k k =，又0k ≠，故2k =.（2）3k =时，131n n a a n ++=+，∴124a a +=，3410a a +=，…，()2123211n n a a n -+=-+， 224624106232n n S n n n n +-=++⋅⋅⋅+-==+. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，并项求和，本题第二问的关键是根据递推公式131n n a a n ++=+，求得()2123211n n a a n -+=-+，再求2n S 即可迎刃而解. 4. 已知数列{}n a 、{}n b 满足110a b ==，()()1121212n n n n n a a +++=++，当2n ≥时，131n n b a =+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若1n n c b +=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：56n S <． 【答案】（1）223nn a -=，0,11,221n n n b n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知条件推导出1111121212121n n n n n n a a +++=+-++++，利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，进一步可求得数列{}n b 的通项公式； （2）分析可得当2n ≥时，11112121122n n n n c +++≤==-+，然后分1n =、2n ≥两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可证得结论成立. 【详解】（1）()()()()()111122121221211nn n n n n n n n a a a ++++=++-+=++++，所以，1111121212121n n n n n n a a +++=+-++++，即1111121212121n n n n n n a a +++-=-++++，所以，31121223212121212121212121n n n n n n a a aa a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭223111111111212121212121321n n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，223n n a -=.因为当2n ≥时，131n n b a =+，故0,11,221n n n b n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；（2）1121n n c +=-时，当2n ≥时，11112121122n n n nc +++≤==-+，当1n =时，11536c =<； 当2n ≥时，11211111111115421482332612n n n n S c c c c -⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+=+<+=-．综上所述，对任意的n *∈N ，56n S <. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m -=+时，构造等差数列； （2）当出现1n n a xa y -=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n -=+时，用累加法求解；（4）当出现()1nn a f n a -=时，用累乘法求解. 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，公比为2的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，并且满足()12log 12n n n a T S ++=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）已知1121n n n n n a c T T -++=，规定00a =，若存在n *∈N 使不等式123...1n c c c c nλ++++<-成立，求实数λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）67λ<. 【解析】【分析】（Ⅰ）由递推式，令1n =求11b =，写出{}n b 的通项公式及n T ，结合已知条件求{}n a 通项公式.（Ⅱ）应用裂项求和求123...n c c c c ++++，即有21min 21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，进而求λ的范围．【详解】（Ⅰ）由题设，2211log (1)2a T S +=，即2211log (1)2a b a +=，可得11b =，又等比数列{}n b 的公比为2，∴12n n b -=，故21nn T =-，即12n n S na +=，当2n ≥时，112()2(1)n n n n n S S a na n a -+-==--，即()11n n na n a +=+， 当1n =时，212a a =，∴n *∈N 上有()11n n na n a +=+，即101n n a a n n，而111a =， ∴{}n an 是常数列且1n a n=，即n a n =；（Ⅱ）由题意，()()()11121121212121n n n n nn n n n c ++-++==-----， ∴1231122311...1...11337212121n n n n n n n c c c c nλ++++++++=-+-++-=-<----，对n *∈N 有解，则21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭， 令2121n n n nd ++=-，故2211212121(1)(1)2(1)[(2)22](1)()21212121(21)(21)n n n n n n n n n n n n n n n n n d d n ++++++++++++++---=-=+-=------，∴当1n =时，21d d >；当2n ≥时，1n n d d +<，知：2d 为n d 的最小项， ∴267d λ<=．【点睛】关键点点睛：第二问，利用裂项求和求123...n c c c c ++++，将有解问题转化为21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，利用数列的性质求最小项，即可得参数范围.。
“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。
尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。
一、 知识方法 1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。
对定义的理解： 代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根； 几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。
2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。
二次递推：()2f x ax bx c =++一次分式递推：()ax bf x cx d+=+根式递推：()f x d =双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>> 等等。
3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。
第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。
第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()100n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。
第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1） 若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。
高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数()y f x =，满足方程0()f x x =的解0x ，称为函数()y f x =的一个不动点。
例 求函数()24f x x =-的不动点。
解：令24x x -=，解出4x =，即4是函数()24f x x =-的一个不动点。
2． 用函数的不动点求数列的通项公式：如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数()f n ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。
例 已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+求数列的通项公式na 。
解：因为121n na a +=+，所以211x x x =+⇒=-，两边都减去不动点1-得11211n n a a ++=++，所以可以得到112(1)n n a a ++=+，设1n na b +=，所以12n n b b +=，数列{}n a 为等比数列，故1122n n n b b -=⋅=，所以121nn na b =-=-。
例 已知数列{}na 中，11a =，1112n n aa +=+求数列的通项公式na 。
解：因为1112n n aa +=+，所以1122x x x =+⇒=，两边都减去不动点2得12212n n aa +-=+-，所以可以得到112(2)2n n aa +-=-，设2nna b -=，所以112n nb b +=，故111122n nn b b --⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，所以1222nnn ab -=+=-。
3．定理1：若函数(),01f x ax b a a =+≠≠且，p 是函数()f x ax b=+的一个不动点，即()f p p =，如果数列{}nx 满足递推关系1(),1nn x f x n -=>，则1()nn x p a x p --=-。
高考数学数列解题技巧必备各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些高考数学数列解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学重点：数列公式及结论总结数学中有很多的概念和公式，只有理解这些概念，才能正确解题。
数列中有很多性质和公式，这些是我们做题的基础，很多同学觉得数列的性质公式太多太杂，记不住。
其实按照一定方法将数列性质公式进行归纳总结，记住它们就简单多了。
下面是小编为大家整理的高中数列基本公式,希望对大家有帮助。
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、、仍为等比数列。
“不动点法”解决递推型数列不等式问题数列不等式历来是高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。
尤其是浙江省的高考，最近几年压轴题中连续考到递推型数列不等式，解决递推型数列不等式的一般方法是利用“不动点”来解决问题，要计算变比()n q a 在不动点处的函数值来进一步判定数列的类型是“裂项相消型”还是“等比型”，从而进行进一步地放缩。
一、知识方法1、不动点的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为D ,若存在实数0x D ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点。
对定义的理解：代数角度：0x 为方程()f x x =的实数根；几何角度：0x 为函数()y f x =与y x =图像交点的横坐标。
2、简单迭代数列任取初始值1a ，并且()()*1n n a f a n N +=∈，则得到数列{}n a 。
二次递推：()2f x ax bx c=++一次分式递推：()ax b f x cx d+=+根式递推：()f x d =+双勾递推：()()0,0bf x ax c a b x=++>>等等。
3、“五步法”求解递推型问题模型：已知数列{}n a 满足1a a =，()()*1n n a f a n N +=∈。
第1步：找出迭代函数()f x ；第2步：求出迭代函数的不动点：由()f x x =，得0x x =；通过猜想式画图或特殊值法得到n a 的初始范围。
第3步：“中心化”再作商得到“变比”()n q a ，研究数列在不动点附近的性质：求出()10n n n a x q a a x +-=-，分析()n q a （由变比的同号法则先证n a 的初始范围中和不动点有关的这边，然后再利用作差法或作商法或数学归纳法证明n a 的单调性，即得n a 的初始范围中和首项有关的这边）。
第4步：计算“变比”()n q a 在不动点处的函数值，判定数列类型：（1）若()01q x =，则数列为“裂项相消型”。
不动点法求解数列
不动点法求解数列是一种以函数迭代的方式寻找满足预先设定条
件的数列的技术。
它建立在函数迭代理论上，用它来解决一些复杂的
数学问题，它可以来有效地求解函数。
它最早是由平行计算科学家及
著名数学家拉斐特·劳伦斯·库仑提出的，它是一种分析函数的方法，它可以指定函数的迭代和评估过程。
不动点法求解数列的主要思想是以函数的迭代和收敛的方式来找
出满足预先设定条件的一组数列，即不动点。
这就意味着，当我们给
出一个函数，我们就可以找到一组数列，使得它们是最接近这个函数
的数列。
不动点法求解数列的实现方法是在每一步中使用一个函数f(x)来
表示，这个函数将当前的数列转化为下一个数列，而不动点就是某个
极小数列使得f(x)等于自身。
那么，在这种情况下，可以使用不动点
来求解原始的数列。
通常，不动点法的步骤是这样的：首先，我们给出一个初始数列，然后使用这个数列来迭代函数f(x)，直到不再变化。
在每一个迭代步
骤中，我们都可以计算出下一个数列，再把它带入函数f(x)来进行计算，最后得到最后的答案。
这种方法有两个显著的优点：1、它可以以一种有效的方式解决一
些复杂的函数，2、它的结果是可以控制的，可以得到一组满足预先设
定条件的数列，即不动点。
因此，不动点法求解数列就可以指定函数的迭代和评估过程，从
而减少计算时间和计算量，提高解决数学问题的效率。
高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数 yf (x) ，满足方程 f ( x 0 ) x 0 的解 x 0 ，称为函数 yf ( x) 的一个不动点。
例 求函数 f ( x) 2x 4 的不动点。
解：令 2x4 x ，解出 x4 ，即 4 是函数 f ( x)2x 4 的一个不动点。
2． 用函数的不动点求数列的通项公式： 如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数 f ( n) ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。
例已知数列a n中， a 1 1， a n 1 2a n 1 求数列的通项公式 a n 。
解：因为 a n12a n 1 ，所以 x 2 x 1 x1，两边都减去不动点1 得 a n 1 1 2a n 1 1 ，所以可以得到an 11 2(a n 1) ， 设 a n 1 b n ， 所 以 b n 1 2b n ， 数 列 a n 为 等 比 数 列 ， 故 b n b 1 2n12n， 所 以a nb n 1 n。
21例已知数列n中， a 11， a n 11a n 1求数列的通项公式 a n 。
a2解：因为 a n11a n 1 ，所以 x1x 1x 2 ，两边都减去不动点2 得 a n 12 2a n 1 2 ，所以可以得到2 2111 n 1an 122 b n ，所以 b n 1b n b 11 n ，所以a n2 b n 21 n 。
(a n 2) ，设 a nb n ，故2222231：若函数 f ( x) ax b, a 0且 a 1ax b 的一个不动点，即f ( p)p ，如果数列．定理， p 是函数 f ( x)x n 满足递推关系 x nf (x n 1 ), n 1，则 x n p a( x n 1 p) 。
4． 定理 2 ：设 f ( x)ax b c 0, adbc 0 ，数列x 满足递推关系xf ( x 1 ), n 1 ，且初始值cx dnnnx 1 f ( x 1 ) ，如果函数 f ( x) ax bx n p kxn 1p ，这里 ka pc有两个相异的不动点p, q ，则qxn 1q，也就是cx dx na qc说数列x n p 是以 k 为公比的等比数列；如果函数 f (x)axb只有唯一的不动点 p ，则 11k ，x n qcx dx n p x n 1p这里 k2c ，即数列 1 是以 k 为公差的等差数列。
高三理科培优：用不动点法求数列的通项公式 （一）对于数列⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅++⋅==--)2(,1111n d a c b a a a a a n n n ，函数d cx b ax x f ++=)(， 结论1、若函数)(x f 有两个相异的不动点q p ,，即方程0)(2=--+b x a d cx 有两个相异实根q p ,，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q a p a n n 是以q a p a --11为首项，以cq a cp a --为公比的等比数列。
结论2、若函数)(x f 只有唯一的不动点p ，即方程0)(2=--+b x a d cx 只有唯一实根p ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p a n 1是以p a -11为首项，以d a c +2为公差的等差数列。
练习1、已知数列{}n a 中，*111,2,3553,2N n n a a a a n n n ∈≥++==--，求数列{}n a 的通项公式。
练习2、已知数列{}n a 中，*111,2,214,2N n n a a a a n n n ∈≥+-==--，求数列{}n a 的通项公式。
（二）对于数列⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅++⋅==--)2(,211211n c a a b a a a a a n n n ，函数c ax b ax x f ++=2)(2， 结论3、若上述函数cax b ax x f ++=2)(2有两个相异的不动点q p ,，即方程02=-+b cx ax 有两个相异实根q p ,，则有*211,2,N n n q a p a q a p a n n n n ∈≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----结论4、若上述函数cax b ax x f ++=2)(2只有唯一一个不动点p ，即方程02=-+b cx ax 只有唯一一个实根a c p 2-=，则有数列{}p a n -是以p a -1为首项，以21为公比的等比数列。
练习3、已知数列{}n a 中，*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+，求数列{}n a 的通项公式。
高考数学数列题如何灵活运用数列知识解决问题数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。
在高考数学中，数列题常常被出现，考察学生对数列性质的理解、数列通项的求解以及数列在实际问题中的应用能力。
本文将介绍一些灵活运用数列知识来解决高考数学数列题的方法。
一、常见数列性质的灵活应用在解决数列题时，首先要熟悉一些常见的数列性质，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
这些数列都有其独特的性质和规律，我们可以利用这些性质和规律来解决问题。
以等差数列为例，如果我们遇到一个等差数列的题目，可以利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来求解。
还可以运用等差数列的性质，如数列项之和Sn=n(a1+an)/2来求解数列的前n项和。
熟悉这些性质和公式，可以帮助我们快速解答数列题。
二、数列通项的求解技巧在解决数列题时，通项的求解是非常关键的一步。
对于一些简单的数列，可以直接通过观察找到其通项的规律。
但对于一些复杂的数列，可以通过列方程的方法来求解通项。
以等比数列为例，如果我们遇到一个等比数列的题目，则可以利用等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)来求解。
此外，还可以通过列方程，利用数列性质解方程的方法来求解通项。
例如，若已知等比数列的首项为a1，公比为r，且满足a2+a4=a5，可以列出方程a1*r+a1*r^3=a1*r^4，通过解这个方程来求解通项。
三、数列应用题的解题思路数列在实际问题中的应用非常广泛，高考中也常常会出现一些数列应用题。
解决这类题目，我们可以首先明确问题中数列的特点和条件，然后利用数列的性质和知识进行分析。
以数列应用题为例，假设某人存款的数额满足一个等差数列，前几年存的钱数依次为1000、2000、3000，且该人的存款共计5年。
现在要求第5年的存款数，请问应如何解决这个问题？我们可以首先观察题目中的数列特点，确定为等差数列，首项a1=1000，公差d=1000。
利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。
笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1 不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。
2 求线性递推数列的通项定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。
证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=，所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。
例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。
(2)解略。
3求非线性递推数列的通项定理2 设()(00)ax bf x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{}a x a x n n --12是公比为a x ca x c--12的等比数列；（ⅱ）120x x x ==，则数列{}1a x n -是公差为2c a d +的等差数列。
证：（ⅰ）由题设知111111111()ax b b dx x x dx b a cx x cx d a cx +-=⇔=-⇔-=-+-；同理222().dx b a cx x -=-∴1122()()n n a cx a b dx a cx a b dx -+-=-+-1122n n a x a cx a cx a x --=⋅--， 所以数列{}a x a x n n --12是公比为a cx a cx --12的等比数列。
（ⅱ）由题设知ax bcx d++＝x 的解为120xx x ==，∴x a dc 02=-且b dx a cx --00＝-x 0。
所以1110000a x aa b ca dx ca d a cx a b dx n n n n n +-=++-=+-+-()00000()()()()n n n nca d ca d a cx a x a cx a a cx ++==---+- 000000001()()n n n ca cx d cx d cx c a cx a x a cx a cx a x -+++==+⋅-----00122n a dd c c c a cx a x a c c-+⋅=+⋅---⋅ 000112n n c ca cx a x a x a d=+=+---+，所以数列{}10a x n -是公差为2c a d +的等差数列。
例2 （2006年全国Ⅱ卷22题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程02=-⋅-n n a x a x 有一根为1-n S )(*N n ∈。
求数列{}n a 的通项公式。
解：依题211=a ，且0)1()1(2=--⋅--n n n n a S a S ，将1--=n n n S S a 代入上式，得121--=n n S S ，记()12f x x=-，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理2（ⅱ）知：12111111n n n n S S S S +-==-+---，所以数列11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以1+=n nS n，因此数列{}n a 的通项公式为11+=n a n 。
例3 （2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列{}n a 中，1111,.n na a c a +==-（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式. （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 解：（Ⅰ）依题1525122n n n na a a a +-=-=，记52()2x f x x -=，令()f x x =，求出不动点121,22x x ==；由定理2（ⅰ）知：11112222n n nna a a a +--=-=⋅，12111222n n nna a a a +--=-=⋅ ；两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212a a -=--为首项的等比数列，所以，112132,2,14242n n n n n a a a ---⎛⎫=-⋅=- ⎪+⎝⎭-从而124.33n n b -=--（Ⅱ）解略。
定理 3 设2()(0)2ax bf x a ax d+=≠+，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有2111122()n n n n a x a x a x a x ++--=--；若11120a xa x ->-，则12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列。
证：∵x x 12、是f x ()的不动点，∴211dx b ax =-，222dx b ax =-。
21112122(2)(2)n n n n n n a x a a b a a d x a x a a b a a d x ++-⋅+-⋅+=-⋅+-⋅+2211222222n n n n a a b a a x ax ba ab a a x ax b⋅+-⋅⋅+-=⋅+-⋅⋅+- 22211122222(2)()(2)n n n n n n a a a x x a x a a a x x a x -⋅+-==-⋅+-，又11120a x a x ->-，则120n n a x a x ->-， ∴111122ln2ln n n n n a x a xa x a x ++--=--，故12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列。
例4 （2010东城区二模试题）已知数列{}n x 满足14x =，21324n n n x x x +-=-．⑴求证：3n x >；⑵求证：1n n x x +<；⑶求数列{}n x 的通项公式． 证：⑴、⑵证略；⑶依题21324n n n x x x +-=-，记23()24x f x x -=-，令()f x x =，求出不动点121,3x x ==；由定理3知：2213(1)112424n n n n n x x x x x +---=-=--，2213(3)332424n n n n n x x x x x +---=-=--， 所以2111133n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，又111413343x x --==--，所以133111log 2log 33n n n n x x x x ++--=--． 又1311log 13x x -=-，令31log 3n n n x a x -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．所以12n n a -=．由31log 3n n n x a x -=-，得133n a n n x x -=-．所以11121231313131n n n n a n a x --++--==--． 利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。
定理 4 设222()(0),4b bf x ax bx a a-=++>且0x 是f x ()的最小不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有2010().n n a x a a x --=-定理5 设23322()(0),3273b b bf x ax bx x a a a a=+++-≠且0x 是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有3010().n n a x a a x --=-。
