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课时训练(九) 平面直角坐标系及函数|夯实基础|1.[2017·淮安] 点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是()A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,1)2.[2018·无锡] 函数y=中自变量x的取值范围是()A.x≠-4B.x≠4C.x≤-4D.x≤43.如图K9-1,在正方形网格中建立平面直角坐标系,已知A(0,2),B(1,1),则点C的坐标为()图K9-1A.(1,-2)B.(1,-1)C.(2,-1)D.(2,1)4.[2018·济宁] 如图K9-2,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为(-1,0),AC=2.将Rt△ABC先绕点22 C 顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则变换后点A 的对应点坐标是 ()图K9-2A .(2,2)B .(1,2)C .(-1,2)D .(2,-1)5.[2018·咸宁] 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟.在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的关系如图K9-3所示,下列结论:图K9-3①甲步行的速度为60米/分; ②乙走完全程用了32分钟; ③乙用16分钟追上甲;④乙到达终点时,甲离终点还有300米. 其中正确的结论有 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图K9-4,这是某学校平面示意图的一部分,分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系,规定3一个单位长度表示200米.甲、乙两人对着示意图描述教学楼A 的位置.图K9-4甲:教学楼A 的坐标是(2,0).乙:教学楼A 在图书馆B 的南偏西30°方向,相距800米处.则图书馆B 的坐标是 .7.[2018·龙东地区] 在函数y=中,自变量x 的取值范围是 .8.如图K9-5,已知点P x+1,3x-8的横、纵坐标恰好为某个正数的两个平方根.(1)求点P 的坐标;(2)在图中建立平面直角坐标系,并分别写出点A ,B ,C ,D 的坐标.图K9-59.在某河流的北岸有A ,B 两个村子,A 村距河北岸的距离为1千米,B 村距河北岸的距离为4千米,且两村相距5千米,B 在A 的右边,现以河北岸为x 轴,A 村在y 轴正半轴上.(网格中每个小正方形的边长均表示1千米)(1)请建立平面直角坐标系,并描出A ,B 两村的位置,写出其坐标.(2)近几年,由于乱砍滥伐,生态环境受到破坏,A ,B 两村面临缺水的危险.两村商议,共同在河北岸修一个水泵站,向44 两村各铺一条水管,要使所用水管最短,水泵站应修在什么位置?在图中标出水泵站的位置,并求出所用水管的长度.图K9-6|拓展提升|10.在平面直角坐标系中有三个点:A (1,-1),B (-1,-1),C (0,1),点P (0,2)关于A 的对称点为P 1,P 1关于B 的对称点为P 2,P 2关于C 的对称点为P 3,按此规律继续以A ,B ,C 为对称中心重复前面的操作,依次得到P 4,P 5,P 6,…,则点P 2017的坐标是( )A .(0,0)B .(0,2)C .(2,-4)D .(-4,2)11.我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图K9-7①所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图②,图③,…5图K9-7(1)观察图K9-7的图形并完成下表:猜想:在图ⓝ中,特征点的个数为 (用含n 的代数式表示);(2)如图K9-8,将图ⓝ放在平面直角坐标系中,设第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1,2),则x 1= ;图的对称中心的横坐标为 .图K9-812.如图K9-9,在平面直角坐标系中,已知点A (2,3),B (6,3),连结AB.如果线段AB 上有一个点与点P 的距离不大于1,那么称点P 是线段AB 的“环绕点”.试判断点C (3,1.5),D (3.8,3.6)是否是线段AB 的“环绕点”,并说明理由.图K9-96 67参考答案1.C [解析] 关于y 轴对称的点的坐标规律是“横坐标互为相反数,纵坐标不变”,可知点P (1,-2)关于y 轴对称的点的坐标是(-1,-2).2.B3.C4.A [解析] 将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则图形中的点A 也先绕点C 顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,点A 绕点C 顺时针旋转90°后对应点的坐标为(-1,2),再向右平移3个单位长度后对应点的坐标为(2,2),因此,本题选A .5.A [解析] 由题图可得,甲步行的速度为:240÷4=60(米/分),故①正确.乙走完全程用的时间为:2400÷(16×60÷12)=30(分钟),故②错误.乙追上甲用的时间为16-4=12(分钟),故③错误.乙到达终点时,甲离终点的距离是:2400-(4+30)×60=360(米),故④错误.故选A .6.(4,2)7.x ≥-2且x ≠08.解:(1)依题意得,x+1+3x-8=0, 解得x=2,故P (2,-2). (2)建立坐标系如图所示,由图可知A (-3,1),B (-1,-3),C (3,0),D (1,2). 9.解:(1)如图,点A (0,1),点B (4,4).88(2)作A 关于x 轴的对称点A',连结A'B 交x 轴于点P ,则P 点即为水泵站的位置,P点坐标为,0,PA+PB=PA'+PB=A'B.过B ,A'分别作x 轴、y 轴的垂线相交于E ,作AD ⊥BE ,垂足为D ,则BD=3, 在Rt △A'BE 中,由A'E=4,BE=5,得A'B==,故所用水管最短长度为千米.10.C [解析] 点P (0,2)关于A 的对称点为P 1(2,-4),P 1关于B 的对称点为P 2(-4,2),P 2关于C 的对称点为P 3(4,0),…,按此规律继续以A ,B ,C 为对称中心重复前面的操作,依次得到P 4(-2,-2),P 5(0,0),P 6(0,2),∵2017÷6=336……1,则点P 2017的坐标是(2,-4),故选C .11.(1)22 5n+2 (2)201712.解:由“环绕点”的定义可知点P 到线段AB 的距离d 应满足d ≤1. ∵A ,B 两点的纵坐标都是3,∴AB ∥x 轴, ∴点C 到线段AB 的距离为|1.5-3|=1.5>1, 点D 到线段AB 的距离为|3.6-3|=0.6<1,∴点C 不是线段AB 的环绕点,点D 是线段AB 的环绕点.9。
课时训练(十)平面直角坐标系(限时:35分钟)|夯实基础|1.点P(4,3)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知点P(x+3,x-4)在x轴上,则x的值为()A.3B.-3C.-4D.43.[2019·常德]点(-1,2)关于原点的对称点坐标是()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(1,2)D.(2,-1)4.平面直角坐标系内的点A(-1,2)与点B(-1,-2)关于()A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称5.已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,6),B(-3,-3),C(1,0),将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是(4,10),则点B的对应点B1的坐标为()A.(7,1)B.(1,7)C.(1,1)D.(2,1)6.[2019·嘉兴]如图K10-1,在直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C',再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″,则点C的对应点C″的坐标是()图K10-1A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)7.已知点A(1,0),B(0,2),点P在x轴上,且△PAB的面积为5,则点P的坐标为()A.(-4,0)B.(6,0)C.(-4,0)或(6,0)D.无法确定8.在第四象限到x轴距离为5,到y轴距离为2的点的坐标是.9.已知线段MN平行于y轴,且MN的长度为5,若M(2,-2),那么点N的坐标是.10.如图K10-2,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(-3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.图K10-211.如图K10-3,在平面直角坐标系中,B,C两点的坐标分别为(-3,0)和(7,0),AB=AC=13,则点A的坐标为.图K10-312.如图K10-4,在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点分别为A(-3,0),B(0,4).(1)画出线段AB先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到的线段CD,并写出点A的对应点D的坐标,点B的对应点C的坐标;(2)连接AD,BC,判断所得图形的形状并求其面积.图K10-413.如图K10-5,四边形OABC是矩形,且∠AOM=120°,CO=,BC=1.(1)求A,C两点的坐标;(2)直接写出点B的坐标;(3)求四边形AOCD的面积.图K10-5|能力提升|14.在平面直角坐标系中,点P(-4,2)向右平移7个单位长度得到点P1,点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是()A.(-2,3)B.(-3,2)C.(2,-3)D.(3,-2)15.[2019·滨州]已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()图K10-616.如图K10-7,点A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),若将线段AB平移至A1B1,点A1,B1的坐标分别为(2,a),(b,3),则a+b= .图K10-717.如图K10-8,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),点B(-2,1),在x轴上存在点P到A,B 两点的距离之和最小,则P点的坐标是.图K10-8|思维拓展|18.[2019·绵阳]如图K10-9,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,O(0,0),A(4,0),∠AOC=60°,则对角线交点E的坐标为 ()图K10-9A.(2,)B.(,2)C.(,3)D.(3,)19.[2019·娄底]如图K10-10,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒2π米的速度沿曲线向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为 ()图K10-10A.-2B.-1C.0D.120.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把P'(y-1,-x-1)叫做点P的友好点,已知点A1的友好点为A2,点A2的友好点为A3,点A3的友好点为A4,…,这样依次得到点.(1)若点A1的坐标为(2,1),则点A3的坐标为,点A2020的坐标为;(2)若A2020的坐标为(-3,2),设A1(x,y),求x+y的值;(3)设点A1的坐标为(a,b),若点A1,A2,A3,…,A n均在y轴左侧,求a,b的取值范围.【参考答案】1.A2.D3.B4.B5.C6.A7.C8.(2,-5)9.(2,3)或(2,-7) 10.(5,4) 11.(2,12)12.解:(1)如图所示,D (0,-4),C (3,0).(2)四边形ABCD 是菱形,S 菱形ABCD =24.13.解:(1)如图,作两条垂线CD ,AE ,垂足分别为D ,E ,易知A -12,2,C2, 2.(2)B (1, ). (3)易知OD=2,所以S 四边形OADC =S △AOD +S △ODC =12×2×2=2.14.A15.C [解析]∵点P (a -3,2-a )关于原点对称的点在第四象限,∴点P (a -3,2-a )在第二象限,∴ - 0,2- 0,解得 , 2,∴不等式组的解集是a<2,在数轴上表示如选项C 所示.故选C .16.217.(-1,0) [解析]作A 关于x 轴的对称点C ,连接BC 交x 轴于P ,此时AP +BP 最小.∵A 点的坐标为(2,3), ∴C (2,-3),设直线BC 的解析式是y=kx +b , 把B ,C 的坐标分别代入得 -2 1,2 - ,解得-1, -1,即直线BC 的解析式是y=-x -1, 令y=0,即-x -1=0,解得x=-1,∴P 点的坐标是(-1,0). 18.D [解析]过点E 作EF ⊥x 轴于点F , ∵四边形OABC 为菱形,∠AOC=60°, ∴∠AOE= 0°,∠FAE=60°, ∵A (4,0),∴OA=4, ∴AE=12AO=12×4=2, ∴AF=12AE=1,∴OF=AO -AF=4-1=3,EF= ,故选D .19.B [解析]半径为2米,圆心角为120°的弧长为:120 21 0=4(米),点P 从原点A 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π米, 当点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动, 运动时间为1秒时,点P 的坐标为( ,1), 运动时间为2秒时,点P 的坐标为(2 ,0), 运动时间为3秒时,点P 的坐标为(3 ,-1), 运动时间为4秒时,点P 的坐标为(4 ,0), 运动时间为5秒时,点P 的坐标为(5 ,1), 运动时间为6秒时,点P 的坐标为(6 ,0),…,根据图象可得移动4秒图象完成一个循环,从而可得出点P2019的坐标.∵2019÷4=504… ,∴P2019的坐标是(2019,-1),∴在第2019秒时点P的纵坐标为-1.故答案为B.20.解:(1)观察发现规律:A1(2,1),A2(0,-3),A3(-4,-1),A4(-2,3),A5(2,1),…,∴A4n+1(2,1),A4n+2(0,-3),A4n+3(-4,-1),A4n+4(-2,3),n为自然数.∵2020=505×4,∴点A2020的坐标为(-2,3).故答案为(-4,-1);(-2,3).(2)∵A2020的坐标为(-3,2),∴A2021(1,2),∴A1(1,2),∴x+y=3.(3)∵A1(a,b),∴A2(b-1,-a-1),A3(-a-2,-b),A4(-b-1,a+1),∵点A1,A2,A3,…,A n均在y轴左侧,∴0,--20且-10,--10,解得-2<a<0,-1<b<1.。
课时训练(十)一次函数的图象与性质|夯实基础|1.[2019·扬州]若点P在一次函数y=-x+4的图象上,则点P一定不在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.[2019·梧州]直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是()A.y=3x+3B.y=3x-2C.y=3x+2D.y=3x-13.[2019·枣庄]如图K10-1,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达式是()图K10-1A.y=-x+4B.y=x+4C.y=x+8D.y=-x+84.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(x1,y1),B(x2,y2),且x2=1+x1时,y2=y1-2,则k等于()A.1B.2C.-1D.-25.[2019·天津]直线y=2x-1与x轴的交点坐标为.6.[2019·无锡]已知一次函数y=kx+b的图象如图K10-2所示,则关于x的不等式3kx-b>0的解集为.图K10-27.如图K10-3,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),点B(-2,1),在x轴上存在点P到A,B两点的距离之和最小,则点P的坐标是.图K10-38.[2019·南京]已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x-3.(1)当k=-2时,若y1>y2,求x的取值范围.(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.9.如图K10-4,一次函数y=-x+m的图象与y轴交于点B,与正比例函数y=2x的图象交于点P(2,n).求:(1)m和n 的值;(2)△POB的面积.图K10-410.[2019·江西] 如图K10-5,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为-2,0,2,1,连结AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.(1)求点C的坐标;(2)求线段BC所在直线的解析式.图K10-511.[2019·重庆A卷]在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时,我们也学习了绝对值的意义:|a |= ( 0) - ( 0)结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数y= - +b 中,当x=2时,y=-4;当x=0时,y=-1. (1)求这个函数的表达式;(2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质; (3)已知函数y=12x-3的图象如图K10-6所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式|kx-3|+b ≤12x-3的解集.图K10-6|拓展提升|12.已知一次函数y=kx+b ,当 ≤x ≤4时 ≤y ≤6 则的值是 . 13.如图K10-7,点A 的坐标为(-4,0),直线y= x+n 与坐标轴交于B ,C 两点,连结AC ,若∠ACB=90° 则n 的值为 .图K10-714.已知点P (x 0,y 0)和直线y=kx+b ,则点P 到直线y=kx+b 的距离d 可用公式d=计算.例如:求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.解:因为直线y=x+1中k=1,b=1,所以点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为=2.d===2根据以上材料,解答下列问题:(1)求点P(1,1)到直线y=3x-2的距离,并说明点P与直线的位置关系;(2)求点Q(2,-1)到直线y=2x-1的距离;(3)已知直线y=-x+1与y=-x+3平行,求这两条直线之间的距离.【参考答案】1.C[解析]∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4的图象经过第一、二、四象限,即不经过第三象限.∵点P在一次函数y=-x+4的图象上,∴点P一定不在第三象限.2.D[解析]直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是:y=3x+1-2=3x-1.3.A[解析]由题可知,矩形ONPM中,ON+NP+PM+MO=8,∴OM+ON=4,设P点坐标为(x,y),则x+y=4,即y=-x+4,故选A.4.D[解析]因为一次函数y=kx+b的图象经过点A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1=kx1+b,y2=kx2+b,因为当x2=1+x1时,y2=y1-2,所以k(1+x1)+b=kx1+b-2,解得k=-2.,05.126.x<2[解析]把(-6,0)代入y=kx+b得-6k+b=0,变形得b=6k,所以3kx-b>0可化为3kx-6k>0,3kx>6k,因为k<0,所以x<2.故答案为x<2.7.(-1,0)8.解:(1)k=-2时,y1=-2x+2,根据题意得-2x+2>x-3,解得x<.(2)-4≤k≤1且k≠0[解析]当x=1时,y2=x-3=-2,把(1,-2)代入y1=kx+2,得k+2=-2,解得k=-4.∴-4≤k≤1且k≠0.x的图象上,9.解:(1)∵点P(2,n)在函数y=2×2=3.把P(2,3)的坐标代入y=-x+m,得3=-2+m,∴m=5.∴n=2(2)由(1)知一次函数为y=-x+5,令x=0,得y=5,∴点B的坐标为(0,5),×5×2=5.∴S△POB=1210.解:(1)如图所示,作BD⊥x轴于点D,∵点A ,B 的坐标分别为- 2,0, 2,1,∴AD= 2-- 2= ,BD=1,∴AB= 2 2= ( )212=2,tan ∠BAD===, ∴∠BAD= 0°.∵△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC=60° AC=AB=2,∴∠CAD=∠BAD+∠BAC= 0°+60°=90° ∴点C 的坐标为-2,2.(2)设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b , ∵点C ,B 的坐标分别为-2,2, 2,1,∴-2 221解得-2∴线段BC 所在直线的解析式为y=- x+2.11.解:(1)由题意得 2 - -4 - -1 解得2 -4故该函数解析式为y=2 - -4.(2)当x ≥2时,该函数为y=2x-7;当x ≤2时,该函数为y=-2x-1,其图象如图所示:性质:当x ≥2时,y 随x 的增大而增大;当x ≤2时,y 随x 的增大而减小. (3)不等式 - +b ≤12x-3的解集为1≤x ≤4. 12.-2或-5 13.-414.解:(1)∵d=10=0,∴点P (1,1)在直线y=3x-2上. (2)∵直线y=2x-1中k=2,b=-1, ∴点Q (2,-1)到直线y=2x-1的距离为d====4.(3)∵直线y=-x+1与y=-x+3平行,∴任取直线y=-x+1上的一点到直线y=-x+3的距离即为两直线之间的距离, ∴取直线y=-x+1上的一点M(0,1),点M到直线y=-x+3的距离d=00=1(-1)=2=2,即两直线之间的距离为2.。
课时训练(十三)二次函数的综合应用(限时:90分钟)|夯实基础|1.[2018·襄阳] 已知二次函数y=x 2-x+14m-1的图象与x 轴有交点,则m 的取值X 围是 () A .m ≤5B .m ≥2C .m<5D .m>22.二次函数y=-x 2+mx 的图象如图K13-1,对称轴为直线x=2,若关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0(t 为实数)在1<x<5的X 围内有解,则t 的取值X 围是 ()图K13-1A .t>-5B .-5<t<3C .3<t ≤4D .-5<t ≤43.[2019·某某]如图K13-2,在平面直角坐标系内,已知点A (-1,0),点B (1,1)都在直线y=12x+12上,若抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点,则a 的取值X 围是()图K13-2A .a ≤-2B .a<98C .1≤a<98或a ≤-2D .-2≤a<984.[2019·某某] 如图K13-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2-2ax+83(a>0)与y 轴交于点A ,过A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ,P 为抛物线的顶点,若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为.图K13-35.如图K13-4,四边形OABC 是边长为1的正方形,OC 与x 轴正半轴的夹角为15°,点B 在抛物线y=ax 2(a<0)的图象上,则a的值为.图K13-4(m<0) 6.[2018·日照] 在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=mm与y=x2-4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值X围为.7.已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A,B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C',我们称以A为顶点且过点C',对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC'为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.8.阅读材料:如图K13-5①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a)”,中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.种计算三角形面积的新方法:S△ABC=12图K13-5解答下列问题:如图②,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式.(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB.S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)是否存在一点P,使S△PAB=98|拓展提升|9.[2019·某某] 如图K13-6,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与函数y=2的图象交于B,C两点,△ABC为正三角形.若A点坐标为(-3,0),则此抛物线与y轴的交点坐标为()图K13-6A.0,92B.0,272C.(0,9)D.(0,19)10.[2019·潍坊]如图K13-7,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB 的周长最小时,S△PAB=.图K13-711.[2019·某某二模]如图K13-8,已知直线y=x+1与抛物线y=ax2+2x+c相交于A(-1,0)和B(2,m)两点.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点,当△PAB的面积S最大时,求此时△PAB的面积S及点P的坐标.(3)在x轴上是否存在点Q,使△QAB是等腰三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-8【参考答案】1.A[解析]∵二次函数的图象与x 轴有交点, ∴Δ=b 2-4ac=(-1)2-4×14m-1≥0,解得m ≤5.故选A .2.D[解析]如图,由图易得二次函数解析式为y=-x 2+4x.关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标,当x=1时,y=3,当x=5时,y=-5,由图象可知关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0(t 为实数)在1<x<5的X 围内有解,直线y=t 在直线y=-5和直线y=4之间(包括直线y=4),∴-5<t ≤4.3.C[解析]∵抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点,∴令12x+12=ax 2-x+1,则2ax 2-3x+1=0,∴Δ=9-8a>0,∴a<98.①当a<0时,{m +1+1≤0,m -1+1≤1,解得:a ≤-2,∴a ≤-2;②当a>0时,{m +1+1≥0,m -1+1≥1,解得:a ≥1,∴1≤a<98.综上所述,1≤a<98或a ≤-2,故选C .4.2[解析]由抛物线解析式得A 0,83,点P 的横坐标为1,根据对称关系求得M 2,83,∵M 为线段AB 的中点,∴B 4,83,设直线OB 的解析式为y=kx ,将点B 的坐标代入直线OB 的解析式中,求得其解析式为y=23x ,再由顶点坐标公式求得P 1,-a+83,代入y=23x ,可得a=2.5.-√23[解析]如图,连接OB ,过B 作BD ⊥x 轴于D ,则∠BOC=45°,∠BOD=30°.已知正方形的边长为1,则OB=√2.在Rt △OBD 中,OB=√2,∠BOD=30°,则:BD=12OB=√22,OD=√32OB=√62,故B√62,-√22,代入抛物线的解析式中,得:√622a=-√22,解得a=-√23.6.-2≤m<-1[解析]当x=1时,y=x 2-4=1-4=-3.所以第四象限内在二次函数y=x 2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).当反比例函数y=mm (m<0)的图象经过点(1,-2),即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,当反比例函数y=mm (m<0)的图象经过点(1,-1),即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有3个,∵在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,∴m 的取值X 围为-2≤m<-1.7.y=x 2-2x-3[解析]抛物线y=x 2+2x+1=(x+1)2,其顶点坐标为A (-1,0),当x 2+2x+1=2x+2时,解得x 1=-1,x 2=1,把x 2=1代入y=2x+2,得y=4,∴C'(1,4),又点C 与点C'关于x 轴对称,∴C (1,-4),即原抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为(1,-4),设该抛物线的解析式为y=a (x-1)2-4,把A (-1,0)代入,得0=4a-4,解得a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x 2-2x-3.故答案为y=x 2-2x-3.8.解:(1)设抛物线的解析式为y 1=a (x-1)2+4, 把A (3,0)代入解析式求得a=-1, 所以y 1=-(x-1)2+4=-x 2+2x+3, 设直线AB 的解析式为y 2=kx+b , 由y 1=-x 2+2x+3求得B 点的坐标为(0,3), 把A (3,0),B (0,3)代入y 2=kx+b 中, 解得:k=-1,b=3,所以y 2=-x+3. (2)因为C 点坐标为(1,4),所以当x=1时,y 1=4,y 2=2,所以CD=4-2=2,S △CAB =12×3×2=3(平方单位).(3)假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为x ,△PAB 的铅垂高为h , 则h=y 1-y 2=(-x 2+2x+3)-(-x+3)=-x 2+3x , 由S △PAB =98S △CAB ,得12×3×(-x 2+3x )=98×3, 化简得4x 2-12x+9=0,解得x=32,将x=32代入y 1=-x 2+2x+3中,解得P 点坐标为32,154.9.B[解析]设B (-3-m ,2),C (-3+m ,2)(m>0), ∴BC=2m ,过A 作AD ⊥BC 于D ,则AD=2,∠DAC=30°, ∴CD=m=2√33,∴C -3+2√33,2.设抛物线解析式为y=a (x+3)2, ∴a -3+2√33+32=2,∴a=32,∴y=32(x+3)2, 当x=0时,y=272,故选B .10.125[解析]由x+1=x 2-4x+5,得x 1=1,x 2=4,分别代入y=x+1,得y 1=2,y 2=5, ∴A (1,2),B (4,5).作点A 关于y 轴的对称点A',连接A'B 与y 轴交于点P ,此时△PAB 的周长最小,点A'的坐标为(-1,2). 设直线A'B 的函数解析式为y=kx+b ,有{-m +m =2,4m +m =5,解得{m =35,m =135,∴直线A'B 的函数解析式为y=35x+135,与y 轴的交点P 的坐标为0,135.直线y=x+1与y 轴的交点C 的坐标为(0,1),则PC=135-1=85,于是S △PAB =S △PBC -S △PAC =12×85×4-12×85×1=165-45=125. 11.解:(1)∵点B (2,m )在直线y=x+1上, ∴m=2+1=3,∴点B 的坐标为(2,3).∵点A (-1,0)和点B (2,3)在抛物线y=ax 2+2x+c 上,∴{m -2+m =0,4m +4+m =3,解得{m =-1,m =3,∴抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)如图,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,交AB 于点N ,设点P 的坐标为(m ,-m 2+2m+3), 则点N 的坐标为(m ,m+1), ∵点P 位于直线AB 上方, ∴PN=-m 2+2m+3-(m+1)=-m 2+m+2. ∴△PAB 的面积S=S △PAN +S △PBN=12×(-m 2+m+2)(m+1)+12×(-m 2+m+2)·(2-m )=12(-m 2+m+2)(m+1+2-m )=32(-m 2+m+2)=-32m-122+278,∵-32<0,∴抛物线开口向下,又-1<m<2,∴当m=12时, △PAB 的面积S 有最大值, 最大值是278. 此时点P 的坐标为12,154.(3)存在,点Q 的坐标为(-3√2-1,0)或(3√2-1,0)或(5,0)或(2,0).。
课时训练(十四)二次函数的图像与性质(限时:30分钟)|夯实根底|1.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是()A.(-1,2)B.(―1,―2)C.(1,-2)D.(1,2)2.[2021·无锡滨湖区一模] 将抛物线y=x2-4x-3向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-5)2-2C.y=(x-5)2-12D.y=(x+1)2-123.[2021·岳阳] 在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x>0)的图像如图K14-1所示,假设两个函数图像上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,那么ω的值为()图K14-1A.1B.mC.m2D.4.[2021·泸州] 二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,那么a的值为()A.1或-2B.-或C.D.15.[2021·菏泽] 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图K14-2所示,那么一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图像大致是()图K14-2 图K14-36.[2021·白银] 如图K14-4是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图像的一局部,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,关于以下说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图K14-4A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.[2021·广州] 二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而(填“增大〞或“减小〞).8.[2021·淮阴中学开明分校期中] 写出一个二次函数,使得它在x=-1时取得最大值2,它的表达式可以为.9.根据图K14-5中的抛物线可以判断:当x 时,y随x的增大而减小;当x= 时,y有最小值.图K14-510.[2021·淄博] 抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).假设B,C是线段AD的三等分点,那么m的值为.11.求二次函数y=-2x2-4x+1图像的顶点坐标,并在以下坐标系内画出函数的大致图像.说出此函数的三条性质.图K14-612.如图K14-7,抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A(-1,0),B4,,点D是抛物线上A,B两点间局部的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式;(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.图K14-7|拓展提升|13.[2021·陕西] 对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,那么这条抛物线的顶点一定在 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.[2021·安徽] 如图K14-8,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1,正方形ABCD的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间局部的长度和为y,那么y关于x的函数图像大致为()图K14-8 图K14-915.如图K14-10,在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),B(0,1),形状一样的抛物线C n(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为;抛物线C8的顶点坐标为.图K14-1016.我们把a,b中较大的数记作max{a,b},假设直线y=kx+1与函数y=max{x2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k}(k>0)的图像只有两个公共点,那么k的取值范围是.17.一次函数y=x的图像如图K14-11所示,它与二次函数y=ax2-4ax+c的图像交于A,B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图像的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标.(2)设二次函数图像的顶点为D.①假设点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式.②假设CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.图K14-11参考答案1.D2.A3.D[解析] 根据题意可得A,B,C三点中有两个在二次函数图像上,一个在反比例函数图像上,不妨设A,B两点在二次函数图像上,点C在反比例函数图像上,∵二次函数y=x2图像的对称轴是y轴,∴x1+x2=0.∵点C在反比例函数y=(x>0)图像上,∴x3=,∴ω=x1+x2+x3=.应选D.4.D[解析] 原函数可化为y=a(x+1)2+3a2-a+3,对称轴为直线x=-1,当x≥2时,y随x的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上,因为-2≤x≤1时,y的最大值为9,结合对称轴及增减性可得,当x=1时,y=9,代入可得,a1=1,a2=-2,又因为a>0,所以a=1.5.B[解析] ∵抛物线开口向上,∴a>0;∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴b<0;∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0;再由二次函数的图像看出,当x=1时,y=a+b+c<0;∵b<0,a>0,∴一次函数y=bx+a的图像经过第一,二,四象限;∵a+b+c<0,∴反比例函数y=的图像位于第二,第四象限,两个函数图像都满足的是选项B.应选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0.∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在(2,0)与(3,0)之间,得抛物线与x轴的另一个交点那么在(-1,0)到(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0.所以③错误.∵当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有:a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),所以④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在(2,0)与(3,0)之间,那么抛物线与x轴的另一个交点那么在(-1,0)到(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一局部图像位于x轴下方,说明此时y<0,同理,当-1<x<0时,也有一局部图像位于x轴下方,说明此时y<0.所以⑤错误.应选A.7.增大8.y=-(x+1)2+2(答案不唯一)9.<11[解析] 根据图像可知对称轴为直线x=(-1+3)÷2=1,所以当x<1时,y随x的增大而减小;当x=1时,y有最小值.10.2或8[解析] 易求得点A(-3,0),B(1,0),假设平移后C在A,B之间且B,C是线段AD的三等分点,那么AC=CB,此时C(-1,0),m=2;假设平移后C在B点右侧且B,C是线段AD的三等分点,那么AB=BC,此时C(5,0),m=8.11.解:∵y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,3),在y=-2x2-4x+1中,令y=0可求得x=-1±,令x=0可得y=1,∴抛物线与x轴的交点坐标为-1+,0和-1-,0,与y轴的交点坐标为(0,1),其图像如下图,其性质有:①开口向下,②有最大值3,③对称轴为直线x=-1.(答案不唯一)12.解:(1)由题意得解得:∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+.(2)设直线AB为:y=kx+n,那么有解得∴y=x+.那么D m,-m2+2m+,C m,m+,CD=-m2+2m+-m+=-m2+m+2,∴S=(m+1)·CD+(4-m)·CD=×5×CD=×5×-m2+m+2=-m2+m+5.∵-<0,∴当m=时,S有最大值,当m=时,m+=×+=,∴点C,.13.C[解析] ∵抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,∴a+2a-1+a-3>0.解得:a>1.∵-=-,==,∴抛物线顶点坐标为:-,,∵a>1,∴-<0,<0,∴该抛物线的顶点一定在第三象限.应选择C.14.A[解析] 这是一道动态问题,需要分段思考,求解关键是先确定函数解析式,再选择图像.其中,在图形运动过程中,确定三种运动状态下的图形形态是重中之重.其中关键是确定图形变化瞬间的静态图形位置,从而得到分界点,然后再思考动态时的情况,确定各种情况下的取值范围,最后求出各局部对应的函数解析式,运用函数的图像、性质分析作答.有时,直接根据各运动状态(如前后图形的对称状态带来函数图像的对称,前后图形面积的增减变化带来函数图像的递增或递减等)就能求解.∵正方形ABCD的边长为,∴AC=2.(1)如图①,当C位于l1,l2之间,0≤x<1时,设CD,BC与l1分别相交于点P,Q,那么PC=x,∴y=2x;①(2)如图②,当D位于l1,l2之间,1≤x<2时,②设AD与l1相交于点P,CD与l2相交于点Q,连接BD,作PR⊥BD于R,QS⊥BD于S.设PR=a,那么SQ=1-a,DP+DQ=a+(1-a)=,所以y=2;(3)如图③,当A位于l1,l2之间,2≤x≤3时,设AD,AB分别与l2相交于点P,Q,∵AN=3-x,∴AP=(3-x)=3-x, ∴y=6-2x.③综上所述,y关于x的函数图像大致如选项A所示.应选A.15.(3,2)55,[解析] 设直线AB的解析式为y=kx+b,那么解得∴直线AB的解析式为y=x+1.∵抛物线C2的顶点的横坐标为3,且顶点在直线AB上,∴抛物线C2的顶点坐标为(3,2).∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,∴每个数都是前两个数的和,∴抛物线C8的顶点的横坐标为55,∴抛物线C8的顶点坐标为55,.16.0<k<或k>1[解析] ①当k>1时,如图①(图中实线),设直线y=kx+1与x轴的交点C的坐标为-,0,∵<k,∴->-k,∴C在B的右侧,此时,直线y=kx+1与函数y=max{x2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k}(k>0)的图像只有两个公共点;②当k=1时,如图②(图中实线),此时,直线y=x+1与函数y=max{x2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k}(k>0)的图像有三个公共点,不符合题意;③当0<k<1时,如图③(图中实线),∵0<k<1,∴>k,∴-<-k,当y=kx+1与y=-x2-(k-1)x+k无公共点时,符合要求,∴无解,∴kx+1=-x2-(k-1)x+k无实数根,∴Δ=(2k-1)2-4(1-k)<0,∴(2k+)(2k-)<0,∵2k+>0,∴2k-<0,∴k<,∴0<k<,综上所述:0<k<或k>1.故答案为:0<k<或k>1.17.解:(1)y=ax2-4ax+c=a(x-2)2+c-4a,∴二次函数图像的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=×2=,∴C点坐标为2,.(2)①假设点D和点C关于x轴对称,那么点D坐标为2,-,CD=3.∵△ACD的面积等于3,∴点A到CD的距离为2,∴点A的横坐标为0(点A在点B左侧).∵点A在直线y=x上,∴点A的坐标为(0,0).将点A,点D坐标代入二次函数解析式可求得∴二次函数解析式为y=x2-x.②假设CD=AC,如图,设CD=AC=x(x>0).过A点作AH⊥CD于H,那么AH=AC=x,S△ACD=×CD×AH=x·x=10.∵x>0,∴x=5.D点坐标为2,或2,-,A点坐标为-2,-.将A-2,-,D2,-代入二次函数y=ax2-4ax+c中可求得∴二次函数解析式为y=x2-x-3,或将A-2,-,D2,代入二次函数y=ax2-4ax+c中,求得∴二次函数解析式为y=-x2+2x+.综上可得,二次函数关系式为:y=x2-x-3或y=-x2+2x+.。
单元测试(三)[范围:函数及其图象限时:45分钟满分:100分]一、选择题(每题5分,共35分)1.将一次函数y=x的图象向上平移2个单位,平移后,若y>0,则x的取值范围是( ) A4B. x>. x>-C.x>2D.x>-22.如图D3-1所示,在平面直角坐标系中,菱形OABC的极点C的坐标是(3,4), 则极点A,B的坐标分别是( )图D3-1A.(4,0),(7,4)B.(4,0),(8,4)C.(5,0),(7,4)D.(5,0),(8,4)3.已知某学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞翔时间t(s)知足函数表达式h=-t2+24t+1.则以下说法中正确的是( )A.点火后9s和点火后13s的升空高度同样B.点火后24s火箭落于地面C.点火后10s的升空高度为139mD.火箭升空的最大高度为145m14.若以对于x,y的二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上,则常数b=()A.B.2C.-1D.15.已知函数y=-(x-m)(x-n)(此中m<n)的图象如图D3-2所示,则一次函数y=mx+n与反比率函数y=的图象可能是()图D3-2图D3-36.如图D3-4所示,直线y=mx与双曲线y=交于A,B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连接BM,若S△ABM=2,则k的值为()图D3-4A.-2B.2C.4D.-427.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(此中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为()A.1或-2B.-或C.D.1二、填空题(每题6分,共36分)8.已知一次函数y=-5x+2,当x时,函数值y为非负数.9.已知二次函数y=x2+bx+3,此中b为常数,当x≥2时,函数值y跟着x的增大而增大,则b的取值范围是.10.一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,两车的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)之间的函数关系如图D35所示,则快车的速度为-.图D3-511.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图D3-6所示,对称轴为直线x=1,则以下结论正确的有(填序号).图D3-6abc<0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.12.如图D3-7所示,在平面直角坐标系中,四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形,点F在x轴的正半轴上,点C在边DE上,反比率函数y=(k≠0,x>0)的图象过点B,E,若AB=2,则k的值为.3图D3-713.如图D38,已知抛物线24(≠0)与反比率函数y=的图象订交于点,且B点的横坐标为3,抛物线与y轴交-y=ax-x+c a B于点(0,6),A 是抛物线24x+c的极点,P点是x轴上一动点,当最小时,P点的坐标为.C y=ax-PA+PB图D3-8三、解答题(共29分)14.(14分)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),此中m是常数.求证:无论m为什么值,该抛物线与x轴必定有两个公共点.若该抛物线的对称轴为直线x=.①求该抛物线的函数分析式;②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,获得的抛物线与x轴只有一个公共点?415.(15分)“低碳生活,绿色出行”的理念正渐渐被人们所接受,愈来愈多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中前进速度v (米分)随时间t(分)变化的函数图象大概如图D39所示,图象由三条线段/-,和构成设线段上有一动点(,0),直线l 过点T且与横轴垂直,梯形在直线l左边部分的面积即为tOAAB BC.OC Tt OABC分钟内王叔叔前进的行程s(米).(1)①当t=2分时,速度v=米/分,行程s=米;②当t=15分时,速度v=米/分,行程s=米.(2)当0≤t≤3和3<t≤15时,分别求出行程s(米)对于时间t(分)的函数表达式;(3)求王叔叔该天上班从家出刊前进了750米时所用的时间t.图D3-95精选文档6参照答案1.B2 D[分析]过点 C 作⊥于点,∵点 C 的坐标为(3,4), 故在Rt △中,5 ∵四边形 是菱形,∴ 5,.CEOAEOCE OC=.OABCOA=OC=故(5,0) 过点B 作⊥ 轴于点,在Rt △中,由5,4,得3,∴8,∴(8,4)应选DA.BFxFBAF AB=OC=BF=CE= AF= OF= B. .3.D4.B [分析] 由于以二元一次方程 x+2y-b=0的解为坐标的点 (x ,y )都在直线 y=- x+b-1上,直线分析式乘 2得 2y=-x+2b-2,变形为x+2y-2b+2=0.因此-b=-2b+2,解得b=2.5.C6.A7.D [分析] 原函数可化为 y=a (x+1)2+3a 2-a+3,对称轴为直线 x=-1,又已知当 x ≥2时,y 随x 的增大而增大,因此a>0, 抛物线张口向上 ,由于-2≤x ≤1时,y 的最大值为 9,联合对称轴及增减性可得 ,当x=1时,y=9,代入可得,a 1=1,a 2=-2,又因为a>0,因此a=1.8.≤9.b ≥-410.150km/h[分析] 设快车的速度为 a km/h,慢车的速度为 b km/h .4(a+b )=900,∵慢车抵达甲地的时间为12h,12b=900,b=75,4(a+75)=900,解得a=150.∴快车的速度为150km/h .11.①②③[分析]∵二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象张口向下,∴a<0.∵二次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴,∴c>0.7x=-=1>0,∴b>0,∴abc<0,则①正确.由二次函数图象与x 轴的右边交点横坐标为3,对称轴为直线1,x=则另一交点的横坐标为2×1-3=-1,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.∴②正确.∵对称轴为直线x=- =1,则2a+b=0.∴③正确.∵二次函数图象的张口向下,对称轴为直线x=1,∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x≥1时,y随x的增大而减小.∴④错误.故正确的有①②③.12.6+2[分析]设E(a,a),∵四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形,且AB=2,B(2,a+2),∴a2=2(a+2),a2-2a-4=0,解得a==1±,∵a>0,∴a=1+,k=a2=(1+ )2=6+2.13.( ,0)[分析]∵B点的横坐标为3,且点B在反比率函数y=的图象上,∴B(3,3).8∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)经过B,C两点,∴解得∴抛物线的分析式为246(2)22,y=x-x+=x-+∴抛物线的极点A的坐标为(2,2),∴点A对于x轴的对称点A'的坐标为(2,-2).连接A'B,设A'B所在直线的表达式为y=kx+b,则解得∴直线A'B的表达式为y=5x-12,令y=0,解得x=,∴直线A'B与x轴的交点坐标为( ,0).依据轴对称的性质和两点之间线段最短,可适当P的坐标为(,0)时,PA+PB最小.故答案为( ,0).14.解:(1)222证明:y=(x-m)-(x-m)=x-(2m+1)x+m+m,2 2Δ=(2m+1)-4(m+m)=1>0,∴无论m为什么值,该抛物线与x轴必定有两个公共点.(2)①∵x=-=,m=2,∴抛物线分析式为y=x2-5x+6.9②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后,获得的抛物线与x轴只有一个公共点,则平移后抛物线的分析式为y=x2-5x+6+k,∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点,Δ=52-4(6+k)=0,∴k=.即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,获得的抛物线与x轴只有一个公共点.15.解:(1)①由题中图象可知3分钟内速度由0米/分增添到300米/分,每分钟增添100米,故当t=2分时,速度v=200米/分,此时行程s=×2×200=200(米).故应填200,200.②由题中图象可知当t=15分时,速度300米分,行程s=×(15-315)×3004050(米).v=/+=故应填300,4050.(2)①当0≤t≤3时,设直线OA的函数表达式为v=kt,由图象可知点A(3,300),300=3k,解得k=100,则v=100t.如图,设l1与OA的交点为P,与横轴的交点为T1,则P(t,100t),∴s==·t·100t=50t2.②当3<t≤15时,设l2与AB的交点为Q,则Q(t,300),10精选文档∴s==(t-3+t)·300=300t-450.(3)∵当0≤t≤3时,s最大=50×32=450<750,当3<t≤15时,450<s≤4050,∴令750=300t-450,解得t=4.∴王叔叔该天上班从家出刊前进了750米时用了4分.1111。
(十四) 二次函数的图象与性质(二)|夯实基础|1.抛物线y=2x2-1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.32.若二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=73.[2018·宁波]如图K14-1,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P,若点P的横坐标为-1,则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是 ()图K14-1图K14-24.如图K14-3,已知二次函数y12的图象与正比例函数y2的图象交于点A(3,2),与x轴交于点B(2,0),若0<y1<y2,则x的取值范围是()图K14-3A.0<x<2B.0<x<3C.2<x<3D.x<0或x>35.[2017·成都]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-4所示,下列说法正确的是()图K14-4A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<06.[2017·舟山]下列关于函数y=x2-6x+10的四个命题:①当x=0时,y有最小值10;②n为任意实数,x=3+n时的函数值大于x=3-n时的函数值;③若n>3,且n是整数,当n≤x≤n+1时,y的整数值有(2n-4)个;④若函数图象过点(a,y0)和(b,y0+1),其中a>0,b>0,则a<b.其中真命题的序号是()A.①B.②C.③D.④7.[2018·贵港]如图K14-5,抛物线x+2)·(x-8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径作☉D,下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=3;②☉D的面积是16π;③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形;④直线CM与☉D相切.其中正确结论的个数是()图K14-5A.1B.2C.3D.48.[2018·孝感]如图K14-6,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c 的解是.图K14-69.[2018·德阳]已知函数y=a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为.10.[2018·新疆]如图K14-7,已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x.我们规定:当x取任意一个值时,x对应的函数值分别为y1和y2.若y1≠y2,取y1和y2中较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.①当x>2时,M=y2;②当x<0时,M随x的增大而增大;③使得M大于4的x的值不存在;④若M=2,则x=1.上述结论正确的是(填写所有正确的结论序号).图K14-711.[2018·日照]在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数m<0)与y=x2-4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为.12.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.13.自主学习,请阅读下列解题过程.解一元二次不等式x2-5x>0.解:令x2-5x=0,解得x1=0,x2=5,则抛物线y=x2-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次函数y=x2-5x的大致图象(如图K14-8所示),由图象可知,当x<0或x>5时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-5x>0,所以一元二次不等式x2-5x>0的解为x<0或x>5.通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:(1)上述解题过程中,渗透了下列数学思想中的和;(只填序号)①转化思想;②分类讨论思想;③数形结合思想.(2)一元二次不等式x2-5x<0的解为.(3)用类似的方法解一元二次不等式x2-2x-3>0.图K14-814.[2018·菏泽]如图K14-9,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.图K14-9|拓展提升|15.[2018·杭州] 四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c为常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁16.如图K14-10所示,将二次函数y=x2-m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+b的图象记为y2,则以下说法:图K14-10(1)当m=1,且y1与y2恰好有三个交点时,b有唯一值为1;(2)当b=2,且y1与y2恰有两个交点时,m>4或0(3)当m=b时,y1与y2至少有两个交点,且其中一个为(0,m);(4)当m=-b时,y1与y2一定有交点.其中正确说法的序号为.17.[2018·邵阳] 如图K14-11所示,将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折,然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A,函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为B,和x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧).(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式.(2)从A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形,求构造的三角形是等腰三角形的概率.(3)若点M是线段BC上的动点,点N是△ABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的Rt△AMN,使△AMN的面积是△ABC若存在,求tan∠MAN的值;若不存在,请说明理由.图K14-11参考答案1.C2.D[解析] ∵二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,∴3,解得m=-6,∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解得x1=-1,x2=7.故选D.3.D4.C5.B[解析] 由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,则a>0;与y轴交点在y轴的负半轴上,则c<0;对称轴在y轴的右侧,则0,所以b<0,所以abc>0;图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0.故选B.6.C[解析] 因为y=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时,y有最小值1,故①错误;n为任意实数,当x=3+n 时,y=(3+n-3)2+1=n2+1,当x=3-n时,y=(3-n-3)2+1=n2+1,所以两函数值相等,故②错误;若n>3,且n是整数,当n≤x≤n+1时,令x=n,则y1=(n-3)2+1=n2-6n+10;令x=n+1,则y2=(n+1-3)2+1=n2-4n+5.由于y2-y1=2n-5,所以y的整数值的个数是2n-5+1=2n-4(个),故③正确;由二次函数的图象知④错误.故选C.7.B[解析] 抛物线x+2)(x-8)与x轴交于A,B两点,可知A(-2,0),B(8,0),所以D(3,0),所以抛物线的对称轴是直线x=3,即①正确;由于☉D的半径为5,所以它的面积为25π,所以②不正确;过C作CE∥AB,交抛物线于点E,则E(6,-4),此时CE=6>5=AD,因此在抛物线上不可能存在点E,使四边形ACED为平行四边形,故③错误;在x+2)(x-8)中,当x=0时,y=-4,所以C点的坐标为(0,-4),因此5,即C在☉D上,易得M3,,所以所以DC2+CM22,所以DC⊥CM,所以直线CM与☉D相切,故④正确.综上,有2个正确,故选B.8.x1=-2,x2=19.2[解析] 画出函数的图象,要使y=a成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=a这条直线有3个交点,则a=2.10.②③[解析] 根据规定并结合图形易知,x>2时,M=y1,故①错误;易知当x<2时,y1和y2都随x的增大而增大,从而当x<0时,y1和y2都随x的增大而增大,故x<0时,M随x的增大而增大,从而②正确;∵y1=-x2+4x=-(x-2)2+4,即当x=2时,y1的最大值为4.∴使得M大于4的x的值不存在.于是③正确;由图可知,M=2,对应的x的值有两个,故④错误.综上,答案为②③.11.-2≤m<-1[解析] ∵y=x2-4,∴当x=0时,y=-4,当y=0时,x=±2,当x=1时,y=-3,∴抛物线y=x2-4在第四象限内的部分是(0,-4)到(2,0)这一段曲线部分,∵双曲线m<0)与抛物线y=x2-4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,∴整点为(1,-3)和(1,-2).解得-2≤m<-1.12.解:(1)证明:联立两个函数表达式,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连结AO,BO,联立两个函数表达式,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1x2=1设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOCOC·|x A OC·|x B OC·|x A-x B1×13.解:(1)①③(2)由图象可知当0<x<5时函数图象位于x轴下方,此时y<0,即x2-5x<0,∴一元二次不等式x2-5x<0的解为0<x<5.故答案为0<x<5.(3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,∴抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为(3,0)和(-1,0),画出二次函数y=x2-2x-3的大致图象(如图所示),由图象可知,当x<-1或x>3时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-2x-3>0,∴一元二次不等式x2-2x-3>0的解为x<-1或x>3.14.[解析] (1)代入B(-5,0)和C(1,0),得出关于a,b的方程组,解方程组即可得出抛物线的解析式;(2)由轴对称的性质得出点E到AD的距离,把y=-5代入抛物线的表达式,得出AD的长,利用三角形面积公式求出△EAD的面积;(3)作PQ∥y 轴,交直线AB于点Q,先求出直线AB的表达式,设点P的横坐标为m,则P(m,m2+4m-5),Q(m,-m-5),然后表示出PQ的长;再设△ABP的面积为S,求出S关于m的二次函数,利用配方法求出S的最大值及点P的坐标.解: (1)把B(-5,0)和C(1,0)代入y=ax2+bx-5,得∴抛物线的表达式为y=x2+4x-5.(2)∵A(0,-5),AD∥x轴,点E关于x轴的对称点在直线AD上,∴点E的纵坐标为5,∴点E到直线AD的距离为10.把y=-5代入y=x2+4x-5,得-5=x2+4x-5,解得x1=-4,x2=0,∴D(-4,-5),AD=4.∴S△EAD4×10=20.(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,把B(-5,0)和A(0,-5)代入,得∴直线AB的表达式为y=-x-5.设点P的坐标为(m,m2+4m-5),作PQ∥y轴,交直线AB于点Q,∴Q(m,-m-5).∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,∴PQ=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m.设△ABP的面积为S,则S=S△APQ+S△BPQ(-m2-5m)×(-m)(-m2-5m)×(m+5)2∴当,S最大,即当点P为时,△ABP的面积最大,15.B[解析] 甲:1,b=-2;乙∶1-b+c=0;丙3,4c-b2=12;丁:4+2b+c=4.若甲错,,不成立,不合题意;若乙错,,成立,符合题意;若丙错,,不成立,不符合题意;若丁错,,不成立,不合题意.16.(2)(3)[解析] 根据题意,y1(1)中,当m=1时,由于y1与y2恰好有三个交点,故有两种可能:一是直线y=x+b过点(-1,0)且与抛物线y=-x2+1相交,解得b=1;二是直线y=x+b与抛物线y=-x2+1有且仅有1个交点,且与抛物线y=x2-1有两个交点,解得故(1)不正确.(2)中,要使y1与y2恰有两个交点,有两种情况:一是直线y=x+2与y=-x2+m没有交点,令x2+x+2-m=0,由12-4(2-m)<0,得则0二是直线y=x+2与x轴的交点横坐标x满足即2解得m>4,故(2)正确.(3)中,由(0,m),(-1,m-1),故(3)正确.(4)中,直线y=x-m恒过点(0,-m),将y=x-m,得y=-m,显然不一定大于或等于0,即y1与y2不一定有交点,故不正确.17.[解析] (1)根据函数图象的平移与解析式变化的规律,得到函数y=ax2+bx+c图象的顶点B的坐标,根据函数图象的开口确定a值,即可求出函数解析式;(2)列出从A,C,D中选出两点和B点构成三角形的情况以及其中是等腰三角形的情况,进而可得所求的概率;(3)分点N在BC,AC,AB上三种情况进行讨论,利用面积或相似三角形的知识求出AN,MN的长,进而求出tan∠MAN的值.解:(1)∵y=x2+2x+1,∴顶点A(-1,0).将原函数图象沿x轴翻折然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位,可得函数y=ax2+bx+c的图象的顶点B(0,4),a=-1.即所求的函数解析式为y=-x2+4.(2)∵函数y=-x2+4的图象与x轴的交点为点C,D,∴当y=0时,-x2+4=0,解得x=±2.∵点D位于点C的左侧,∴C(2,0),D(-2,0).由(1)可知B(0,4).由题意可得,从A,C,D中选出两点和点B构成三角形的所有情况有:△ACB,△ADB,△BCD,共3种结果,其中符合等腰三角形的是△BCD,∴构造的三角形是等腰三角形的概率(3)由(1)(2)可知A(-1,0),B(0,4),C(2,0),∴S△ABC·OB=6,∴S△AMN△ABC=2,即MN·AN=4.①当点N在BC上时,如图①,∵AN⊥BC,··OB=6.∵∠BOC=90°,∴OB2+OC2=BC2,又∵OB=4,OC=2,∴∴∵MN·AN=4,∴∴tan∠②当点N在AC上时,如图②,∵MN⊥x轴,∴MN∥y轴.∴△MNC∽△BOC.设AN=x,则NC=3-x,又∵OB=4,OC=2,解得x1=1,x2=2.因此,当x=1时,AN=1,MN=4,tan∠MAN=4.当x=2时,AN=2,MN=2,tan∠MAN=1.③当点N在AB上时,如图③,过点C作CH⊥AB于点H,∵MN⊥AB,∴MN∥CH.∴△BMN∽△BCH,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∴OA2+OB2=AB2,又∵OA=1,OB=4,∴∵S△ABC·CH=6,∴设AN=x,则,在Rt△BCH中,∠BHC=90°,∴BH2+CH2=BC2.∴整理得3x2-3x+14=0.∵Δ=(-2-4×3×14<0,∴不符合题意.综上,tan∠tan∠MAN=4或tan∠MAN=1.。
课时训练(九) 平面直角坐标系及函数|夯实基础|1.[2017·淮安] 点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是()A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,1)2.[2018·无锡] 函数y=中自变量x的取值范围是()A.x≠-4B.x≠4C.x≤-4D.x≤43.如图K9-1,在正方形网格中建立平面直角坐标系,已知A(0,2),B(1,1),则点C的坐标为()图K9-1A.(1,-2)B.(1,-1)C.(2,-1)D.(2,1)4.[2018·济宁] 如图K9-2,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为(-1,0),AC=2.将Rt△ABC先绕点22 C 顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则变换后点A 的对应点坐标是 ()图K9-2A .(2,2)B .(1,2)C .(-1,2)D .(2,-1)5.[2018·咸宁] 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟.在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的关系如图K9-3所示,下列结论:图K9-3①甲步行的速度为60米/分; ②乙走完全程用了32分钟; ③乙用16分钟追上甲;④乙到达终点时,甲离终点还有300米. 其中正确的结论有 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图K9-4,这是某学校平面示意图的一部分,分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系,规定3一个单位长度表示200米.甲、乙两人对着示意图描述教学楼A 的位置.图K9-4甲:教学楼A 的坐标是(2,0).乙:教学楼A 在图书馆B 的南偏西30°方向,相距800米处.则图书馆B 的坐标是 .7.[2018·龙东地区] 在函数y=中,自变量x 的取值范围是 .8.如图K9-5,已知点P x+1,3x-8的横、纵坐标恰好为某个正数的两个平方根.(1)求点P 的坐标;(2)在图中建立平面直角坐标系,并分别写出点A ,B ,C ,D 的坐标.图K9-59.在某河流的北岸有A ,B 两个村子,A 村距河北岸的距离为1千米,B 村距河北岸的距离为4千米,且两村相距5千米,B 在A 的右边,现以河北岸为x 轴,A 村在y 轴正半轴上.(网格中每个小正方形的边长均表示1千米)(1)请建立平面直角坐标系,并描出A ,B 两村的位置,写出其坐标.(2)近几年,由于乱砍滥伐,生态环境受到破坏,A ,B 两村面临缺水的危险.两村商议,共同在河北岸修一个水泵站,向44 两村各铺一条水管,要使所用水管最短,水泵站应修在什么位置?在图中标出水泵站的位置,并求出所用水管的长度.图K9-6|拓展提升|10.在平面直角坐标系中有三个点:A (1,-1),B (-1,-1),C (0,1),点P (0,2)关于A 的对称点为P 1,P 1关于B 的对称点为P 2,P 2关于C 的对称点为P 3,按此规律继续以A ,B ,C 为对称中心重复前面的操作,依次得到P 4,P 5,P 6,…,则点P 2017的坐标是( )A .(0,0)B .(0,2)C .(2,-4)D .(-4,2)11.我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图K9-7①所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图②,图③,…5图K9-7(1)观察图K9-7的图形并完成下表:猜想:在图ⓝ中,特征点的个数为 (用含n 的代数式表示);(2)如图K9-8,将图ⓝ放在平面直角坐标系中,设第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1,2),则x 1= ;图的对称中心的横坐标为 .图K9-812.如图K9-9,在平面直角坐标系中,已知点A (2,3),B (6,3),连结AB.如果线段AB 上有一个点与点P 的距离不大于1,那么称点P 是线段AB 的“环绕点”.试判断点C (3,1.5),D (3.8,3.6)是否是线段AB 的“环绕点”,并说明理由.图K9-96 67参考答案1.C [解析] 关于y 轴对称的点的坐标规律是“横坐标互为相反数,纵坐标不变”,可知点P (1,-2)关于y 轴对称的点的坐标是(-1,-2).2.B3.C4.A [解析] 将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则图形中的点A 也先绕点C 顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,点A 绕点C 顺时针旋转90°后对应点的坐标为(-1,2),再向右平移3个单位长度后对应点的坐标为(2,2),因此,本题选A .5.A [解析] 由题图可得,甲步行的速度为:240÷4=60(米/分),故①正确.乙走完全程用的时间为:2400÷(16×60÷12)=30(分钟),故②错误.乙追上甲用的时间为16-4=12(分钟),故③错误.乙到达终点时,甲离终点的距离是:2400-(4+30)×60=360(米),故④错误.故选A .6.(4,2)7.x ≥-2且x ≠08.解:(1)依题意得,x+1+3x-8=0, 解得x=2,故P (2,-2). (2)建立坐标系如图所示,由图可知A (-3,1),B (-1,-3),C (3,0),D (1,2). 9.解:(1)如图,点A (0,1),点B (4,4).88(2)作A 关于x 轴的对称点A',连结A'B 交x 轴于点P ,则P 点即为水泵站的位置,P点坐标为,0,PA+PB=PA'+PB=A'B.过B ,A'分别作x 轴、y 轴的垂线相交于E ,作AD ⊥BE ,垂足为D ,则BD=3, 在Rt △A'BE 中,由A'E=4,BE=5,得A'B==,故所用水管最短长度为千米.10.C [解析] 点P (0,2)关于A 的对称点为P 1(2,-4),P 1关于B 的对称点为P 2(-4,2),P 2关于C 的对称点为P 3(4,0),…,按此规律继续以A ,B ,C 为对称中心重复前面的操作,依次得到P 4(-2,-2),P 5(0,0),P 6(0,2),∵2017÷6=336……1,则点P 2017的坐标是(2,-4),故选C .11.(1)22 5n+2 (2)201712.解:由“环绕点”的定义可知点P 到线段AB 的距离d 应满足d ≤1. ∵A ,B 两点的纵坐标都是3,∴AB ∥x 轴, ∴点C 到线段AB 的距离为|1.5-3|=1.5>1, 点D 到线段AB 的距离为|3.6-3|=0.6<1,∴点C 不是线段AB 的环绕点,点D 是线段AB 的环绕点.9。
初三数学函数与图像练习题及答案一、选择题1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2 + 1B. y = |x|C. y = x^3 + 2xD. y = sin(x)答案：B2. 函数y = 2x - 5在x = 3处的函数值为（）A. -1B. 1C. -5D. 1答案：A3. 若函数的定义域为[-2, 2]，则函数y = |x| + 1的值域为（）A. [0, 3]B. [1, 2]C. [-1, 2]D. [1, 3]答案：D4. 数集S = {x | -3 ≤ x ≤ 3}，则数集S的平均数为（）A. 3B. 0C. -3D. 1答案：B二、填空题1. 设函数y = f(x)，若f(-2) = 4，f(0) = 1，则f(x)的导数f'(x) =_______。
答案：-32. 若函数y = f(x)的图像关于x轴对称，则f(x)是一个_________函数。
答案：偶3. 函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴交于两个点，且这两个点的横坐标之和为-3，则a + b + c = _______。
答案：-3三、计算题1. 设函数y = f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。
解：将x = -1代入函数y = 2x^2 - 3x + 1中，得到：f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1= 2 - (-3) + 1= 2 + 3 + 1= 6所以f(-1)的值为6。
2. 函数y = f(x)的图像经过点P(1, 3)，且过点P的切线斜率为4，求函数f(x)的表达式。
解：由题意得，函数f(x)在点P(1, 3)处的导数为4，即f'(1) = 4。
设f'(x) = a，则有f'(1) = a = 4。
对f(x)进行求导，得到f'(x) = 4，则f(x) = 4x + b。
将点P(1, 3)代入函数f(x)中，得到：3 = 4(1) + b= 4 + b∴ b = 3 - 4 = -1所以函数f(x)的表达式为f(x) = 4x - 1。
课时训练(十)函数及其图象(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2016·海淀二模] 随着“互联网+”时代的到来,一种新型的打车方式受到大众欢迎.该打车方式采用阶梯收费标准.打车费用y(单位:元)与行驶里程x(单位:千米)的函数关系如图K10-1所示.如果小明某次打车行驶里程为20千米,则他的打车费用为()图K10-1A.32元B.34元C.36元D.40元2.[2018·平谷中考统一练习]“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图K10-2所示,表示了寓言中的龟、兔经过的路程S和时间t的关系(其中直线段表示乌龟,折线段表示兔子).下列叙述正确的是()图K10-2A.赛跑中,兔子共休息了50分钟B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C.兔子比乌龟早到达终点10分钟D.乌龟追上兔子用了20分钟那么函数y=2★x的图象大致是3.[2019·丰台期末]对于不为零的两个实数a,b,如果规定:a★b=-()图K10-34.爷爷在离家900米的公园锻炼后回家,离开公园20分钟后,爷爷停下来与朋友聊天10分钟,接着又走了15分钟回到家中.下列图象中表示爷爷离家的距离y(米)与离开公园的时间x(分)之间的函数关系的是()图K10-45.如图K10-5,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C 的路线,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动停止,连接PQ,设运动时间为x s △APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是()图K10-5图K10-66.[2017·通州一模] 函数y=-1自变量x的取值范围是.7.[2018·海淀二模]小明对某市出租车的计费问题进行研究,他搜集了一些资料,部分信息如下:小明首先简化模型,从简单情形开始研究:①只考虑白天正常行驶(无低速和等候 ;②行驶路程3千米以上时,计价器每500米计价1次,且每1千米中前500米计价1.2元,后500米计价1.1元.下面是小明的探究过程,请补充完整:记出租车一次运营行驶的里程数为x(单位:千米),相应的实付车费为y(单位:元).(1)下表是y随x的变化情况:图K10-7(3)一次运营行驶x千米(x>0)的平均单价记为w(单位:元/千米),其中w=.①当x=3,3.4和3.5时,平均单价依次为w1,w2,w3,则w1,w2,w3的大小关系是;(用“<”连接)②若一次运营行驶x千米的平均单价w不大于行驶任意s(s≤x)千米的平均单价w s,则称这次行驶的里程数为幸运里程数.请在上图中x轴上表示出3~4(不包括端点)范围内的幸运里程数x的取值范围.8.[2019·燕山一模]如图K10-8,等边三角形ABC的边长为3 cm,点N在AC边上,AN=1 cm.△ABC边上的动点M从点A出发,沿A→B→C运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为x cm,MN的长为y cm.图K10-8小西根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小西的探究过程,请补充完整:(1)通过取点、画图、测量,得到了y与x的几组对应值;图K10-9(3)结合函数图象,解决问题:当MN=2 cm时,点M运动的路程为cm.|拓展提升|9.[2019·朝阳二模]小明使用图形计算器探究函数y=的图象,他输入了一组a,b的值,得到了下面的函数-2图象,由学习函数的经验,可以推断出小明输入的a,b的值满足()图K10-10A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0【参考答案】1.B2.D3.C[解析]由题意可得,当2<x,即x>2时,y=2+x,y是x的一次函数,图象是一条除去端点的射线,故A,D选项错误;当2≥x,即x≤2时,y=-,y是x的反比例函数,图象是双曲线,分布在第二、四象限,其中在第四象限时,0<x≤2 故选项B错误.4.B5.A[解析]如图 ①当0≤x≤2时,∵正方形的边长为2 cm,∴y=S△APQ=AQ·AP=x2;②当2≤x≤4时,y=S△AP'Q'=S正方形ABCD-S△CP'Q'-S△ABQ'-S△AP'D=2×2-(4-x)2-×2×(x-2)-×2×(x-2)=-x2+2x,∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示,只有A选项图象符合,故选A.6.x≥17.解:(1)(2)如图所示.3 ①w2<w3<w1.②如上图所示.8.解:本题答案不唯一,如:(1)(2)(3)2.3或4或6.9.A。
课时训练(十五) 二次函数的应用|夯实基础|1.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-2t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 ()A.3 sB.4 sC.5 sD.10 s2.如图K15-1①所示,河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图K15-1②所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB为()图K15-1A.-20 mB.10 mC.20 mD.-10 m3.[2017·西宁] 如图K15-2所示,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时两点运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()22图K15-2图K15-34.[2018·绵阳] 如图K15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m 时,水面宽4 m,水面下降2 m,水面宽度增加m .图K15-45.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图K15-5所示的三处各留1 m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为 m 2.图K15-56.[2017·潍坊] 工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计).(1)在图K15-6中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm 2时,裁掉的正方形边长多大?3(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?图K15-67.[2018·衡阳] 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价为10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系如图K15-7所示.(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?44图K15-78.[2018·温州] 如图K15-8,抛物线y=ax 2+bx (a ≠0)交x 轴正半轴于点A ,直线y=2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x 轴于点B.(1)求a ,b 的值.(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连结OP ,BP.设点P 的横坐标为m ,△OBP 的面积为S ,记K=,求K 关于m 的函数表达式及K 的范围.图K15-8|拓展提升|9.[2018·烟台] 如图K15-9①,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C,D.(1)求直线和抛物线的表达式.(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值.(3)如图②,将直线BD沿y轴向下平移4个单位长度后,与x轴,y轴分别交于E,F两点.在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-956 6参考答案1.C2.C[解析] 根据题意知,点B的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-x2,得x=±10,∴A(-10,-4),B(10,-4),∴AB=20 m.即水面宽度AB为20 m.故选C.3.A[解析] 当M在AB上移动,N在DC上移动时,△AMN的面积为y=×3x=x(0≤x ≤).当M在AB上移动,N在BC上移动时,y=·x·(6-2x)=-x2+3x (<x≤3),故选A.4.(4-4)[解析] 建立如题所示的平面直角坐标系,则易知C坐标为(0,2),A点坐标(-2,0),设抛物线关系式为y=ax2+2,因为点A(-2,0)在抛物线上,代入可得a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,当水面下降2 m,即取y=-2,把y=-2代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2,解得x=±2,故水面此时的宽度为4 m,比原先增加了(4-4)m.5.75[解析] 设垂直于现有墙的最左侧墙体长为x米,则平行于现有墙的墙体(包括门)长为27+3-3x=30-3x(米),则饲养室总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,当x=5时,符合要求,故饲养室的最大面积为75 m2.故答案为75.6.解:(1)如图所示:788设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得 (10-2x )(6-2x )=12, 即x 2-8x+12=0, 解得x 1=2,x 2=6(舍去).所以当裁掉的正方形的边长为2 dm 时,长方体底面面积为12 dm 2. (2)因为长不大于宽的5倍,所以10-2x ≤5(6-2x ),所以0<x ≤2.5. 设总费用为w 元,由题意可知w=0.5×2x (16-4x )+2(10-2x )(6-2x )=4x 2-48x+120=4(x-6)2-24.因为图象开口向上,对称轴为直线x=6, 所以当0<x ≤2.5时,w 随x 的增大而减小, 所以当x=2.5时,w min =25.所以当裁掉边长为2.5 dm 的正方形时,总费用最低,最低为25元. 7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b , 把(10,30),(16,24)代入,得解得∴y 与x 之间的函数关系式为y=-x+40(10≤x ≤16). (2)W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,对称轴为直线x=25,在对称轴的左侧,W随着x的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W最大,最大值为144.即当每件的销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.8.解:(1)将x=2代入y=2x得y=4,∴M(2,4).由题意得-=2,4a+2b=4,∴a=-1,b=4.(2)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵点P的横坐标为m,抛物线的函数表达式为y=-x2+4x,∴PH=-m2+4m.∵B(2,0),∴OB=2,∴S=OB·PH=×2×(-m2+4m)=-m2+4m,∴K==-m+4.由题意得A(4,0),91010 ∵M (2,4),∴2<m<4. ∵K 随着m 的增大而减小, ∴0<K<2.9.解:(1)∵A (-4,0),B (1,0), ∴设y=a (x+4)(x-1), ∴y=ax 2+3ax-4a ,∴3a=2,∴a=,∴抛物线的表达式为y=x 2+2x-.把B (1,0)的坐标代入y=kx+,可得k=-,∴直线的表达式为y=-x+.(2)t=或或.解析:∵y=-x+,∴C (0,),∴OC=.由得x 2+2x-=-x+, ∴x 2+4x-5=0, 解得x 1=-5,x 2=1.当x=-5时,y=+=4,∴D (-5,4).11Ⅰ)若∠DPC=90°,如图①,作DH ⊥x 轴于H.∴∠1+∠2=90°=∠3+∠2,∴∠1=∠3,∴tan ∠1=tan ∠3.∵P (-t ,0),∴PH=5-t ,OP=t ,∴=,∴3t 2-15t+8=0,∴t=.Ⅱ)过D 作P 1D ⊥CD ,如图②,过D 作MN ∥x 轴,过P 1作P 1M ⊥MN ,可证∠1=∠2,∴tan ∠1=tan ∠2. ∴=, ∴=,∴t=.Ⅲ)过C 作P 2C ⊥CD ,如图②,可证∠1=∠P 2CO ,∴tan ∠1=tan ∠P 2CO ,∴=,∴=,∴t=.综合上述:t=或或.(3)存在.由题意,得直线EF的解析式为y=-x-.∴E(-5,0),F(0,-).∴OE=5,OF=.∴EF==.∵-=-,∴抛物线的对称轴为直线x=-.作点D(-5,4)关于直线x=-对称的点D',∴D'(2,4).过D'作D'N⊥EF,垂足为N,交抛物线对称轴于点M,连结DM.∵DM+MN=D'N,根据垂线段最短,∴此时DM+MN的值最小.过D'作D'G∥y轴交EF于点G,设G(2,n),将其代入y=-x-中,得n=-.∴G(2,-).∴D'G=.∵∠EFO=∠D'GN,∠EOF=∠D'NG=90°,∴△EOF∽△D'NG.∴=,∴D'N=2.即DM+MN的最小值为2.1212作NH⊥D'G,垂足为H.∵∠ND'H=∠GD'N,∠NHD'=∠D'NG=90°,∴△NHD'∽△GND'.∴D'N2=D'H·D'G,∴D'H=6.∴H(2,-2).设N(x,-2),将其代入y=-x-中,得x=-2.∴N(-2,-2).设直线D'N的解析式为y=k1x+b,∴∴y=x+1.将x=-代入上式,得y=-.∴M(-,-).13。
