3.3——概率论课件PPT

例6 设X～U(0,1), 求Y=ax+b的概率密度(a≠0)。
y b ， 解: Y=ax+b关于x严单, 其反函数为 h( y ) a
y b 1 故 fY ( y) f [h( y)] | h( y) | f X ( ) a a
1 0 x 1 而 f X ( x) 0 others
a X
i 1 i
n
i
~ N ( ai i , ai2 i2 )
i 1 i 1
n
n
EX 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X (kg)服从
N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000 kg, 问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超 过0.05。
解:设最多装 n袋水泥，Xi为第i袋水泥的重量。 n 2 X ~ N ( 50 n , 2 . 5 n), 则 i 由题意有：P{ X i 2000 } 0.05
FM ( z ) Fi ( z ),
i 1
则，M 和 N 的分布函数分别为： n n
i 1
FN ( z ) 1 [1 Fi ( z )]
特别地，当X1, X2, …, Xn独立同分布时，有
FM(z)＝[F(z)] ; FN(z)＝1－[1－F(z)] .
进一步，若X1, X2, …, Xn独立同分布，其公共密度 为f (x)，则M和N的密度函数可由以下二式表出

y
f Z ( z)
或
f
X
( x) f Y ( z x)dx
x+y z
x+y=z x
＝ f X ( z y ) f Y ( y ) dy

EX 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，

f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P{ X
1 |Y
0}
P{ X
1 ,Y 2
0}
2
P{Y 0} y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
12
条件分布
例 设二维随机变量 (X ,Y )服从正态分布,即有
X， Y ~
N
1，
2，
2，
1
2，
0 x y 1,
所以,当0<y<1时
0,
其 它.
fY y
f
x，
ydx
y
0
1 1 x
dx
ln1
y
y.
所以,随机变量Y的密度函数为
1
fY
y
ln1
0,
y,
0 y 1, 其 它.
0
1x
16
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论 二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即
N
1
1 2
y
2
，
2 1
1 2
14
条件分布
例 设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,当 0<x<1时,随机变量Y在X=x的条件下服从区间(x,1) 上的均匀分布,试求随机变量Y的密度函数.

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|

55
同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
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返回
二、连续型随机变量的条件分布
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
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返回
lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
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例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y

频率
频数
4.概率 （1）定义：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数 的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)会稳定在某个常数上， 把这个常数记为 P(A)，称它为事件 A 的概__率__. （2）由概率的定义可知，事件 A 的概率可以通过大量 的重复试验后，用频率值估计概率. （3）必然事件的概率为_1_，不可能事件的概率为_0_， 因此概率的取值范围是[_0_,_1_] .
【变式与拓展】 3.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：
投篮次数 n/次 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m/次 6 8 12 17 25 32 38
(1)填写表中的进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？ 解：(1)从左到右依次填：0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76. (2)由于进球频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球 的概率约是 0.8.
第三章 概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
1.事件的分类 (1)确定事件： ①必然事件：在条件 S 下，_一__定__会__发__生_的事件； ②不可能事件：在条件 S 下，_一__定__不__会__发__生_的事件. 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (2)随机事件： 在条件 S 下，_可__能__发__生__也__可__能__不_发__生__的事件. 确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B， C…表示.
(B ) A.3 个都是男生
B.至少有 1 个男生
C.3 个都是女生
D.至少有 1 个女生
2.抛掷一枚骰子两次，请就这个试验写出一个随机事件： 两__次__的__点__数__都__是__奇__数__，一个必然事件：_两__次__点__数__之__和__不__小__于__2_， 一个不可能事件：_两__次__点__数__之__差__的__绝__对__值__等__于___6__.

1, n1
m=1,2, …,n-P{X m,Y n}
P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1 p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布
1. 条件分布函数
在讨论二维连续型随机变量(X,Y)的条件分布时，
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某 些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是所谓的条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随
机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和
身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定
的概率分布.
身高Y
体重X
的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下 去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学 生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑 出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.
例如：P( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P(Y y j | X xi ) 1
(1)
P{ X
j 1
xi |Y
yj}
pij p• j
0,
P{Y
yj
|
X
xi }
pij pi•
0,
(2)
P{Y
j 1
yj | X
xi }
j 1
pij pi•
1 pi•
j 1
y x
( f (u,v)d u)d v
lim 0
x x
fX (u)d u
x y
f (x,v)dv
y
f (x,v) dv

F () =P X P 0
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)

P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X

x1}

P


xn1
X

xn



n1


P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)

F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )

由定义可得，对于d .r.v.X ,若P( X xn ) pn , n 1,2,
DX ( xn EX )2 pn
n1
对于c.r.v. X ,若p.d. f .为 f ( x), DX ( x EX )2 f ( x)dx
由于方差是r.v.( X EX )2的期望，因此方差 DX
也是一个确定的常数，并且 DX 0
D( X Y ) D( X ) D(Y )
此性质可以推广到有限多个相互独立的随机 变量之和的情况.
三、Chebyshev不等式
定理 4 设随机变量 X的期望 EX和方差 DX都存在，
对于任何常数 0，有P( X
EX
)
DX 2
或者
DX P( X EX ) 1 2
注1： Chebyshev不等式给出了大 偏差发生的概率的上界， 方差愈大则上界愈大。
2 3
0 x2 ( x)dx
1
1 x2 xdx 1
0
2
这与我们对分布的直观 认识是一致的
例 6：设c.r.v.X
~
f (x)
1
xb
e a,
2a
求数学期望 EX和方差 DX
解：
EX
xf
( x)dx
x 2a
e
xb a
dx
1 2a
b
xe
xb
a dx
1 2a
b
b x
xe a dx
1 (b a) 1 (b a) b
X2 2 1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
EX1 EX2 0, 但显然， 甲表比乙表走时稳定 。
一、方差的概念
定义3.3：设X为随机变量，若期望 E( X EX )2存在，

先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。

F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X和Y相互独立
其意义:事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立
它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
2
离散型: X与Y相互独立 P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj} 即pij=pi. p.j (i,j=1,2,…)
1 0.2
0
5,
0 x 0.2
0,
其它
6
f(x,y)=fX(x)fY(y)
25e5 y ,0 x 0.2, y 0
0
,其它 y
D
o 0.2 x
P{Y≤X} f ( x, y)dxdy
D
0.2
dx
x 25e5 ydy=0.3697
0
0
7
例3 设:(X
,Y
)∼N(
1,
2
,12
随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两随机变量独立的定义是：
设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,
有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
1
用分布函数表示,即
定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数 为F(x, y), X和Y的边缘分布函数分别为 FX(x), FY(y),若x,y ,有
22
定理2 若X1, …,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1, …,Xm), Y2=g2 (Xm+1, …,Xn)
则Y1与Y2独立 .
23
17
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机 是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号 的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干 扰. 求发生两信号互相干扰的概率.

大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设X1, X2,, Xn ,是随机变量序列 ,
令
Yn

1 n
n i 1
Xi
如果存在这样一个常数序列a1, a2 ,, an ,,
对任意的ε 0,恒有
lim
n
P
Yn

an

ε
0
lim
n
P

1 n
i
n 1
X
i

1 n
n i 1
EX i
ε 0
或者lim n
P

1 n
n i 1
Xi

1 n
n i 1
EX i

1

【证】因为Xn两两不相关, 故
D
1 n
n i 1
Xi


1 n2
n i 1
DXi


C n
再由车贝晓夫不等式得到
0
P

1 n
i
n 1
X
i

1 n
n i 1
EX i

ε
D
1n
n i1 ε2
Xi


C nε2
于是，当 n 时，有

lim P n
1 n
n i 1
Xi

1 n
或者lim P n
Yn an
1
则称随机变量序列 X n 服从大数定律.
【定律】马尔可夫大数定律

2 F ( ln 2)
1 4
概率论
三、三种重要的c.r.v.
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，记作
X ～ U(a, b)
若X ~ U (a, b),
概率论
1.对于长度l为的区间(c, c l), a c c l b,有
概率论
3.3 c.r.v.及其概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
一、 c.r.v.及其p.d.f.的定义
对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) ,
x , ,使得对任意实数 x , 有
F
x =P( X
x)
x
f
t dt
则称 X为c.r.v, 称 f (x) 为 X 的p.d.f，简称为
x t2
e 2 dt ( x )的性质 :
2π
1 0 1 ;
2
2 x R , x 1 x ;
事实上 , x 1
x t2
e 2 dt
2
1
u2
u t
e 2 du
2π x
1
x u2
1
e 2 du
2π
1 x
概率论
概率论
例 5：已知 X～N (0,1) , 求 P (1 X 2), P ( X 1.96), 概率论
有 P(X s t X s) P(X t)
证明 : X ~ Exp( ), P( X t) 1 P( X t) et ,

重复排列：从n个不同元素中取r个(可重复)，考 虑先后顺序共有nr=n n …. n种不同结果。
3.5 等可能样本空间
例7 琼斯先生有10本书要放在书架上，其中有 4本数学书，3本化学书，2本历史书，还有1本 语言书。琼斯想把同一种类的书放在一起，共 有几种不同的可能结果？如果是随意放置，恰 好同一种类的书放在一起的概率多大？
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几 个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则 完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法 数的乘积。
例：网上预订行程，从郑州到上海共有12种不 同选择，从上海到香港共有4种不同的选择，那 么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的 选择。
3.5 等可能样本空间
解法一：宿舍是无编号的，
解法二：宿舍是有编号的，
3.5 等可能样本空间
例11 如果一个房间里有n个人，没有两个人的 生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小 于0.5，需要多少人？
习题
P53 ex18, ex20
引例： （1）假设某人投掷一对骰子，两个骰子点数之
和为8概率多大？
（2）如果已知第一个骰子最终朝上的数字为3， 那么两个骰子点数之和为8的概率为多少？
3.3文图和事件的代数表示
3.3文图和事件的代数表示
德·摩根律
例2
掷骰子一次，A=“掷出奇数点”，B=“点数不超 过3”，C=“点数大于2”，D=“掷出5点”。求
A B, B C, AB, BD, Ac , AcC
3.4 概率论公理
集函数P(E)称为事件E的概率，如果它满足下 列三条公理
3.5 等可能样本空间
例8 概率论课程上有6个男生，4个女生。对学 生进行考试，按照成绩排名。假定没有两个学 生的成绩是一样的，

解:
1 x2 y2
f (x, y) e 2 , ( x , y )
2
FZ (z) P(Z z) P( X 2 Y 2 z)
当z<0,显然FZ(z)=0,
当z≥0,
FFFFZZZZ((((zzzz))))xx2xx222yy2yy222zz2zz22222122111eeeexx2xx22222y22y2yy2d22dddxxxxddddyyyy
( x z )2 2
e dx 22 2
2
2 e 令x z t e2 e e edt dx 2 e 2
zzz44222
e2 dx e2 4
z
2
4
(( xx
t
2
zz 22
))22
(x
z 2
)2
z2 4
1
z2
e4
2
X~ N(μ1 , σ12) Y~ N(μ2 , σ22) X与Y相互独立
二维离散型随机变量函数的分布
设(X,Y)为离散型随机变量，
P(X xi ,Y y j ) pij, i, j 1,2,...
Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量.若对于 不同的(xi,yj),g (xi,yj)的值互不相同,则Z的 分布律为
P(Z g(xi , y j )) pij i, j 1,2,...
k
p(i)q(k i) i0
离散型 卷积公式
例3:设X,Y相互独立,且X~P(λ1), Y~P(λ2) 证明:Z=X+Y~P(λ1+λ2)
证: P( X k) 1k e1 , k0,1,2,,
k!
P(Y k) k2 e2 , k0,1,2,,
k!
P(Z k) P( X Y k) Pik0( X i,Y k i)