§5.2 中心极限定理
独立同分布的中心极限定理
Lindberg-Levy林德伯格－莱维
棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 De Moivre－Laplace
定义
设X1, X2 , …, Xn , …为随机变量序列，具有有 限的数学期望和方差。如
n X i E X i d i 1 i 1 N 0,1 n Var X i i 1
设X1, X2,…, Xn为独立同分布随机变量序列，
具有有限的数学期望μ ，则
n X k EX k P lim k 1 =0 =1 n n
即
X
k 1
n
k
n
a .s
博雷尔（Borel强大数定律）（推论5.1.2 ）
定理 设vn~B(n，p)，其中n=1,2, …，0<p<1 。
则
vn P lim =p 1 n n
即
v
k 1
n
k
n
p
a .s
有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，
且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
n
则称X1, X2 , …, Xn , …服从中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理 定理１ 设X1, X2 , …, Xn , …为独立同分布的随机
变量，EXi=μ和Var[Xi]=σ2， -∞<μ, σ2<+∞ ，令
n Xi E Xi i 1 i 1 n n Var X i i 1
证明用到切比雪夫不等式. X1 X 2 X n E n
证明
由X 1 , X 2 ,，的独立性有 X1 X 2 X n Var n
Var[ X ]
i 1 i
n
n2
C n
所以，由切比雪夫不等式有 X1 X 2 X n C P 2 0 n n 证毕.
n
则对任意实数x，有
n
lim P{n x}
x
1 e dt 2
t2 2
定理的等价形式 1) {Xi} 独立同分布，
2) EXi、 Var[Xi]有限。
则当n较大时，
n Xi E Xi i 1 i 1 ~ N (0,1) n Var X i i 1
2
2 2 0 (n ) n
辛钦大数定律
则对任意ε>0，有
设X1，X2，…，Xn，…是独
立同分布的随机变量序列，且有有限的期望 μ ，
X1 X 2 X n lim P 0 n n
显然
X1 X 2 X n E n
设X1, X2,…, Xn为独立随机变量序列，具有 有限的数学期望和方差，则对任意 >0 ，有
P sup 1k n
X i EX i
i 1
k
Var X
k 1 k
n
2
如n=1，就是切比雪夫不等式。
柯尔莫哥洛夫强大数定理 （定理5.1.3）
Xn
P
Y
弱大数定律讨论的就是依概率收敛.
以概率1收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y 如果
P( : lim X n ( ) Y ( )) 1 x
则称随机变量序列{Xn}以概率1收敛于Y, 记为
Xn
可以证明，若 X n
a.s
Y
a.s
设X1, X2,…, Xn为独立随机变量序列，具有
Var X n <+ 有限的数学期望，且 2 n n 1
则
n X k EX k P lim k 1 =0 =1 n n
柯尔莫哥洛夫强大数定理 （定理5.1.4）
n
例1 某保险公司对一种电视机进行保险，现有
3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，
这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每
户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领
取2000元，求保险公司在投保期内:
（１）亏本的概率； （２）获利不少于10000元的概率。
解 设 n表示保险公司从第n个客户处获得的盈利，则
证 令Var X i 2 , Yn i 1
n n
Xi n
n
X EX i 1 i i 1 i EYn E n n
n n Xi DX i 2 i 1 i 1 Var Yn D 2 n n n
历史上，伯努利是第一个研究弱大数定理的，
他在1713年发表的论文中，提出了上述定理，
那是概率论的第一篇论文。
依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量
Y，若对任意的 >0，有
lim P X Y 0 n n
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y, 记为
a 14
5.11
假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间X i 服从区间[5,53] (单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立 1 n 的，试问当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i n i 1 以概率1收敛于何值？
解
X i U[5,53] 53 5 EX i 29, i 1, 2,, n 2 由辛钦大数定律， 1 n P 当n 时， X i 29 n i 1
（１）亏本的概率：
3000 3000 i E i 3000 3000 8.00 i 1 i 1 P i 0 P 3000 3000 3996 i 1 D i i 1
E 1990 0.001 10 0.999 4060
2 n 2 2
Dn E En 4060 64 3996
2 n 2
3000 D n 3000 D n 3000 3996 11,988,000 n 1
切比雪夫不等式
引理5.1.1 设随机变量X有有限方差，对任意ε>0，
则
P X EX
由马尔科夫不等式，有 P X －EX 2
2
Var X
2
证
2 Var X E （X －EX） 2 2
即 P( X －EX )
Var X
n
例
设X 1，X 2， ，X n， 是相互独立的随机变量序列， 1 P Xn n n 2 P X n 0 1 n 证明{ X n }服从大数定律。
n 2,3,
证明、
EX i 0 E X i 2 Var X i 2
2
1 n 1 n EYn E X i EX i 0 n i 1 n i 1 2 1 n 1 n Var Yn Var X i 2 Var X i n n i 1 n i 1 P{ Yn EYn } 得证。 Var Yn
vn np 1 p p 1 p Var 2 n n n
由切比雪夫不等式，对任意正数ε，有
vn p 1 p n 0 P p 0 2 n n
vn lim P p 0 n n
证明 我们只证明η 为连续型随机变量的情形。
设η 的密度函数为f（y）。
当y<0时，f（y）=0。
E yf ( y )dy yf ( y )dy
0
yf ( y )dy f ( y )dy P( )
P( )
E
2 2 X 12 X 2 X 3 X 4 X5X6 X3 P n 2 X 3n 1 X 3n a, n
n , 并确定常数a之值.
解由于{ X n }是独立同分布的随机变量序列 所以， {Yn }也是独立同分布的随机变量序列， 且
Var X 3k 2 ( EX 3k 2 ) 2 EX 3k 1EX 3k 6 4 4 14 k 1, 2,, n
{Yn }满足辛钦大数定律条件，所以
Y
k 1
n
k
n
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n n P 14, n
由切比雪夫不等式，对 0, 有 P Yn－EYn Var Yn
2
2 0 (n ) n
2
X1 X 2 X n 即P － 0 ( n ) n
切比雪夫弱大数定律
设X 1 , X 2 , , 为独立随机变量，Var[ X i ] C , i 1, 2, , 则对任意 0有 X1 X 2 X n lim P 0. n n 这里
第5章 大数定律和中心极限定理
大数定律
中心极限定理
§5.1 大数定律
（弱）大数定律：
切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大
数定律
强大数定律：
柯尔莫哥洛夫强大数定律、博雷尔强大数定律
一、大数定律
