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的数设学随期机望序列和{方Xj差} 独立.2部同分分和布S, n有=X共1＋同
X2＋…＋ Xn, 则Sn的标准化
n
Sn
n
n
依分布收敛到标准正态分布. 即对任何x,
lni m P{nx} (x). (3.2)
这里 ( x ) 是标准正态分布的分布函数.
我们把结论(3.2)记成 nudur N(0,1),
解:用 Sn表示这n (=100)个患者中用药后有效的人数.
如果该药的有效率确实是 p=80%, 则 Sn ～B(n,p). 由
100p=80>5, 100(1-p)=20>5, 知道可用近似公式(3.4) .于是
例11.(续）
P(药被批准) =P(Sn 75) ＝P(Sn>74.5)
=P
Snnp np(1p)
p P ( a S n b ) P ( a X b ) ( * )
但是注意Sn是取整数值的，所以
p P ( a S n b ) P ( a 1 S n b 1 )
上式右端用正态近似和(*)不同。
例10.(续) 为此取折衷，令
pP(aSnb) P (a 0 .5 X b 0 .5 )
上述分布称为帕斯卡分布.
n时,Sn的分布形状很象正态分布。
从演示看出 n时,Sn的分布形状很象正态
分布。 注：得到第n次成功前失败的次数Y的分布称为 负二项分布，易见
P ( Y k ) C n k k 1 p n q k ,k 0 ,1 ,2 ,...
且Sn = Y + n.
定理3.1.（中心极限定理）
服从均匀分布，记
20
S n V i
i1
求 P{Sn>105}近似值 。
解：EVi
5，DVi
102 12Biblioteka ，(i1, 2,L
, 20) ，由定理
3.1
知：
P {S n 1 0 5 } P 1 0 S 2 n /-1 2 2 0 52 01 1 0 0 2 5 /- 1 2 2 0 5 2 0
由概率的频率定义知道, 对于成功的频率 Xn＝Sn / n ,有 n li m X n ＝ P （ X 1 ＝ 1 ） ＝ E X 1 （ 2 .1 ）
下面的大数定律将(2.1)进行了推广.
称随机变量的序列 n＝ 1， 2，
为随机序列(random sequence).
{ n}
lni m P{|n|}0，
P (X j= k ) ＝ p q k - 1 ,k 1 ,2 ,...,p q 1 .
可以将 Sn = X1 + X2 + … + Xn 设想成第n次击 中目标时的射击次数(参考几何分布的背景), 于 是得到
P ( S n k ) C k n 1 1 p n q k n ,k n ,n 1 ,...
则Sn为n次独立试验中成功的次数,Sn ~ B(n,p)。
n时,Sn的分布形状很象正态分布。
例4: Poisson(泊松)分布
若{Xj} iid P( ), 则由§3.4 的例4.1知道部分和
n
Sn＝ Xi～P(n). i=1
n时,Sn的分布形状很象正态分布。
例5: 几何分布部分和 设 {Xj｝独立同分布都服从几何分布
中心极限定理的客观背景
观察表明，如果一个量是由大量 相互独立的随机因素的综合影响所 造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用都是微小的.则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
该结论得益于高斯对测量 误差分布的研究.
§5.3 中心极限定理
强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和 的依概率收敛和以概率1收敛.
其中 n 200, p 0.05, np 10, np(1- p) 3.08.
设有N条外线。
由题意有 P{SnN}0.9
由推论3.3得
P{Sn N} P
Snnp np(1p)
Nnp
np(1p)
例9 （续）
P{Sn N}P Snnp
Nnp
np(1p) np(1p)
nN p(1n pp)N3.0810.
Snnp ud ur N (0,1). npq
(3.3)
n
证明：令 Sn Xi ， i 1 其中 X1,L , Xn 相互独立且都服从于 (0-1)分布。 EXi p，DXi pq 。
由定理3.1结论成立
例9 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时 间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是 相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才 能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有Sn部分机同时使用外线，则有 Sn ~B(n, p),
74.5np np(1p)
=P
Sn np np(1p)
748.0508.02
1 ( 5 . 5 /4 ) ( 1 . 3 7 5 ) 0 . 9 2 .
如果有效率p>80%, 则获得批准的概率>92% (参考 习题7.29).
作业:
第5章 5.12, 5.16, 5.18
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象 统计规律性的学科. 随机现象的规律性 只有在相同的条件下进行大量重复试验 时才会呈现出来.也就是说，要从随机 现象中去寻求必然的法则，应该研究大 量随机现象.
大数律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
……
如果 P{lni mn }1，
则称序列 n 以概率1收敛于 . 记为
n , wp1 或 a.s.。
定理2.2 设随机序列 X n 独立同分布， 并且 ＝EX1 ，则有
1ni n1Xi , wp1.（ 2.6）
强大数律结论比弱大数律结论要强:
定理 2.3 如果 n , wp1. 则 n uupr .
给出其近似的分布.
n
因此可以利用正态分布对 X k 作 k 1
理论分析或作实际计算.
推论3.2. 在定理3.1的条件下，对充分大的n ，
部分和Sn =X1＋ X2＋…＋ Xn, 的概率分布 可以用正态分布
N(n, n 2 )
近似.
中心极限定理的应用:
可以用N(0,1)近似计算关于 n 的概率，
则称序列 n 依概率收敛于 . 记为 n u upur
其含义是n很大时, n 与 有非零差距的可能性
很小。
定理2.1 设随机序列 X n 独立同分布，
并且 ＝EX1 有限，则有
Xn1 ni n1Xi uupur
(2.5）
通常把类似于2.5的结论称为弱大数律 (weak law of large numbers).
例6: 近似计算
解: 用Xi表示第i台彩电的辐射量(mr/h),
则Xi的数学期望是 =0.036, 方差是 2 =0.0081.
Sn=X1+X2+… +X16是n=16台彩电的辐射量.
题目要求P(Sn > 0.5).
认为{Xi}独立同分布时, 按照定理3.1,
n
Sn
n n
近似服从N(0,1)分布, 于是
其中的d表示依分布收敛.
中心极限定理是概率论中最著名的结果之 一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近 似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很 多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值 得注意的事实.
在一般情况下很难求出n个随机变
n
量之和 X k 的分布函数，定理3.1 k 1
表明:当n充分大时,可以通过 ( x )
用N(n , n 2) 近似计算关于Sn的概率。
例6: 近似计算
当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr) 时, 辐射会对人的健康造成伤害. 设一台彩电 工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是 0.0081. 则家庭中一台彩电的辐射一般不会对 人造成健康伤害. 但是彩电销售店同时有多台 彩电同时工作时, 辐射可能对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作, 问这16台彩电的辐 射量可以对人造成健康伤害的概率.
查表得(1.28) 0.90.
故 N 应满足条件 N -10 1.28, 3.08
即 N 13.94. 取 N 14, 即至少要安装 14 条外线。
例10. 用正态分布计算二项分布 设Sn ～B(n,p), 则Sn近似 N(np, npq)分布, 设X
～N(np,npq), 设a, b为非负整数。由中心极限定理, n 较大时
证明： 令方差， DXi 2，i 1, 2,L 有限，
E( 1
n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
EX i
1 n
n i 1
D( 1
n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
DX i
1 n2
n 2
1 n
2
由切比雪夫不等式得：
P {|n 1i n 1X i|}n 2 2 0, n
定义2.2 n
中心极限定理讨论对充分大的n, 随机变量序列 部分和 X1+X2+… +Xn 的概率分布问题.
例3: 二项分布
独立地重复某一试验，设
Xj＝ 10， ,
当 第 j次 试 验 成 功 ， 当 第 j次 试 验 不 成 功 。
则{Xj} iid ～B(1,p)(两点分布)。
令
Sn = X1 + X2 + … + Xn.
例6: 近似计算(续)
P (Sn0.5)P S nn n0. 5n n
P
n
0.5 16 0.036 1 6 0 .0 0 8 1
P n 0.211
