5.3(1) 对数频率特性

故对数幅频特性为 L (ω ) = 20 lg
1 (Tω ) 2 + 1
= −20 lg (Tω ) 2 + 1
在时间常数T已知时，可以在ω从0变化到∞的范围内，逐点求出L(ω) 值，从而绘制出精确的对数幅频特性曲线，但十分费时。在工程中，一 般采用渐近线近似的方法，这已经满足大多数情况下的要求。
1.低频段 在Tω<<1(或ω<<1/T)的区段,可以近似地认为Tω≈0, 从而有 L (ω ) = −20 lg (T ω ) 2 + 1 ≈ −20 lg1 = 0 故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示, 这称为低频渐近线。
对数相频特性为ϕ(ω) = -arctanTω。 为了近似绘制相频特性,选择确定以下几个点。
同时，由于惯性环节的 相位与频率呈反正切函数 关系，所以，对数相频特 性曲线将对应于ω=1/T及 ϕ (ω)=-45° 这 一 点 对 称，可以清楚地看出在整 个频率范围内，ϕ(ω)呈滞 后持续增加的趋势，极限 为-90°。
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg (τω ) 2 + 1
对数相频特性为
ϕ(ω)=arctan(τω)
按照与惯性环节相似的作图方法画图。
L(ω ) = 20 lg A(ω ) = 20 lg (τω ) 2 + 1
1. 低频段 在Tω<<1(或ω<<1/T) 的区段,对数幅频特性可以近 似用零分贝线表示,为低频渐 近线。 2.高频段 在Tω>>1(或 ω >>1/T) 的区段,可以近似地认为高频 渐近线是一条斜线, 斜率为 20dB/dec, 当 频 率 变 化 10倍频时,L(ω)变化20dB。 转折频率为ωT=1/T。

R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理 论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相

( ) ~ 为系统的相频特性。
RC网络的幅频特性
和相频特性
1 G( j ) 1 jT
1 A( ) 1 2T 2 ( ) arctgT
RC网络的幅频特性和相频特性
RC网络的幅相特性
1 G( s) Ts 1
G ( j ) G ( s ) s j 1 1 jT 1 j tan 1 T e 2 2 1 T

2
)
C s (t) ( j ) Ar cos( t ( j )

2
)
令 Cs (t ) Ac sin(t )
Ac ( j ) Ar ,
( j )
由此可见，线性定常系统，在正弦信号作用下，
输出稳态分量是与输入同频率的正弦信号。
4、频率分析法还可以推广应用于某些非线性控制系统。
3-1 频率特性
一、频率特性
1、RC电路的正弦稳态输出
G( s) U o (s) 1 , U i ( s) Ts 1 T RC
线性定常系统，输入信号为正弦信号时，稳态输出信号仍 为同频率的正弦信号，只是相位和振幅不同，且相位和振幅与 传递函数的参数有关。 当 ui A sin t 时，初值为0
拉氏反变换
c( t ) C i e si t ( Be j t Be j t )
i 1 n
n
ct ( t ) c s ( t )
其中
Ar ( s j ) s j 2 2 s Ar j [ ( j ) ] ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2 B ( s)
RC网络的幅相特性曲线

1
起点
Байду номын сангаас
终点
v 3 v 0
5.2.2 开环系统的幅相频率特性
例7
G1 ( s )
s2 (T1s
K 1)(T2s
1)
G1( j0) 180
G1 G1
G1( j) 0 360
G2 ( s)
K ( s 1)
s2 (T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
G2( j0) 180
G(
j )
1
2 n2
1
j2
n
n
n
1
G
[1
2
2 n
]2
[2
n
]2
2
G arctan
n 2
1 - n2
5.2.1 典型环节的幅相频率特性
谐振频率r 和谐振峰值Mr
G 1
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
d G 0
d
d
d
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
0
2[1
2 n2
][2(n2
)]
2
[ 2
W( j) K () 0
比例环节的幅相特性 是G平面实轴上的一 个点
5.2幅相频率特性曲线（Nyquist）
5.2.1典型环节的幅相特性曲线 微分环节的幅值与成正比，
2. 微分环节频率特性
相角恒为90度。频率从0→∞
（1）理想微分环节频率特性
幅相特性曲线由G平面原点趋 向虚轴的+j∞处。
① 传递函数 W (s) X c (s) s
n
2
](