高中数学必修5限时训练与单元测试(25份)

1①1①1正弦定理作业1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A ①30 B ①60 C ①30或 150 D ①60或1202、 在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A ①226- B ① 226+ C ①12+ D ①23-3、 不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A ①30,14,7===A b a ，有两解 B ①150,25,30===A b a ,有一解C ①45,9,6===A b a ，有两解 D ①60,10,9===A c b ，无解4、 在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（ ） A ①直角三角形 B ①等腰三角形 C ①等边三角形 D ①等腰直角三角形5、 在ABC ∆中，60=A ,3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A①338 B ①3392 C ①3326 D ①32 6、 在ABC ∆中，已知 30=A ,45=C 20=a ，解此三角形。

7、 在ABC ∆中，已知 30,33,3===B c b ,解此三角形。

参考答案：1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin bA a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B 60或120。

2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以30=C ， 105=B ，又由正弦定理BbA a sin sin =带入可得226+=a 3、 解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。

4、 解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即 60=A 或120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。

人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题（人教B版必修5） 3.5.1《二元一次不等式（组）所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形，下列判断正确的是（）ooA. a=7，b=14，A=30，有两解.B. a=30，b=25，A=150，有一解.ooC. a=6，b=9，A=45，有两解.D. a=9，b=10，A=60，无解. 2．在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在?ABC中，已知a=52，c=10，∠A＝30，则∠B等于（）oA.105B. 60C. 15D.105或154．在?ABC中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（）oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是（）A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中，∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A．6 B．26 C．36 D．46 7．在ΔABC中，∠A=45, a=2，b=2，则∠B=（）00A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200 二、填空题8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。

高中数学必修5课后限时训练25 不等式章末检测卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N答案：A解析：M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N . 2．若a <b <0，则下列不等关系中，不能成立的是( )A.1a >1b B ．1a －b >1aC ．a 13<b 13D ．a 23>b 23答案：B解析：∵a <b <0，∴a －b <0，由1a －b >1a，得a >a －b ，即b >0，与b <0矛盾． 3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >3}B ．{x |x <－2或1<x <3}C ．{x |－2<x <1或x >3}D ．{x |－2<x <1或1<x <3}答案：C解析：原不等式可化为(x ＋2)(x －1)(x －3)>0，则该不等式的解集为{x |－2<x <1或x >3}．4．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m ≤0D ．m ≤－3或m ≥0答案：A解析：∵y ＝x 2－4x 在[0,1]上单调递减，∴y min ＝1－4＝－3.又∵不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，∴m ≤－3.5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1 C ．最小值12和最大值34D ．最小值1 答案：B解析：∵x 2y 2≤(x 2＋y 22)2＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴1－x 2y 2≥34≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1. 6．设x >0，y >0，a ＝x ＋y 1＋x ＋y ，b ＝x 1＋x ＋y 1＋y，a 与b 的大小关系( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b答案：B解析：∵x ＋y ＋1>0，b (1＋x ＋y )＝x 1＋x (1＋x ＋y )＋y 1＋y (1＋x ＋y )＝x ＋xy 1＋x ＋xy 1＋y＋y >x ＋y ， ∴b >x ＋y 1＋x ＋y＝a . 7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－12答案：A解析：∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 存在解．8．若x ∈(0，12)时总有log a 2－1(1－2x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．|a |<1 B ．|a |<2C ．|a |>2D ．1<|a |<2答案：D解析：∵x ∈(0，12)，∴0<1－2x <1. 又∵此时总有log a 2－1(1－2x )>0，∴0<a 2－1<1，∴1<|a |< 2.9．若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥y x ＋y ≤1y ≥－1，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( ) A ．1 B ．－12C ．2D ．－5 答案：A解析：作出可行域如下图，当直线y ＝2x ＋z 平移到经过可行域上点A (1，－1)时，z 取最大值，∴z max ＝1.10．下列函数中，最小值是4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81答案：C解析：当x ＜0时，y ＝x ＋4x≤－4，排除A ； ∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ＜1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4.但sin x ＝4sin x无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x ＝4ex 即e x ＝2时成立．∴x ＝ln 2，D 中，x ＞0且x ≠1，若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D. 11．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3答案：D解析：本题考查指数函数与幂函数的单调性．∵a x <a y (0<a <1)，∴x >y ，而幂函数y ＝x 3在定义域上为增函数，∴x 3>y 3.12．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13] B ．[－12，13] C ．[－12，＋∞) D ．[－12，1) 答案：D解析：所求问题转化为求动点(x ，y )与定点(－1,1)连线的斜率问题．不等式组表示的可行域如图所示．目标函数ω＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点(－1,1)的连线的斜率，由图可见，点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到，故－12≤w <1.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案：2 解析：由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2，∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2，∴m ＝2.14．若点(x ，y )在第一象限，且在直线2x ＋3y ＝6上移动，则log 32x ＋log 32y 的最大值是__________． 答案：1解析：由题意x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴u ＝log 32x ＋log 32y ＝log 32(x ·y )＝log 32[16(2x ·3y )] ≤log 32[16(2x ＋3y 2)2]＝1， 等号在2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时成立． 15．不等式(m ＋1)x 2＋(m 2－2m －3)x －m ＋3＞0恒成立，则m 的取值范围是__________．答案：[－1,1)∪(1,3) 解析：m ＋1＝0时，m ＝－1，不等式化为：4＞0恒成立；m ＋1≠0时，要使不等式恒成立须⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0△<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0(m 2－2m －3)2－4(m ＋1)(－m ＋3)＜0 ， ∴－1＜m ＜3且m ≠1.综上得－1≤m ＜3且m ≠1.16．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________．答案：24m 18m解析：设鱼池的长宽分别为x m ，y m ，∴xy ＝432，∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．解析：由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2.Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0，∴k 2≥12. ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2)＝6k 2－2≥6×12－2＝1. ∴x 21＋x 22的最小值为1. 18．(本题满分12分)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252. 证明：∵ab ≤a ＋b 2＝12， ∴ab ≤14，∴1ab≥4， ∴(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥2(a ＋1a ＋b ＋1b 2)2 ＝2(1＋a ＋b ab 2)2＝2(1＋1ab 2)2≥2(1＋42)2＝252，当且仅当a ＝b ＝12，a ＋1a ＝b ＋1b时，等号成立． 19．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3.当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0，∴x <14，故m ＝－1不满足题意． 当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－(m －3)]2＋4(m 2－2m －3)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3. 综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3. 20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解析：(1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧ y －(1.2－1)×1 000>00<x <1， 即⎩⎨⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13. 21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式ax x －2>1 . 解析：a ＝0时，∅ax x －2>1⇔(a －1)x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0.∵a ＜1，∴a －1＜0.∴化为(x －21－a)(x －2)＜0， 当0<a <1时，21－a>2， ∴不等式的解为2<x <21－a； 当a <0时，1－a >1，∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2， ∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅.22．(本题满分14分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．解析：设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0.(1)当m ＋1>0时，可画简图： 则⎩⎨⎧ m ＋1>0f (1)<0f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎨⎧ m ＋1<0f (1)>0f (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1.由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。

2018-2019学年必修五第三章训练卷不等式（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）_1.设集合M ={x|x2 -2x-3 ：：：0} , N 二{x|log2X ：：：0}，则MUN 等于（）A •-1,0 B •-1,3 0,10,34有下列函数：① y=x x 0 :②y = x、x③ y =cosxcosx8.—1x1 ；x — 11 10 ：：： x :④y = |n x — x 0 •其中最小值为4 2 丿ln x 的函数有设a ：：： -1，则关于x的不等式a x - a ¥x 0的解集为（r 、估x |x ：： a或x•—L a J 1 x|x G1 4已知a 0 , b 0 , a，b=2，则y 的最小值是（b号证考准名姓级班2•若m =(2a -1)(a 2) , n =(a 2)(a -3)，则mB • m_nn的大小关系正确的是m :::n10 •已知O是坐标原点，点A -1,1，若点3•若集合A 二{x|x2 x-6 ：：0} , B =A •-3,3B • [-2,2)x 一iI X -3 J<0 ，则AI B等于（C •-2,2 [-2,3)uuv uuuv动点，贝y OA OM的取值范围是（A •〔-1,0】B • 1.0,11x y _ 2M x,y为平面区域x_11心C •1.0,21上的一个D • 1-1,214 •不等式0的解集为( )(x—2014“—2015)A •{x|0 Ex ：：2014 或x 2015}B •{x |0 ：： x ：： 2014 或x 2015}C •{x|x 乞0或2014 ：：x ：：2015}D . {x|x ：：0或2014 ：： x ：： 2015}5 •不等式(x-2a)(x，1)(x-3) ：：：0 的解集为-：：，-1 U 3,4，则 a 的值为( )A • -4B • -2C • 4D • 2x _16•已知a 0 , x、y满足约束条件x ^3 ，若z =永y的最小值为1,则a =y ^a（x -3）2 211 •要使关于x的方程x （a -1）x・a-2 = 0的一根比1大且另一根比1 小,则a的取值范围是（）A •T ： a ： 1B •a ：： - 1 或a 1C •-2 ■■■■ a < 1D •a ：： -2 或a 112 •若直线y二kx1与圆x y kx my-4=0交于M、N两点，且M、N关kx- y 2_ 0于直线x-y = 0对称，动点P（a, b）在不等式组kx-my_ 0 表示的平面区域内部［沖012二、填空题（本大题共 4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横 线上）13 .不等式2x2q2x - <-的解集为214 .函数f x ）=lg （x 2 -ax a ）的定义域为实数集R ，则实数 a 的取值范围是卩 _x _415 .已知x 、y 满足条件 0乞y 乞3，则z =2x 5y 的最大值为 ______________ .x 2y 空816.已知log 2 a log 2b _1，贝U 3a 9b 的最小值为 ______________ .三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤）f （x ）=lg （8 +2x —x 2）的定义域为 M ，函数g 0 ）=卞一定义域为N ，求集合M 、M 、M I N .及边界上运动，则-._b -2的取值范围是（ a -1 ) A. 12, ■::B .「C. 1-2,2 ] D . -二，~2 ]U 1.2, •::18. （12分）求函数y = 2x -x 2x 1X = _1的值域.17. （10分）若函数320. （12分）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现 的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈 利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为 30%和10%，投资人计划投资 金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元，问投资人对甲、乙 两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？2519 . （12 分）已知 x . 0 , y . 0 , lgxTgy=1，求的最小值.x y422. （12分）国际上钻石的重量计量单位为克拉•已知某种钻石的价值 （美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为 3克拉的该钻石的价值为 54000美元.（1） 写出钻石的价值 y 关于钻石重量x 的函数关系式； （2） 把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和n 克拉， 试证明：当m =n 时，价值损失的百分率最大.21. （12分）已知不等式 ax 2 -3x 6 4的解集为{x|x ：：：1或x b}, （1 ）求a , b 的值；x 21（2 ）解不等式—1 0 .ax —b（注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值X100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计）52018-2019学年必修五第三章训练卷不等式（二）答案一、选择题1. 【答案】B【解析】由题得M 二{x|_1 ：：*3，N 二{x|0 ：：：x "} ,••• M U N=[_1,3 .•故选B.2. 【答案】B【解析】m =2a2亠3a - 2 , n = a2-a-6 ,2 2…m - n = a 4a 4 = a 2 i ：：0 .•m _n ,故选 B .3. 【答案】B【解析】A 二{x| ；：：：x ：：：2} =（_3,2）, B=[23）,•AI B 二[-2, 2）•故选B.4 •【答案】AI x f x —2014 ¥x -2015【解析】原不等式等价于，』x—2014'（X—2015）^0 如图所示：7 .【答案】C【解析】对于①，y = x ■'丄2p J4 = 4，当且仅当x = 2时，取等号.x对于②，y = X -1 • 2 x・1 _2「・2 = 4，当且仅当X = 2时，取等号X- 1对于③、④，最小值为4的条件不具备，故选C.&【答案】A（1\【解析】原不等式可化为（x-a）x-」＞0 ,I a丿1 1T a 「1 , - a ,•解为x •—或x ：：： a .故选A . a a9 .【答案】C【解析】T a • b = 2 , • - - = 1 ,2 21丄4『1丄4 丫a丄b [ 5丄2 a丄b• y 二—■—二—■ ——■—二—■ —■—, a b a b 2 2 2 b 2a用穿针引线法求得原不等式的解集为{x|0乞x ：：:2014或x 2015} •故选A .5 .【答案】D【解析】当2a =4时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意, • a = 2 .故选D . 当且仅当2a _丄b 2a6.【答案】B【解析】作出线性约束条件x -1x y -3 的可行域.y —a x -3即a =~ , b =~时取得等号，• y的最小值是—，故选C.3 3 210.[答案】Cuuv uuuv J ,【解析】OA OM 1,1]ix, y 二y-x ,因为y =a x-3过定点3,0，故应如图所示, 当过点C 1, -2a时，z =2x • y有最小值，.故选B .••• a 0 , b 0 ,J x y _2画出线性约束条件 x <1 表示的平面区域如图所示.心T 1 \ £尸dT |1J=l可以看出当z=y-x 过点A 1,1时有最小值0，过点C 0,2时有最大值2, uuv UUIV … 一 . T .则OA OM 的取值范围是 0,2 ],故选C . 11. 【答案】C【解析】设 f x =x 2 (a 2 -1)x • a - 2 =0 ,由题意知， f 1 =1 • a 2 -1 • a 「2 =a 2 • a 「2 = a 「1 a 2}:: 0 , ••• -2 ::: a ：：：1 .故选 C . 12. 【答案】D【解析】由题意分析直线 y =kx • 1与直线x —y = 0垂直，所以k =-1，即直线^-x 1. 又圆心C _k ,_m在直线x-y=0上，可求得m =「1.I 2 2丿-x _y 2 _0则不等式组为 -x ，y^0 所表示的平面区域如图，I ，y -0-■ =□ 的几何意义是点 Q 1,2与平面区域上点P(a, b)连线斜率的取值范围.a T k oQ =2 , k AQ = -2 , 二、填空题13 .【答案】1-3,1]【解析】不等式2"亠4乞丄化为2" ^仁：2」,2 _. 2 2--x 2x_4__1 ,••• x 2x_3岂 0 , •- 一3 乞 x 乞 1 ,•原不等式的解集为1-3,1. 14 .【答案】0 ：：： a ：：： 4【解析】由题意得不等式x^ ax a 0的解集为R . •厶-a - 4a ：：： 0，解得 0 ：：： a 4 . 15 .【答案】19【解析】可行域如图.2 z当直线y x经过直线y = 3与x ，2y = 8交点2,3时，z 取最大值Z max=19 . 5516 .【答案】18【解析】T log 2 a log 2 b _ 1 ,• log 2ab i T , ab _ 2 .• a ・2b_4 ,• a • 2b_2 a 2b _4 (当且仅当 a =2b =：2 时取 “”)a b a 2b~ 2b~~3 +9 =3 +3 >^3 3 =273 >213 =18 .(当且仅当a =2b =2时取“”)故••的取值范围为-二，-2〕U2,；.故选D .三、解答题17 .【答案】M 二{x| -2 ：： x ：： 4} , N ={x|x ：： 1 或 X — 3}, Ml N ={x| —2 ：： x ：： 1或 3 乞 x ：： 4}.【解析】由8 ' 2x-x 2・0 ,即x 2 -2x-8 ：：： 0 ,• (x—4)(x 2) ：：: 0 ,• —2 ：：: x ：：: 4 .••• M ={x| 2 ::: x ：：：4}.由 1 一―20 ,得匸。

高中数学必修5课后限时训练20 数列复习题一、选择题1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( )A ．148B ．149C ．150D ．151答案：B解析：∵a 1＝2，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，∴a 2＝4a 1＋1＝4×2＋1＝9，a 3＝4a 2＋1＝4×9＋1＝37，a 4＝4a 3＋1＝4×37＋1＝149.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1答案：B解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－368答案：B解析：由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392.4．等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是等差数列的第1、2、5项，则q 为( )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－3答案：B解析：设等差数列为{b n }，则b 1＝a 1＝1，b 2＝1＋d ，b 5＝1＋4d ，由题设(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∴d ＝2或d ＝0(与q ≠1矛盾舍去)，∴b 2＝3，公比q ＝a 2a 1＝b 2b 1＝3. 5．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( ) A ．65 B ．56C ．20D ．110答案：B解析：由题意知：S 奇＝a 1·a 3·…·a 2n ＋1＝100，S 偶＝a 2·a 4·…·a 2n ＝120，∴S 奇S 偶＝a 3·a 5·…·a 2n ＋1a 2·a 4·…·a 2n·a 1＝a 1·q n ＝a n ＋1， ∴a n ＋1＝100120＝56. 6．等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84答案：C解析：由a 1>0，a 10·a 11<0知d <0，且a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.二、填空题7．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝__________.答案：0解析：∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29D ．∴S 30＝30a 1＋10×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0. 8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案：4解析：本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n ＝|a n |(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n . 解析：由S n ＝10n －n 2可得，a n ＝11－2n ，故b n ＝|11－2n |.显然n ≤5时，b n ＝a n ＝11－2n ，T n ＝10n －n 2.n ≥6时，b n ＝－a n ＝2n －11，T n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝2S 5－S n ＝50－10n ＋n 2故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2 (n ≤5)，50－10n ＋n 2 (n ≥6). 10．已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．解析：(1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎨⎧b n ＋1＝13S n ①b n ＝13S n －1 ② ①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2 (n ≥2) ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2). (3)b 2，b 4，b 6，…，b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432 ＝37[(43)2n －1]．。

目录第一章数列 (2)1.1数列的概念 (3)1.2数列的函数特征 (5)2.1等差数列 (7)2.2等差数列的前n项和 (8)3.1等比数列 (10)3.2等比数列的前n项和 (12)4 数列在日常经济生活中的应用. (14)第一章综合测评 (17)第二章解三角形 (19)1.1正弦定理 (19)1.2余弦定理 (21)2三角形中的几何计算 (24)3解三角形的实际应用举例 (26)第二章综合测评 (29)第三章解三角形 (32)1.1不等关系 (33)1.2不等关系与不等式 (34)2.1一元二次不等式的解法 (36)2.2一元二次不等式的应用 (38)3.1基本不等式 (40)3.2基本不等式与最大(小)值 (42)4.1二元一次不等式(组)与平面区域 (44)4.2简单线性规划 (47)4.3简单线性规划的应用 (50)第三章综合测评 (53)模块综合测评 (53)参考答案 (59)第一章数列1.1数列的概念命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·四川雅安市·雅安中学高一期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A ．16B ．25C ．36D ．492．（2020·全国高二课时练习）已知数列{a n }满足a 1＝－14，a n ＝1－11n a - (n >1)，则a 4等于（ ） A ．15 B ．14 C ．－14D ．153．（2021·全国高二期末）数列11320,,,,,3253⋯的通项公式为（ ） A ．2n n a n -=B ．1n n a n -=C ．11n n a n -=+D ．22n n a n -=+4．（2020·西藏日喀则上海实验学校高二期中）下列说法中正确的是（ ） A ．数列1，0，1-，2-与2-，1-，0，1是相同数列 B ．数列1，3，5，7可表示为{}1,3,5,7 C ．所有数列的通项公式都只有一个 D ．数列可以看做是一种特殊的函数 5．（2018·,，的一个通项公式是（ ） A．na =B．n a =C．n a =D．n a =6．（2021·鄂尔多斯市第一中学高一月考 ）已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．2二、填空题7．（2020·全国高二课时练习）已知数列{a n }，a n =a n +m (a <0，n ∈N *)，满足a 1=2，a 2=4，则a 3=________. 8．（2020·泰州市第二中学高二月考）根据数列前几项的值，写出数列1,3,5,7,9,--⋯的一个通项公式n a =____.9．（2021·全国高二课时练习）若数列{}n a 满足12,1,11,1n n n a n a-=⎧⎪=⎨->⎪⎩则3a =___________. 10．（2020·陕西省子洲中学高一月考）已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =+，则122是该数列的第_______项. 三、解答题11．（2021·全国高二课时练习）观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： （1）（ ），4，9，（ ），25，（ ），49； （2）1，213，（ ），217，219，（ ），2113； （3）1（ ），2（ ）（4）12，16，（ ），120，130，（ ）. 12．（2020·陕西省子洲中学高一月考）已知数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-. (1)写出此数列的第3项和第5项.(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？13．（2021·全国高二课时练习）已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln 11n ⎛⎫+⎪⎝⎭，求通项公式a n .1.2数列的函数特征命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·浙江高三专题练习）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ） A ．1，2，3，…，20 B ．-1，-2，-3，…，-n ，… C ．1，2，3，2，5，6，… D ．-1，0，1，2，…，100，…2．（2021·全国高二期末）已知数列{}n a 的通项公式是342n na n =+，那么这个数列是（ ）A ．摆动数列B ．递减数列C ．递增数列D ．常数列3．（2021·全国高二期末）已知130n n a a +--=，则数列{}n a 是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．先递增后递减数列D ．常数列4．（2021·北京人大附中朝阳学校高二月考）若数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2+25n ，则数列{a n }的各项中最大项是（ ） A ．第4项B ．第5项C ．第6项 .D ．第7项5．（2021·全国高二课时练习）下列叙述正确的是 A ．1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B ．0,1,0,1,⋅⋅⋅是常数列 C ．数列0,1,2,3,⋅⋅⋅的通项n a n =D ．数列{}21n +是递增数列6．（2020·全国高二课时练习）数列{8n －1}的最小项等于( ) A ．－1 B ．7 C ．8 D ．不存在二、填空题7．（2020·正阳县高级中学高二月考）已知()21n a n a n =+-.若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是________.8．（2019·全国高二）数列{}n a 中，12a =，()*12,210n n a a n N n -=∈≤≤，则数列{}n a 的最大项为________．9．（2021·全国高二课时练习）已知下列数列：①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020； ②1，12，14，…，112n -，…；③1，－23，35，…，1(1)21n nn --⋅-，…；④1，0，－1，…，sin2n π，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．10．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟）请写出一个符含下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 为无穷数列；②{}n a 为单调递增数列；③02n a <<.这个数列的通项公式可以是______.三、解答题11．（2021·全国高二单元测试）在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.12．（2018·全国高二课时练习）写出数列1，12，37，25，513，…的一个通项公式，并判断它的增减性．13．（2021·全国高二单元测试）数列{}n a 的通项()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.2.1等差数列命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·安徽马鞍山市·高三三模）已知等差数列{}n a 中，21418a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．（2019·湖北武汉市·武钢三中高一期中）在等差数列{}n a 中，已知28a =-，44a =-，则12a =（ ） A ．10B ．12C ．14D ．163．（2021·北京人大附中朝阳学校高二月考）等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝（ ） A ．8B ．12C ．16D ．244．（2020·泰州市第二中学高二月考）在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列第6项6a =（ ） A ．6B ．8C ．12D ．165．（2020·西藏日喀则上海实验学校高二期中 ）在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，则sin B 等于（ ）A ．12B ．2C ．2D 6．（2019·象州县中学高二月考）等差数列{}n a 中满足1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．（2021·全国高三月考）已知等差数列{}n a 中，1579a a a ++=，2686a a a ++=，则公差为_______． 8．（2021·四川广元市·高三三模）已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则37a a +=________． 9．（2021·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学高二期末）1与3的等差中项为__________.10．（2021·贵溪市实验中学高一月考）…，则___________项. 三、解答题11．（2021·全国高二专题练习）（1）在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d . （2）已知数列{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.12．（2021·全国高二课时练习）判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差． （1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111； （3）1，－2，3，－4，5，－6； （4）1，1112，56，34，23，712，12．13．（2021·浙江高二课时练习）已知数列{}n a 的通项公式()26*n a n n N =-∈. （1）求2a ，5a ；（2）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式.2.2等差数列的前n 项和命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·江西省万载中学高一期末）已知{}n a 为等差数列且11a =，41324a a +=，n S 为其前n 项的和，则16S =（ ） A ．176B ．182C ．188D ．1922．（2021·四川雅安市·雅安中学高一期中）若数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 10=20，S 30=90，则S 20的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．703．（2021·鄂尔多斯市第一中学高一月考）在等差数列{}n a 中，18615a a a ++=，则此等差数列的前9项之和为（ ）A ．5B ．27C ．45D ．904．（2021·江西南昌市·高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，87102S S S =+，则21S =（ ） A ．21B ．11C ．21-D ．05．（2021·江西宜春市·上高二中高二其他模拟）已知数列{}n a 为等差数列，首项12a =，公差4d =，前n 项和200n S =，则n =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．116．（2021·全国高二专题练习）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 5＝60，则a 5＝（ ） A ．16 B ．20 C ．24 D ．26二、填空题7．（2021·鄂尔多斯市第一中学高一月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________8．（2021·东北师范大学连山实验高中高三月考）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =___________.9．（2021·全国高三专题练习）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，510a =，则n S =__________10．（2020·江苏南通市·金沙中学高二月考）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为___________. 三、解答题11．（2021·全国高二专题练习）在等差数列{a n }中， （1）已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； （2）已知a 2＋a 4＝485，求S 5．12．（2021·全国高二课时练习）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-. （1）求公差d 及{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值.13．（2021·江西南昌市·高三其他模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，592a a +=-，3=57S . （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .3.1等比数列命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·江西高三其他模拟）已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ．若()5434a a a =-，则q =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知等比数列{}n a 中，23427a a a =，624a =，则公比q =（ ） A ．－2 B ．2 C ．3D ．2或－23．（2021·江西高三二模）已知数列{}n a 是等比数列，64a =，312a =，则公比q =（ ） A ．12-B ．2-C ．2D ．124．（2021·江西南昌市·高一期末）在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2740x x -+=的根，则876a a a =（ ） A ．2BC．D ．2-或25．（2021·全国高二专题练习）由首项a 1＝1，公比q ＝2确定的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，序号n 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．76．（2020·全国高二课时练习）若a ，b ，c 成等差数列，则1()3a ，1()3 b ，1()3c 一定（ ） A ．成等差数列 B ．成等比数列C ．既成等差数列也成等比数列D ．既不成等差数列也不成等比数列 二、填空题7．（2021·河南高三其他模拟）在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =，则6a =___________. 8．（2021·河北石家庄市·高三二模）等比数列{}n a 中，59720a a a -=，则7a =______________． 9．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且327a =，则3132333435log log log log log a a a a a ++++=___________.10．（2021·全国高三二模）在等比数列{}n a 中，22a =-，68a =-，则4a =___________. 三、解答题11．（2021·全国高二课时练习）判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641； （3）13，16，19，112，115，118； （4）4，8-，16，32-，64，128-．12．（2020·云南丽江市·高一期末）等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .13．（2021·浙江高二课时练习）已知数列{}n a 的通项公式()26*n a n n N =-∈. （1）求2a ，5a ；（2）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式.3.2等比数列的前n 项和命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·全国高二专题练习）若首项为1的等比数列{a n }的前3项和为3，则公比q 为（ ） A ．－2 B ．1 C ．－2或1D ．2或－12．（2021·兰州市第二中学高三月考）等比数列{}n a 中，22a =，516a =-，则数列{}n a 的前6项和为（ ） A ．21B ．11-C ．21-D ．113．（2021·全国高三月考）在正项等比数列{}n a 中，29a =，481a =，则12310a a a a ++++=（ ）A ．()10331-B ．()103312- C ．()103314- D ．()103318-4．（2021·全国高三其他模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且3322S a =-，则公比q =（ ） A ．12B ．2C ．3D ．135．（2021·北京市八一中学高三开学考试）已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，且1319a a ==，，则数列{}n a 的前5项和是（ ） A ．61B ．121C ．25D ．61或1216．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二开学考试）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）． A ．83 B ．108 C ．75 D ．63二、填空题7．（2021·河南高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，*n N ∈，则3a =___________.8．（2021·四川自贡市·高三二模）记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 2=96，a 3=16，则S 4的值为__________．9．（2021·北京高三二模）已知数列{}n a 满足112,20(,2,)1n n a a a n +=-==，则{}n a 的前6项和为___________.10．（2021·全国高二课时练习）对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________. 三、解答题11．（2020·全国高二课时练习）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n .12．（2021·北京人大附中朝阳学校高二月考）已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .13．（2021·浙江高二课时练习）等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和.4数列在日常经济生活中的应用命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2020·陕西省黄陵县中学高二期中）按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（ ） A ．1036元B ．1028元C ．1043元D ．1026元2．（2020·全国高一课时练习）我国工农业总产值从1997年到2017年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x ，则有（ ） A ．()1914x +=B ．()2013x +=C ．()2012x +=D ．()2014x +=3．（2020·全国高二课时练习）某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m 以外的公路，沿公路一侧每隔50 m 埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行( ) A ．11 700 m B ．14 600 m C ．14 500 mD ．14 000 m4．（2018·全国高二课时练习）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个……按此规律，6小时后细胞的个数是( ) A ．63 B ．64 C ．127D ．1285．（2020·全国高二课时练习）“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min 内通过的路程为2 km ，以后每分钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是( ) A ．10 min B ．13 min C ．15 minD ．20 min6．（2020·全国高二课时练习）一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( ) A ．12 B ．16 C ．9 D ．16或9二、填空题7．（2018·全国高二课时练习）为了参加运动会的5 000 m 长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ．李强10天一共跑________m.8．（2018·全国高二课时练习）某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．9．（2018·珠海市第二中学高二期中）在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝______．10．（2019·江门市第二中学）数列{}n a 的通项公式，它的前n 项和为9n S =，则n =_________．三、解答题11．（2021·浙江高二单元测试）小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)12．（2018·全国高二课时练习）在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？13．（2018·全国高二课时练习）李政道博士曾经在访问中国科技大学时，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹果，第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果，最后至少剩下多少个苹果？第一章综合测评命题人:王党爱 审题人：张武党一、单选题1．（2021·北京人大附中朝阳学校高二月考）已知数列{a n }的前n 项和S n =1n ，则a 5的值等于（ ） A ．120B ．120-C ．130D ．130-2．（2021·全国高二专题练习）.在等比数列{a n }中，a 5=3，则a 2·a 8=（ ） A ．3B ．6C ．8D ．93．（2021·全国高二单元测试）已知等差数列{n a }，43n a n =-，则公差d 的值是（ ） A ．4B ．-6C ．8D ．-104．（2020·武功县普集高级中学高二月考）数列{}n b 中，若()11n b n n =+，数列{}n b 的前n 项和n T ，则2020T 的值为（ ） A ．20202021B ．12021C ．12020D ．199920205．（2019·河北邢台一中高一月考）等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，若4612a a +=，则9S 的值是（ ） A ．36B ．48C ．54D ．646．（2020·陕西咸阳市实验中学高二月考）等差数列{}n a 中，2610a a +=，则127..a a a +++=（ ） A ．15B ．35C ．50D ．707．（2020·全国高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为 A ．2B ．12C ．3D ．138．（2021·全国高二单元测试）《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是 A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤二、填空题9．（2021·广东东莞市·高二期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n n a +=，则4S =__________.10．（2021·全国高二专题练习）设等比数列{a n }满足a 1+a 2=﹣1，a 1﹣a 3=﹣3，则a 4=_______．11．（2021·全国高二单元测试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，cos()n a n π=，()*n N ∈，则2020S =________.12．（2021·全国高二课时练习）已知（1，3），（3，-1）是等差数列{}n a 图像上的两点，若5是p ，q 的等差中项，则p q a a +的值为______． 三、解答题13．（2021·全国高二单元测试）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，求a 20的值14．（2021·全国高二单元测试）设递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31a =，4a 是3a 和7a 的等比中项，（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .15．（2018·湖南益阳市·高三一模）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且方程2130a x dx --=的两个根分别为1-，3.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .16．（2012·陕西高三其他模拟）等差数列{}n a 不是常数列，且11a =，若139,,a a a 构成等比数列. （1）求n a ； （2）求数列{}2na n a ⋅前n 项和nS第一章 解三角形1.1正弦定理命题人:王党爱 审题人：王辉一、单选题1．（2021·福建龙岩市·高一期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若105,30,A C b =︒=︒c =（ ）A ．12B ．1C D ．22．（2021·北京朝阳区·高一期末）在ABC sin 3cos B b A =，则A ∠=（ ） A ．56πB ．23π C ．3πD ．6π3．（2021·浙江高二期末）在ABC 中，若105A ，30C =，b =c =（ ）A ．2B C D ．14．（2021·全国高三其他模拟）在ABC ，且3A π=，则C =（ ） A ．4πB ．512π C ．3πD ．712π5．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）已知点()2,3A ，()1,4B -，()0,0C ，若四边形ABCD为平行四边形，则平行四边形的面积为（ ） A ．2B ．92C ．112D ．116．（2021·贵溪市实验中学高一期末）在锐角ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ．若2sin a B ，则角A 等于（ ）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π12二、填空题7．（2021·安徽省安庆九一六学校高一月考）在ABC 中，30A =，b =1a =，则sin B =_____________．8．（2021·四川省南充高级中学高一月考）边长为2的等边ABC 的外接圆的面积________. 9．（2021·上海高一课时练习）在ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=__________.10．（2021·上海高一课时练习）在ABC 中，若sin cos c A a C =，则C =__________. 三、解答题11．（2020·万宁市民族中学高二期末）在ABC 中，已知16,30a b A ︒===，解三角形.12．（2021·云南昆明市·昆明一中高二期末）已知∈ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且()3cos cos cos B a B b A c +=．（1）求cos B ；（2）若2AB =，sin sin A B =，求∈ABC 的面积．13．（2021·浙江高一单元测试）已知在ABC 中，cos 3A =，,,a b c分别是角,,A B C 所对的边. （1）求tan 2A ；（2）若sin 23B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，c =ABC 的面积.1.2余弦定理命题人:王党爱 审题人：王辉一、单选题1．（2021·北京高二学业考试）在∈ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ）A ．2B ．C ．4D ．62．（2021·天津南开区·南开中学高一期末）在ABC 中，23,2,cos 3AC BC C ===，则sin A =（ ）A B ．9C ．23D ．193．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）ABC 中，AB =4，BC =3，CA =2，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．14B ．1116C ．14-D ．784．（2021·甘肃金昌市·高三二模 ）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin :sin :sin 5:7:9A B C =，则cos C （ ）A ．335-B ．114-C ．15-D ．110-5．（2021·全国）在∈ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2﹣ac +c 2＝b 2，则角B 为（ ） A ．6πB ．3πC ．56π D ．23π 6．（2021·江苏省丹阳高级中学高一月考）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()sin 2sin sin c C a b B a b A -+=-，则C=（ ）A ．6πB ．3π或23π C ．23π D ．6π或56π 二、填空题7．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos a b C =，则B =___________.8．（2021·天津红桥区·高一期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222a c b +-=，则角B 的大小为___________9．（2021·山西高二月考）a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知22213a bcbc +=+，则cos A =_________.10．（2021·全国高一课时练习）已知a ，b ，c 为∈ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 三、解答题11．（2020·云南文山壮族苗族自治州·砚山县第三高级中学高二学业考试）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ．（1）若30,45,A B a ︒︒===求b ； （2）若3,5,60,a b C ===︒求c ．12．（2021·广东梅州市·高二学业考试）如图，在∈ABC中，∈A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求∈CBD的面积；（2）求边AC的长.13．（2021·宁夏大学附属中学高三一模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知+=.cos cos2cosa C c Ab B（1）求B；（2）若b=ABC的面积为ABC的周长.2三角形中的几何计算命题人:王党爱 审题人：王辉一、单选题1．（2021·全国高一专题练习）已知ABC 内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，，cos a b C =，则ABC 形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形2．（2021·上海高一课时练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c >+，则ABC 一定是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定3．（2020·晋中市·山西寿阳县一中高一月考）在ABC 中，260,B b ac =︒=，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形B ．不等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形4．（2020·四川凉山彝族自治州·）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，3b =，30A =︒，则角B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°5．（2016·河南高三学业考试）ABC 的三边长分别为3，5，7，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6．（2020·全国高三月考 ）一艘向正南航行的渔船，看见正东方向相距7海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航.行15分钟后，看见一灯塔在船的北偏东60方向，另一灯塔在船的北偏东75°方向,则该渔船的速度是每小时（ ）A ．7海里B ．C ．14海里D ．二、填空题7．（2019·合肥市第三中学高二月考）已知钝角三角形的三边长分别为3，4，x ，则x 的取值范围是_________.8．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）在ABC 中，2AB =，AC 23ABC π∠=，则BC =______________.9．（2019·深圳市龙岗区科城实验学校）已知∈ABC 中，AC ＝2，AB ＝3，∈BAC ＝60°，AD 是∈ABC 的角平分线，则AD ＝________.10．（2019·兴安县第三中学高二期中）在ABC 中，60A =，1b =，则边长c =_________. 三、解答题11．（2020·农安县教师进修学校）如图，已知∈ABC 中，AB ＝2，∈ABC ＝45°，∈ACB ＝60°．（1）求AC 的长；（2）若CD ＝5，求AD 的长．12．（2020·独山县兴农中学高二月考 ）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，满足()()a b c a b c bc +--+=.（1）求A 的值； （2）若2a =，4B π=，则ABC 的周长.13．（2021·浙江高一期末）如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4B ∠=.（1）求AC 的长；（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值.3解三角形的实际应用举例命题人:王党爱审题人：朱懿峰一、单选题1．（2021·呼和浩特市·内蒙古师大附中高一期中）某人遥控一机器人，让机器人从点A发向正北方向走了到达点B后，向右转105︒，然后朝新方向走了x km后到达点C，结果发现机器人在点A的东北方向，则x为（）A B．C D．2．（2021·浙江高一期末）已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于2km，灯塔A在观测站C的北偏东25︒，灯塔B在观测站C的南偏东35︒，则灯塔A与之间B的距离为（）A．2km B．C．D．4km3．（2021·辽宁沈阳市·高一月考）如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10B．北偏西10C．南偏东80D．南偏西804．（2021·宜昌市夷陵中学高一月考）一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（）A．海里/时B．5海里/时C．/时D．10海里/时5．（2021·全国高一课时练习）如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∈BAC＝α，∈ACB＝β，则A，B两点间的距离为（）A．sinsinmαβB．sinsin()mααβ+C．sinsin()mβαβ+D．sin()sin sinm aβαβ++6．（2021·全国高一课时练习）已知A地与C地的距离是4千米，B地与C地的距离是3千米，A地在C 地的西北方向，B地在C地的西偏南15︒方向上，则A，B两地之间的距离是（）A千米B．13千米C千米D．37千米二、填空题7．（2021·四川雅安市·雅安中学高一月考）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站Ca km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为___________.8．（2021·上海高一课时练习）已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∈ABC ＝120°，则A、C两地间的距离为________．9．（2020·运城市景胜中学高一开学考试）在∈ABC中，AB AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为_______.10．（2021·全国高一课时练习）如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是________米（精确到0.1米）三、解答题11．（2021·全国高一课时练习）甲船在A处,乙船在A的南偏东45°方向距A9海里的B处,并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,用多少小时能追上乙船?12．（2021·全国高一课时练习）海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁，军舰由西向东航行，望见此岛在北偏东75︒，航行8海里后，望见此岛在北偏东60︒，如果军舰不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？13．（2019·江苏省邗江中学高一期中）已知在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2=a2+ c2−√3ac，c=√3b．（1）求角A；（2）若ΔABC的外接圆半径为2，求ΔABC的面积．第二章综合测评命题人:王党爱 审题人：朱懿峰一、单选题1．（2019·乌鲁木齐八一中学高一期中）在ABC ∆中，已知1a =，60A =︒，3c =C 的度数为 A ．30B ．60︒C ．30或60︒D ．60︒或120︒2．（2019·浙江温州市·高一期中）在ABC ∆中，02,60AC BC B =∠=，则AB 的值为A ．1B C D 3．（2019·辽宁沈阳市·高三期末 ）在ABC 中，3A π∠=，2AB =，5BC =，则cos (C ∠= )A ．5±B ．5-C D ．54．（2019·山西吕梁市·高二期末 ）在∈ABC 中，AB AC ＝1，B ＝6π，则∈ABC 的面积等于 ( )A B C D 5．（2018·全国高一课时练习）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin a b A =，则B 等于（ ） A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°6．（2020·建水县第六中学高二期中）在∈ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∈B ∈C ＝1∈2∈3，则a ∈b ∈c 等于( )A ．1∈2∈3B ．2∈3∈4C ．3∈4∈5D ．7．（2018·河南洛阳市·高二期末 ）在ABC ∆中，已知030,2b A c ==，则sin Aa= A ．14B ．12C ．1D ．28．（2019·万宁市民族中学高二期中）∈ABC 中，若C 的度数是 A ．60° B ．120°C ．60°或120°D ．45°二、填空题9．（2020·四川省绵阳南山中学高二开学考试）在ABC 中，2AB =，AC 23ABC π∠=，则BC =______________.10．（2020·全国高二课时练习）ABC ∆的周长等于3(sin sin sin )A B C ++，则其外接圆直径等于__________．11．（2018·全国高二课时练习）在∈ABC中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________.12．（2020·衡水市第十四中学高一月考）在ABC ∆中，6a =，30B ︒=，120C ︒=，则ABC ∆的面积是__________. 三、解答题13．（2018·广西桂林市·桂林十八中高二期中）在ABC ∆中，cos sin a C A b c =+. （1）求A ；（2）若a =ABC S ∆=b ，c .14．（2018·全国高二课时练习）在∈ABC中，已知b ＝3，c ＝B ＝30°，求角A ，角C 和边a .15．（2017·湖北高三一模 ）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =+.（1）求A ；∆，求b与c的值.（2）若a=ABC16．（2012·黑龙江哈尔滨市·高三期末）. 如图,在四边形中,.(1)求边的长；（2）求四边形的面积；（3）求的值.第三章不等式1.1不等关系命题人:王党爱 审题人：刘丹一、单选题1．（2021·江西赣州市·高一期末）若a b >，则下列判断正确的是（ ）A ．11a b< B >C ．22a b > D ．33a b >2．（2021·北京八十中）已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ln ln a b <B ．11a b> C ．22a b < D ．33a b <3．（2020·上海高一专题练习）设实数a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式中不一定成．．．．立．的是（ ） A ．ab ac >；B ．()0c b a ->；C ．cb ab <；D ．()0ac a c -<.4．（2020·海南鑫源高级中学高一期末）若1,2>>a b ，则a b +的取值范围是（ ）A ．[)3+∞，B ．(],3-∞C ．()3+∞，D ．)(3-∞，5．（2019·海南鑫源高级中学高一期中）若0<x <1，则21,,x x x 的关系是（ ） A ．21x x x>> B ．21x x x>>C ．21x x x><D ．21 x x x>>6．（2021·安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知224124P a a Q b b =++=-+-，，则（ ）A ．P Q >B ．P Q <C ．P QD ．P Q二、填空题7．（2021·黑龙江哈尔滨市·<或>）.8．（2021·全国高一课时练习）已知,a b ∈R ，则2252a b ++_______42ab a +．（用“>”或“<”填空） 9．（2020·上海高一专题练习）若32a b -<<<，则-a b 的取值范围是_______ 10．（2021·湛江市第二中学高一期末）已知231M a a =++，122N a =+，则M ________N ．（填“>”或“<”） 三、解答题11．（2021·全国高一课时练习）设A ＝(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)＋a (a ∈R )，B ＝a 4－1，试比较A 与B 的大小．12．（2020·河北唐山市·英才国际学校高一期中）已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围.13．（2020·深圳市皇御苑学校高二期中）已知a ，b R ∈，比较22a b +与245a b --的大小．1.2不等关系与不等式命题人:王党爱 审题人：刘丹一、单选题1．（2021·江西吉安市·高一期末）若0a b >>，0m <．则下列不等式成立的是（ ） A ．a m ab m b->- B ．a m ab m b-<- C ．1ma b>- D ．22am bm <2．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）设22,2,a x b x =+=则a b > （ ） A ．对B ．错3．（2021·北京八十中）已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ln ln a b <B ．11a b> C ．22a b < D ．33a b <4．（2021·广东中山市·高二期末）已知01x <<，01y <<，记,1M xy N x y ==+-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N <B ．M N >C ．MND ．M 与N 的大小关系不确定5．（2021·通化县综合高级中学高一期末）已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（ ） A ．b b ma a m+>+ B ．b b m a a m+<+ C ．a a mb b m+>+ D ．a a mb b m+<+ 6．（2020·安徽高一月考）已知0,,,23ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则βα-的取值范围是（ ）A ．,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．,6ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题7．（2021·浙江高一期末）一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110ab≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________8．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一期中）若()()23x a a =+-，()()34y a a =+-，则x 与y 的大小关系是__________.9．（2020·浙江高一期末）若13a b -<+<，24a b <-<，则b 的取值范围___________. 10．（2020·台州市双语高级中学高一月考）若0a b c >>>，那么c a ____cb.(用“>或<或=”填空) 三、解答题11．（2021·全国高二单元测试）已知22ππαβ-≤<≤，试求2αβ-的取值范围．12．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --； （3）当1x >时，2x 与21x x -+；。

双基限时练(二十五)一、选择题1．不等式x ＋3y －6<0表示的平面区域在直线x ＋3y －6＝0的( )A ．右上方B ．左上方C ．右下方D ．左下方解析 由图可知，不等式表示的平面区域在直线的左下方． 答案 D2．点(－1,4)在直线3x ＋2y ＋m ＝0的右上方，则( ) A ．m >4 B ．m >－1 C ．m >－5D ．m <－5解析 由3×(－1)＋4×2＋m >0，得m >－5. 答案 C3．在直角坐标系内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0所表示的平面区域(用阴影表示)是( )解析 由不等式的意义可知． 答案 C4.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0解析 阴影部分不包括直线3x －2y ＋b ＝0，y ＝－2，包括直线x ＝0，故选C.答案 C5．若点(1,2)，(3，－4)在直线2x －my ＋1＝0的两侧，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－74∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 由题可知(2－2m ＋1)(6＋4m ＋1)<0，得m >32，或m <－74. 答案 D6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43 D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1,1)，C (0,4)． ∴S △ABC ＝12|AC |·h ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43.故选C. 答案 C 二、填空题7．原点O (0,0)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x ＋y ≥2，2x ＋y －5≤0所表示的平面区域的位置关系是________，点M (1,1)与平面区域的位置关系是________．解析 代入检验．答案 原点O 在平面区域外 M 在平面区域内8．以原点为圆心的圆全部在区域⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0的内部，则圆的面积的最大值为________．解析 根据条件画出平面区域如图中阴影所示，要使以原点为圆心的圆面积最大，则圆与直线x －y ＋2＝0相切．此时半径r ＝|0－0＋2|2＝2，此时圆面积为S ＝π(2)2＝2π.答案 2π9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析 如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y＝7之间(不含y ＝7)时满足条件．答案 5≤a <7 三、解答题10．有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需磷酸盐2 t ，硝酸盐9 t ，生产1车皮乙种肥料需磷酸盐2 t ，硝酸盐5 t ，工厂现有库存磷酸盐20 t ，硝酸盐70 t ，用x 、y 分别表示甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x 、y 满足的数学关系式．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤20，9x ＋5y ≤70，x ≥0，y ≥0.11．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，求实数a 的值．解 不等式组表示的平面区域如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∴A (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＝a ，得B (a ，a ＋4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝a ，得C (a ，－a )．由题意得a >0. ∴A 到直线x ＝a 的距离d ＝a ＋2，|BC |＝2a ＋4， ∴S △ABC ＝12(2a ＋4)·(a ＋2)＝9， 得a ＝1，∴a 的值为1. 12．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积．解 不等式x －y ＋6≥0表示直线x －y ＋6＝0上及右下方的平面区域；x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的平面区域；x ≤3表示直线x ＝3上及左方的平面区域．∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，表示的平面区域如图所示．因此其区域面积也就是△ABC 的面积．显然，△ABC 为等腰直角三角形．∠A ＝90°，AB ＝AC ，B 点坐标为(3，－3)．由点到直线的距离公式|AB |＝|3×1＋3×1＋6|2＝122，∴S △ABC ＝12×122×122＝36.故不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，表示的平面区域的面积等于36.思 维 探 究13．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，6x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证。

第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)3 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1)(D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ；(2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________. 10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝81，a 42＝1，a 54＝165.(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a .13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题 15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc(C)a ＞b ⇒a 2＞b 2(D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式. 测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10 5．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于()(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________.12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==a b B A . (1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0).(2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ；(2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35. 三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n ×12＋2)1(-⨯n n ×2＝n 2＋11n ， ∴S n ＝n 2＋11n ＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍).13．(1)通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50＋(n －1)×(－0.6)＝－0.6n ＋50.6.解不等式－0.6n ＋50.6＜0，得n ＞84.3. 因为n ∈N *，所以从第85项开始a n ＜0.(2)S n ＝na 1＋2)1(-n n d ＝50n ＋2)1(-n n ×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n .由(1)知：数列{a n }的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(S n )max ＝S 84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.。

(苏教版)高中数学必修5配套练习+章节检测试卷+章节知识点汇总第1章解三角形1.1 正弦定理A级根底稳固一、选择题1．在△ABC 中, 边长BC ＝10, ∠A ＝30°, ∠B ＝45°, 那么边长AC 等于( )A ．202 B.1063C ．10 2 D.563解析: 由正弦定理得10sin 30°＝ACsin 45°, 解之得AC ＝10 2.答案: C2．在△ABC 中, ∠A ＝60°, a ＝43, b ＝42, 那么∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 解析: 因为sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22,所以∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时, 不符合题意, 所以∠B ＝45°. 答案: C3．假设a sin A ＝b cos B ＝ccos C , 那么△ABC 为( )A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形解析: 由a sin A ＝b sin B ＝csin C, 故sin B ＝cos B ,sin C＝cos C,所以B＝C＝45°.答案: C4．在△ABC中, 假设∠A＝30°, ∠B＝60°, 那么a∶b∶c＝()A．1∶3∶2 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．1∶2∶2解析: 由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶3∶2.答案: A5．在△ABC中, 假设sin A>sin B, 那么A与B的大小关系为()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A、B的大小关系不能确定解析: sin A＞sin B⇔2R sin A＞2R sin B⇔a＞b⇔A＞B(大角对大边)．答案: A二、填空题6．△ABC中, AB＝6, ∠A＝30°, ∠B＝120°, 那么△ABC的面积为________．解析: 由正弦定理得ABsin C＝BCsin A, 解得BC＝6,所以S△ABC＝12AB·BC·sin B＝12×6×6×32＝9 3.答案: 9 37．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.A＝π6, a＝1, b＝3, 那么B＝________．解析: 由正弦定理a sin A ＝bsin B .把A ＝π6, a ＝1,b ＝3代入, 解得sin B ＝32.因为b >a , 所以B >A , 结合题意可知B ＝π3或2π3.答案: π3或2π38．在△ABC 中, c ＋b ＝12, A ＝60°, B ＝30°, 那么b ＝________, c ＝________．解析: 由正弦定理知sin B b ＝sin C c , 即b ＝12c , 又b ＋c ＝12, 解得b ＝4, c ＝8.答案: 4 8 三、解答题9．在△ABC 中, a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 判断△ABC 的形状．解: 因为a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 所以a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得: a ·a 2R ＝b ·b2R ,所以a 2＝b 2, 所以a ＝b . 所以△ABC 为等腰三角形．10．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且A ＋C ＝2B . (1)求cos B 的值;(2)假设b 2＝ac , 求sin A sin C 的值．解析: (1)由2B ＝A ＋C 和A ＋B ＋C ＝180°, 得∠B ＝60°,所以cos B ＝12.(2)由b 2＝ac 及正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝sin 260°＝34.B 级 能力提升一、选择题11．在△ABC 中, a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a , 那么ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析: 因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .由正弦定理可得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A , 即sin B ＝2sin A , 所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.答案: D12．在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c , 假设3a ＝2b , 那么2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.72解析: 由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1, 又3a ＝2b , 所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×94－1＝72.所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×sin 2B sin 2A －1＝2×94－1＝92－1＝72.答案: D 二、填空题13．在△ABC 中, 假设a ＝3, b ＝3, A ＝π3, 那么C 的大小为________．解析: 在△ABC 中, 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ,即sin B ＝b sin Aa＝3×323＝12. 又因为a >b , 所以B ＝π6.所以C ＝π－A －B ＝π2.答案: π214．在△ABC 中, a ＝1, b ＝3, A ＋C ＝2B , 那么sin C ＝________．解析: 在△ABC 中, A ＋B ＋C ＝π, 又A ＋C ＝2B , 故B ＝π3, 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12,又a ＜b , 因此A ＝π6, 从而C ＝π2, 即sin C ＝1.答案: 115．在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .假设a ＝2, b ＝2, sin B ＋cos B ＝2, 那么角A 的大小为________．解析: 因为sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1, 解得B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin A＝12, 因为a ＜b , 所以0＜A ＜B ＝π4.所以A ＝π6.答案: π6三、解答题16．在△ABC中, a＝3, b＝26, B＝2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值．解: (1)因为a＝3, b＝26, B＝2A,由正弦定理得3sin A＝26sin2A.所以2sin A cos Asin A＝263.故cos A＝6 3.(2)由(1)知cos A＝63, 所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为∠B＝2∠A, 所以cos B＝2cos2A－1＝1 3.所以sin B＝1－cos2B＝22 3.在△ABC中,sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 9.所以c＝a sin Csin A＝5.第1章解三角形1.2 余弦定理A级根底稳固一、选择题1．在△ABC中, A, B, C的对边分别为a, b, c, 假设c2－a2－b22ab>0,那么△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析: 由题意知a2＋b2－c22ab<0, 即cos C<0,所以△ABC为钝角三角形．答案: C2．在△ABC中, a＝1, b＝3, c＝2, 那么B等于() A．30°B．45°C．60°D．120°解析: cos B＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12,所以B＝60°.答案: C3．边长为5, 7, 8的三角形的最大角与最小角的和是() A．90°B．120°C．135°D．150°解析: 设边长为7的边所对的角为θ, 那么由余弦定理得:cos θ＝52＋82－722×5×8＝12, 所以θ＝60°.所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案: B4．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且a2＝b2－c 2＋2ac , 那么角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135° 解析: 因为a 2＝b 2－c 2＋2ac , 所以a 2＋c 2－b 2＝2ac ,由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22,又0°<B <180°, 所以B ＝45°. 答案: A5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7, BC ＝5, CA ＝6, 那么AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19 解析: 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935,所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.答案: D 二、填空题6．△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 假设3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0, 那么cos C ＝_____________________________.解析: 由3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0得a 2＋b 2－c 2＝－23ab , 从而cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13.答案: －137．(2021·福建卷)在△ABC 中, A ＝60°, AC ＝2, BC ＝3, 那么AB 等于________．解析: 由余弦定理可知: cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝4＋AB 2－32×2AB ＝12, 所以AB ＝1. 答案: 18．设2a ＋1, a , 2a －1为钝角三角形的三边, 那么a 的取值范围是________．解析: 由题意知2a ＋1是三角形的最大边, 那么⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋2a －1>2a ＋1a 2＋ (2a －1 )2－ (2a ＋1 )22a (2a －1 )<0所以2<a <8. 答案: (2, 8) 三、解答题9．在△ABC 中, B ＝120°, 假设b ＝13, a ＋c ＝4, 求△ABC 的面积．解: 由余弦定理得: b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ,即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12, 所以ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.10．在△ABC 中, ∠C ＝90°, 现以a ＋m , b ＋m , c ＋m (m ＞0)为边长作一个△A ′B ′C ′, 试判断△A ′B ′C ′的形状．解: 最大边长c ＋m 所对角为C ′, 那么cos C ′＝ (a ＋m )2＋ (b ＋m )2－ (c ＋m )22 (a ＋m ) (b ＋m )＝ (a 2＋b 2－c 2 )＋2m (a ＋b －c )＋m 22 (a ＋m ) (b ＋m )＝2m (a ＋b －c )＋m 22 (a ＋m ) (b ＋m )＞0,所以C ′为锐角, 而C ′为△A ′B ′C ′的最大角, 故△A ′B ′C ′为锐角三角形．B 级 能力提升一、选择题11．三角形的两边分别为5和3, 它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根, 那么三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析: 设夹角为α, 所对的边长为m , 那么由5x 2－7x －6＝0, 得(5x ＋3)(x －2)＝0, 故得x ＝－35或x ＝2, 因此cos α＝－35, 于是m 2＝52＋32－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝52, 所以m ＝213.答案: B12．在不等边三角形中, a 为最大边, 如果a 2<b 2＋c 2, 那么A 的取值范围是( )A ．90°<A <180°B ．45°<A <90°C ．60°<A <90°D ．0°<A <90°解析: 由余弦定理可知, cos A >0, 故知A 为锐角, 又A 是不等边三角形的最大角, 故A >60°, 所以60°<A <90°.答案: C13．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 假设(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac , 那么B ＝( )A.π6B.π3或2π3C.π6或5π6D.π3解析: 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 2＝3actan B , 再由余弦定理得: cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B,即tan B cos B ＝32, 即sin B ＝32, 所以B ＝π3或2π3. 答案: B 二、填空题14．(2021·天津卷)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c .b －c ＝14a , 2sin B ＝3sin C , 那么cos A 的值为________．解析: 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c , 即b ＝32c .代入b －c ＝14a , 整理得a ＝2c .故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ·c ＝－14.答案: －1415．△ABC 的三边a , b , c , 且面积S ＝a 2＋b 2－c 24, 那么C ＝________．解析: 由12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C , 再由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab得sin C ＝cos C ,所以C ＝π4.答案: π4三、解答题16．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , a ＝1, b ＝2, cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长; (2)求cos(A －C )的值．解: (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4, 所以c ＝2.所以△ABC 的周长为1＋2＋2＝5.(2)因为cos C ＝14, 所以sin C ＝1－cos 2C ＝154,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22＋22－122×2×2＝78.所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.第1章解三角形1.3 正弦定理、余弦定理的应用A级根底稳固一、选择题1．在某测量中, 设点A在点B的南偏东34°27′, 那么点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′答案: A2.如以下图, 为了测量某湖泊两侧A, B的距离, 绘出以下数据, 其中不能唯一确定A, B两点间的距离的是()A．角A, B和边bB．角A, B和边aC．边a, b和角CD．边a, b和角A解析: 根据正弦定理和余弦定理可知, 当知道两边和其中一边的对角解三角形时, 得出的结果不一定唯一, 应选D.答案: D3．一船自西向东匀速航行, 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处, 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处, 那么这只船的航行速度为( )A.1762 n mileB ．34 6 n mile C.1722n mileD ．34 2 n mile解析: 如以下图, 在△PMN 中, PM sin 45°＝MNsin 120°,所以MN ＝68×32＝34 6.所以v ＝MN 4＝1726( n mile/h)． 答案: A4．某人向正东方向走x km 后, 他向右转150°, 然后朝新方向走3 km, 结果他离出发点恰好 3 km, 那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3解析: 依题意可得, 32＋x 2－2×3·x cos 30°＝(3)2. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案: C5．江岸边有一炮台高30 m, 江中有两条船, 由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°, 而且两条船与炮台底部连线成30°角, 那么两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．2030 mD ．30 m解析: 设炮台顶部为A , 两条船分别为B 、C , 炮台底部为D , 可知∠BAD＝45°,∠CAD＝60°, ∠BDC＝30°,AD＝30.分别在Rt△ADB, Rt△ADC中,求得DB＝30, DC＝30 3.在△DBC中, 由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos 30°,解得BC＝30.答案: D6．有一长为10 m的斜坡, 倾斜角为75°, 在不改变坡高和坡顶的前提下, 通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°, 那么坡底要延长的长度(单位: m)是()A．5 B．10 C．10 2 D．10 3解析: 如以下图, 设将坡底加长到B′时, 倾斜角为30°,在△ABB′中, 利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中, ∠B′＝30°,∠BAB′＝75°－30°＝45°, AB＝10 m,由正弦定理, 得BB′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．所以斜坡的倾斜角变为30°时, 坡底延伸10 2 m. 答案: C二、填空题7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后, 望见塔在正北, 假设路途测得塔的最大仰角为30°, 那么塔高为________m.解析: 设塔高为AB, 某人由C前进到D, 依题意可得CD＝40 m, ∠ACD＝90°－60°＝30°, 作AE⊥CD于点E, 那么∠AEB ＝30°, 那么AD＝CD sin 30°＝20,AE＝AD sin 60°＝103,所以AB＝AE tan 30°＝103×33＝10 m.答案: 108．一树干被台风吹断, 折断局部与残存树干成30°角, 树干底部与树尖着地处相距5 m, 那么树干原来的高度为________．解析: 如以下图, AB＝AC·tan 60°＝53, BC＝ACsin 30°＝10,所以AB＋BC＝(53＋10)m.答案: (10＋53)m三、解答题9.如以下图, 一船以每小时15 km 的速度向东航行, 船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°, 行驶4 h 后, 船到达C 处, 看到这个灯塔在北偏东15°, 求此时船与灯塔的距离．解: 如题图所示, 由正弦定理得, BCsin (90°－60° )＝15×4sin 45°,所以BC ＝30 2 km.所以此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如以以下图所示, 在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°, 在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°, AB 的距离是84 m, 求塔高．解: 设塔高CD ＝x m , 那么AD ＝x m , DB ＝3x m.在△ABD 中, 利用余弦定理得842＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x tan 45°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫xtan 30°2－23·x 2cos(90°＋60°),解得x ＝±127(负值舍去), 故塔高为127 m.B 级 能力提升一、选择题11．如以下图, 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等, 灯塔A在观察站C的北偏东40°, 灯塔B在观察站C的南偏东60°, 那么灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析: 如题图所示, 结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.因为AC＝BC, 所以∠ABC＝50°, α＝60°－50°＝10°.答案: B12．假设水平面上, 点B在点A南偏东30°方向上, 那么在点A 处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析: 根据方位角的意义, 可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案: C13．当甲船位于A处时得悉, 在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救, 甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船, 乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救, 那么sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714解析: 连接BC.在△ABC中, AC＝10, AB＝20,∠BAC ＝120°, 由余弦定理, 得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC · cos120°＝700,所以BC ＝107, 再由正弦定理, 得BC sin ∠BAC＝ABsin θ, 所以sin θ＝217.答案: A 二、填空题14．(2021·课标全国Ⅰ卷)如以下图, 为测量山高MN , 选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°, C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°; 从C 点测得∠MCA ＝60°.山高BC ＝100 m, 测山高MN ＝________m.解析: 根据图示, AC ＝100 2 m.在△MAC 中, ∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中, MNAM ＝sin 60°,所以MN ＝1003×32＝150(m)．答案: 15015．甲船在岛B 的正南A 处, AB ＝10千米, 甲船以每小时4千米的速度向正北航行, 同时, 乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是________小时．解析: 设行驶x h 后甲到点C , 乙到点D , 两船相距y km , 那么∠DBC ＝180°－60°＝120°.所以y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100.所以当x ＝514时, y 2有最小值, 即两船相距最近．答案:514三、解答题16．在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , b ＝27, B ＝60°, a ＋c ＝10.(1)求sin ()A ＋30°;(2)假设D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC , 求四边形ABCD 的面积．解: (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝bsin B ＝473,因为a ＋c ＝10, 所以sin A ＋sin C ＝5327. 因为B ＝60°, 所以C ＝120°－A ,所以sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327,于是得sin ()A ＋30°＝5714. (2)因为A , B , C , D 共圆, B ＝60°, 所以D ＝120°.在△ADC 中, 由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12,解之得AD ＝2,所以S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23,在△ABC 中, 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得ac ＝24.所以S △ADC ＝12ac sin 60°＝63,所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.第2章数列2.1 数列A级根底稳固一、选择题1．以下命题中错误的选项是()A．f(n)＝2n－1(n∈N*)是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案: C2．以下说法中正确的选项是()A．数列2, 3, 5可表示为{2, 3, 5}B．数列2, 4, 6, 8与数列8, 6, 4, 2是相同的数列C．集合{1, 3, 5, 7}与集合{7, 5, 3, 1}是相同的集合D．数列1, 3, 5, 7, …可记为{2n＋1}(n∈N*)解析: 考查数列的定义及数列与数集的区别．答案: C3．数列1, 3, 7, 15, …的一个通项公式是a n＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1D．2n－1解析: 由数列的前四项可知, 该数列的一个通项公式为a n＝2n －1.答案: D4．数列{a n}的通项公式是a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1n 2n ≥2那么这个数列的前3项是( )A ．1, 4, 9B ．2, 4, 9C ．2, 1, 4D ．2, 6, 11解析: 考查数列的通项． 答案: B5．数列12, 23, 34, 45, …, nn ＋1, …, 那么0.96是该数列的第( )A ．20项B ．22项C ．24项D ．26项 解析: 由a n ＝n n ＋1, 令nn ＋1＝0.96, 解得n ＝24.即a 24＝0.96.答案: C 二、填空题6．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n12n ＋1, 那么a 10＝______;a 2n ＋1＝________．解析: a 10＝(－1)1012×10＋1＝121,a 2n ＋1＝(－1)2n ＋112 (2n ＋1 )＋1＝－14n ＋3.答案: 121 －14n ＋37．a n ＝n 2－7n ＋6, 那么从第________项起{a n }的各项为正数．解析: 由n 2－7n ＋6＞0得n ＜1或n ＞6, 而n ∈N *, 所以n ＞6. 答案: 78．由数列53, 108, 17a ＋b ,a －b24, …, 可得有序数对(a , b )为________．解析: 从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15a －b ＝26 解得⎩⎨⎧a ＝412b ＝－112.答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫412 －112 三、解答题9．根据数列的通项公式, 写出数列的前5项, 并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n ＋2; (2)a n ＝n ＋1n.解: (1)a 1＝1, a 2＝3, a 3＝1, a 4＝3, a 5＝1.图象如图①所示． (2)a 1＝2, a 2＝32, a 3＝43, a 4＝54, a 5＝65.图象如图②所示．图① 图②10．数列{a n }的通项公式a n ＝3n －23n ＋1.(1)求这个数列的第10项; (2)98101是不是该数列的项? (3)判断数列{a n }的单调性, 并求数列的最大项、最小项． 解: (1)由a n ＝3n －23n ＋1, 令n ＝10, 得a 10＝3×10－23×10＋1＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101, 得: 9n ＝300,所以n ＝1003, 由于n 不是正整数,因此, 98101不是该数列的项．(3)由于a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1, 那么a n ＋1－a n ＝1－33n ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－33n ＋1 ＝9(3n ＋1 ) (3n ＋4 ). 又n ∈N ＋, (3n ＋1)(3n ＋4)>0, 所以a n ＋1>a n ,即数列{a n }是递增数列, 所以数列中的最小项为a 1＝14, 无最大项．B 级 能力提升一、选择题11．在数列a 1, a 2, a 3, a 4, …, a n , …的每相邻两项中插入4个数, 构成一个新数列, 那么新数列的第36项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第7项C ．是原数列的第8项D ．是原数列的第9项解析: 在数列中插入四个数后, 原数列中的k 项变为新数列中的[5(k －1)＋1]项．依题意得, 5(k －1)＋1＝36, 解得k ＝8.应选C.答案: C12．数列1, －1, －1, 1, 1, －1, －1, 1, …的一个通项公式可以是( )A ．a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4B ．a n ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4C ．a n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋1D ．a n ＝ (－1 )n ＋1＋12解析: 令n ＝1, 2, 3, 检验可知, 数列的通项为a n ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4. 答案: A13．a n ＝n 2－21n 2, 那么数列{a n }中相等的连续两项是( )A ．第9项, 第10项B ．第10项, 第11项C ．第11项, 第12项D ．第12项, 第13项解析: 假设a n ＝a n ＋1, 那么有n 2－21n 2＝ (n ＋1 )2－21 (n ＋1 )2,解之得n ＝10, 所以, 相等的连续两项是第10项和第11项．答案: B 二、填空题14．数列32, 83, 154, 245, 356, 487, …的一个通项公式为________．解析: 数列的分母具有明显规律, 因而只要进一步观察分子, 发现分母比分子的平方小1, 故知数列的通项公式为a n ＝ (n ＋1 )2－1n ＋1＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)．答案: a n ＝n 2＋2nn ＋1(n ∈N *)15．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋), 那么a n ＋1－a n等于________．解析: 因为a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋),所以a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2.所以a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案: 12n ＋1－12n ＋2三、解答题16．数列{a n }中, a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋), 且{a n }单调递增, 求实数k 的取值范围．解: 因为a n ＝n 2－kn , 所以a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)．所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 因为数列{a n }单调递增, 所以a n ＋1－a n >0,即2n ＋1－k >0对n ∈N ＋恒成立． 所以k <2n ＋1对任意n ∈N ＋恒成立． 而2n ＋1的最小值为3. 故只需k <3即可．所以k 的取值范围为(－∞, 3)．第2章数列2.2 等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2 等差数列的通项公式A级根底稳固一、选择题1．等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n, 那么它的公差d为() A．2 B．3 C．－2 D．－3－a n＝3－2(n＋1)－3＋2n＝－2.选C.解析: d＝a n＋1答案: C2．等差数列{a n}的首项a1＝4, 公差d＝－2, 那么通项公式a n＝()A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6解析: a n＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.答案: C3．m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5, 那么m和n的等差中项是()A．2 B．3 C．6 D．9解析: 由题意2m＋n＝10, 2n＋m＝8, 两式相加得3m＋3n＝18,所以m ＋n ＝6.所以m ＋n2＝3.答案: B4．在首项为81, 公差为－7的等差数列中, 值最接近零的项是( )A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项解析: 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88, 令a n ≥0, 解得n ≤887＝1247.而a 12＝4, a 13＝－3, 故a 13的值最接近零． 答案: C5．假设数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1, 那么数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列解析: 因为3a n ＋1＝3a n ＋1, 所以3a n ＋1－3a n ＝1. 所以a n ＋1－a n ＝13.故数列{a n }为公差为13的等差数列．答案: B 二、填空题6．在等差数列{a n}中, a3＋a7＝37, 那么a2＋a4＋a6＋a8＝________．解析: 根据等差数列的性质, a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37.所以原式＝37＋37＝74.答案: 747．在等差数列{a n}中, a3＋a8＝10, 那么3a5＋a7＝______．解析: 由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10, 即2a1＋9d＝10, 3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2 (2a1＋9d )＝20.答案: 208．假设a, b, c成等差数列, 那么二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．解析: 因为a, b, c成等差数列, 所以a＋c＝2b.又Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0,所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．答案: 1或2三、解答题9．在等差数列{a n}中, a1＋a6＝12, a4＝7.(1)求a9;(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．解: (1)设首项为a1, 公差为d, 那么2a1＋5d＝12,a1＋3d＝7, 解得a1＝1, d＝2,所以a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17.(2)由(1)知, a n＝2n－1, 由101＜a n＜1 000知101＜2n－1＜1 000,所以51＜n ＜1 0012.所以共有项数为500－51＝449.10．数列{a n }中, a 1＝12, 1a n ＋1＝1a n ＋13, 求a n .解: 由1a n ＋1＝1a n ＋13知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2, 公差为13的等差数列, 所以1a n ＝2＋(n －1)·13＝n ＋53. 所以a n ＝3n ＋5(n ∈N *)． B 级 能力提升一、选择题11．数列{a n }的首项为3, {b n }为等差数列, 且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *), 假设b 3＝－2, b 10＝12, 那么a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析: 由b 3＝－2和b 10＝12得b 1＝－6, d ＝2,所以b n ＝2n －8, 即a n ＋1－a n ＝2n －8, 由叠加法得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0.所以a 8＝a 1＝3. 答案: B12．等差数列{a n }中, 前三项依次为: 1x ＋1, 56x , 1x , 那么a 101等于( )A ．5013B ．1323C ．24D ．823解析: 由1x ＋1＋1x＝2×56x 解得x ＝2, 故知等差数列{a n }的首项为13, 公差d ＝112, 故a 101＝a 1＋100d ＝13＋100×112＝263＝823. 答案: D13．?莱因德纸草书?是世界上最古老的数学著作之一, 书中有这样的一道题目, 把100个面包分给5个人, 使每人所得成等差数列, 且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．那么最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116解析: 设这5份分别为a －2d , a －d , a , a ＋d , a ＋2d (d >0), 那么有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d , a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a＋2d ＝100, 故a ＝20, d ＝556, 那么最小的一份为a －2d ＝20－553＝53. 答案: A 二、填空题14．设数列{a n }, {b n }都是等差数列, 假设a 1＋b 1＝7, a 3＋b 3＝21, 那么a 5＋b 5＝________．解析: 因为{a n }, {b n }都是等差数列, 所以{a n ＋b n }也是等差数列, 其公差为21－72＝142＝7.所以a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案: 3515．递增的等差数列{a n }满足a 1＝1, a 3＝a 22－4, 那么a n ＝________．解析: 设等差数列公差为d , 那么由a 3＝a 22－4, 得1＋2d ＝(1＋d )2－4,所以d 2＝4.所以d ＝±2.由于该数列为递增数列, 所以d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 答案: 2n －1(n ∈N *) 三、解答题16． "三个数成递减等差数列, 且三数和为18, 三数的积为66〞, 求这三个数．解: 法一: 设三个数分别为a 1, a 2, a 3.依题意, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18 a 1·a 2·a 3＝66所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18a 1· (a 1＋d )· (a 1＋2d )＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11 d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝5.因为数列{a n }是递减等差数列, 所以d <0. 所以d ＝－5, a 1＝11, 所以a 2＝6.a 3＝1. 所以这三个数为11, 6, 1.法二: 设等差数列{a n }的前三项依次为a －d , a , a ＋d ,那么⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋ (a ＋d )＝18 (a －d )·a · (a ＋d )＝66 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6 d ＝±5.又因为{a n }是递减等差数列, 所以d <0, 所以取a ＝6, d ＝－5. 所以这三个数分别为11, 6, 1.17．1b ＋c , 1c ＋a , 1a ＋b是等差数列, 求证: a 2, b 2, c 2是等差数列．证明: 由条件, 得1b＋c＋1a＋b＝2c＋a,所以2b＋a＋c(b＋c ) (a＋b )＝2c＋a.所以(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．所以a2＋c2＝2b2, 即a2, b2, c2是等差数列．第2章数列2.2 等差数列2.2.3 等差数列的前n项和A级根底稳固一、选择题1．等差数列{a n}中, S10＝120, 那么a1＋a10等于() A．12B．24C．36D．48解析: 根据等差数列的前n项和公式S n＝ (a1＋a n )n2,可得S10＝ (a1＋a10 )·102＝5(a1＋a10)＝120⇒a1＋a10＝24.答案: B2．在等差数列{a n}中, 前15项的和S15＝90, 那么a8等于() A．3 B．4 C．6 D．12答案: C3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n , 假设S 4＝20, S 2＝4, 那么公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析: 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4 S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4 4a 1＋6d ＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12 d ＝3.答案: B4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( ) A.n (3n ＋8 )2B. (n ＋2 ) (3n ＋8 )2C. (n ＋3 ) (3n ＋8 )2D.n (3n －1 )2解析: 根据题意, 记等差数列{a n }的通项公式a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2, 那么1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)＝(n ＋3)[1＋3(n ＋3)－2]＝ (n ＋3 ) (3n ＋8 )2.答案: C5．假设等差数列{a n }的前三项和S 3＝9, 且a 1＝1, 那么a 2等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析: S 3＝3a 1＋3×22d ＝9, 且a 1＝1,所以d ＝2, 所以a 2＝a 1＋d ＝3. 答案: A 二、填空题6．假设一个等差数列{a n }的前3项和为34, 最后3项的和为146, 且所有项的和为390, 那么这个数列有________项．解析: a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180, 所以3(a 1＋a n )＝180, 即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390, 知n (a 1＋a n )2＝390,所以n ·602＝390, 解得n ＝13.答案: 137．在项数为2n ＋1的等差数列中, 所有奇数项的和为165, 所有偶数项的和为150, 那么n ＝________．解析: (1)由S 奇S 偶＝ (n ＋1 )· (a 1＋a 2n ＋1 )2n · (a 2＋a 2n )2＝n ＋1n ＝165150.解得: n ＝10. 答案: 108．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 假设a 1＝－11, a 4＋a 6＝－6, 那么当S n 取最小值时, n ＝________．解析: a 4＋a 6＝2a 5＝－6, 得a 5＝－3, 所以公差d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2.法一: 由d ＝2>0可知, 数列{a n }是递增数列． a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13.令a n ＝0, 得n ＝612.所以a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<…. 故数列{a n }的前6项和最小．法二: S n ＝na 1＋n (n －1 )2d ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36.所以当n ＝6时, S n 最小．答案: 6 三、解答题9．等差数列51, 48, 45, …. (1)第几项开始为负? (2)前多少项的和最大?解: (1)易得a 1＝51, d ＝48－51＝－3, 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋54.由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负．(2)由a 18＝0, 且a 1>0, d <0, 故前17项或前18项的和最大． 10．数列{b n }的前n 项和S n ＝9－6n 2, 假设b n ＝2n －1a n , 求数列{a n }的通项公式．解: 当n ＝1时, b 1＝S 1＝9－6×12＝3,当n ≥2时, b n ＝S n －S n －1＝9－6n 2－9＋6(n －1)2＝－12n ＋6, 当n ＝1时, b 1＝3不符合b n ＝－12n ＋6的形式,所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1 ) 6－12n (n ≥2 ).又b n ＝2n －1a n ,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1 ) 6－12n 2n －1 (n ≥2 ).B 级 能力提升一、选择题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n , S m －1＝－2, S m ＝0, S m ＋1＝3, 那么m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析: a m ＝S m －S m －1＝2, a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3,所以公差d＝a m＋1－a m＝3－2＝1.由S m＝m (a1＋a m )2＝0得a1＝－a m＝－2,所以a m＝－2＋(m－1)·1＝2, 解得m＝5.答案: C12．设S n是等差数列{a n}的前n项和, 假设a5a3＝59, 那么S9S5等于()A．1 B．－1 C．2 D.1 2解析: S9S5＝92 (a1＋a9 )52 (a1＋a5 )＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1.答案: A13．等差数列{a n}的前m项的和为10, 前2m项的和为100, 那么它的前3m项的和为()A．130 B．170 C．270 D．260解析: 因为S m＝10, S2m＝100, 故S2m－S m＝90, 故知S m, S2m －S m, S3m－S2m构成首项为10, 公差为80的等差数列, 所以S3m－S2m＝90＋80＝170.所以S3m＝100＋170＝270.答案: C二、填空题14．{a n}是等差数列, a1＝1, 公差d≠0, S n为其前n项和, 假设a1a5＝a22, 那么S8＝________．解析: 由a1a5＝a22得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2, 解得d＝2, 所以S8＝8a1＋8×72d＝8×1＋8×72×2＝64.答案: 6415．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月曾发生流感, 据资料记载, 11月1日, 该市新的流感病毒感染者有20人, 以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人, 那么到11月7日该市新感染者共有________人．解析: 设从11月1日起, 第n 天的新感染者有a n 人, 那么a n ＋1－a n ＝50,那么每天的新感染者构成以a 1＝20, d ＝50的等差数列{a n }, 所以到11月7日该市新感染者共有S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×20＋7×62×50＝1 190人．答案: 1 190 三、解答题16．设等差数列{a n }满足a 3＝5, a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解: (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5, a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5 a 1＋9d ＝－9可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)． (2)由(1)知, S n ＝na 1＋n (n －1 )2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25, 所以当n ＝5时, S n 取得最大值．第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级根底稳固一、选择题1．以下说法: ①公差为0的等差数列是等比数列; ②b2＝ac, 那么a, b, c成等比数列; ③2b＝a＋c, 那么a, b, c成等差数列; ④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析: 公差为0的非零数列是等比数列, 故①不正确; ②中只有a, b, c都不为0才正确; ④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案: B2．在等比数列{a n}中, a1＝8, a4＝64, 那么a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析: 因为a4＝a1q3＝8·q3＝64, 所以q3＝8, q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案: C3．等比数列x , 3x ＋3, 6x ＋6, …的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析: 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3, －6, －12, －24, ….答案: A4．{a n }是等比数列, 下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列; ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列;③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列; ④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 解析: 考查等比数列定义, 其中①②③为真． 答案: B5．等差数列{a n }的公差为3, 假设a 1, a 3, a 4成等比数列, 那么a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析: a 1＝a 2－3, a 3＝a 2＋3, a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6, 由于a 1, a 3, a 4成等比数列,那么a 23＝a 1a 4,所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6), 解得a 2＝－9. 答案: D 二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1, a 1, a 2, a 5成等比数列, 那么d ＝________．解析: 因为a 1, a 2, a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5, 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案: 0或27．在6和768之间插入6个数, 使它们组成共8项的等比数列, 那么这个等比数列的第6项是________．解析: 由条件得, 768＝6×q7, 解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案: 1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长, 那么第10年末的树木总量是今年的________倍．解析: 设这个林场今年的树木总量是m, 第n年末的树木总量为a n, 那么a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.那么a n＋1a n＝1.25.那么数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．那么a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案: 1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中:(1)a3＋a6＝36, a4＋a7＝18, a n＝12, 求n; (2)a5＝8, a7＝2, a n>0, 求a n.解: (1)法一: 因为a3＋a6＝36, a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36, ①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12, 所以14a1＋132a1＝36, 所以a1＝128,而a n ＝a 1q n －1, 所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1, 所以n ＝9.法二: 因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q , 所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12, 而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)．所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32.因为a n ＝a 3q n －3, 所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8, a 7＝a 1·q 6＝2, 所以q 2＝14, q ＝±12.又a n >0, 所以q ＝12.所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．{a n }是首项为19, 公差为－2的等差数列, S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ;(2)设{b n －a n }是首项为1, 公比为3的等比数列, 求数列{b n }的通项公式．解: (1)因为{a n }是首项为19, 公差为－2的等差数列, 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21, 即a n ＝－2n ＋21, S n ＝19n ＋n (n －1 )2·(－2)＝－n 2＋20n ,即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1, 公比为3的等比数列, 所以b n －a n＝3n －1,即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．{a n}是等比数列, 且a n＞0, a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25, 那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析: a2a4＝a23, a4a6＝a25, 故得(a3＋a5)2＝25, 又a n＞0, 所以a3＋a5＝5.答案: A12．设{a n}是由正数组成的等比数列, 且a5·a6＝81, 那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析: log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案: C13．在正项等比数列{a n}中, a3＝2－1, a5＝2＋1, 那么a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析: 因为a3a7＝a25, a2a6＝a3a5,所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案: C二、填空题14.(2021·安徽卷)如以下图, 在等腰直角三角形ABC中, 斜边BC ＝22, 过点A作BC的垂线, 垂足为A1, 过点A1作AC的垂线, 垂足为A 2; 过点A 2作A 1C 的垂线, 垂足为A 3....依此类推, 设BA ＝a 1, AA 1＝a 2, A 1A 2＝a 3, …, A 5A 6＝a 7, 那么a 7＝________．解析: 由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2, 公比q ＝22的等比数列, 所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案: 1415．(2021·广东卷)假设等比数列{a n }的各项均为正数, 且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5, 那么ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析: 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5, 所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案: 50 三、解答题16．等比数列{a n }各项均为正数, 且2a 1＋3a 2＝1, a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解: 由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6 2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24 2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎨⎧q ＝13a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。

1.2 应用举例(二)一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33mB ．201＋32m C ．20(1＋3) mD ．30m 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200mB ．300mC ．400mD ．1003m3．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米B.2h 米C.3h 米 D ．22h 米5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15mB ．5mC ．10mD ．12m6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002mB ．400mC ．2003mD ．500m二、填空题 7.如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3mm ，BC ＝22mm ，AB ＝29mm ，则∠ACB ＝______________.8．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1km.若AB ＝BD ，则B 、D 间的距离为________km.三、解答题10．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).11.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．12．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？答案精析 1．A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.3π48．156 9.32＋62010．证明 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB， 即AP sin (180°－γ＋β)＝a sin (γ－α)， AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)， 所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 11．解 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°行走40 m 到达C 处，即BC ＝40，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°.在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB， 即AC sin 30°＝40sin 135°， ∴AC ＝20 2.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大， 在△ABC 中，由面积公式知 12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝202×40×sin 15°40＝202sin 15°， ∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202(22×32－22×12)＝10(3－1)． 在Rt △AEG 中，∵AE ＝AG tan ∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033， 所以塔高为(10－1033) m. 12．解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3(千米)，AC ＝1(千米)，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)．在△ACD 中，AC ＝AD ＝1，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC 12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。

1.2 应用举例(三)一、选择题1．台风中心从A 地以20km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40km 处，则B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5hB ．1hC ．1.5hD ．2h2．甲骑电动车以24km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．6kmB ．33kmC ．32kmD ．3km3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°4．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A 等于( )A.23B.45C.1213D.15175．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.334 C.1532 D.15346．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，S △ABC ＝154，则b 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“没有”)9．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为____________km.三、解答题10．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．11.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．答案精析1．B 2.C 3.B4．D [S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc＝－2bc cos A ＋2bc ，∵S ＝12bc sin A ， ∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A . 即4－4cos A ＝sin A .平方得17cos 2A －32cos A ＋15＝0.即(17cos A －15)(cos A －1)＝0.得cos A ＝1(舍)或cos A ＝1517.] 5．D 6.C 7.3314 8.没有 9.6－1 10．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角， ∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2<0，∴C 为钝角，∴sin C ＝255，cos C ＝－55， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536. ∴πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π. ∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153，c ＝2R sin C ＝2153. 综上，a ＝3，b ＝153，c ＝2153， △ABC 外接圆的面积为2512π. 11．解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos 120°＝2 800，所以BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，得 sin ∠ACB ＝AB sin ∠BAC BC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝277×32－217×12＝2114. 12.解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，∠ACB ＝120°.在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠ACB ，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB，所以sin ∠CAB ＝BC sin ∠ACB AB＝10×32103＝12，又因为∠CAB 为锐角，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.。

第1章 1.1 第1课时一、选择题1. 在△ABC中, a＝10, B＝60°, C＝45°, 则c＝______.A. 10＋B. 10( －1)C. 10( ＋1)D. 102. 在△ABC中, 由已知条件解三角形, 其中有两解的是( )A. b＝20, A＝45°, C＝80°B. a＝30, c＝28, B＝60°C. a＝14, b＝16, A＝45°D. a＝12, c＝15, A＝120°3．在△ABC中, 已知a2tanB＝b2tanA, 则此三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 直角或等腰三角形4．已知△ABC中, a＝x, b＝2, ∠B＝45°, 若三角形有两解, 则x的取值范围是( )A. x>2B. x<2C. 2<x<2D. 2<x<25．在△ABC中, 下列关系式中一定成立的是( )A. a>bsinAB. a＝bsinAC. a<bsinAD. a≥bsinA6．在△ABC中, a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边, b＝ , c ＝1, B＝45°, 则a＝( )A.6±22B.6－22C.6＋24D.6＋227. 在锐角△ABC中, 已知AB＝4, AC＝1, S△ABC＝ , 则·的值为( )A. －2B. 2C. ±4D. ±28．在△ABC中, 若＝＝ , 则△ABC是( )A. 有一内角为30°的直角三角形B. 等腰直角三角形C. 有一内角为30°的等腰三角形D. 等边三角形9．在△ABC中, a＝1, A＝30°, C＝45°, 则△ABC的面积为( )A.22B.24C.32D.3＋1410. 设a、b、c分别是△ABC中∠A.∠B.∠C所对边的边长, 则直线xsinA ＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是( )A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直二、填空题11. 已知△ABC外接圆半径是 2 cm, ∠A＝60°, 则BC边长为__________.12. 在△ABC中, a、b、c分别是∠A.∠B.∠C所对的边. 若∠A＝105°, ∠B＝45°, b＝2 , 则c＝______.13. 在△ABC中, a＋b＝12, A＝60°, B＝45°, 则a＝________.14．在△ABC中, a∶b∶c＝2∶4∶5, 则的值为________．三、解答题15. 已知在△ABC中, AB＝AC, 一个腰上的高为 , 这条高线与底边的夹角为60°, 求此三角形的面积.16. 在△ABC中, 角A.B.C的对边分别为a、b、c, B＝ , cosA＝ , b＝ .(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积.17. △ABC中, A.B.C所对的边分别为a、b、c, tanC＝ , sin(B－A)＝cosC.(1)求A, B；(2)若S△ABC＝3＋ , 求a, c.18.在△ABC中, sin(C－A)＝1, sinB＝ .(1)求sin A的值；(2)设AC＝ , 求△ABC的面积.第1章 1.1 第2课时一、选择题1. 在△ABC中, 若a<b<c, 且c2<a2＋b2, 则△ABC为( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不存在2．在钝角三角形ABC中, 若sinA<sinB<sinC, 则( )A. cosA·cosC>0B. cosB·cosC>0C. cosA·cosB>0D. cosA·cosB·cosC>03．在△ABC中, a＝3, b＝ , c＝2, 则B等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4．在△ABC中, a＝12, b＝13, C＝60°, 此三角形的解的情况是( ) A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 不能确定5．在△ABC中, 已知a2＝b2＋c2＋bc, 则角A等于( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π36. 在△ABC中, 内角A.B.C的对边分别是a、b、c, 若＝＝ , 则△ABC 是( )A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.788. 在△ABC中, A＝60°, b＝1, S△ABC＝ , 则等于( )A.833B.2393C.2633D.39269. 已知△ABC中, a、b、c分别为角A.B.C的对边, 且a＝4, b＋c＝5, tanB ＋tanC＋＝ tanB·tanC, 则△ABC的面积为( )A. B. 3 C. D.10. 在△ABC中, 若＝ , 则角B等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题11. 在△ABC中, 已知A>B>C, 且A＝2C, b＝4, a＋c＝8, 则a、c的长分别为________.12. 在△ABC中, 已知sinA＝2cosB·sinC, 则三角形形状为__________.13. 在△ABC中, a＝b＋2, b＝c＋2, 又最大角的正弦等于 , 则三边长为__________.14. 在△ABC中, 三个角A, B, C的对边边长分别为a＝3, b＝4, c＝6, 则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________.15．在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若( b－c)cosA＝acosC, 则cosA＝________.三、解答题16. 在△ABC中, 已知AB＝10 , A＝45°, 在BC边的长分别为20, , 5的情况下,求相应角C.17. 在△ABC中, BC＝a, AC＝b, a、b是方程x2－2 x＋2＝0的两个根, 且2cos(A＋B)＝1.求:(1)角C的度数；(2)AB的长度.18.在四边形ABCD中, 已知BC＝a, DC＝2a, 四个内角A.B.C.D的度数之比为3∶7∶4∶10, 求AB的长.第1章 1.1 第3课时一、选择题1. 已知锐角△ABC的面积为3 , BC＝4, CA＝3, 则角C的大小为( )A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°2. 已知锐角三角形的边长分别为1,3, a, 则a的取值范围是( )A. (8,10)B. ( , )C. ( , 10)D. ( , 8)3．在△ABC中, 已知2sinAcosB＝sinC, 则△ABC一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形4．在△ABC中, 已知a＝x, b＝2, B＝60°, 如果△ABC有两解, 则x的取值范围是( )A. x>2B. x<2C. 2<x<D. 2<x≤5．已知△ABC的周长为7.5 cm, 且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6, 下列结论：①a∶b∶c＝4∶5∶6②a∶b∶c＝2∶5∶6③a＝2 cm, b＝2.5 cm, c＝3 cm④A∶B∶C＝4∶5∶6其中成立的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6．若向量a与b夹角为 , 且|a|＝|b|＝1, 则|a－b|等于( )A. 0B. 1C.D. 27．△ABC中, BC＝2, B＝ , 当△ABC的面积等于时, sinC等于( )A.32B.12C.33D.348. 在△ABC中, sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC, 则A的取值范围是( )A. (0, ]B. [ , π)C. (0, ]D. [ , π)9．在△ABC中, sinB＝ , cosA＝ , 则cosC的值为( )A. B. C. D. －10．△ABC中, 下列结论: ①a2>b2＋c2, 则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc, 则∠A为60°；③a2＋b2>c2, 则△ABC为锐角三角形；④若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3, 则a∶b∶c＝1∶2∶3, 其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题11. 已知三角形两边长分别为1和 , 第三边上的中线长为1, 则三角形的外接圆半径为__________.12. (2011·新课标全国文, 15)△ABC中 , B＝120°, AC＝7, AB＝5, 则△ABC的面积为________.13．在△ABC中, 已知AB＝4, AC＝7, BC边上的中线长为 , 则边BC的长为__________．三、解答题14. 在△ABC中, S△ABC＝15 , a＋b＋c＝30, A＋C＝ , 求三角形各边边长.15. 已知△ABC的三内角A.B.C满足B＝ , 三边a、b、c满足b2＝ac.求证: a＝c.在△ABC中, 内角A.B.C的对边长分别为a、b、c, 已知a2－c2＝2b,且sinB＝4cosAsinC, 求b.17.在△ABC中, a、b、c分别表示三个内角A.B.C的对边, 如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B), 判断三角形的形状.第1章 1.2 第1课时一、选择题1. 某人向正东方向走x km后, 他向右转150°, 然后朝新方向走3 km, 结果他离出发点恰好 km, 则x的值为( )A. B. 2 C. 2 或 D. 32．如图, 为了测量某障碍物两侧A、B间的距离, 在下列四组数据中, 考虑实际操作的可能性, 测量时应当选用数据( )A. α, a, bB. α, β, aC. a, b, γD. α, β, b3．已知△ABC的三边长a＝3, b＝5, c＝6, 则△ABC的面积是( )A. B. 2 C. D. 24．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km, 灯塔A在观察站C的北偏东20°, 灯塔B在观察站C的南偏东40°, 则灯塔A与灯塔B的距离为( )A. a kmB. a kmC. a kmD. 2a km5．已知△ABC中, a＝、b＝、B＝60°, 则角A等于( )A. 135°B. 90°C. 45°D. 30°6．海上有A.B.C三个小岛, 已知A.B相距10海里, 从A岛望C岛和B 岛成60°的视角, 从B岛望C岛和A岛成75°的视角, 则B.C的距离是( )A. 10 海里B. 海里C. 5 海里D. 5 海里7．如图所示, 设A、B两点在河的两岸, 一测量者在A所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离为50m, ∠ACB＝45°, ∠CAB＝105°后, 就可以计算A、B两点的距离为( )A. 50 mB. 50 mC. 25 mD. m8．一船向正北航行, 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上, 另一灯塔在船的南偏西75°方向上, 则这艘船的速度是每小时( )A. 5海里B. 5 海里C. 10海里D. 10 海里9．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km, 船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km, 则A, B两船的距离为( )A. 2 kmB. 3 kmC. kmD. km10. △ABC的三内角A.B.C的对边边长分别为a、b、c, 若a＝ b, A＝2B, 若cosB＝( )A....B..C. ..D.二、填空题11. 一船以24 km/h的速度向正北方向航行, 在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上, 15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东方向上, 则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.12．如图, 为了测量河的宽度, 在一岸边选定两点A, B, 望对岸的标记物C, 测得∠CAB＝30°, ∠CBA＝75°, AB＝120 m, 则河的宽度是__________．三、解答题13.如图, 我炮兵阵地位于地面A处, 两观察所分别位于地面点C和D处, 已知CD＝6 000 m. ∠ACD＝45°, ∠ADC＝75°, 目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°, ∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离. (结果保留根号)14. 如图, 为了测量河对岸A, B两点间的距离, 在河的这边测得CD＝km, ∠ADB＝∠CDB＝30°, ∠ACD＝60°, ∠ACB＝45°, 求A.B两点间的距离.第1章 1.2 第2课时一、选择题1. 在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°, 塔基的俯角为45°, 则这座塔吊的高是( )A. 20(1＋ )mB. 20(1＋ )mC. 10( ＋ )mD. 20( ＋ )m2. △ABC的对边分别为a、b、c且a＝1, B＝45°, S△ABC＝2, 则△ABC 外接圆的直径为( )A. 4B. 5C. 5D. 63．如果将直角三角形三边增加同样的长度, 则新三角形形状为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加长度决定4．甲船在湖中B岛的正南A处, AB＝3km, 甲船以8km/h的速度向正北方向航行, 同时乙船从B岛出发, 以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去, 则行驶15分钟时, 两船的距离是( )A.7kmB.13kmC.19kmD.10－33km5. 在地面上点D处, 测量某建筑物的高度, 测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°, 已知建筑物底部高出地面D点20m, 则建筑物高度为( )A. 20mB. 30mC. 40mD. 60m6．如图所示, 在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°, 沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S点, 又测得山顶仰角∠DSB＝75°, 则山高BC为( )A. 500 mB. 200mC. 1000 mD. 1000m7．从某电视塔的正东方向的A处, 测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处, 测得塔顶仰角为45°, A.B间距离是35 m, 则此电视塔的高度是( )A. 5 mB. 10mC. mD. 35m二、填空题8. 一船以每小时15km的速度向东航行, 船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向, 行驶4h后, 船到达B处, 看到这个灯塔在北偏东15°方向, 这时船与灯塔的距离为________km.9甲、乙两楼相距20米, 从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°, 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°, 则甲、乙两楼的高分别是________．10. 如图, 已知梯形ABCD中, CD＝2, AC＝ , ∠BAD＝60°, 则梯形的高为__________.三、解答题11. 如图所示, 两点C, D与烟囱底部在同一水平直线上, 在点C1, D1, 利用高为 1.5 m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°, C, D 间的距离是12 m, 计算烟囱的高AB.第1章 1.2 第3课时一、选择题1. 已知△ABC中, AB＝4, AC＝5, A为锐角, △ABC的面积为6, 则·的值为( )A. 16B. －6C. 9D. 02．△ABC中, 若A＝60°, b＝16, 此三角形的面积S＝220 , 则a的值为( )A. 20B. 25C. 55D. 493．三角形两边之差为2, 夹角的余弦值为 , 面积为14, 则这个三角形的此两边长分别是( )A. 3和5B. 4和6C. 6和8D. 5和74．△ABC周长为20, 面积为10 , A＝60°, 则BC边长为( )A. 5B. 6C. 7D. 85．甲船在岛B的正南A处, AB＝10千米, 甲船以每小时4千米的速度向正北航行, 同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去, 当甲、乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是( )A.1507分钟 B.157小时C. 21.5分钟D. 2.15分钟6．飞机沿水平方向飞行, 在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°, 向前飞行10 000米到达B处, 此时测得正前下方目标C的俯角为75°, 这时飞机与地面目标的水平距离为( )A. 2 500( －1)米B. 5 000 米C. 4 000米D. 4 000 米7．已知a, b, c分别是△ABC三个内角A, B, C的对边, 若△ABC的面积为 , c＝2, A＝60°, 则a的值为( )A. 1B.C. 3D.8. 一船自西向东匀速航行, 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处, 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处, 则这只船的航行速度为( )A. 海里/小时B. 34 海里/小时C. 海里/小时D. 34 海里/小时9．在四边形ABCD中, ∠B＝∠D＝90°, ∠A＝60°, AB＝4, AD＝5, 则AC的长为( )A. B. 2C.53D.522二、填空题10. 如图所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, AB＝5, AC＝9, ∠BCA＝30°,∠ADB＝45°.则BD的长为________.11. 如图, 在△ABC中, AB＝AC＝3, BC＝2, ∠ABC的平分线交过A的与BC平行的直线于D, 则△ABD的面积为________.三、解答题12. 在△ABC中, C＝60°, BC＝a, AC＝b, a＋b＝16.(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式.(2)当a等于多少时, S有最大值？并求出最大值.(3)当a等于多少时, 周长l有最小值？并求出最小值．13. 在△ABC中, c＝2 , a>b, C＝ , 且有tanA·tanB＝6, 求a、b与三角形的面积.14. 在△ABC中, ∠A＝60°, b＝1, S△ABC＝ .求(1) 的值.(2)△ABC的内切圆的半径长.15．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处, 乙船正以每小时a海里的速度向北航行, 已知甲船速度是每小时 a海里, 问甲船沿什么方向前进, 才能与乙船相遇？第一章基本知能达标测控一、选择题(本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。