2015年北师大版数学初二升初三衔接提高班复习讲义3

第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

第三讲直角三角形［教学内容］《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第三讲“直角三角形”.［教学目标］知识技能1.掌握勾股定理及其逆定理的内容；2.学会利用勾股定理惊醒计算、证明与作图，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；3.会用勾股定理解决简单的实际问题；4.体会数形结合的思想.数学思考经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观，通过勾股定理讲图形与方程结合起来，体会数形结合的思想和方程的思想.问题解决1.在定理的证明中培养学生的拼图能力；2.通过实际问题的解决，提高学生分析、解决问题的能力.情感态度1.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；2.学生通过适当训练，逐步体验数学说理的重要性；3.在活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神.[教学重点、难点]重点：勾股定理及其逆定理的内容的理解与掌握难点：应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题[教学准备]动画多媒体语言课件第一课时师：在直角三角形中有一个非常重要的定理，那就是勾股定理.勾股定理也称毕达哥拉斯定理，是一条古老而又应用十分广泛的定理，以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系，长时间以来，人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达300余种.我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.那么勾股定理在日常生活中都有哪些应用呢，我们一起来看一看吧.启动性问题小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？如图，标出电视机的长和宽58 cm46 cm小亮：我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机是指电视机屏幕对角线的长度. 动画出示对角线58 cm46 cm小萍：因为582+462=5480，742=5476，即屏幕对角线的长大约为74厘米，所以售货员没有搞错. 动画出示对角线的长≈74 cm58 cm46 cm师：原来售货员并没有搞错，我们日常生活中所说的电视大小一般指的是电视机的对角线的长度，以后可不要弄错了，闹出笑话哦.接下来我们一起来回顾一下直角三角形的基本知识吧.回顾：点击按钮可出现相应知识点1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角___互余____.2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.3.勾股定理:在一个直角三角形中，两条直角边的___平方和____等于斜边的平方，即a 2+b 2=c 2.4.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b，c满足___a2+b2=c2____，那么这个三角形是直角三角形.5.HL定理：一条斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或”HL”）师：下面我们就一起来看几道例题.初步性问题探究类型之一直角三角形的判定例1 如图，在△ABC中，∠A=2∠B，AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形．解析：按照从左往右的顺序依次出现，不需要下一步答案：证明:如图，作∠A的角平分线交BC于点D, 作DE⊥AB于点E，∵AD是∠A的角平分线，∴∠CAB=2∠EAD，又∠BAC=2∠B，∴∠B=∠EAD，∴DA=DB，又DE⊥AB，∴AB=2AE，∵AB=2AC，∴AE=AC，在△ADC和△AED中，AD=AD，∠DAC=∠EAD，AE=AC，∠A=2∠B作∠A的角平分线交BC于点D（动画作出）AB=2ACDA=DB作DE⊥AB于点E（动画作出）AB=2AEAE=AC∴△ADC≌△AED，∴∠C=∠DEA．∵∠DEA=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形．1.教师指定学生读题并说说自己的思路.生：想办法证明∠C=90°,可以找出AB的中点D，连接CD，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和来思考.教师按照学生的思路往下表示出各角，最后发现此种思路行不通.师：看来这种思路行不通？那么我们还可以怎么来思考呢？小组内讨论一下吧.2.小组讨论，讨论结束后教师指定小组汇报，其他小组补充指正.学生讨论过程中，教师注意巡视并参与其中，如果学生没有思路，教师适当引导学生做垂直构造直角，然后证明全等.生：做AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E,连接AE，证明△ACD≌△ADE.师：如何来证呢？生：……3.学生整理，规范解答.4.教师小结：证明一个三角形是直角三角形的方法：（1）有两个角互余，则另外一角是90°；（2）利用证明三角形全等，证明角相等，如果一个角是直角，对应角是直角；（3）证明一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 探究类型之二直角三角形的性质例2如图，在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长（答案保留精确结果）.解析：如图，步骤1：在Rt△ACD中∠C=30°，AC=2cm，标记△ACD，∠C和线段AC，利用含30°角的直角三角形的性质易求AD，利用勾股定理求得CD；步骤2：在等腰Rt△ABD中标记Rt△ABD,∠B，∠BAD利用等腰三角形的性质求BD.答：树高为7.5 m ．1.教师指定学生审题，说一说自己的思路. 生：要求树高，只要求出BD 的长就可以了.师：已经知道了BC 是5米，只要求出BD ，我们就知道整个树的高度了.那么BD 的长该如何来求呢？生：题中还告诉了我们两只猴子的路线长度相同，也就是说BD+AD=BC+AC .而我们知道了BC 和AC 的长，所以我们可以用BD 把AD 表示出来，然后在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程求解. 师：你们明白了吗？ 生：明白了.师：那自己解决它吧.2.学生独立完成此题，指定一学生上台板演，其他学生做完后仔细帮板演的同学检查并指正.3.师小结：构造直角三角形是利用勾股定理解决实际问题的基本方法.探究类型之四 勾股定理与拼图例4 2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标图案如图所示．（1）它可以看作由四个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形拼成，请从面积关系出发，写出一个关于a ，b ，c 的等式.（要有过程） 解析：S 大正方形=4S 三角形+S 小正方形 . 答案：解：c 2=4×12ab+（a -b ）2=a 2+b 2.（2）请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形，也能验证（1）中所写的等式.（需要写出验证过程）解析：如图所示(动画将原图中的四个 三角形如右图方式拼).③根据勾股定理的逆定理可知：4²+4²=32≠6²，所以这个三角形不是直角三角形.④正确.2.如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( ) A.2.5 B.22C.3D.5学生独立完成此题，指定学生讲解.要求这个点表示的实数，也就是求这个点与O之间的距离，这个长度和O B的长度是相等的，O B又在直角三角形O AB中，知道了两个直角边的长，很容易求出O B的长.3.如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A 开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为( )A.10米B.12米C.15米D.20米解析：动画展示两个两个表面展开图.（下一步）对应图下面出示式子：AB=22129+=15（米）+=261（米）AB=22615学生独立完成此题，指定学生上台讲解，其他学生补充指正.先思考：蚂蚁从A点爬到B点，可以怎么爬过去？如何判断哪个路径是最短的？生1：可以从正面和上面两个面爬过去，要使这个路径最短的话应该先将这两个面展开成一个平面，然后蚂蚁从这个新的长方形的对角线爬过去就是最短的.生2：可以从正面和右侧面爬过去，要使这个路径最短的话应该先将这两个面展开成一个平面，然后蚂蚁从这个新的长方形的对角线爬过去就是最短的.分别计算这两个路径后进行比较.课堂总结经过本节课的学习，你掌握了哪些知识？和大家分享一下.第二课时教学路径师：上节课我们学习了有关勾股定理有关问题，这节课我们继续学习有关勾股定理问题.初步性问题探究类型之五勾股定理在折叠中的应用例5 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．解析：黑色字体做成按钮，点击出现内容步骤1：根据翻折的性质及勾股定理在Rt△ADE中求出DE的长，进而得到EC的长；步骤2：化折为直：动画展示△AEF翻折与△ABF重合，设FC=x，则EF=BF=4-x，根据勾股定理列方程求解.答案：解：由题意，得AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF，在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3．在矩形ABCD中，DC=AB=5,∴CE=DC-DE=2．设FC=x，则EF=BF=BC-FC=4-x．在Rt△CEF中，由勾股定理得FC2+CE2=EF2，即x2+22=（4-x）2，解得x=32，即FC=32．1.教师指定学生审题，并说一说翻折以及矩形都有哪些性质？生：翻折前后对应边、角相等，对应点连线被折痕所在直线垂直平分，矩形对边相等，四个角都是直角……师：那么根据这些性质你能得到什么？生：AE=AB=5，AD=BC=4，BF=EF……师：那么FC的长该怎么来求呢？讨论下吧2.学生先独立思考，然后同桌之间相互讨论，并相互说说自己的思路.3.教师指定学生上台讲解自己的思路.生：在Rt△ADE中求出DE的长，进而得到EC的长，设FC=x，则EF=BF=4-x，根据勾股定理列方程求解.4.学生独自规范书写解答过程.5.教师小结：翻折前后的图形全等，灵活运用翻折的性质及勾股定理解答.在遇到翻折问题是时候，牢牢把握住翻折前后对应的边角相等关系解答.探究类型之六HL定理的运用例6 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．解析：AD=AF AC=AE Rt△ADC≌Rt△AFE 标记三角形AD=AFAB=AB Rt△ABD≌Rt△ABF标记三角形BC=BEHLHLCD=EF标记线段BD=BF标记线段答案：证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADC=∠AFE=90°.∵AD=AF，AC=AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），∴CD=EF．∵AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），∴BD=BF．∴BD-CD=BF-EF，即BC=BE．学生独立完成此题，指定学生上台板演并讲解，教师注意随时指正.要求BC=BE，我们可以证明这两条边所在的三角形全等，也可以间接的证明包含这两边的三角形全等.我们从题目中很容易知道，根据直角三角形全等的性质，我们很容易证明三角形ADB和三角形AFB全等，从而知道BD=BF；同理可以证明出CD=EF，进一步能求证出BC=BE.探究类型之七勾股定理的逆定理例 7 如图所示，在四边形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm, CD=24 cm, DA=26 cm，且AB⊥BC,求四边形ABCD的面积.分五步进行解析：S四边形ABCD= S Rt△ABC+S Rt△ACD标记两个三角形答案：AB⊥BCAB=6 cmBC=8 cm连接AC（在图中作出）勾股定理AC=10 cmCD=24 cmDA=26 cm勾股定理逆定理△ACD是直角三角形解：连接AC .∵AB ⊥BC ,∴AC=22AB BC +=2268+=10(cm ).又∵CD=24 cm, DA=26 cm,且102+242=100+576=676=262,即DA 2=AC 2+CD 2，∴△ACD 是直角三角形.∴ACD ABC ABCD S S S =+V V 四边形=12×10×24+12×6×8=144(cm 2).指定学生上台板演并讲解，教师注意随时指正.最后汇报题目要我们求的是这个四边形的面积，可是这个四边形不是我们平时学习的常见四边形，显然求它的面积我们要进行分割或者填补.因为题目告诉我们AB ⊥BC ，并且告诉我们AB 和BC 的长，很容易想到连接辅助线AC ，将图形分成两个三角形，其中左半部分是一个直角三角形，根据勾股定理能求出斜边的长.这样的话右半部分三角形的三边的长就全都知道了，我们可以先根据勾股定理的逆定理来判断一下，这个三角形是不是直角三角形，然后在进一步求解.学生独立完成本题.师：对于这类不规则图形，我们需要通过使用辅助线，将不规则图形切割为规则图形，再利用相关知识进行计算.师：接下来我们做下练习题巩固一下吧！类似性问题4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，分别以三边为直径向上作三个半圆．（1）AB=________；（2）图中阴影部分的面积=________．解析：S 阴影= S 半圆AC + S 半圆BC + S △ABC - S 半圆AB .学生独立完成此题，指定学生讲解.师：有与他不同想法的吗？如果有让学生说，如果没有，用下面的话进行引导.师：你发现了什么？生：S阴影=S△ABC师：为什么呢？你能说一说吗？生：根据勾股定理可以推得两个直角边为直径的小半圆面积之和等于斜边为直径的大半圆面积.师：哦，原来是这样的，看来我们要是运用好了勾股定理有些问题就很简单了！学生先尝试独立解决此问题，教师指定学生讲解此题，其他学生注意补充指正，教师注意随时更正并讲解.5.一个梯子AB长5 m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3 m.梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得DB的长为1 m，则梯子顶端A下落了________m．解析：在Rt△ABC中，AB=5 m，BC=3 m，根据勾股定理得AC=22AB BC-=4 m.（下一步）Rt△CDE中，ED=AB=5 m，CD=BC+DB=4 m，根据勾股定理得CE=22DE CD-=3 m. （下一步）AE=AC-CE=1 m，即梯子顶端下滑了1 m.学生先尝试独立解决此问题，教师指定学生讲解此题，其他学生注意补充指正，教师注意随时更正并讲解.6.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E.已知DC=2，求BE的长．解析：证明△ACD≌△CBE.学生先尝试独立解决此问题，教师指定学生讲解此题，其他学生注意补充指正，教师注意随时更正并讲解.题目要求BE的长，显然无法直接从数据上求出，前面学习的勾股定理的知识就完全没办法使用了，可是题目中只告诉我们CD的长，从图形上来观察，你有什么新的想法吗？我们前面还学习过如何证明两边相等的方法呢？学生先思考，从图形上可以猜想△ACD≌△CBE.尝试解答.答案：解：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°，AC=BC.∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE.在△ACD和△CEB中，∠DAC＝∠BCE,∠ADC＝∠CEB,AC＝BC，∴△ACD≌△CEB（AA S），∴BE=CD=2．教师小结.拓展延伸：长方形纸片ABCD中，AD=40cm，AB=100cm，如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF，求DE的长.学生先读题，将图形中的等长线段找出来.然后设未知数，根据勾股定理，构造方程求解.学生独立解答，汇报结果解：设DE的长为x cm，∵DE=BE=x；∴AE=100-x，在Rt△ABD中：答案：【类似性问题】1. D2. D3. C4.（1）10 （2）245. 16.解：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°，AC=BC.∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE. 在△ACD和△CEB中，∠DAC＝∠BCE,∠ADC＝∠CEB,AC＝BC，∴△ACD≌△CEB（AA S），∴BE=CD=2．手册答案1. B2. C3. AA S4.1805. 证明：连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB .∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠CBD=∠CDB ，∴BC=DC .∵BE ⊥EF ，DF ⊥EF ，∴∠E=∠F=90°，在Rt △BCE 和Rt △DCF 中.BC=DC ,BE=DF ,∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ）．6.（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，EC=DC .∵∠ACE=∠DCE -∠DCA ，∠BCD=∠ACB -∠DCA ，∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACE=∠BCD ．在△ACE 和△BCD 中，AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ， EC ＝DC ，∴△ACE ≌△BCD （S A S ）．（2）解：由△ACE ≌△BCD 得AE=BD=12，∵∠DBC=∠BAC=45°，∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=∠DBC+∠BAC=90°，即△EAD 是直角三角形， ∴DE=22AE AD +=22125+=13．7. 解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺），因此葛藤长为222021+=29（尺）.答：葛藤长29尺．。

第1章 代数式与恒等变形四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。

在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。

知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。

一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。

变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。

三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。

第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

全册资料（基础）第一章三角形的证明（基础）等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC 为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B ＝∠C ；(3)BD ＝CD ，AD 为底边上的中线.(4)∠ADB ＝∠ADC ＝90°，AD 为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义： 例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________.A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

第一讲 一元二次方程的解法(一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程,并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1)必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数;(3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 （a 、b 、c 为常数，a≠0)。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项,b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

（2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是： ① 化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;② 移项,即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方,即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m)2=n 的形式;⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义:例1:1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 。

A. ①和②； B 。

②和③ ； C 。

③和④； D 。

①和③2、要使方程（a-3）x 2+(b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠—1D ．a ≠3且b ≠—1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx —1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式:例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是;常数项是 。

第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。

其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

第一章节 直角三角形的边角关系 时间2021.03.10 创作：欧阳治 第一讲 1.从梯子的倾斜程度谈起 本节内容： 正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）1、正切的定义 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A .注：tanA 的值越大，AB 越陡.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：l h a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；为6m,坝高为3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i＝1:2变成i′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD的长为多少?3、正弦、余弦的定义sinA、sinB、cosA、cosB的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。

2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3,4），求sina 、tana 的值。

3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA的值。