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5-4 同方向简谐运动的合成 拍

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简谐运动的合成实验

简谐运动的合成实验

简谐运动的合成实验
一、实验目的
1. 了解简谐运动的合成理论实现方法。

2. 观察实验现象，了解简谐运动的合成的特点。

3. 学会利用旋转适量法分析简谐运动。

二、实验原理.
1. 两个同方向同频率简谐运动的合成：
若两个同方向的简谐运动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别是1ϕ和2ϕ，则它们的运动方程分别为x1=A1cos(ωt+1ϕ),x2=A2cos(2ϕω+t ).因为振动是同方向的，所以这两个简谐运动在任何时候的合位移x 仍在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2.。

合位移也可以用旋转矢量法求出。

如图1所示，两分振动的旋转矢量分别为A1和A2，开始时（t=0），它们与ox 轴的夹角分别为1ϕ和2ϕ，在ox 轴上的投影分别为x1及x2.由平行四边形法则，可得和矢量A=A1+A2。

由于A1、A2以相同的ω绕着o 点作逆时针旋转，它们的夹角（12ϕϕ-）在旋转过程中保持不变，所以矢量A 的大小也保持不变，并以相同的角速度ω绕着o 点作逆时针旋转。

从图1中可以看出，任意合矢量A 在ox 轴的投影x=x1+x2，因此和矢量A 即为合振动所对应的旋转矢量，而开始时矢量A 与ox 轴的夹角即为合振动的初相位ϕ。

由图可得合位移为x=Acos(ϕω+t )。

这就表明合振动仍然是简谐运动，其合振幅为A=)12cos(2122*21*1ϕϕ-++A A A A A A 。

合振动的初相位
为tan ϕ=(A1sin )
2sin 21ϕϕA +)\2cos 21cos 1ϕϕA A +。

图1。

第2节_简谐振动的合成

第2节_简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：

同方向的简谐振动的合成

同方向的简谐振动的合成
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化， 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象 拍现象。 动出现时强时弱的拍现象。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 ω2 − ω1 γ= = γ 2 − γ1 2π
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：

大学物理第五章5-4 一维简谐运动的合成 拍现象

大学物理第五章5-4 一维简谐运动的合成 拍现象
x A cos(t )
O
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第五章 机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
(1) 2kπ

x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos( t π) x2 A2 cos( t π )
x
x
O
2
A1
O
A A1 A2 2
T
t
A2
第五章 机械振动
A
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A

A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 方法二 旋转矢量合成法
物理学教程 （第二版）
(2 1 )t (2 1 )

1 A1
2t 2
A2 2
A
2 1
1t 1
2 1
x
O
2 2
x2
x1
x
1 2 0
2 π ( 2 1 )t
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 二 多个同方向同频率简谐运动的合成
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )

xn An cos(t n )

A A 3
x x1 x2 xn

4.5 同方向简谐振动的合成

4.5 同方向简谐振动的合成
2
同方向简谐振动合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐
振动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱
的现象叫拍. 2 1 1 2
x
[2
A
cos
2
(1
2
)t
]
cos
2
(
1
2
)t
2
2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2 振幅 A 2 A cos 2 π（ 2 1 ）t
2
Amax 2 A
tan
A1 sin1 A1 cos1
A2 A2
sin2 cos2
ω
A
A2
2 1
2
A1
O
x
同方向简谐振动合成
两种特殊情况
A
A
2 1
A
2 2
2A
1A
2
cos(2
1)
(1)若
2
1
2k
π
(k 0，1，2,)
同相 则A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2)若
2
1
(2k
1)
π
(k 0 ， 1, )
同方向简谐振动合成
(A1 cos1 A2 cos2)cost (A 1 sin1 A2 sin2)sint 引入 A, A1 cos1 A2 cos2 Acos
A1 sin1 A2 sin2 Asin
x Acos cost Asin sint Acos(t )
合振动是简谐振动, 其频率仍为
Amin 0
拍 1 2
拍频（振幅变化的频率)
同方向简谐振动合成
Ø 旋转矢量合成法
(2 1)t

大学物理教程3.2 简谐振动的合成

大学物理教程3.2 简谐振动的合成

Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2

o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍

5-1-简谐运动解析

（1）振幅
5-1 简谐运动
A
x02
v02
2
0.05m
（2）初相位 arccosx0 36052
A
由已知条件，初速度为正，所以 sin为负
36052 0.634rad
（3）振动表达式
返回
x 0.05cos(7t 0.634)m
第 5 章 机械振动
18
南通大学
Nantong University
T 返2回
第 5 章 机械振动
12
南通大学
Nantong University
5-1 简谐运动
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
频率 1
T 2π x
圆频率
A
2 π 2 π
o
T
A
xt图
Tt
T 2
周期和频率仅与振动系统返回本身的 物理性质有关
第 5 章 机械振动
vm A v A sin(t )
an A 2
a A 2 cos(t )
返回
第 5 章 机械振动
23
南通大学
Nantong University
5-1 简谐运动
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
返回
第 5 章 机械振动
24
南通大学
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5-1 简谐运动
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
可求（1）t 1.0 s, x, F t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70103 N
m 0.01kg 0.08 0.04
v
o 0.04
x/m
返回
0.08

大学物理(9.3.2)--简谐运动的合成





A2
2
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐
运动
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
* 四、两个同方向不同频率简谐运动的合成
x1
拍
t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现
两 个 频 率 较 大 且 相 差 极 小 的象同 方 向 谐 振 动 合 成 形 成
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第三讲 简谐运动的合成
3. 两种特殊情况
A
A2 1

A2 2

2 A1 A2
cos( 2
1 )
(1) 若两分振动同相
2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强
(2) 若两分振动反相
2 1=(2k+1)
第三讲 简谐运动的合成
* 三、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )

xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x A cos(t )

A
A3
3
A1 sin1 A2 sin2 Asin
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
tan

A1 sin1 A1 cos1

A2 A2
sin 2 cos2
x Acos cost Asin sint Acos( t )

chp9-4和5 简谐运动能量和合成

(k 0 ， 1， )
A A1 A2
A A1 A2
加强 减弱
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1， )
（3）一般情况 A1 A2 A A1 A2 两个振动的位相差对合振动起着重要作用
二、两个相互垂直的同频率的简谐振动的 合成 x A1 cos(t 1 )
方法一 解析法 x x1 x2 A1 cos 2 π 1t A2 cos 2 π 2t
x ( 2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
Amax 2A1
t
Amin 0
振动频率 ( 1 2 ) 2 振幅 A 2 A1 cos 2 π
0
简谐运动能量守 恒，振幅不变
Ep
C
1 E kA2 2
简谐运动势能曲线
E
Ek
Ep
A
O
B
x
A
x
能量守恒 简谐振动方程 1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2 d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt d2 x k x 0 简谐振动动力学方程 2 dt m
y
（1） 2 1 0 或 2 π A2 y x A1
A2
A1
o
x
（2） 2 1 π A2 y x A1
y
A2
A1
o
x
x 2 y 2 2 xy 讨 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 论 A1 A2 A1 A2

5-4一维简谐运动的合成


A(t) = 2Acos
ω2 −ω1
2 ω2 −ω1 t +π = 2Acos 2
(t +T)
比较
11
5-4 一维简谐运动的合成
第五章 机械振动
A(t) = 2Acos
ω2 −ω1
2 比较 ω2 −ω t +π 1 = 2Acos 2 ω2 −ω1 ω2 −ω1 1 T =π 或 =π 2 2 ν
快速在振动。 质点则按ω1快速在振动。
10
5-4 一维简谐运动的合成
第五章 机械振动
ω2 −ω1 tcos(ω t +ϕ) x = 2Acos 1 2 ω −ω 振幅 A(t) = 2Acos t 2
2 1
2.合振幅变化频率 拍频”。 合振幅变化频率—“拍频” 合振幅变化频率 拍频 由于余弦函数绝对值的周期为π。
1
5-4 一维简谐运动的合成
第五章 机械振动
一 两个同方向同频率简谐运动的合成 质点同时参与两个振动。 质点同时参与两个振动。两 个振动频率相同， 个振动频率相同，振动方向在同一 直线上。 直线上。 质点的振动是这两个振动的合成。 质点的振动是这两个振动的合成。 设两个分振动方程分别为： 设两个分振动方程分别为：
第五章 机械振动
ω2 −ω1 tcos(ω t +ϕ) x = 2Acos 1 2 ω −ω 振幅 A(t) = 2Acos t 2
2 1
1.振幅是周期变化的， 振幅是周期变化的， 振幅是周期变化的
ω1 ≈ ω2,
ω1 −ω2
2
很小， 很小，振幅 A（t）随时间 t 缓慢地变 （） 现象， 化—“拍”现象，最大值为 2A。 “ 。
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
*二
多个同方向同频率简谐运动的合成
A

A3
2
A2
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )

xn An cos( t n )
3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
2
Amax 2A1
t
返回
Amin 0
10
第 5 章 机械振动
南通大学
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1

A4 A3
第 5 章 机械振动
7
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
三 的合成
两个同方向不同频率简谐运动
返回
第 5 章 机械振动
8
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.

A
拍频
2 1
o
A1 1
x2
x1
x
x
振动圆频率
x1 x2 cost A
1t 2t
1 2
2
返回
2 1
第 5 章 机械振动
13
o
1 A1
返回
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为 简谐运动
第 5 章 机械振动
6
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
x1 A0 cost x2 A0 cos( t ) x3 A0 cos( t 2 )

o A1 A2 A3 A4 A5 x
x
A1
x
2
o
o
T
t

A
A2
A A1 A2 2 1 (2k 1)π
x ( A2 A1返回 t ) ) cos(
4
第 5 章 机械振动
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
小结 （1）相位差 2 1 2k π
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
O
A2
2
x2
返回
1
A1
x1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
x1 A1 cos1t A1 cos2 π1t
x2 A2 cos2t A2 cos2 π 2t
返回
x x1 x2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
第 5 章 机械振动
9
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
o
x2
x1
返回
x
x
1 2 0
2 π( 2 1 )t
第 5 章 机械振动
12
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
振幅 A A1 2(1 cos )
2 A1 cos(
2 1
2
t)
2
A2
( 2 1 )t
A
xN A0 cos[ t ( N 1) ]
(1) 2kπ 讨 (k 0,1,2,) 论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
A Ai NA0
i
A5
A0
A2 O 返回 A6 A x 1
(k 0 ， 1 ) ，
加强
A A1 A2
A A1 A2
， （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1 )
减弱 （3）一般情况 返回 A1 A2 A A1 A2
第 5 章 机械振动
5
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x x

A2
o A
o
m
T
1
t
A
返回 A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
第 5 章 机械振动
3
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )
第 5 章 机械振动
1
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
2 2
x A cos( t )
O
x2
1
1
Байду номын сангаасx1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成 返回 后仍为同频率的简谐运动
第 5 章 机械振动
2
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
（1）相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
方法一 x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π 2t
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2 振幅 A 2 A1 cos 2 π
2 1
拍频（振幅变化的频率）
返回
2 1
第 5 章 机械振动
11
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5－4 同方向简谐运动的合成 拍
方法二：旋转矢量合成法
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A2 2

1 A1
A
2 1
1t 1