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简谐运动的合成与分解

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高二物理竞赛课件：简谐运动的合成

高二物理竞赛课件：简谐运动的合成

*四、两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x1 t
x2 t
x t
拍 合振动振幅 随时间周期性加强与减弱的现象
两个频率较大且相差极小的同方向谐振动合成形成拍
例1 两个同方向简谐振动，周期相同，振幅为 A1=0.05m, A2=0.07m，组成一个振幅为A=0.1044m的简 谐振动，求两个分振动的相位差。
要决定于 = 2- 1
= 0
y A2 x A1
=
y A2 x A1
为 的整数倍，合振动轨迹为直线
= /2
= 3/2
x2 A12
y2 A22
1
为 2的奇数倍，合振动轨迹为正椭圆
= P·/4 .Q = 3/4 = -/4 = -3/4
为其他值，合振动轨迹为斜椭圆
方向： 2 1 0就是顺时针，反之逆时针。
解： A2 ?
A2 A12 A2 2 A1 A cos( 1)
0.1m
A2
2
因为 A2 A12 A22
O
所以
2
1
2
A
2 1
1
1
A1
x
x x1 x2
A
A2
2
O
x 1
A1
x2 x1
பைடு நூலகம்
x
利用解析法也可以计算振幅和初相。
x x1 x2 A1 cost 1 A2 cost 2
A1 cost cos1 sint sin1 A2 cost cos2 sint sin2
A1 cos1 A2 cos2 cost A1 sin1 A2 sin2 sint
x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2)

第4章-振动合成

第4章-振动合成

两个频率比为1:2的简谐运动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
x x1 x2 A1 ( t 1 ) A2 cos(2 t 2 )
x
x1
2T
x2
T
x
t
谐振分析*
x = 4A (sinω t
x
T
A
π
t
+
1 3sin3ω t
+
1 5 sin5ω
t)
x
合成后
x
A2 x y= A1
合振动振幅为 合振动为谐振动
A = A1 + A
2
2 2
r
A A cos t
2 1 2 2
2. 2 1 或 2k 1 2 2 x A1 cos( t 1 )
y
y A2 cos( t 2 ) A2 sin( t 1 )
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t dt dt 2
方程的解：
2
2 x A0 e t cos 0 2 t 0 A cost


稳定后的振动表达式：
x A cost
A
C
N

A AN
R
2
A1

A2
A3
N A 2 R sin 2 a 2 R sin 2 N a sin 2 A
sin
( N 1)


2

N 1 2
x A cos(t )
例1 . 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) 1、求合振动的振幅。 x x (t ) 2、求合振动的振动方程。 A1 1 解： A

振动的合成与分解

振动的合成与分解
x 2 A cos(
2 1
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x A( t ) cos t 2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos t cos( )t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件， 而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的 大小和强迫力的特征有关。
(3)初相:
2 tg 2 0 2
三、位移共振 在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。
2 2 2 (1)共振频率 : r 0
2.同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐和振动的叠加
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂 性的情况
x
x x1 x2
x1
x2
t
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大 的两个谐振动的叠加
声音时大时小---“拍现象” 若有： x1 A 1 cos(1t 1 )
如 A1=A2 , 则 A=0
例：两个沿Ｘ方向的谐振动的振动方程为： 3 2 2
3 x1 5 10 cos(12t ) x2 6 10 sin( 12t ) 4 4
求：１）１、２两振动的合成振动的振幅和初相；
２）若另有Ｘ方向的谐振动的方程为：
问：

为何值时， x1 x2 为最大； 为何值时，
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2

§3.3 简谐振动的合成

§3.3 简谐振动的合成
2 1 2 2
x
x
o ϕ2
ω A2
A1
A = A1 − A2 ϕ = ϕ2
o
T
t
A
相位差
ϕ 2 − ϕ1 = 2 k π
A = A1 + A2
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1)π
A = A1 − A2
当A1=A2 时，A=0
(k = 0 ， 1， ) ± L
相互加强
相位差
(k = 0 ， 1， ) ± L
A1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为： (2) ϕ 2 − ϕ1 = π 两个分运动反相位， 两个分运动反相位， 得
A2 y= x A1
y A2
o
A1
x
(3) φ2−φ1=π/2，得
x y + 2=1 2 A1 A2
2
2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 这是坐标轴为主轴的椭圆， 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。 (4) φ2−φ1=3π/2，仍然得
三、相互垂直的简谐振动的合成 1. 频率相同
若质点同时参与两个同频率的相互垂直的分运 动，其位移表达式分别为
x = A1 cos(ωt + ϕ1 ) y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
消去时间参数， 消去时间参数，得
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
x = A1 cos(ω1t + ϕ1 ) y = A2 cos(ω 2t + ϕ 2 )
李 萨 如 图
ϕ1 = 0
π π 3π π ϕ 2 = 0, , , , 8 4 8 2

简谐运动的合成和分解45页PPT

简谐运动的合成和分解45页PPT
ห้องสมุดไป่ตู้
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
简谐运动的合成和分解
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

简谐运动的合成和分解

简谐运动的合成和分解

y
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成，其振动轨 迹为一椭圆 (又称“椭圆运动” )。椭圆轨迹的形状取 决于振幅和相位差。
x 2 y 2 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
临界阻尼振动：质点不作往复运动的极限状态.
火炮的阻尼
4-3-2 受迫振动和共振
1. 受迫振动
受迫振动： 系统在周期性的外力持续作用 下所发生的振动。
策动力： 周期性的外力 设：
F F0 cos t
fr f kx
o
x
F
x
由牛顿第二定律
令
2 0
d x dx m 2 kx F0 cos t dt dt
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
讨论：
（1）当 2 1 kπ 时
x 2 y 2 2 xy 2 0 2 A1 A2 A1 A2
x y A A 0 2 1
2
A2 A2 A2 y x : 0，斜率 ； π，斜率 A1 A1 A1 结论： 合振动为线振动，轨迹为 2 2 2 2
x2 A cos(2t )

3简谐运动的合成详解


t

A
A2
A A1 A2
两分振动相互减弱
第九章 振 动
如 A1=A2 , 则 A=0
7
物理学
第五版
小结 （1）相位差 2 1 2k π
(k 0 ， 1 ， )
加强
A A1 A2
A A1 A2
1 ， ) （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，
A
xN A0 cos[ t ( N 1) ]
(1) 2kπ 讨 (k 0,1,2,) 论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k
i
A5
A0
A 2 O A6 A x 1
A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
第九章 振 动
4
物理学
第五版
合振动 :
2 2
x A cos( t )
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
1、钢琴等乐器的调音； 2、利用“拍”的方法测 量未知的频率。
【拍】Beat（英）钢琴调音时所 利用的一种声音现象。十二平 均律中的纯五度、纯四度、大 小三度以及大、小六度等音程 同时发响时，在听觉上会感到 音量有周期性的强弱，这一强 一弱称为一次拍。
振 动
18
第九章
物理学
第五版
** 振动方向相互垂直的不同频率谐振动的合成

大学物理教程3.2 简谐振动的合成


Ay tg = A x
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
3. 两种特殊情况
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 - 1 )
(1)若两分振动同相
2- 1=0（2k，k=0,1,2,…）
x =A cos( t+ )
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
x =A cos( t+ )
由图知：
Ax = A1cos1 + A2cos2 Ay = A1sin1 + A2sin2 由： A2 = Ax2 + Ay2
y Ay
A A2

o
1
A1 A
x
2
x
2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 - 1 )
x1 4 cos 3t cm x2 2 cos(3t π) cm
求合成振动的振幅、初相位和振动表达式。
解 这两个谐振动的频率相同 3rad s ，振动方向相 同。所以它们的合成振动仍然是在x方向的、具有相同频 率的简谐振动。
-1
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
由于这两个振动反相，因此在旋转矢量图上，振幅矢 量 A1 和 A2 的方向始终相反，而合矢量 A 沿 A1 方向。
A 的模，即合成振动振幅为
A (4 - 2) 2
合振动的初相
1 0
x 2cos 3t cm
合振动的表达式为
第7章 机械振动
3.2 简谐振动的合成
二 同方向不同频率的简谐振动的合成 拍

振动合成与分解


从数学上讲 任何形式的周期函数都可通过付里叶级数分解 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和； 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和；而非 周期振动可通过傅里叶积分把它展成无数个频率连 续分布的谐振动。 续分布的谐振动。 将任一周期性振动 x(t +T) = x(t) 按付立叶级数展开 a0 ∞ x (t ) = + ∑ (an cos nω t + bn sin nω t ) 2 n=1 2 π 若周期振动的频率为： 若周期振动的频率为：ν ω =2 = πν T 则各分振动的频率为:ν、2ν、3ν、… 则各分振动的频率为: （基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , …） ） 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x2 = Acos(ω2t +ϕ2)
x = x + x2 1
1 1 x = 2 A cos [(ω 2 − ω1 )t + (ϕ 2 − ϕ1 )] ⋅ cos [(ω 2 + ω1 )t + (ϕ 2 + ϕ1 )] 2 2
x = Acos(ω t +ϕ1) 1 1
图(a) 中实线所代表的周期性振动可分解为基频 倍频的两个简谐振动的叠加。 和3倍频的两个简谐振动的叠加。 倍频的两个简谐振动的叠加 而图(b)则是一种“方波”振动信号， 而图 则是一种“方波”振动信号，它所包含 则是一种 的简谐振动成分就多了。 的简谐振动成分就多了。 这里用竖直线段在横坐标上的位置代表所包含 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅， 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅，该 称为振动频谱 图(c)称为振动频谱。 称为振动频谱。

简谐运动的合成与分解


五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
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| 振幅2变化缓慢1 |
2
一个强弱变化所需的时间
t
一个拍
合振幅变化的频率即拍频
拍
|
2 1 2
|| 2
1
|
拍现象是一种很重要的物理现象。
▪手风琴的中音簧： 键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率 大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。 而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片 的，因此没有拍频造成的颤音效果。
即 1- 2 << 1 or 2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
振幅随时间的变化非常缓慢
x
x1
振幅调制因子Amplitude modulation factor
x2
o
t
x x1 x2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
x x x1 x2 x1 x2 o
相互垂直的两个简谐振动。
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们 的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只 讨论简单的情形。
两振动的频率只有很小的差异
则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓 慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图 所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭 圆再变成直线等等。
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
T 2
T
3T 2
2T
t
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
合成振动
T
3T
2
2
o
T
2
t
T
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着 重要作用。
例: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动
合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两
个振动的相位差。
解：
A A1 A2
A2
A
A1 A2 A
O
2
1
2
3
A1
例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次
为， 2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k
时的合振幅为零。
解：合振幅A
A 2R sin N
2
由OPa可看出
sin N
A0
2R sin 2
P /2
R
N
A合
Q
A A0
2
sin
请大家自行练习！
2
分析：
O
a A0 B
b C
X
当N=2k 时的合振幅为零。 请记住这个结论！
当=2k 时的合振幅为最大。 做笔记！
差频
x2 A cos 2t 和频
x
x1 x2
2 A cos 2 1
2
t
cos 1 2 t 2
位 移
x
合振动 分振动1
振幅周期性变化
分振动2
2 21
o
T
T
3T
2
2
2
T
t
为一复杂振动
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
即 1- 2 << 1 or 2
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
A1 A2 轨迹为圆
x
提问：若y方 向振动落后x y 方向，则结 果如何？
右旋！
画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小 点按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。
两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成20 10 04 Nhomakorabea3
2
4
2 A2
2 A1
5
3
7
2
9
4
2
4
4
与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为
如果两振动的频率相差较 大，但有简单的整数比
则合成运动又具有稳定的 封闭的运动轨迹。这种图 称为李萨如图。
如果已知一个振动的周期，就 可以根据李萨如图形求出另一 个振动的周期，这是一种比较 方便也是比较常用的测定频率 的方法。
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理 这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同 频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动 分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解 在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的 理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
A
x2 A2 cos(t 20 ) x x1 x2
x Acos(t 0 )
A2
A1
A2
A A12 A22 2 A1 A2 cos(20 10 )
tg0
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,... x1
x2
由A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
合成振动
T
3T
o
2
2 T
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
2T t
如果 A1 A2 则 A=0
一般情况 为其他任意值，则：
A1 A2 A ( A1 A2 )
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
五、谐振分析和频谱 研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐 振动的合成。
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
▪利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效
应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波 所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种 方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测 速装置中。
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
y2 A2 cos(t 20 )
消去 t 得到轨道方程 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A2 2
2
xy A1 A2
cos(20
10 ) sin2 (20
10 )
20 10 0
20 10
x A1 y A2
2 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
y
x A1
y
A2
2 A1
x 质点的轨迹曲线
20
10
2
x2 y2 A12 A22 1
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
r 2
A2
r A
r 1
A1
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变； x
同方向不同频率两个简谐振动的合成 ------为一复杂运动
设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为
计时起点 x1 A cos 1t