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9-5简谐运动的合成讲解

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简谐运动的合成

简谐运动的合成
所以，拍频是振动 cos(
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2

x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2

x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2

大学物理第五版下册 简谐运动的合成课件

大学物理第五版下册 简谐运动的合成课件

简谐运动能量守 恒，振幅不变
6
第九章
振 动
物理学
第五版
（3） 熟记平均动能和平均势能 ）
E
k
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
E
P
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
第九章
振 动
7
物理学
第五版
在实际问题中，经常要遇到一个质点同时参与几种 在实际问题中， 振动的问题。根据运动的叠加原理， 振动的问题。根据运动的叠加原理，此时质点所做的运动 实际上是几种振动的合成。 实际上是几种振动的合成。 的合成问题。 我们仅研究两个同方向的振动的合成问题。
π
点P的相位为 的相位为
ΦP = ω( tP −t0 ) +ϕ = 0
t =0
t =tP
x/m
第九章
振 动
5
物理学
第五版
(3): 根据
ΦP = ω(t P −t0 ) +ϕ = 0
π /3 ω(t P −t 0 ) = ( tP −t0 ) = 3 ω 4. 简谐运动的能量
π
∴ t P =1.6S
（1） 动能 ） （2） 势能 ）
1 2 kA 2 1 1 2 E k = mv = m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 2 1 E p = kx = m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 1 2 2 2 E = E k + E p = m ω A = kA 2 2
x = Acos(ωt +ϕ)
9.8 k g = = =10rad / s 式中 ω = ∆l m 0.098

《简谐运动的合成》课件

《简谐运动的合成》课件

演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。

简谐振动演示09

简谐振动演示09
2 1
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y

y
M
A

t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置

, 2
,
60

x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )

3。旋转矢量法（几何法） x x

大学物理第九章振动学基础

大学物理第九章振动学基础

处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端

简谐运动的描述ppt课件

简谐运动的描述ppt课件
2.2
简谐运动的描述
目录
CONTENTS
1
简谐运动的表达式
2
描述简谐运动的物理量
3
简谐运动的周期性和对称性
4
简谐运动振幅与路程的关系
有些物体的振动可以近似为简谐运
动，做简谐运动的物体在一个位置附近
不断地重复同样的运动。如何描述简谐
运动的这种独特性呢？
知识回顾：
简谐运动的位移图像是一条正弦曲线。
全振动的特点：①位移和速度都会到初状态 ②路程等于4A
②周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，
单位：s.
③ 频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz.
周期T与频率f的关系是T＝
知道即可：弹簧振子的周期由哪些因素决定?
周期公式： T 2
m
k
弹簧振子周期（固有周期）和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹
②若△ = 2 − 1＜0，振动2的相位比1落后△ 。
4.同相与反相：
（1）同相：相位差为零



△ = 2( = 0，1，2， … )


（2）反相：相位差为
△ = (2 + 1)( = 0，1，2， … )

A与B同相
A与C反相
A与D异相
相位差90°
＝（ ＋ ）
一、简谐运动的表达式
相位
x A sin(t )
振幅
圆频率
初相位
二、描述简谐运动的物理量
＝（ ＋ ）
1.振幅：（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅
O
振幅
（2）物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。

简谐运动的合成和分解


2 A2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1 2 2
A A 2 A1 A2 cos 2 1
2 1 2 2
A2
A1
A

A A A 2 A1 A2 cos y A1 sin 1 A2 sin 2 tan x A1 cos 1 A2 cos 2
π π 2 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2
2
t
A2
2
2 1 π A A2 A1
A
x
2 π π (2) 由矢量图: 2 T 2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
2
F0 k , 2 , f 0 m m m
驱动力
d x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt
方程的解：
2
x A0 e
t
2 2 cos 0 t 0 A cost
在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，
2 1 t ) 随时间缓慢变化 振幅 2 A cos( 2
2 1 t ) 快速变化 谐振因子 cos( 2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)” 调制
拍现象的应用： 用音叉振动校准乐器 测定无线电频率 测定超声波 调制高频振荡的振幅和频率
3. 相互垂直的简谐运动的合成 x方向的谐振动 x A1 cos( t 1 )
A1
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的 振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第 一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？ 解： A2 A2 A12 2 AA1 cos π 6

简谐运动


准弹性力
系统本身决定的常数
动力学方程：
在水平方向上：
弹簧振子
F kx
由牛顿第二定律
d 2x kx m 2 dt
k 令 2 m
则有
d x 2 x 0 2 dt
二阶齐次常 微分方程
2
一般写成： 或：
x A sin t x A cost
振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性
振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
波动: 振动在空间的传播
振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动 电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性变化
简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动
9-1简谐振动
一、简谐振动的基本特征
弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性
解得
2 2 v v 2 A x0 02 x 2 2
的状态如何就决定了系 统未来的振 但计算A的大小时不一定非用初 始 条件，只要同时告诉某 时刻的x与
幅A的大小。所以A由初始条件决定。
相应的v，又知道，就可以求出A。
3、初相位
初相：
由 t = 0时
x0 A cos v0 A sin
(1)、相位 t 是确定振动状态的物理量
(2) ( t )与状态参量 x，v有一一对应的关系
x A cos(t ); v A sin(t )
当 t 例：

3
时：
A x , 2
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动

简谐运动详解ppt课件

（3）在平衡位置上方时，弹簧处于压缩状态（也可能拉伸），
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。

9-5(新)简谐运动的合成


物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成 相互垂直不同频率的简谐振动的合成：李萨如图
链接
第九章
振 动
31
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 9-7 电磁振荡
第九章 振 动
32
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
15
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
（3）2 1 π 2
y
A2
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
o
A1
2
2
第九章
振 动
14
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
2 2 x y 2 xy 讨 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 论 A1 A2 A1 A2
y
2 1 0或 2 π （ 1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （ 2） A2 y x A1
x (2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
2 1 2π T π 2
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
2 1
第九章
振 动
25
物理学
第五版
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x (2 A1 cos 2π
2 1
2
第九章
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分
振 动
合振动频率
13
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
x
A1 A2 A3
2π 3
N 3
求： x1
x2 x3
第九章
N 2π A 0
x x1 x2 x3 0
振 动
11
物理学
第五版
* 三
9-5 简谐运动的合成 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
(k 0 ， 1 ， )
相互削弱
7
A A 1 A 2
第九章
振 动
物理学
第五版
9-5
2
简谐运动的合成
例 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅
x1 (3 10 m) cos(t π 6) 2 x2 (4 10 m) cos(t π 3)
π π π 2 1 ( ) 3 6 2
讨论
2 1 2 2
x
x
o A
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t ) 2 1 2k π
第九章 振 动
2
A
A2
1
t
物理学
第五版
9-5
2 1 2 2
简谐运动的合成
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, ) x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π )
x
x
o 2
A 2
A1
A A1 A2 2
o
T
振 动
t
3
A
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
A

A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1， )
相互加强
1）相位差
2k π
A A1 A2
第九章 振 动
O A6
A1

A2
x
10
A0
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 已知如下的三个简谐振动，求合振动.
x1 A1 cost
2π x2 A2 cos( t ) 3 4π x3 A3 cos( t ) 3
已知
2π 3
A2
2π 3
A3
O
A1
2
2
2
1
0
A
1
A 1
π
A2
x
x (110 m) cos(2s t π 6)
第九章 振 动
π A 110 m 1 6 2 1
6
物理学
第五版
例
9-5 简谐运动的合成 已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π ), 3 x2 0.03cos( 10t )
2 1 2 2
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A2 2 2 A A1 A2
5 10 m
第九章
2
0
2
A
x
8
1
振 动
A 1
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
* 二
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
第九章 振 动
17
物理学
第五版
例 用余弦函数描述一谐振子的运动，若其速
度-时间关系曲线如图所示，求运动的初相位．
解：由简谐振动运动 方程
x A cos(t )
v A sin(t ) vm sin(t )
-0.5vm
v/ (m s )
-1
o
t/s
2）相位差
1， ) (2k 1) π (k 0 ，
3）一般情况
A A1 A2
第九章 振 动
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4
物理学
第五版
课堂例题
9-5
简谐运动的合成
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这 两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
一
两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0

A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1

x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )

A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第九章 振 动
9
物理学
第五版
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x2 x1
1 A1
A
x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
x1 x2 cost A 第九章 振 动

1 2
2
16
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
例 将频率为348 Hz的标准音叉振动与 一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3 Hz，若在待测频率音叉的一端加上一小物块， 拍频数将减少，则待测音叉的固有频率为 351Hz． ________ 解 2 1 3 设 1 348Hz 则 v2 345 Hz 或v2 351Hz 由题意得 v2 351Hz
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2 A1
t
2 1 2π T π 2
Amin 0
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
振 动
14
2 1
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
方法二：旋转矢量合成法
( 2 1 )t ( 2 1 )
第九章 振 动
12
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x1 A1 cos1t A1 cos2π 1t x2 A2 cos2t A2 cos2π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos2π 1t A2 cos2π 2t
9-5
简谐运动的合成
o A1 A2 A3 A4 A5 x
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k 'π
A5

A4 A
i

3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
-vm
第九章
振 动
18
物理学
第五版
1 1 t 0, v vm sin 2 π 2 由矢量图得 6
- vm /(m s1 )
π 5π or 6 6
- vm 2

π 6
v/ (m s )
-1
t=0
o

5π 6
-0.5vm
o
t/s
-vm
vm /(m s 1 )
则（1） （ 2）
2kπ π / 3 x1 x2 为最大时， 为______________ 2kπ 4π / 3 x1 x2 为最小时， 为_____________
(k 0 ， 1 ， )
相互加强
因：相位差 2k π
A A1 A2
相位差 (2k 1) π
第九章
振 动
19
物理学
第五版
第九章
振 动
20
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第五版
第九章
振 动
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第五版
第九章
振 动
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物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
9-2 旋转矢量 9-3 单摆和复摆 9-4 简谐运动的能量 9-5 简谐运动的合成 *9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 *9-7 电磁振荡
第九章 振 动
23
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2