08第八章 扭转

图8-10
• 四、剪切变形能 • 如拉伸一样,当纯剪切时变形物体要储存变 形能。如图8-11(a),(b),假定微体的左右面 由于剪应力发生相对错动,力τ dyt在位移 γ dx上所做的功等于微体储存的变形能。因 为力的变化与位移成正比,所以,它的功等
• 于τ dy·t·γ dx之半,于是在弹性范围内有 • 单位体积的变形能 • 根据虎克定律 • 所以
• 1)各纵向线倾斜了同一微小角度γ ,矩形歪 斜成平行四边形； • 2)各圆周线的形状、大小和间距不变,只是 各圆周线绕杆轴线转动了不同的角度。
图8-5
图8-6
• 剪应力τ 的大小,由均匀分布的内力矩与外 力偶矩的平衡条件来确定,其计算公式为
• 此即薄壁圆筒的扭转剪应力公式。
图8-7
• 下面讨论圆筒的扭转变形,设圆筒两端截面 的相对扭转角为φ(见图8-8),因为 • 所以
• GIP反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截 面的抗扭刚度。 • §8-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度 条件 • 一、圆轴扭转时的破坏现象
• 1.塑性材料如低碳钢在受扭过程中先是屈 服,如继续增大载荷,试件将沿横截面破坏。 • 2.铸铁试件在受扭过程中,变形始终很小, 试件沿与轴线成45°的螺旋面破坏。
•即
• 上式表明：在互相垂直的两个平面上,剪应 力必然成对存在,且数值相等；二者都
• 垂直于两平面的交线,其方向则共同指向 或共同背离两平面的交线,这种关系称为剪 应力互等定理。在图8-9所示微体的四个侧 面上,只存在剪应力而无正应力,这种受力 状态称为纯剪切。 • 三、剪切虎克定律 • 薄壁圆筒的扭转实验表明(图8-10),当剪应 力不超过材料的比例极限τ p时,剪应力τ 与 剪应变γ 成正比,即
• 所以,外力偶矩所做的功
•将
代入上式
• 于是得到扭转时的变形能为
• *§8-7 扭转超静定问题
• 杆在扭转时,若杆支座反力偶或杆横截面的 扭矩,仅用静力方程不能求得时,这样的问 题称为扭转超静定问题。 • 扭转超静定问题的解法与拉压超静定的解 法相同,即除了根据静力平衡条件列出静力 方程外,还要由变形谐调条件建立变形几何 方程,并利用扭矩与扭转角的物理关系,代 入变形几何方程以得到补充方程,静力平衡 方程与补充方程联立求解而得到所有的未 知数。
• 式中θ
max和[θ
]的单位为度/米(°/m)。
• 图8-21
• *§8-6 圆轴扭转时的变形能
• 当轴扭转时,轴内将积蓄变形能。扭转实验 表明,在弹性范围内受扭圆轴端面的扭转角 φ与外力偶矩m成正比。如图8-22所示,当等 截面圆轴承受的外力偶矩从零逐渐增到m时, 其扭转角也从零增加到φ。
图8-22
• 称u为纯剪切比位能(或能密度)。
• §8-4 圆轴扭转时的应力与变形计算
• 一、圆轴扭转时横截面上的应力与变形计 算 • 1.变形方面
图8-12
1)各圆周线绕轴线相对地转了一个角度,但大 小形状和两圆周线之间的距离不变；2)在 小变形的情况下,各纵向线仍近似为一条直 线,只是倾斜了同一个微小角度γ ,变形前 轴表面的方格,扭歪成菱形。圆轴右端相对 于左端截面绕轴线转过的角度φ称为扭转角, 以弧度表示。 • 用相邻两截面截出dx微段,然后再用半径为 ρ 与ρ +dρ 的两个圆柱的两个柱面从微段 中截出一个圆环,如图8-13所示。
• 对脆性材料［τ ］=(0.8～1.0)［σ ］ • 二、圆轴扭转的强度条件
• 为了保证圆轴扭转时不发生破坏,要求它在 工作时危险截面上的最大工作剪应力τ max不
• 超过材料的许用扭转剪应力[τ ],所以扭转 强度条件为
图8-19
• 三、圆轴扭转的刚度条件
• 在生产中要限制轴产生过大的扭转变形。 扭转变形过大,将会引起较大的扭转振动, 影响机器的正常运转和工件的加工质量。 为了保证轴的刚度,通常规定轴的最大单位 长度扭转角θ max不超过许用扭转角[θ ],即 刚度条件为
• 规定为负。因此,同一截面左右两侧的扭矩, 不但数值相等,而且符号相同。 • 3)扭矩图 • 为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律, 可用横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截 面扭矩的大小,按适当比例尺绘出扭矩图, 以便确定最大扭矩数值及危险截面。
• §8-3 薄壁圆筒的扭转纯剪切
• 一、薄壁圆筒扭转时横截面上的应力
•第八章 扭转 •§8-1 概述
图8-1
• 扭转变形的受力特点和变形特点是： • 1)受力特点：在直圆杆的两端,在垂直于杆 轴的平面内,有大小相等、方向相反的力偶 作用；
图8-2
• 2)变形特点：杆上各横截面均绕杆的轴线 发生相对转动,杆件表面的纵线倾斜成γ 角, 如图8-2所示。
• §8-2 外力偶矩与扭矩的计算扭矩图 • 一、功率、转速和外力偶矩之间的关系
• 图8-13 图8-14 • 在受扭时,环的右端面相对左端面转了一个 角度dφ,同时柱的母线AB旋转了一个角度 γ ρ 并达到AB′位置。因为
• 所以 • 式中 表示转角的变化率,即单位长度的 扭转角,对同一截面 为一常数,以θ 表示, 则
• 所以,任意点的剪应变γ ρ 与该点到圆心的 距离成正比,此即剪应变的分布规律。 • 2.物理方面
• 根据剪切虎克定律,横截面上距圆心为ρ 的 任意点处的剪应力为
• 即横截面上任意点的剪应力τ ρ 与该点到圆 心的距离成正比,这是剪应力的分布规律, 如图8-15所示。当ρ =R时,τ =τ max 即横截 面上周边各点的剪应力最大。
图8-15
3.静力方面
• 取微分面积dA(图8-14),则微内力矩dm= ρ τ ρ dA,整个截面上的内力所组成的内力偶 矩即扭矩 • 积分 是与圆面积有关的几何量,称为圆 截面的极惯性矩,以IP表示
• *§8-8 矩形截面杆扭转的概念
图8-24
• (1)横截面的剪应力和周边相切
图8-25
图8-26
• (2)在4个棱角上的剪应力为零,同理可证 τ B1=τ B2 =0。 • (3)最大剪应力τ max发生在长边的中点A处, 而在短边中点B处τ 1也有相当大的数值
• 式中α ,γ 是与 有关的系数,h和b分别代 表矩形长边和短边的长度。 • 杆的单位长度扭转角
• 如由试验测出扭转角φ ,则由上式可求剪应 变γ 。
图8-8
图8-9
• 二、纯剪切及剪应力互等定理 • 如果从圆筒上取出表面尺寸分别为dx,dy,厚 度为t的微体(图8-9)。在微体的右侧面上有 剪应力τ ,则由静力平衡条件可知,左侧
面上也一定有剪应力τ ,与右侧面上的剪应 力大小相等方向相反,构成一矩为 (τ tdy)×dx的力偶,但微体是平衡的,故上 下两面也有大小相等方向相反的剪应力 τ ′,构成一个矩为(τ ′tdx)×dy的反力 偶,由 •得
• 在工程计算中,作用在轴上的外力偶矩通常 不是直接给出的,而是给出轴所传递的功率 N(kW)和轴的转速n(r/min),因此应将已知 的功率和转速换算成外力偶矩,其计算公式 为
• 二、扭矩和扭矩图
• 1)扭转时的内力——扭矩
图8-3
• 外力偶矩确定以后,就可用截面法计算横截 面上的内力,设有一轴,在垂直于该轴线的 平面内作用有大小相等方向相反的外力偶, 轴处于平衡状态,如图8-3所示。
• 假想用任意截面将轴切开,取出一段来进行 分析,例如取A部分为研究对象。为了与外力 偶矩m平衡,在截面1—1处必有力偶矩Mn存在, 根据平衡条件 就得到
• Mn称为截面1—1上的扭矩。 • 2)扭矩的符号 • 为了讨论方便,需要定出扭矩的符号：用右 手螺旋定则决定,如用右手的四指弯向表示 扭矩的转向,拇指的指向与截面的外法线方 向一致时,规定该扭矩为正(图8-3),反之,
• 式中β 也是与 有关的系数,α ,β ,γ 可由 表8-1中查取。
坏的标志仍 为屈服或断裂。试件扭转屈服时横截面的 最大剪应力称为扭转屈服应力,用τ s表示； 试件扭断时横截面的最大剪应力称为
扭转强度极限,以τ b表示。τ s,τ b称为扭转 的极限应力,并用τ °表示。将其除以安全 系数n,就得到材料的许用扭转剪应力 • 在静载荷作用下,许用扭转剪应力[τ ]与许 用拉应力[σ ]存在如下关系： • 对塑性材料［τ ］=(0.5～0.6)［σ ］
• 由此得
• 于是横截面上的剪应力
• 当ρ =R时,即在横截面边缘处,剪应力最大
• 引用记号 •则
• Wn 称为抗扭截面模量,它是一个只与截面形 状尺寸有关的量,对实心圆轴(图8-16)
• 对于空心圆轴
• 式中
图8-16
图8-17
• 二、圆轴扭转时的变形计算 抗扭刚度
• 扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相 对转角。由 可知,相距dx的两个横 截面间的相对扭转角为