平面向量课时同步练习2

【课时训练】第24节 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(丰台期末)已知向量a ＝(3,－4),b ＝(x ,y )．若a ∥b ,则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ,∴3y ＋4x ＝0.故选C.2．(河南新乡三模)已知向量a ＝(5,2),b ＝(－4,－3),c ＝(x ,y )．若3a －2b ＋c ＝0,则c ＝( )A ．(－23,－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4,－3)＋(x ,y )＝(23＋x ,12＋y )＝(0,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23,－12)．3．(江苏苏州质检)若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线,AB →＝(3,5),AC →＝(2,4),则AD →＝( )A ．(－1,－1)B ．(5,9)C ．(1,1)D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1,－1)． 4．(浙江温州模拟)已知平面向量a ＝(1,－2),b ＝(2,m )．若a ∥b ,则3a ＋2b ＝( )A ．(7,2)B ．(7,－14)C ．(7,－4)D ．(7,－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ,∴m ＋4＝0,∴m ＝－4,∴b ＝(2,－4),∴3a ＋2b ＝3(1,－2)＋2(2,－4)＝(7,－14)．5．(江西南昌二模)设向量a ＝(x,1),b ＝(4,x ),且a ,b 方向相反,则x 的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反,故可设b ＝m a ,m <0,则有(4,x )＝m (x,1),所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0,所以m ＝－2,x ＝m ＝－2. 6．(山西临汾三模)设向量a ＝(1,－3),b ＝(－2,4),c ＝(－1,－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2,－6)D ．(－2,－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ,y ),由题意知4a ＝4(1,－3)＝(4,－12),4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1,－2)＝(－6,20),2(a －c )＝2[(1,－3)－(－1,－2)]＝(4,－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0,所以(4,－12)＋(－6,20)＋(4,－2)＋(x ,y )＝(0,0),解得x ＝－2,y ＝－6,所以d ＝(－2,－6)．7．(河北衡水二模)已知平行四边形ABCD 中,AD →＝(3,7),AB →＝(－2,3),对角线AC 与BD 交于点O ,则CO →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎪⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－12，－5【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.8．(广东揭阳质检)在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4,|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →,则λ＋μ＝( )A ．2 2B ．2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2,∠AOC ＝π4,所以点C 的坐标为(2,2)．又OC →＝λOA ＋μOB →,所以(2,2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ,μ),所以λ＝μ＝2,λ＋μ＝22.二、填空题9．(陕西西安二模)若A (1,－5),B (a ,－2),C (－2,－1)三点共线,则实数a 的值为________．【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3),AC →＝(－3,4),由题意知AB →∥AC →,∴4(a －1)＝3×(－3),即4a ＝－5,∴a ＝－54.10．(四川眉山中学质检)在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →＝2PC →,点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3),PQ →＝(1,5),则BC →＝________.【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2),∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7),∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(青海西宁质检)已知向量AC →,AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →,则λμ＝________.【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ,则AC →＝(2,－2),AB →＝(1,2),AD →＝(1,0)．由题意可知(2,－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0),即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3. 12．(江西宜春模拟)P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2),m ∈R },Q ＝{b|b ＝(1,－2)＋n (2,3),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q ＝________.【答案】{(－13,－23)}【解析】集合P 中,a ＝(－1＋m,1＋2m ),集合Q 中,b ＝(1＋2n ,－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13,－23)． 三、解答题13．(湖南长沙二模)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →,它们的夹角为2π3.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →,其中x ,y ∈R ,求x ＋y 的最大值． 【解】以O 为坐标原点,OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32,设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3,则点C 的坐标为(cos α,sin α), 由OC →＝xOA →＋yOB →,得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α,y ＝2 33sin α, 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6, 又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3,则α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.所以当α＋π6＝π2,即α＝π3时,x ＋y 取得最大值2.。

第二章《平面向量》同步练习（复习课）一、选择题1.已知点)2,1(--A 按向量a r 平移后变为(0,1)A '，点)1,2(-B 按向量a r 平移后对应点B '的坐标为A ．)1,3(B ．)3,1(C ．)2,3(D ．)3,2(2.已知,,,O A M B 为平面上四点，且(1),(1,2)OM OB OA λλλ=+-∈u u u u r u u u r u u u r ，则A.点M 在线段AB 上B.点B 在线段AM 上C.点A 在线段BM 上D.,,,O A M B 四点一定共线3.平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点(3,1),(1,3)A B -, 若点C 满足OC OA α=u u u r u u u r OB β+u u u r , 其中,R αβ∈且1αβ+=, 则点C 的轨迹方程为（ ）A.32110x y +-=B.22(1)(2)5x y -+-=C.20x y -=D.250x y +-=二、填空题 4.点P 在平面上做匀速直线运动,速度向量(4,3)V =-u r ,(即点P 的运动方向与V u r 相同,且每秒钟移动的距离为||V u r 个单位).设开始时点P 的坐标为(10,10)-,则5秒钟后P 的坐标 .5.设O 为ABC ∆所在平面上一定点, P 为平面上的动点,且满足()()0OP OA AB AC -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的 心.三、解答题6.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos ),(1,0)a x x b x x c ==-=-r r r .（1）若6x π=，求向量a r 与c r 的夹角；（2）当9[,]28x ππ∈时，求函数()21f x a b =⋅+r r 的最大值.7.设函数()()f x a b c =⋅+r r r ，其中向量(sin ,cos )a x x =-r ，(sin ,3cos )b x x =-r ，(cos ,sin )c x x =-r ，x R ∈.（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）将函数()f x 的图像按向量d u r 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d u r .8.如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.（1）设点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为λ，证明()QP QA QB λ⊥-u u u r u u u r u u u r ；（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=,过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.参考答案1．（C ）提示：设(,)a x y =r ，则有10,21x y -+=-+=， ∴(1,3)a =r .点)1,2(-B 按向量a r 平移后对应点B '的坐标为)2,3(.2．（B ）提示: (1)AM OM OA OB OA OA OB OA AB λλλλλ=-=+--=-=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,这表明点M 在直线AB 上, ∵0λ>, ∴AM u u u u r 和AB u u u r 同向, ∵(1,2)λ∈,∴||||AM AB >u u u u r u u u r .3．提示：设(,)C x y ,则(,)OC x y =u u u r ,(3,1)(1)(1,3)(3,)(1,33)OC OA OB αβαααααα=+⇒+--=+--u u u r u u u r u u u r(41,32)αα=--, ∴41,32x y αα=-=-, 消去α得250x y +-=.4．(10,5)-提示:5秒钟后P 的坐标为(10,10)5(4,3)(10,5)-+-=-.5．垂 提示: ()()00OP OA AB AC AP CP -⋅-=⇒⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , ∴AP BC ⊥u u u r u u u r .6．解：（1）当6x π=时，31(,)22a =r ，设向量a r 与c r 的夹角为θ， 则22223cos cos 2||||sin cos (1)0a b x a b x x θ⋅===-=-+⋅-+r r r r ， ∵0θπ≤≤，∴56πθ=，即向量a r 与c r 的夹角为56π. （2）2()212(cos sin cos )1sin 2cos 22sin(2)4f x a b x x x x x x π=⋅+=-++=-=-r r ， ∵9[,]28x ππ∈， 故22sin(2)[1,]42x π-∈-， ∴函数()21f x a b =⋅+r r 的最大值为1.7．解：（1）由题意得，()(sin ,cos )[(sin ,3cos )(cos ,sin )]a b c x x x x x x ⋅+=--+-r r r22(sin ,cos )(sin cos ,sin 3cos )sin 2sin cos 3cos x x x x x x x x x x =-⋅--=-+ 32cos 2sin 222)4x x x π+-=++.所以，()f x 的最大值为22+，最小正周期是22ππ=. （2）由3sin(2)04x π+=，得324x k ππ+=，即328k x ππ=-,k Z ∈. 于是3(,2)28k d ππ=--u r ，23()4()28k d k Z ππ=-+∈. 因为k 为整数，要使||d u r 最小，则只有1k =，此时(,2)8d π=-u r 即为所求. 8．解：（1）依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42=，得2440x kx m --=.① 设,A B 两点的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ,则12,x x 是方程①的两根.所以.421m x x -= 由点(0,)P m 分有向线段AB 所成的比为λ，得0121=++λλx x ， 即.21x x -=λ 又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是(0,)m -,从而).2,0(m QP =1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-=+-+=).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-=])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+ 1212242()4x x m m x x x +=+⋅122442()04m m m x x x -+=+⋅=，所以).(QB QA OP λ-⊥ （2）由⎩⎨⎧=+-=,0122,42y x y x 得点,A B 的坐标分别是(6,9),(4,4)-. 由y x 42=得241x y =， ,21x y =所以抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=.设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧-=---++=-+-,3169.)4()4()9()6(2222a b b a b a 解之得.2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a 所以圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x .。

课时素养评价六平面向量基本定理（15分钟30分)1。

设{e1,e2}是平面内一组基底,则下面四组向量中，能作为基底的是（) A。

e1-e2与e2—e1B。

2e1+3e2与—4e1—6e2C.e1+2e2与2e1—e2D.—e1+e2与e1-e2【解析】选C。

因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.2.(2020·湖州高一检测)在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则() A.x=,y= B.x=,y=C。

x=，y=D。

x=，y=【解析】选A。

因为=2,所以+=2+2,即3=2+，所以=+,即x=,y=。

3.（2020·长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么= ()A.-B。

+C.—D.+【解析】选C。

=+=+=-。

【补偿训练】如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点，F为CE的中点,则= （）A.+B.+C。

+ D.+【解析】选D.根据题意得：=（+),又=+,=,所以==+.4。

如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点）,则·=.【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1｜=|e2|=1，e1·e2=0，由题图可知，=3e1+2e2，=6e1-3e2，·=（3e1+2e2）·（6e1-3e2）答案:125.已知e1，e2不共线,且a=k e1-e2，b=e2—e1，若a,b不能作为基底,则实数k等于.【解析】因为a，b不能作为基底,所以a，b共线，可设a=λb,λ∈R，则k e 1—e2=λ,即k e1-e2=λe2-λe1，因为e1，e2不共线，所以所以k=1.答案:1【补偿训练】已知e1，e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使{a,b｝能作为平面内的一个基底,则实数λ的取值范围为。

§2.5向量的应用(二)课时目标经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和____________有关，大小和方向相同的两个力，如果____________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是________________．(4)功即是力F与所产生位移s的____________．一、填空题1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示向________航行________ km.2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为________．3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为________N.4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为________．5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．6．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________．7．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为________．8．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________千米/小时．10.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．二、解答题如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．12．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．能力提升13.如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．14．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|，设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．§2.5 向量的应用(二)知识梳理1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 作业设计1．东南 2 2.|F |cos θ·s 3．10 2解析 |F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102， 当θ＝ 120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N. 4．2解析 F 1＋F 2＝(1,2lg 2)． ∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2. 5．2 5解析 因为力F 是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1、F 2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F 3|2＝|F 1＋F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＝4＋16＝20，∴|F 3|＝2 5.6．(10，－5)解析 设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )， 则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν.即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝－5.7．(9,1)解析 f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1) ＝(8,0)，设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 8．10 J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos 60°＝20×1×12＝10 J.9．4 5解析 如图用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度． 则v 0＋v 1表示船实际航行速度， ∵|v 0|＝4，|v 1|＝8，∴解直角三角形|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5. 10．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ.∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 11．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE→＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5.∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.12．解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J. 13．解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)由|F 1|＝|G |cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°. 14．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ，∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)，∴P 0Q 0→＝(－1，－3)， PQ →＝(2t －1，t －3)， ∵PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2.∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s.。

第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。

A B C D E F M N 高中数学 第二章平面向量课时训练2.5平面向量的应用举例 新人教A 版必修41、经过点(1,2)A -，且平行于向量(3,2)=a 的直线方程是( )A ．2380x y -+=B ．2380x y ++=C ．3210x y +-=D ．3210x y --=2、一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成60︒角,且12,F F 的大小分别为２和４,则3F 的大小为( )A.6B.2C.3、已知直线0ax by c ++=与圆221x y +=相交于A 、B 两点，且1AB =， 则OA OB ⋅= .4、已知(cos ,sin ),(cos ,sin )(,(0,))2ααββαβπ==∈a b ，且+=-a b a b ， 则tan tan αβ⋅= .5、如图，菱形ABCD 的边长为1，有120D ∠=，点E 、F分别是AD 、DC 的中点，BE 、BF 分别与AC 交于点M 、N.(1)求AC 的值；(2)求MN 的值.参考答案1.A 在直线上任取一点(,)P x y ，则(1,2)AP x y =+-，由AP a ，得(1)2(2)30x y +⨯--⨯=，即2380x y -+=.2.D 可知1230++=F F F ,所以312()=-+F F F ,=+=+=++⋅22222312121212()2F F F F F F F F F cos60=214224222⨯⨯⨯++=28. 所以,力3F 的大小为3F=3.12 可知AOB △是边长为1的正三角形，∴111cos602OA OB ⋅=⨯⨯=. 4.1- 由+=-a b a b ，得22+=-a b a b ，∴40⋅=a b ，即0⋅=a b ，∴cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，有1tan tan 0αβ+⋅=，即tan tan 1αβ⋅=-.5.解：(1)连接BD 交AC 于点O ，由120ADC ∠=，得60ADO ∠=，而90AOD ∠=，1AD =，得12OD =，OA =，∴AC =(2)设AB =a ，AD =b ，则()AM AC =λ=λ+a b ，而B 、M 、E 三点共线， ∴EM uMB =，即()AM AE u AB AM -=-，∴(1)u AM u AB AE +=+， 即1()2u u (1+)λ+=+a b a b ，有(1)1(1)2u uu +λ=⎧⎪⎨+λ=⎪⎩，解得12u =，13λ=， ∴13AM AC =，即13AM AC =，同理13CN AC =，得13MN AC =由(1)得3AC =，∴133MN AC ==.即3MN =.。

2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理一、填空题1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1 ②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2 ③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 ④e 1＋e 2，e 1－e 22．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 3．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝________.5．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →＝________.6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AEEB＝________.二、解答题9. 如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.10．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .11. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.三、探究与拓展12. 如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．答案1．②④ 2.②③ 3.－74m ＋138n 4.11＋λa ＋λ1＋λb5．0 6.23b ＋13c 7.43 8.1109．解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10．证明 设BE →＝λBA →.则OE →＝OB →＋BE →＝OB →＋λBA → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λa ＋(1－λ)b . OD →＝OB →＋BD →＝13a ＋b .∵O 、E 、D 三点共线，∴OE →与OD →共线， ∴λ13＝1－λ1，∴λ＝14.即BE ＝14BA . 11．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →， BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线．∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.12．解 设AG GD ＝λ，BGGE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎨⎧λ2(1＋λ)＝11＋μ，λ2(1＋λ)＝2μ3(1＋μ).解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

6.2平面向量的运算 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知单位向量a ，b 满足13a b ⋅= ，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．23bB ．12br C ．13b D ．23b-2．已知非零向量,,a b c满足a b = ，13c a = ，若c 为b 在a 上的投影向量，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB CA ⋅=（ ）A ．2-B ．1C ．2D．4．已知ABCD 是平面四边形，设p ：AB＝3DC ，q ：四边形ABCD 是梯形，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a 与b为两个不共线的单位向量，则（ ）A ．()//a b a+ B ．()a a b⊥- C ．若π,3a b = ，则π,3a b b -= D ．若π,4a b a += ，则π,2a b =6．已知,a b，且()(2)a b a b λλ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．2B ．2±CD．7．已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭()()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．若对于向量,,a b c ，a是一个单位向量，b = ，a 与b 的夹角为π4，2c b a =- ，则c a ⋅= （ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．已知非零向量a ，b ，“a b ⊥ ”是“0a b ⋅=”的充要条件B ．已知四边形ABCD ，“AC AB AD =+”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件C ．已知非零向量a ，b ，“a b a b -=+ ”是“a 与b 共线”的充分不必要条件D ．已知非零向量a ，b ，“0a b ⋅>”是“a ，b 夹角为锐角”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（ ）A ．向量a 在向量b 上的投影向量可表示为a b b b b⋅⋅ B ．若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，则AB，BC 的夹角为45D ．若非零向量,a b 满足0a b ⋅=，则a b⊥ 11．已知21,e e 是夹角为2π3的单位向量，且12122,a e e b e e =+=-，则下列选项正确的是（ ）A B ．12a b ⋅=-r r C ．a 与b 的夹角为2π3D ．1e 在2e 方向上的投影向量为212e - 12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M 是ABC 内一点，,,BMC AMC AMB △△△的面积分别为,,A B C S S S ，且0A B C S MA S MB S MC ++=.以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为ABC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ++=C ．若M 为ABC 的外心，则()()()0MA MB AB MB MC BC MA MC AC +=+=+=D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题13．设,a b 均为单位向量，且,,a a b a b -+ 可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件的a b ⋅ 的值．14．已知向量3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b方向上的投影是 ．15．化简向量运算：AB BC CD DA +++=．16．如图，在△ABC 中，||||AB AD AB AD +=- ，BC =，||2AD =，则AC AD ⋅=．四、解答题17．已知3a = ，4b = ，且a 与b的夹角为120︒.(1)求a b ⋅的值；(2)若()()2a b ka b +⊥- ，求实数k 的值；(3)求向量b 与向量a b +夹角的余弦值.18．已知OA a = ，OB b = ，1b = ，a 与b的夹角为45°．2OM a b λ=- ，3ON a b λ=- ．(1)求2a b +的值；(2)若向量OM ，ON的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；(3)若四边形ABMN 为梯形，求λ的值．19．如图，已知O 为平面直角坐标系的原点．120OAB ABC ∠=∠=︒，24OA BC AB ===，(1)求OB 和OC的坐标；(2)求向量BC与向量OA 的夹角；(3)求向量BC在向量OA 上的投影向量的坐标．20．已知4a = ，3b =r ，()()23261a b a b -⋅+=.(1)求a 与b的夹角θ；(2)求2a b - ；(3)若AB a = ，BC b =，求ABC 的周长.21．在ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，AD 为角平分线，D 在线段BC 上.(1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB 、AC 于不同点E 、F ，且AE x AB =⋅ ，AF y AC =⋅ ，求12x y+的值参考答案：1．C【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】根据已知条件有：1a b == ，又13a b ⋅=，所以1cos ,3a b a b a b ⋅==⋅，a 在b上的投影向量为()1cos ,3b a a bb b =.故选：C 2．B【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果．【详解】由13c a = ，c 为b 在a上的投影向量，则有1cos ,cos ,cos ,3b a c a b a b a b a a b a a a ==⋅=⋅=⋅，所以,1cos 3a b = .故选：B.3．A【分析】利用()AB CA AO OB CA ⋅=+⋅展开计算即可.【详解】如图，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又2AC =，所以()12cos1802AB CA AO OB CA AO CA OB CA AO CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯︒=-.故选：A.4．A【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】在四边形ABCD 中，若3AB DC =，则AB DC ，且3AB DC =，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当,AD BC 为上底和下底时，满足四边形ABCD 为梯形，但3AB DC =不一定成立，即必要性不成立，故p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．5．D【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.【详解】选项A ：若()//a b a + ，则()a ab λ=+ ，即()1a b λλ-=，与a 与b为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A 说法错误；选项B ：设a 与b的夹角为θ，则0πθ<<，cos 1θ<，所以()()22cos 1cos 0a a b aa b a a b θθ⋅-=-⋅=-=-≠，故选项B 说法错误；选项C ：若π,3a b = ，则π1cos 32a b a b ⋅== ，所以()()212a b b a b b -⋅=⋅-=- ，22221a b a a b b -=-⋅+= ，即1a b -=r r ，所以()1cos ,2a b b a b b a b b-⋅-==-- ，又0,πa b b ≤-≤ ，所以2π,3a b b -= ，故选项C 说法错误；选项D ：因为()()21a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅ ，()()222222a b a a b ba b +=+⋅+=+⋅，所以()cos ,a b a a b a a ba +⋅+===+1a b +⋅= 设a 与b的夹角为θ，则0πθ<<，cos 1θ≠-，所以cos 1a b a b θ⋅=≠-，1=，即0a b ⋅= ，所以π,2a b = ，故选项D 说法正确；故选：D 6．B【分析】根据条件，利用向量垂直,其数量积为0，建立等式，即可求出结果.【详解】因为()(2)a b a b λλ+⊥- ，所以222()(2)20a b a b a a b b λλλλ+⋅-=+⋅-=，又,a b，所以2220λ⨯-=，解得2λ=±，故选：B.7．B【分析】先根据||AB AB 、||AC AC分别表示向量AB、AC 方向上的单位向量，确定OP OA AP -= ，判断AP与BAC ∠的角平分线所在向量的关系推出选项．【详解】||AB AB ,||AC AC分别表示向量AB、AC 方向上的单位向量，∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线对应的AD 方向相同，又 ()||||AB AC OP OA AB AC λ=++ ，∴()AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ，∴P 在向量AD上移动，∴点P 的轨迹一定通过ABC 的内心故选：B.8．D【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.【详解】因为a是一个单位向量，b = a 与b 的夹角为π4，所以π1cos 14a b ⋅==，所以()222121c a b a a b a a ⋅=-⋅=⋅-=-=-.故选：D 9．ABCD【分析】A 选项，分,a b均为非零向量或其中之一为零向量或两者均为零向量，结合数量积公式和定义得到A 正确；B 选项，根据平面向量的加法法则得到B 正确；C 选项，两边平方得到a 与b反向共线，充分性成立，举出反例得到必要性不成立；D 选项，举出反例得到充分性不成立，利用向量数量积公式得到必要性成立，得到答案.【详解】A 选项，若,a b 均为非零向量，cos900a b a b a b ⊥⇔⋅=⋅︒=，综上，a b ⊥ ”是“0a b ⋅=”的充要条件，A 正确；B 选项，根据平面向量加法平行四边形法则，AC AB AD =+可以得到四边形ABCD 是平行四边形，反之也成立，故B 正确；C 选项，非零向量满足a b a b -=+ ，两边平方得222222a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，故a b a b ⋅=-⋅，设,a b 的夹角为θ，由于cos a b a b θ⋅=⋅，故cos 1θ=-，故a 与b反向共线，充分性成立，若非零向量a 与b正向共线，则a b a b =++ ，必要性不成立，故C 正确；D 选项，非零向量,a b 正向共线时，满足0a b ⋅>，但此时a ，b 夹角为0，不是锐角，充分性不成立，当a ，b夹角为锐角时，cos 0a b a b θ⋅=⋅> ，必要性成立，D 正确.故选：ABCD 10．ABD【分析】对A ，根据投影向量公式求解即可；对B ，根据数量积公式判断即可；对C ，由向量夹角的定义判断即可；对D ，根据数量积公式判断即可.【详解】对A ，根据投影向量的定义可知，向量a在向量b 上的投影向量可表示为a b b bb⋅⋅，故A 正确；对B ，根据cos ,0a b a b a b ⋅=< ，可知，cos ,0a b < ，所以a 与b的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，故B 正确；对C ，由向量夹角的定义可知，AB，BC 的夹角为135 ，故C 错误；对D ，若非零向量,a b 满足0a b ⋅= ，则cos 0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】对A ：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B ：借助数量积公式计算即可得；对C ：借助向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量的定义计算即可得.【详解】对A：a ===，故A 正确；对B ：()()22121212122π22cos 3a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-+⋅ 1312122⎛⎫=-+⨯-=- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C：b ====，故1cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，即2π,3a b =，故C 正确；对D ：122211222221cos ,2e e e e e e e e e e e ⋅⋅=⋅=-，故D 正确.故选：ACD.12．ABC【分析】对A ，根据面积关系可得0MA MB MC ++=，再结合重心的概念即可得解；对B ，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C ，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D ，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.【详解】对于A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，如图所示由::1:1:1A B C S S S =，则0MA MB MC ++=，所以2MD MB MC MA =+=- ，所以,,A M D 三点共线，且23A D M A = ，设,E F 分别为,AB AC 得中点，同理可得22,33CM CE BM BF == ，所以M 为AMC 的重心，故A 正确；对于B ， 由M 为ABC 的内心，则可设内切圆半径为r ，如图所示则111,,222A B C S BC r S AC r S AB r =⋅=⋅=⋅，所以1110222r BC MA r AC MB r AB MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅= ，故B正确；对于C ，如图所示，因为M 为ABC 的外心，所以MA MB MC ==，所以22MA MB = ，即220MB MA -= ，即()()0MB MA MB MA +⋅-= ，所以()0M B M A A B +⋅= ，同理可得，()0()0MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅= ，所以()()()0MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=，故C 正确；对于D ，延长AM 交BC 于点D ，延长BM 交AC 于点F ，延长CM 交AB 于点E ，如图所示，由M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又ABC A B C S S S S =++ ，则43ABC ABC A BS SS S == ，， 设MD x MF y ==，，则32AM x BM y ==，，所以cos cos 23x y BMD AMF y x ∠==∠=，即2232x y =，所以cos BMD ∠=()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 错误.故选：ABC.13【分析】设,a b 的夹角为θ，则可计算得2sin 2a b θ-= ，2cos 2a b θ+= ，再由等比中项定义可求解.【详解】由,a b 均为单位向量，设,a b 的夹角为[],0,πθθ∈，则π0,22θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos a b θ⋅ =，1a = ，2sin 2a b θ-====，2cos 2a b θ+==== ，当,,a a b a b -+ 成等比数列时，有224sin 2cos 2cos cos 202222θθθθ=⇒+-=，解得cos 2θ=cos 2θ=，则由二倍角公式得，2cos 2cos 12θθ=-=同理，当,,a b a b a +-成等比数列时，解得cos θ=，当,,a b a a b +- 成等比数列时，有114sin cos 2sin cos sin 22222θθθθθ=⇒==，此时，cos θ=14．38b 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可.【详解】向量3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则634o 60c s a b =⋅=⨯︒ ，所以a 在b 方向上的投影是226348||a b b b b b ⋅== .故答案为：38b 15．0【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.【详解】0AB BC CD DA AC CD DA AD DA +++=++=+= .故答案为：0 .16．【分析】由||||AB AD AB AD +=- 得AB AD ⊥ ，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.【详解】由||||AB AD AB AD +=- ,可知22||||AB AD AB AD +=- ，0AB AD ∴⋅= ,则AB AD⊥ ()AC AD AB BC AD AB AD BC AD BC AD⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅2|AD AD =⋅==故答案为：17．(1)6-(2)13【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；（2）依题意可得()()20a b ka b +⋅-= ，根据数量积的运算律计算可得；（3）首先求出a b + 、()a b b +⋅ ，再根据夹角公式计算可得.【详解】（1）因为3a = ，4b = ，且a 与b 的夹角为120︒，所以1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）因为()()2a b ka b +⊥- ，所以()()20a b ka b +⋅-= ，即22220ka a b ka b b -⋅+⋅-= ，即()()22232640k k ⨯+-⨯--=，解得13k =.（3）因为a b +====，()226410a b b a b b +⋅=⋅+=-+= ，设向量b 与向量a b + 的夹角为θ，则()cos a b b a b b θ+⋅===+⋅ 即向量b 与向量a b +.18．(2)()⋃+∞(3)52或【分析】（1）将2a b + 平方开根号即可；（2）由向量OM ，ON 的夹角为锐角，可得0OM ON ⋅> 且向量OM ，ON 不共线，先根据0OM ON ⋅> 求出λ范围，再排除向量OM ，ON 共线时λ的值即可；（3）根据平面向量共线定理分别求出//AB NM 和//AN BM 时λ的值，即可得解.【详解】（1）11a b ⋅== ，2a b +====（2）因为向量OM ，ON 的夹角为锐角，所以0OM ON ⋅> 且向量OM ，ON 不共线，由0OM ON ⋅> ，得()()()222232360a b a b a b a b λλλλλ-⋅-=+-+⋅> ，即()24360λλλ+-+>，解得16λ<<，若向量OM ，ON 共线，则存在唯一实数μ，使得OM ON μ= ，即()23a b a b λμλ-=- ，所以23μλλμ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=综上所述，实数λ的取值范围为()⋃+∞；（3）()(),23AB OB OA b a NM OM ON a b λλ=-=-=-=-+- ，()()13,21AN ON OA a b BM OM OB a b λλ=-=--=-=-+ ，若//AB NM ，则存在唯一实数x ，使得NM xAB = ，即()()()23a b x b a λλ-+-=- ，所以23x xλλ-=-⎧⎨-=⎩，解得52λ=，若//AN BM ，则存在唯一实数y ，使得AN yBM = ，即()()1321a b y a b λλ⎡⎤--=-+⎣⎦，所以()1231y y λλ-=⎧⎨-=-+⎩，解得λ=综上所述，//AB NM ，//AN BM 不同时成立，所以四边形ABMN 为梯形，λ的值为52或.19．(1)OB OC == (2)向量BC 与向量OA 的夹角为120︒(3)BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为(2,0)-【分析】（1）依题意求出A 、B 、C 的坐标，即可得解；（2）利用向量的夹角公式可求向量BC 与向量OA 的夹角；（3）首先求出BC ，OA ，再根据数量积的几何意义求出向量BC 在向量OA 上的投影，从而求出投影向量.【详解】（1）依题意(4,0)A ，设1122(,),(,)B x y C x y ，则14||cos(180)42cos 605x AB OAB =+︒-∠=+︒= ，1||sin(180)2sin 60y AB OAB =︒-∠=︒= 21||cos(180)54cos 603x x BC OAB ABC =-∠+∠-︒=-︒= ，21||sin(180)4sin 60y BC OAB ABC y =∠+∠-︒+=︒= ，所以B C，所以OB OC == ；（2）由（1）可得(2,(4,0)BC OA =-= ，设向量BC 在向量OA 的夹角为θ，所以1cos 2||||BC OA BC OA θ===- ，因为0180θ≤≤︒，所以120θ=°.所以向量BC 与向量OA 的夹角为120︒；（3）由（1）可得(2,(4,0)BC OA =-= ，所以在向量BC 在向量OA 上的投影长度为2424||BC OA OA -⨯==- ，所以BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为12(4,0)(2,0)4||||BC OA OA OA OA ⨯=-⨯⨯=- ．20．(1)23π(2)(3)7【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可；（2）利用()2222a b a b -=- ，展开化简即可得到答案；（3）结合（1）可得π3ABC ∠=，利用AC AB BC =+ 或余弦定理可得213AC =，从而求得ABC 的周长【详解】（1）()()23261a b a b -⋅+= ，()()2244361a a b b ∴-⋅-= ，又4a = ，3b =r ，6442761a b ∴-⋅-= ，616,cos 432a b a b a b θ⋅-∴⋅=-∴===-⨯ ，又0πθ≤≤，2π3θ∴=；（2）()()()22224216464976a b a a b b -=-⋅+=-⨯-+⨯= ，2a b ∴+= （3）因为AB 与BC 的夹角2π3θ=，πππ233ABC ∠∴=-=，又4== AB a ，3BC b == ，解法1：AC AB BC a b =+=+ ，()()()222221626913AC a a b b a b =+=+⋅+=+⨯-+= ，则AC =所以ABC 周长为437+=解法2：在ABC 中，由余弦定理得，22212cos 1692432AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，213AC =，则AC =所以ABC 周长为437+=21．(1)23(2)3【分析】（1）根据角平分线定理，结合平面向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理进行求解即可；（2）根据平面共线向量的性质，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）根据角平分线定理：21BD AB DC AC ==，23BD BC ∴=，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+ .22214444449999999AD AB AB AC AC ∴=+⋅+=-+= ，23AD ∴= ，即23AD =；（2）由（1）可知：12123333AD AB AC AE AF x y ==++ ，E 、D 、F 三点共线，12133x y ∴+=，123x y∴+=.。

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2．2。

1 向量的加法课时目标1．理解向量加法的法则及其几何意义。

2.能用法则及其几何意义正确作出两个向量的和．1．向量的加法的定义已知向量a和b，在平面内任取一点O，作错误!＝a,错误!＝b,则向量错误!叫做a与b的和，记作________．即a＋b＝错误!＋错误!＝________.求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量的加法法则（1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b，则向量________叫做a与b的和（或和向量），记作________，即a＋b＝错误!＋错误!＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋________＝________。

(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a，b,作错误!＝a，错误!＝b,则O、A、C三点不共线，以________，________为邻边作________________,则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．(3)多边形法则已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的________为始点，第n个向量的________为终点的向量叫做这n个向量的和向量．即错误!＋错误!＋…＋A n A n＋1＝____________.这个法则叫做向量求和的多边形法则．3．向量加法的运算律（1）交换律：a＋b＝________________。