平面向量同步练习

平面向量的应用 练习一、选择题（共10题）1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，3b =，2sin 3A =，则B =( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32.如图，在重600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A. B.150N,150NC.D.300N,300N3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A.6 B.5 C.4 D.34.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)q q <<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos q 等于( )A. B.25-C.35-D.45-6.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()4c a b =-+，π3C =，则ABC △的面积是( )A.3 C.7.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若π4A =，5a =，4c =，则满足条件的ABC △的个数为( )A.0B.1C.2D.无数多个8.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且60m AB BC ==，则建筑物的高度为( )A.mB.mC.mD.m9.若ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=( )A. 10B. 8C. 7D. 410.在等腰梯形ABCD 中，//222AB DC AB BC CD ===，，P 是腰AD 上的动点，则|2PB PC -uuu r uuu r|的最小值为（ ）B.3D.274二、填空题（共4题）11.在ABC △中，若30B =°，AB =2AC =，则AB 边上的高是_____________.12.一条两岸平行的河流，水速为1m /s ，小船的速度为2m /s ，小船欲到河的正对岸，为使所走路程最短，小船应朝_______的方向行驶.13.在ABC △中，90ABC Ð=°，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上.若45BDC Ð=°，则BD =______________，cos ABD Ð=____________.14.设O 为ABC V 的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则sin BAC Ð的值为___________.三、计算题15.在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知5a=，1c b-=，1 cos7C=.（1）求B；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求ABD△的面积.答案解析1.答案：A解析：因为4a =，3b =，2sin 3A =，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得23sin 13sin 42b AB a´×===，又b a <，可得B 为锐角，则π6B =.2.答案：C解析：作平行四边形OACB ，使30,60AOC BOC Ð=°Ð=°，如图.在平行四边形OACB 中，60ACO BOC Ð=Ð=°，90OAC Ð=°，cos30OA OC °==u u r u u u r ，sin 30300N AC OC °==u u u r u u u r ，300N OB AC ==u u u r u u u r.3.答案：A解析：由sin sin 4sin a A b B c C -=，结合正弦定理，得2224a b c -=，所以22223b c a c +-=-.由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-，即23124c bc -=-，整理得6bc=.故选A.4.答案：D解析：由余弦定理得222cos 2c b a A bc+-=，222cos 2c a b B ac +-=，代入原式得2222222222222c a b c b a c b a a c bc c -++-+-=×-，所以22222222c a b c b a ac bc -++-=，所以222()()0a b c a b --+=，解得a b =或2220c a b -+=，则ABC △为等腰三角形或直角三角形.5.答案：B解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为a ，1AD =v u u u r ，2AC =v u u u r.以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos a =v v，即212cos 5a ==v v .又πq a =-，所以2cos cos(π)cos 5q a a =-=-=-，故选B.6.答案：B解析：由22()4c a b =-+可得22224c a b ab =+-+，又由余弦定理得22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-，所以24ab ab -+=-，解得4ab =.则11sin 422ABC S ab C ==´△.故选B.7.答案：B4sin C=，sin sin C A \=<=，C A \<，所以C 只有一解，所以满足条件的ABC △只有1个，故选B.8.答案：D解析：设建筑物的高度为m h .由题图知，2PA h =，PB =，PC =.在PBA △和PBC △中，分别由余弦定理得，cos PBA Ð=，①cos PBC Ð=.②180PBA PBC °Ð+Ð=Q ，cos cos 0PBA PBC \Ð+Ð=.③由①②③，解得h =h =-.即建筑物的高度为m .9.答案：B解析：11sin()sin sin()22C A B A C -==+，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab +-+-×=×，即222222333b c a a b c +-=+-，即22244221632c a b -==´=，则228c a -=，故选B.10.答案：C解析：如图，以A 为原点，射线AB 为x轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得3(2,0),2B C æççè，设()P a ，其102a ≤≤，则3(2,),2PB a PC a æö=-=-ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，所以52,2PB PC a æö-=-ç÷ç÷uuu r uuu r ，所以2PB-uuu r ==，所以当14a =时，|2|PB PC -uuu r uuu r ，故选：C 11.答案：1或2解析：由正弦定理sin sin AC ABB C=，得sin 30sin AB C AC °===.0150C <<°°Q ，60C \=°或120C =°.当60C =°时，90A =°，AB 边上的高为2；当120C =°时，30A =°，AB 边上的高为2sin 301´°=.12.答案：与水速成120°角解析：如图，为使小船所走路程最短，+船水v v 应与岸垂直.又|1,|||2,90AB AC ADC ====Ð=°v v u u u u r u u u r 船水∣∣，所以30CAD Ð=°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.13.解析：在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =Ð，即45BD =BD =，则()43cos cos 4555ABD A Ð=-==°.14.解析：设ABC △外接圆的半径为R ，因为2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AC AO AB BO =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ^，因为//AC BO ，所以OM BO ^，即π2BOM Ð=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R æöÐ=+Ð=-Ð=-=-=-=-ç÷èø，在BOC △中由余弦定理可得：BC ===，在ABC △中，由正弦定理可得：sin 2BC BAC R Ð===15.答案：（1）π3B =（2解析：（1）在ABC △中，由余弦定理得2222225(1)1cos 2107a b c b b C ab b +-+-+===，解得7b =，8c =.由余弦定理得2222564491cos 22582a c b B ac +-+-===´´.因为(0,π)B Î，所以π3B =.（2）由（1）知，π6ABD Ð=，22249642511cos 227814b c a A bc +-+-===´´，sin A =在ABD △中，ππsin sin πsin 66ADB A A æöæöÐ=--=+=ç÷ç÷èøèøππ11113sin cos cos sin 6614214A A +=´=.由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =ÐÐ，所以8131142AD =，得5613AD =.所以ABD △的面积1156sin 82213S AD AB A =×=´´=。

平面向量同步练习预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题（每小题5分，共20分）1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③?a = 0（入为实数），则入必为零；④入□为实数，若?a= b 则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 设P是厶ABC所在平面内的一点，BCrB A= 2西贝UA.PA^ PB= 0B. P CT P A= 0C. P B+ PC= 0D. PA^ PB+ PC= 03. 已知向量a, b不共线，c= ka+ b （k€ R）, d= a—b.如果c// d,那么A. k = 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =— 1且c与d同向D. k=— 1且c与d反向4. （2011四川）如图，正六边形ABCDEI中, B A^C D^ EF等于（）A. 0B. "BEC. ADD. CF二、填空题（每小题5分，共15分）5.____________________________________________________________________ ____________________________ 设a、b是两个不共线向量，X B= 2a+ pb, BC= a+ b, CD= a—2b,若A、B D三点共线，则实数p的值为_________________6. 在?ABCDK X B= a, At= b, AN= 3心M为BC的中点，贝U S= ___（用a, b 表示）.7. 给出下列命题：①向量AB勺长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为_________ .三、解答题（共22分）18 （10分）若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, t b, 3（a+ b）三向量的终点在同一条直线上？9. （12分）在厶ABC中, E、F分别为AC AB的中点，BE与CF 相交于G点，设AB= a,AC= b,试用a, b表示AG。

6.1 平面向量的概念课后·训练提升基础巩固1.下列说法不正确的是( )A.向量的模是一个非负实数B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同答案：D解析：根据向量的有关概念易判断,D项说法错误.2.在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是( )A.单位圆B.一段弧C.线段D.直线答案：A解析：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.3.如图,在3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)中,若起点和终点⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有( )都在方格的顶点处,则与ABA.12个B.18个C.24个D.36个答案：C解析：由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角线长为√2,每个小正方形中存在两个与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.4.如图所示,在等边三角形ABC 中,点P,Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B解析：向量相等要求模相等且方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.5.(多选题)下列条件中,能使a ∥b 成立的有( ) A.a=b B.|a|=|b| C.a 与b 方向相反 D.|a|=0或|b|=0答案：ACD解析：若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a ∥b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此不一定有a ∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,若a 与b 方向相反,则有a ∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a ∥b. 6.下列说法中,正确的是( ) A.若|a|=1,则a=±1 B.若|a|=|b|且a ∥b,则a=b C.若a=b,则a ∥b D.若a ∥0,则|a|=0 答案：C解析：选项A 中说法显然错误;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B 中说法错误;a=b ⇒向量a 与b 的方向相同⇒a ∥b,故选项C 中说法正确;0与任一向量平行,故a ∥0|a|=0,选项D 中说法错误.7.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若∠ABC=90°,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：√3解析：在Rt △ABC 中,由勾股定理可知,BC=√AC 2-AB 2=√3,故|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. 8.设a 0,b 0是两个单位向量,则下列结论正确的是 (填序号). ①a 0=b 0;②a 0=-b 0;③|a 0|+|b 0|=2;④a 0∥b 0. 答案：③解析：因为a 0,b 0是单位向量,所以|a 0|=1,|b 0|=1.所以|a 0|+|b 0|=2. 9.将向量用具有同一起点M 的有向线段表示,当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,且|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：3或1解析：当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 同向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|EF ⃗⃗⃗⃗ |=3; 当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 反向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|EF ⃗⃗⃗⃗ |=1.10.O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,如图所示,在右图的向量中:(1)分别找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (3)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量; (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否相等? 解：(1)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有BF ⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等,因为它们的方向不相同. 11.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2 000 km 后到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地,再从C 地沿西南方向飞行1 000√2 km 到达D 地.作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向.解：以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系.据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示,由已知可得,△ABC 为正三角形,所以AC=km. 又∠ACD=45°,CD=1000√2km,所以△ADC 为等腰直角三角形,所以AD=1000√2km,∠CAD=45°. 故向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2km,方向为东南方向.能力提升1.若a 为任一非零向量,b 为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a ∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是( ) A.①④ B.③C.①②③D.②③答案：B解析：因为a 为任一非零向量,所以|a|>0.2.(多选题)已知A={与a 共线的向量},B={与a 长度相等的向量},C={与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,下列关系中正确的是( ) A.C ⊆A B.A∩B={a} C.C ⊆B D.(A∩B)⊇{a} 答案：ACD解析：因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量,所以B 中的关系错误.3.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式中成立的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗D.EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：D解析：根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B 中的等式不成立;选项C 中,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 不成立;选项D 中,EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立. 4.已知点D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点,则|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为()A.12B.13C.1D.2答案：C解析：因为四边形ABPC 是平行四边形,且点D 为对角线BC 与AP 的交点, 所以点D 为AP 的中点,所以|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为1.5.若四边形ABCD 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案：矩形 解析：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ∥BC,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形ABCD 是平行四边形.又由|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,知该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD 是矩形. 6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= . 答案：0解析：平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的三点,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,而与不共线向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量.7.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与BD 的交点,设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |P,Q ∈M,且P,Q 不重合},则集合T 有 个元素.答案：12解析：根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素. 8.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)6解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6. 9.在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是CD,AB 的中点,如图所示.(1)写出与向量FC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量;(2)求证:BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)解：与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ∥CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点, 所以ED ∥BF,且ED=BF.所以四边形BFDE 是平行四边形,故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .。

9.4平面向量的应用一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知两个力F 1⃗⃗⃗ =(1,2)，F 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3⃗⃗⃗⃗ ，则F 3⃗⃗⃗⃗ =( )A. (1,−5)B. (−1,5)C. (5,−1)D. (−5,1)【答案】A【解析】【分析】本题考查向量在物理中的应用，属于基础题．为使物体平衡，即合外力为零，即3个向量相加等于零向量．【解答】解：由物理知识知F 1⃗⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故F 3⃗⃗⃗⃗ =−(F 1⃗⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ )=(1,−5)．故选A ．2. 在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 是( ) A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的加、减运算和几何应用，属于基础题．由题意，得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得三角形的形状． 【解答】解：由题意，得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 是等边三角形．故选A3. 三个不共线的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |)=0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量积的性质，属于中档题．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是单位向量，且由向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为邻边构成的四边形是菱形，得到OA 在∠BAC 的平分线上，即可得出结论．【解答】解：向量a ⃗ |a ⃗ |的模等于1， 因而向量a ⃗ |a ⃗ |是单位向量， ∴向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等都是单位向量， ∴由向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为邻边构成的四边形是菱形， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=0，可得OA 在∠BAC 的平分线上，同理可得OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴O 是△ABC 的内心．故选C ．4. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过勾3股4弦5的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有△ABC 满足勾3股4弦5，如图所示，其中AB =4，D 为弦BC 上一点(不含端点)，且△ABD 满足勾股定理，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗A. 25144B. 25169C. 16925D. 14425【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．根据数量的投影定义即可求解．【解答】解：由等面积法得AD =3×45=125依题意可得AD ⊥BC ， 则在上的投影为．．故选D ．5. 若点P 是△ABC 内一点，且满足PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S△PAB S △ABC =( ) A. 12 B. 13 C. 23 D. 14 【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的加减运算以及在几何图形中的应用，属于中档题．(1)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (2)G 为△ABC 的重心⇔GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． 根据向量关系得到线段比，即可得到面积比．【解答】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故点P 是△ABC 的重心， 所以S △ABC =3S △PAB ，即S △PAB S△ABC =13． 故选B ．6. O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是△ABC 所在平面内的一动点，若(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PC ⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则O 为△ABC 的( ) A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题．设M 为BC 的中点，N 为AC 中点，则由数量积运算法则得出OM ⊥BC,ON ⊥AC ，从而得出OA =OB =OC ，即可确定选项．【解答】解：设M 为BC 的中点，N 为AC 中点，由(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PC ⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得： CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OM ⊥BC,ON ⊥AC ，所以OB =OC ，OC =OA ，即OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心．故选B ．7. 如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是线段AO 的中点，点F 是线段BC 的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −74CO ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23CO ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −54CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的有关概念，向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理，属于中档题． 以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，分别表示向量CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平向量的基本定理以及相等向量建立方程组，解之即可得出结论．【解答】解：以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底， CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CO⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y (−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )． 所以{14x −12y =1,−34x −12y =12,解得{x =12,y =−74. 即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −74CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ．8. 如图所示，半圆的直径AB =4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( ) A. 2B. 0C. −1D. −2【答案】D【解析】【分析】 本题考查了向量在几何中的应用、平面向量的数量积、结合图形分析是解决问题的关键．根据图形知O 是线段AB 的中点，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解：由平行四边形法则得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ，又|PC ⃗⃗⃗⃗ |=2−|PO⃗⃗⃗⃗⃗ | 且PO⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 反向，设|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t(0≤t ≤2)， 则(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =−2t(2−t) =2(t 2−2t)=2[(t −1)2−1]．∵0≤t ≤2，∴当t =1时，(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−2． 故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 若点P 为△ABC 的外心，且PA⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ，则 ( ) A. 四边形ACBP 为菱形B. 四边形ACBP 为矩形C. ∠ACB =120°D. ∠ACP =60°【答案】ACD【解析】【分析】本题考查平面向量的加法和几何应用，属于基础题．根据题意得四边形ACBP 为菱形，再逐个判断即可．【解答】解：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 知四边形ACBP 为平行四边形，又点P 为外心，∴四边形ACBP 为菱形，且PA =PC =AC ，得∠ACP =60∘，∠ACB =120∘．故选ACD ．10. 在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如下图).假设行李包所受重力为G ⃗⃗ ，两个拉力分别为F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ ，若|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |，F 1⃗⃗⃗ 与F 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ.则以下结论正确的是( )A. |F 1⃗⃗⃗ |的最小值为12|G ⃗⃗ |B. θ的范围为[0,π]C. 当θ=π2时，|F 1⃗⃗⃗ |=√22|G ⃗⃗ | D. 当θ=2π3时，|F 1⃗⃗⃗ |=|G⃗⃗ |【答案】ACD【解析】【分析】 本题考查受力分析，物理只是在数学中的应用，主要考查学生运算能力，物理与数学的转换能力，属于基础题．利用受力分析的应用逐项分析即可．【解答】解：根据受力分析：对于A:当行李包处于平衡状态时，若F 1⃗⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ 竖直向上，则|F 1⃗⃗⃗⃗ |和|F 2⃗⃗⃗⃗ |最小，此时|F 1⃗⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=12|G ⃗ |，故 A 正确;对于B:当θ=π时，没有向上的分力，故 B 错误;对于C:当θ=π2时，|F 1⃗⃗⃗⃗ |=√22|G ⃗ |，故C 正确; 对于D:当θ=2π3时，解得|F 1⃗⃗⃗⃗ |=|G ⃗ |，故D 正确．故选ACD ．11. (多选)下列命题中正确的是( )A. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗B. 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件C. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，若a ⃗ =b ⃗ ，b ⃗ =c ⃗ ，则a⃗ =c ⃗ D. 对于向量a ⃗ ，b ⃗ ，a ⃗ =b ⃗ 的充要条件是|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗【答案】BC【解析】【试题解析】【分析】本题考查平面向量的有关概念、充分、必要条件的判断和平面向量的几何语言，属于基础题． 对选项逐个判断即可．【解答】解：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，故A 不正确；∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故B 正确； ∵a ⃗ =b ⃗ ,∴a ⃗ ,b ⃗ 的长度相等且方向相同，又b ⃗ =c ，∴b ⃗ ，c的长度相等且方向相同， ∴a ⃗ ，c 的长度相等且方向相同，故a ⃗ =c ，故C 正确；当a ⃗ //b ⃗ 且方向相反时，即使|a ⃗ |=|b ⃗ |，也不能得到a ⃗ =b ⃗ ，故|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ 不是a ⃗ =b ⃗ 的充要条件，故D 错误．故选BC ．12. 下列说法正确的是( )A. 在▵ABC 中，若AD →=12AB →+12AC →，则点D 是边BC 的中点 B. 已知a =(−1,2)，b =(x,x −1)，若(b −2a )//a ，则x =−1C. 已知A ，B ，C 三点不共线，B ，C ，M 三点共线，若AM →=xAB →+(2x −1)AC →，则x =12D. 已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足DM →=12MC →，则AM →⋅AC →=43【答案】AD【解析】【分析】本题主要考查向量的基本定理和坐标运算，属于基础题．利用向量的基本定理和坐标运算依次判断各个选项即可．【解答】解：对于A ，取BC 中点E ，则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则E 点与点D 重合，所以D 是边BC 的中点.所以A 正确；对于，b ⃗ −2a ⃗ =(x +2,x −5),a ⃗ =(−1,2),(b ⃗ −2a ⃗ )//a ⃗ ,所以x =13，所以B 不正确．对于C ，若x =12，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2x −1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以M 为AB 的中点，但条件没有，所以C 不正确． 对于D ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+13=43． 所以D 正确．故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一辆小车在拉力F ⃗ 的作用下沿水平方向前进了|s ⃗ |m ，拉力F ⃗ 的大小为|F⃗ |N ，方向与小车前进的方向所成角为α，如图所示，则F⃗ 所做的功W =______．【答案】|F ⃗ ||s |cosα【解析】解：拉力F ⃗ 可以分解为与s 平行(水平方向)的分力F ⃗ 1和与s 垂直(坚直方向)的分力F⃗ 2之和， 即F ⃗ =F 1⃗⃗⃗⃗ +F ⃗ 2，其中|F ⃗ 1|=|F ⃗ |cosα,|F 2⃗⃗⃗⃗ |=|F ⃗ |sinα，所以力F ⃗ 对物体所做的功W =|F ⃗ ||s |cosα．故答案为：|F ⃗ ||s |cosα．先求出拉力F ⃗ 在水平方向的分力，再求出F⃗ 所做的功W ． 本题考查平面向量在物理中的应用，属于基础题．14. 飞机以300 km/ℎ的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是_________km/ℎ．【答案】150√3 【解析】 【分析】本题主要考查向量在运动学中的应用，属基础题.根据题意画出图形，即可求得答案．【解答】解：如图所示，| v 1⃗⃗⃗ |=| v ⃗ |cos 30°=300×√32=150√3(km/h)．15. 如图，在△ABC 中，已知AB =10，AC =5，，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为 ．【答案】√21【解析】【分析】本题主要考查平面向量的几何应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．通过平面向量的基本定理求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用模长公式即可求解． 【解答】解：因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数x 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−x 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为C ，P ，M 三点共线，所以存在实数y 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−y)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，则{x =y 21−x 3=1−y ⇒{x =25y =45, 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=125(4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) =125×(4×102+4×10×5×12+52)=21，所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21， 故答案为√21．16. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD交于点N ，P 是平面上一点，满足2OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 【答案】−7【解析】【分析】本题考查向量的几何运用，根据题意可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 进而可得OP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2−16λ+84=4λ2−4λ+2，从而利用向量的数量积公式及二次函数的性质即可求得结果，属于中档题．【解答】 解：由2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，因此OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16λ2−16λ+84=4λ2−4λ+2，所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(PO⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PO⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4λ2−4λ+2−OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 当λ=12,|OM|取最大值时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−7． 故答案为−7．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力大小|F 1⃗⃗⃗ |=24 N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力大小|F 2⃗⃗⃗⃗ |=12 N ，求F 1⃗⃗⃗ 和F 2⃗⃗⃗⃗ 的合力．【答案】解：如图以OA 、OB 为邻边作平行四边形AOBC ，在△OCA 中，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，∠OAC =60°， 则∠OCA =90°，∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3， ∴F 1⃗⃗⃗⃗ 和F 2⃗⃗⃗⃗ 的合力大小为12√3N ，方向为与F 2⃗⃗⃗⃗ 成90°角竖直向上．【解析】本题主要考查向量的物理运用，向量的加法及向量的模．以OA 、OB 为邻边作平行四边形AOBC ，由向量加法，解三角形OCA ，可得F 1⃗⃗⃗⃗ 和F 2⃗⃗⃗⃗ 的合力大小及方向．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗(1)作出满足条件的四边形ABCD 。

第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。

4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。

6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。

10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。

二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。

2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。

3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。

4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。

7、略。

8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。

2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。

平面向量 同步测试一、选择题：1.a 与b 是非零向量，下列结论正确的是A ．|a |＋|b |＝|a ＋b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a |＋|b |＞|a ＋b |D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a 与b 同向时，取“＝”号.答案：D2.在四边形ABCD 中，DC AB =，且|AB |＝|BC |，那么四边形ABCD 为A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形解析：由AB ＝DC 可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB |＝|BC |得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为A ．（2，2）B ．（－6，0）C ．（4，6）D ．（－4，2）解析：设D （x ，y ），则AB ＝（5，3），DC ＝（－1－x ，3－y ），AD ＝（x ＋2，y －1），BC ＝（－4，－1）.又∵∥，∥，∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0，解得x ＝－6，y ＝0.答案：B4.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：∵2=++，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错.在④中，＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是54，故④正确. 答案：C5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于A ．（－1，25）B ．（1，－25） C ．（－4，10） D ．（4，－10）解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D.答案：D6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 A ．43 B ．4 C ．42 D ．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：a ·e ＝|a ||e |cos 3π＝8×1×21＝4. 答案：B7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵a ⊥b∴a ·b ＝0又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ）∴（2a ＋3b ）·（k a －4 b ）＝0得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2=1解得k ＝6.答案：B8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于A ．（－51,1511） B ．（－1511,51） C ．（－51,154） D ．（51,154） 解析：b ＝（x －1，3x －2）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0即3（x －1）＋4（3x －2）＝0，解得x ＝1511. 答案：C9.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于A ．0B ．1C ．－21D ．－23 解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－23. 答案：D10.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-x C ．y ＝392-x D ．y ＝332+x 解析：把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可得y －2＝31)1(2-+x . 整理得y ＝372+x 答案：A11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：∵a 与b 共线∴a ＝λb （λ∈R ），即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0∵e 1、e 2不共线.∴⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 解得k ＝±1，故选A.答案：A12.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：|a ＋b |＝| a －b |⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b .答案：C二、填空题13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则MN ＝ .解析：-=＝b －a ，∴＝3131=（b －a ）.答案：31（b －a ） 14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .解析：∵（a －b ）2＝7∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7∴a ·b ＝3∴cos θ＝21||||=⋅b a b a ∴θ＝3π. 答案：3π 15.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ . 解析：y ＝－2x 2－4x －1＝－2（x ＋1）2＋1∴y －1＝－2（x ＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a ＝（－1，1）.答案：（－1，1）16.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 3π＝2×1×21＝1 ∴|a +b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2 a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21三、解答题：17.（本小题满分10分）已知A （4，1），B （1，－21），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x . 解：∵AB ＝（－3，－23），BC ＝（x －1，－1） 又∵∥ ∴根据两向量共线的充要条件得－23（x －1）＝3 解得x ＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值.解：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0∴3m a 2＋（5m －3）a ·b －5b 2＝0∴27m ＋3（5m －3）－20＝0解得m ＝4229. 19.（本小题满分12分）已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由已知，（a ＋3b ）·（7 a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2 b ）＝0，即7a 2＋16a ·b －15 b 2＝0 ①7a －30a ·b ＋8 b 2＝0 ②①－②得2a ·b ＝b 2代入①式得a 2＝b 2∴cos θ＝21||21||||22==⋅b b b a b a ， 故a 与b 的夹角为60°.20.（本小题满分12分）已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 证明：∵DC AD AC DC BD BC +=+=,，两式平方相加可得a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2＋2（·＋·） ∵BD ·DC ＋AD ·DC＝|BD ||DC |·cos BDC ＋|AD ||DC |cos CDA ＝0∴a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 21.（本小题满分14分）设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且＝－2i ＋m j ，＝n i ＋j ，＝5i －j ，⊥，求实数m 、n 的值. 解：∵OA ⊥OB ，∴－2n ＋m ＝0①∵A 、B 、C 在同一直线上，∴存在实数λ使AC ＝λAB ， AC ＝OC －OA ＝7i ＋［－（m ＋1）j ］ AB ＝OB －OA ＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，∴7＝λ（n ＋2） m ＋1＝λ（m －1）消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0 ② 由①得m ＝2n 代入②解得m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝23. 22.（本小题满分14分）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A 为圆心，直径P Q ＝2ｒ，问：当P 、Q 取什么位置时，BP ·CQ 有最大值?解：BP ·＝（AB AP -）·（-）＝（-）·（－-）＝－r 2＋AB ·AP AC +·CB设∠BAC ＝α，PA 的延长线与BC 的延长线相交于D ，∠PDB ＝θ，则BP ·CQ ＝－r 2＋cb cos θ＋ra cos θ∵a 、b 、c 、α、r 均为定值，∴当cos θ＝1，即AP ∥BC 时，BP ·有最大值.。

第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1．下列说法正确的是 【 】 A ．平行向量就是其向量所在的直线互相平行 B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量 2．已知下列命题：（1）若|a | = |b |，则a = b ；（2）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若a = b ，b = c ，则a = c ； （4）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的是 【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点.(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m)； (2)求DA 的模.4.如右图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={a |a =，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1. 已知正方形ABCD 的边长为1， 则AB BC AC ++=【 】A . 0B . 2C .2 D . 222.若O 为△ABC 内一点， 0O A O BO C ++=，则O 是△ABC 的 【 】 A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 3. 已知向量||||b a +=，其中,均为非零向量，则||的取值范围是____________4.已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.5.用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则【 】A .a +b +c +d =0B .a -b +c -d =0C .a +b -c -d =0D .a -b -c +d =02.已知OA =a ， OB =b ，若|OA |=12，|OB |=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= .3.如右图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =，c -d =，并画出b -c 和a +d .4.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB =a ， BC =b ， OD =c ，试证明:c +a -b =OB .2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1. 点C ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 【 】A .0AD BE CF ++=B .0BD CF DF -+=C .0AD CE CF +-= D .0BD BE FC --=2.设四边形ABCD 中，有=21且||=||，则这个四边形是 【 】 A .平行四边形 B .矩形 C .等腰梯形 D .菱形3.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 【 】A .0PA PB += B .0PC PA += C .0PB PC +=D .0PA PB PC ++=4.已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=u u r u u r u u u r u u u r，那么一定有 【 】A ．2PB CP =uu r uu r B ．2CP PB =uu r uu rC ．2AP PB =u u u r u u rD ．2PB AP =u u r u u u r2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理1. 设向量a ，()tb t R ∈ ，13()a b +是起点相同，终点共线的三个不共线向量，则实数t 的值等于【 】A .12B .16C .12- D .132.如右图，点E 为ABC ∆中 AB 边的中点，点F 为AC 的三等分点（靠近点A ），BF交CE 于点G ，若AG xAE yAF =+，则x y +等于【 】A .25B .35 C .45 D .753.如右图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +的值为_____________.4.在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1.向量AB=(2，-1)，AC =(-4，1) 则BC = 【 】DAECa bBF GA . (-2，0)B .(6，-2)C . (-6，2)D . (-2，2)2.设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且= 4i + 2j ，AC = 3i + 4j ，则△ABC 的面积等于 【 】A .5B .9C .10D .153．若A (0， 1)， B (1， 2)， C (3， 4) 则AB -2BC = . 4．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且∥，则x = 【 】A ．9B ．6C ．5D ．12. 已知向量x b a b a x b a 则实数平行与若向量和,22),1,()2,1(-+==等于 【 】A ．21 B ．1 C ．31D ．2 3. 已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于 【 】 A ．21-B ．21C ．2-D ．2 4. 已知向量a = (-3 ，2 ) ， b =(x ， -4) ， 若a //b ，则x = 【 】 A 4 B 5 C 6 D 75. 已知27,65,2-=+-=+=，则点A 、B 、C 、D 中一定共线的三点是 . 2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义1.已知O 是△ABC 内一点，且满足→O A ·→O B ＝→O B ·→O C ＝→O C ·→O A ，则O 点一定是△ABC 的 【 】 A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心2.如右图，P 为△A O B 所在平面上一点，向量b OB a OA ==,，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量c =.若|a |=3，|b |=2，则c ·（a －b ）的值为A .5B .3C .25D .23 3.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= 4.已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜5.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.已知a =(λ，２)，b =(-3，5)且a 与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 【 】A .λ＞310 B .λ≥310 C .λ＜310 D .λ≤3102.给定两个向量a =(3，4)，b =(2，-1)且(a +x b )⊥(a -b)，则x 等于 【 】A .23B .223 C . 323 D . 423 3.已知a =(3，0)，b =(k ，5)且a 与b的夹角为43π，则k 的值为 .4.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.5.四边形ABCD 中，=(6，1)， =(x ，y )，=(-2，-3). (1)若BC ∥，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 2.5平面向量应用举例1. 已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O′和A ′，则λ=''O e ，其中λ= 【 】A ．511 B ．511- C ．2 D ．－2 2. 已知非零向量AB 与·=021，则ABC ∆为 【 】 A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .等边三角形。