平面向量同步练习

平面向量的应用 练习一、选择题（共10题）1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，3b =，2sin 3A =，则B =( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32.如图，在重600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A. B.150N,150NC.D.300N,300N3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A.6 B.5 C.4 D.34.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)q q <<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos q 等于( )A. B.25-C.35-D.45-6.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()4c a b =-+，π3C =，则ABC △的面积是( )A.3 C.7.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若π4A =，5a =，4c =，则满足条件的ABC △的个数为( )A.0B.1C.2D.无数多个8.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且60m AB BC ==，则建筑物的高度为( )A.mB.mC.mD.m9.若ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=( )A. 10B. 8C. 7D. 410.在等腰梯形ABCD 中，//222AB DC AB BC CD ===，，P 是腰AD 上的动点，则|2PB PC -uuu r uuu r|的最小值为（ ）B.3D.274二、填空题（共4题）11.在ABC △中，若30B =°，AB =2AC =，则AB 边上的高是_____________.12.一条两岸平行的河流，水速为1m /s ，小船的速度为2m /s ，小船欲到河的正对岸，为使所走路程最短，小船应朝_______的方向行驶.13.在ABC △中，90ABC Ð=°，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上.若45BDC Ð=°，则BD =______________，cos ABD Ð=____________.14.设O 为ABC V 的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则sin BAC Ð的值为___________.三、计算题15.在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知5a=，1c b-=，1 cos7C=.（1）求B；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求ABD△的面积.答案解析1.答案：A解析：因为4a =，3b =，2sin 3A =，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得23sin 13sin 42b AB a´×===，又b a <，可得B 为锐角，则π6B =.2.答案：C解析：作平行四边形OACB ，使30,60AOC BOC Ð=°Ð=°，如图.在平行四边形OACB 中，60ACO BOC Ð=Ð=°，90OAC Ð=°，cos30OA OC °==u u r u u u r ，sin 30300N AC OC °==u u u r u u u r ，300N OB AC ==u u u r u u u r.3.答案：A解析：由sin sin 4sin a A b B c C -=，结合正弦定理，得2224a b c -=，所以22223b c a c +-=-.由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-，即23124c bc -=-，整理得6bc=.故选A.4.答案：D解析：由余弦定理得222cos 2c b a A bc+-=，222cos 2c a b B ac +-=，代入原式得2222222222222c a b c b a c b a a c bc c -++-+-=×-，所以22222222c a b c b a ac bc -++-=，所以222()()0a b c a b --+=，解得a b =或2220c a b -+=，则ABC △为等腰三角形或直角三角形.5.答案：B解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为a ，1AD =v u u u r ，2AC =v u u u r.以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos a =v v，即212cos 5a ==v v .又πq a =-，所以2cos cos(π)cos 5q a a =-=-=-，故选B.6.答案：B解析：由22()4c a b =-+可得22224c a b ab =+-+，又由余弦定理得22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-，所以24ab ab -+=-，解得4ab =.则11sin 422ABC S ab C ==´△.故选B.7.答案：B4sin C=，sin sin C A \=<=，C A \<，所以C 只有一解，所以满足条件的ABC △只有1个，故选B.8.答案：D解析：设建筑物的高度为m h .由题图知，2PA h =，PB =，PC =.在PBA △和PBC △中，分别由余弦定理得，cos PBA Ð=，①cos PBC Ð=.②180PBA PBC °Ð+Ð=Q ，cos cos 0PBA PBC \Ð+Ð=.③由①②③，解得h =h =-.即建筑物的高度为m .9.答案：B解析：11sin()sin sin()22C A B A C -==+，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab +-+-×=×，即222222333b c a a b c +-=+-，即22244221632c a b -==´=，则228c a -=，故选B.10.答案：C解析：如图，以A 为原点，射线AB 为x轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得3(2,0),2B C æççè，设()P a ，其102a ≤≤，则3(2,),2PB a PC a æö=-=-ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，所以52,2PB PC a æö-=-ç÷ç÷uuu r uuu r ，所以2PB-uuu r ==，所以当14a =时，|2|PB PC -uuu r uuu r ，故选：C 11.答案：1或2解析：由正弦定理sin sin AC ABB C=，得sin 30sin AB C AC °===.0150C <<°°Q ，60C \=°或120C =°.当60C =°时，90A =°，AB 边上的高为2；当120C =°时，30A =°，AB 边上的高为2sin 301´°=.12.答案：与水速成120°角解析：如图，为使小船所走路程最短，+船水v v 应与岸垂直.又|1,|||2,90AB AC ADC ====Ð=°v v u u u u r u u u r 船水∣∣，所以30CAD Ð=°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.13.解析：在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =Ð，即45BD =BD =，则()43cos cos 4555ABD A Ð=-==°.14.解析：设ABC △外接圆的半径为R ，因为2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AC AO AB BO =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ^，因为//AC BO ，所以OM BO ^，即π2BOM Ð=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R æöÐ=+Ð=-Ð=-=-=-=-ç÷èø，在BOC △中由余弦定理可得：BC ===，在ABC △中，由正弦定理可得：sin 2BC BAC R Ð===15.答案：（1）π3B =（2解析：（1）在ABC △中，由余弦定理得2222225(1)1cos 2107a b c b b C ab b +-+-+===，解得7b =，8c =.由余弦定理得2222564491cos 22582a c b B ac +-+-===´´.因为(0,π)B Î，所以π3B =.（2）由（1）知，π6ABD Ð=，22249642511cos 227814b c a A bc +-+-===´´，sin A =在ABD △中，ππsin sin πsin 66ADB A A æöæöÐ=--=+=ç÷ç÷èøèøππ11113sin cos cos sin 6614214A A +=´=.由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =ÐÐ，所以8131142AD =，得5613AD =.所以ABD △的面积1156sin 82213S AD AB A =×=´´=。

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

人教A 版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知平面向量a →=(−2,1)，b →=(1,2)，则|a →−2b →|的值是( )A. 1B. 5C. √3D. √52.（5分）已知向量a →=(2,4),b →=(−2,m)，且|a →+b →|=|a →−b →|，则m =()A. √3B. 1C.2√33D. 23.（5分）已知四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，若BM →=xAB →+yAD →，则x +y =()A. 3B. 52C. 2D. −124.（5分）已知四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则下列向量中与PM →相等的向量是( )A. 12a →+b →−c →B. a →+12b →−c →C. −a →−12b →+c →D. a →+12b →+c →5.（5分）已知直线上OA →，OB →的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )A. OA →<OB →B. |OA →|<|OB →| C. |AB →|=3D. AB 的中点坐标为126.（5分）在△ABC 中，已知BC →=3BD →，则AD →=()A. 13(AC →+2AB →) B. 13(AB →+2AC →) C. 14(AC →+3AB →)D. 14(AC →+2AB →)7.（5分）下列说法中错误的是()A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线C. 单位向量的长度为1D. 相等向量一定是共线向量8.（5分）下列说法正确的是( )A. 单位向量均相等B. 单位向量e →=1 C. 零向量与任意向量平行D. 若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，则a →=±b →9.（5分）若平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等，则|a →+b →+c →|=( )A. √3B. 3C. 0D. 110.（5分）已知不共线的向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=3,a →.(b →−a →)=1，则|a →−b →|=( )A. √3B. 2√2C. √7D. √2311.（5分）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；①若向量AB →与CD →是共线的向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ；①若a ①b =0，则a =0或b =0；其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112.（5分）已知a →,b →为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. 如果a →与b →平行，那么a →与b →相等 B. a →与b →相等C. 如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →D. a →与b →共线二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是 ______.14.（5分）若向量AB →=−3CD →，则向量AB →与向量CD →共线.______ (判断对错) 15.（5分）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →=DC →； ⑤若m →=n →，n →=p →，则m →=p →； ⑥若向a →//b →，b →//c →，则a →//c →． 其中错误的命题有______.(填序号)16.（5分）已知平面内三点A （2，-3），B （4，3），C （5，a ）共线，则a=____ 17.（5分）已知向量a →=(m,1),b →=(4−n,2),m >;0,n >;0，若a →//b →，则1m+8n的最小值为__________;三 、多选题（本大题共4小题，共20分） 18.（5分）下列命题中正确的是( )A. 单位向量的模都相等B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若⇀ a 与b →满足|a |>|b |，且⇀ a 与b →同向，则a →>b →D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 19.（5分）下列说法中，正确的个数是( )A. 时间、摩擦力、压强、重力、身高、温度、加速度都是向量；B. 向量的模是一个正实数；C. 相等向量一定是平行向量；D. 向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量． 20.（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是()A. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 若xa →+yb →=0→，x ，y ∈R ，a →，b →不共线，则x =y =0 D. 若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2=|a →+b →|221.（5分）已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是()A. 向量PA →与PC →可能平行 B. 向量PA →与PC →可能垂直 C. 点P 在线段EF 上D. PE ：PF =1：2四 、解答题（本大题共4小题，共48分）22.（12分）已知四点A(x,0)，B(2x ,1)，C(2,x)，D(6,2x ). (1)求实数x ，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点是否存在同一直线上？23.（12分）如图，半圆的直径AB =6，C 是半圆上的一点，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD =1，BE =4，DE =3.[{"ℎ":"57.0","w":"837.0","x":"63.0","y":"509.0"}](1)求证：AC →//DE →;(2)求|AC →|.24.（12分）已知D,E,F 分别是ΔABC 各边AB ,BC ,CA 的中点，分别写出图中与DE →，EF →，FD →相等的向量．25.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m→=(a,√3b)，n→=(cosA,sinB)，且m→//n→.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅰ)若c=5，cosB=√21，求a的值.7答案和解析1.【答案】B;【解析】解：a →−2b →=(−4,−3)． ∴|a →−2b →|=√(−4)2+(−3)2=5． 故选：B ．利用数量积运算性质即可得出．此题主要考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：由题意可得|a →+b →|2=|a →−b →|2， 即a →2+2a →·b →+b →2=a →2−2a →·b →+b →2， 可得a →·b →=0，又a →=(2,4)，b →=(−2,m)， 即有2×(−2)+4m =0， 解得m =1， 故选：B.由已知条件结合向量模的求法可得a →·b →=0，再代入坐标运算即可求解． 此题主要考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，∴BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点， ∴BM →=BD →+BC →2=BA →+AD →+4AD→2=−12AB →+52AD →.又∵BM →=xAB →+yAD →，∴x =−12，y =52， 故 x +y =2， 故选：C.由题意先求得BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点，再利用平面向量的线性运算，借助平面向量的基本定理即可求解．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：∵四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，∴PM →=PB →+12BC →=PA →+AB →+12BC →=−c →+a →+12b →， 故选：B.直接根据向量的三角形法则进行求解即可．此题主要考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：向量不能比较大小，故A 不正确， ∵|OA →|=1，|OB →|=2，∴|OA →|<|OB →|，故选项B 正确， ∵AB →=OB →−OA →=2−(−1)=3，∴|AB →|=3，故选项C 正确， ∵A 的坐标为−1，B 的坐标为2，∴AB 的中点坐标为−1+22=12，故选项D 正确．故选：A.利用直线上的向量的坐标运算求解．此题主要考查了直线上的向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．6.【答案】A;【解析】解：根据向量的三角形法则得到AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →=13(2AB →+AC →)；故选：A.利用平面向量的三角形法则，将AD →用AB →,AC →表示，找出正确答案． 此题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题．7.【答案】B;【解析】解：零向量与任一向量平行，故A 正确； 方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误； 单位向量的长度为1，故C 正确；相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D 正确． 故选：B.由零向量的概念判断A ；由相反向量的概念判断B ；由单位向量的概念判断C ；由相等向量的概念判断D.此题主要考查向量的基本概念，是基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的概念，属于基础题. 根据向量的概念逐一判定即可.解：单位向量的模相等且为1，但单位向量的方向不确定，故A 、B 错误； 零向量与任意向量平行，故C 正确；若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，只能得出向量a →,b →的模相等，但向量a →,b →的方向不确定，故D 错误； 故选C.9.【答案】C;【解析】解：∵平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等； ∴a →，b →，c →两两夹角为120°，且|a →|=|b →|=|c →|=1；∴|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√(a →)2+(b →)2+(c →)2+2a →.b →+2a →.c →+2b →.c →=√3+6cos120° =0 故选：C ．根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为120°；再根据平面向量模的计算公式即可得出答案．该题考查了平面向量模的运算，属基础题．10.【答案】A;【解析】解：∵|a →|=2，|b →|=3，a →⋅(b →−a →)=1， ∴a →⋅b→−a 2→=a →⋅b →−4=1，∴a →⋅b →=5，∴|a →−b →|2=a 2→−2a →⋅b →+b 2→=4−2×5+9=3，∴|a →−b →|=√3， 故选：A ．由已知结合数量积的运算可得a →⋅b →=5，代入运算可得|a →−b →|2的值，求其算术平方根即得．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量的模长的求解，属中档题．11.【答案】D;【解析】此题主要考查平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于①，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上， 如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误； 对于①，当|a |=|b |时，a =b 或a =-b 不一定成立， 如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误； 对于①，当a ①b =0时，a =0或b =0或a ①b ，原命题错误； 综上，正确的命题是①，共1个． 故选D.12.【答案】C;【解析】解：∵a →,b →为两个单位向量，∴如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →，故A 不正确，C 正确； 因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以B 不正确； ∵a →,b →为两个单位向量，∴a →,b →为两个向量不一定平行，故D 不正确． 故选：C ．a →,b →为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．该题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的应用．13.【答案】（13，23，-23）;【解析】解：向量a →=(1,2,−2)， 可得|a →|=√1+4+4=3，所以与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是：(13,23,−23). 故答案为：(13,23,−23).求出向量的模，然后求解单位向量即可．此题主要考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．14.【答案】对;【解析】解：向量AB →=−3CD →，根据平面向量的共线定理知， 向量AB →与向量CD →共线． 故答案为：对．根据平面向量的共线定理，判断即可．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．15.【答案】①②③⑥;【解析】解：在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；在②中，若|a →|=|b →|，则a →与b →大小相等，方向不一定相同，故②错误； 在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形，故③错误； 在④中，在平行四边形ABCD 中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →，故④正确； 在⑤中，若m →=n →，n →=p →，则向量相等的定义得m →=p →，故⑤正确； 在⑥中，若向a →//b →，b →//c →，当b →=0→时，a →与c →不一定平行，故⑥不正确． 故答案为：①①①①．在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同；在②中，a →与b →大小相等，方向不一定相同；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形；在④中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →；在⑤中，由向量相等的定义得m →=p →；在⑥中，当b →=0→时，a →与c →不一定平行．该题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量相等、向量平行的合理运用．16.【答案】6;【解析】解：AB=(2，6) ，AC=(3，a+3) 由已知知AB ∥AC 所以2（a+3）=6×3 解得a=6 故答案为：617.【答案】92; 【解析】此题主要考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于中档题. 由a →//b →，可得：n +2m =4，则1m+8n=14(n +2m )(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．解：∵a →//b →，∴4−n −2m =0，即n +2m =4， ∵m >;0，n >;0， ∴1m +8n=14(n +2m )(1m +8n ) =14(10+n m+16m n)⩾14(10+2√n m·16mn)=92，当且仅当n =4m =83时取等号， ∴1m +8n 的最小值是92. 故答案为92.18.【答案】AD; 【解析】此题主要考查向量的有关概念，属于基础题．利用向量的有关概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.解：对于选项A ：单位向量的模均为1，故A 正确，对于选项B ：长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，故B 错误， 对于选项C ：向量不能比较大小，故C 错误， 对于选项D ：根据相等向量的概念知，故D 正确. 故选AD .19.【答案】CD; 【解析】此题主要考查了向量的基本概念，熟练掌握向量，零向量，平行向量，向量的模的概念是解答该题的关键，属于基础题.直接由向量、零向量、向量相等，向量的模和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．解：对于A ，时间没有方向，不是向量，故A 错误；对于B ，零向量的模为0，故B 错误；对于C ，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故C 正确；对于D ，根据零向量与任意向量共线，得到向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量，故D 正确．故选CD .20.【答案】ACD;【解析】解：若a →=b →,b →=c →，则一定a →=c →，∴A 正确；若a →与c →不平行，b →=0→，满足a →//b →,b →//c →，则得不出a →//c →，即B 错误；若xa →+yb →=0→,x,y ∈R,a →,b →不共线，则一定得出x =y =0，若x ，y 中有一个不为0，则可得出a →，b →共线，与已知不共线矛盾，∴C 正确；若|a →+b →|=|a →−b →|，则(a →+b →)2=(a →−b →)2，则a →·b →=0，从而得出|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，即D 正确．故选：ACD.A 显然正确；b →=0→时，可说明B 错误；根据平面向量基本定理即可说明C 正确；进行向量数量积的运算即可说明D 正确．此题主要考查了平面向量和共线向量基本定理，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】BC;【解析】解：∵PA →+2PB →+3PC →=0→，∴PA →+PC →+2(PB →+PC →)=0→，∵E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，∴2PE →+2×2PF →=0→，∴PE →=−2PF →，∴P 为FE 的三等分点(靠近点F)，即PE ：PF =2：1，故C 正确，D 错误，∴向量PA →与PC →不可能平行，故A 错误；当|AC →|=2|EP →|=43|EF →|=23|AB →|时，向量PA →与PC →垂直，B 正确．故选：BC.由题意并根据平面向量线性运算可知PE →=12(PA →+PC →)，PF →=12(PB →+PC →)，代入等式可得PE →=−2PF →，即可判断C 和D ；根据平面中的位置关系，可判断A 和B.本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．22.【答案】解：（1）AB →=（x ，1），CD →=（4，x ），∵AB →与CD →共线，∴x 2-4=0，解得x=±2．∴当x=±2时，向量AB →与CD →共线．（2）取x=2时，A （2，0），B （4，1），C （2，2），D （6，4），直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，因此四点不共线．取x=-2时，A （-2，0），B （-4，1），C （2，-2），D （6，-4），直线AB 的方程为y-0=1−0−4−(−2)（x+2），化为：x+2y+2=0．点B ，D 满足直线AB 的方程，因此四点共线．;【解析】(1)AB →=(x,1)，CD →=(4,x)，利用向量共线定理解出x.(2)取x =2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，D(6,4)，直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，即可判断出四点共线．取x =−2时，A(−2,0)，B(−4,1)，C(2,−2)，D(6,−4)，直线AB 的方程为：x +2y +2=0.验证点B ，D 是否满足直线AB 的方程，即可判断出结论．此题主要考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)证明：由题意知，在△DEB 中，BD =5，DE =3，BE =4，∴DE 2+BE 2=BD 2，∴△DEB 是直角三角形，∠DEB =90∘.又∵点C 为半圆上一点，∴∠ACB =90∘.∴AC//DE ，故AC →//DE →.(2)解：由AC//DE 知△ABC ∽△DBE.∴AC DE =AB BD ，即AC 3=65.∴AC =185，即|AC →|=185.;【解析】本题考查向量的概念及几何表示、平行向量的概念以及向量的模，属于基础题.(1)根据勾股定理可得DE ⊥BE ，因为AC ⊥BC ，故可得AC →//DE →；(2)由三角形相似得相似比，从而可求出答案.24.【答案】略;【解析】DE →=AF →=FC →；EF →=BD →=DA →；FD →=CE →=EB →.25.【答案】解：（Ⅰ）∵m →∥n →，∴asinB −√3bcosA =0，∴根据正弦定理得，sinAsinB −√3sinBcosA =0，且sinB ＞0，∴sinA =√3cosA ，tanA =√3，且A ∈（0，π），∴A =π3；（Ⅱ）∵cosB =√217，∴sinB =2√77，且C =2π3−B ， ∴sinC =sin(2π3−B)=√32×√217+12×2√77=5√714，且c=5， ∴根据正弦定理得，c sinC =b sinB ，即5√714=2√77，解得b=4，∴根据余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21，∴a =√21．;【解析】(Ⅰ)根据m →//n →即可得出asinB −√3bcosA =0，然后根据正弦定理即可得出sinA =√3cosA ，然后即可求出A =π3；(Ⅰ)可先求出sinB =2√77，sinC =5√714，然后根据正弦定理可求出b 的值，进而根据余弦定理可求出a 的值．本题考查了平行向量的坐标关系，正余弦定理，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．。

平面向量同步练习预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题（每小题5分，共20分）1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③?a = 0（入为实数），则入必为零；④入□为实数，若?a= b 则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 设P是厶ABC所在平面内的一点，BCrB A= 2西贝UA.PA^ PB= 0B. P CT P A= 0C. P B+ PC= 0D. PA^ PB+ PC= 03. 已知向量a, b不共线，c= ka+ b （k€ R）, d= a—b.如果c// d,那么A. k = 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =— 1且c与d同向D. k=— 1且c与d反向4. （2011四川）如图，正六边形ABCDEI中, B A^C D^ EF等于（）A. 0B. "BEC. ADD. CF二、填空题（每小题5分，共15分）5.____________________________________________________________________ ____________________________ 设a、b是两个不共线向量，X B= 2a+ pb, BC= a+ b, CD= a—2b,若A、B D三点共线，则实数p的值为_________________6. 在?ABCDK X B= a, At= b, AN= 3心M为BC的中点，贝U S= ___（用a, b 表示）.7. 给出下列命题：①向量AB勺长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为_________ .三、解答题（共22分）18 （10分）若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, t b, 3（a+ b）三向量的终点在同一条直线上？9. （12分）在厶ABC中, E、F分别为AC AB的中点，BE与CF 相交于G点，设AB= a,AC= b,试用a, b表示AG。

高中数学《平面向量的应用》同步练习
高中数学《平面向量的应用》同步练习
【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高中数学《平面向量的应用》同步练习，希望能给大家带来帮助!
当堂练习：
1.已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若
，则点P与△ABC的位置关系是 ( )
A、点P在△ABC内部
B、点P在△ABC外部
C、点P在直线AB上
D、点P在AC边上
2.已知三点A(1，2)，B(4，1)，C(0，-1)则△ABC的形状为 ( )
A、正三角形
B、钝角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰锐角三角形
3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为
，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则
的值为( )
A、300
B、600
C、900
D、1200
4.某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为 ( )
A、v-a
B、a-v
C、v+a
D、v
5.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。

的合力为
，如上右图，在平行四边形
中，因为
，所以
.即
，所以细绳
受力最大.
当堂练习：
1.D;
2.C;
3.D;
4.A;
5. 5
km/h; 6. 粒子b相对于粒子a的位移为(1,7), S在Sa 方向上的投影为-5;
7.
8.
9.略;
10.|
|=14,cos&ang;ABC=。

第二章《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e)43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-，5||,4||==b a ，则与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量,则的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是 （ ） A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=，则b a 与的夹角为 （ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=，若λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||=4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量,满足||||-=+,求证: ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||= 3||=,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴∥ ⑵⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形， 求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.参考答案13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k19．()212121432e e e e e e -=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则与共线， 即212142e e e k e λλ-=+由于不共线21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若∥ 得59=k⑵若⊥得1429-=k 21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1) 故EF PA =22.证:-=-=,即22222228 44rPDPCPBPArr=+++=+。

第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。

平面向量 同步测试一、选择题：1.a 与b 是非零向量，下列结论正确的是A ．|a |＋|b |＝|a ＋b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a |＋|b |＞|a ＋b |D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a 与b 同向时，取“＝”号.答案：D2.在四边形ABCD 中，DC AB =，且|AB |＝|BC |，那么四边形ABCD 为A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形解析：由AB ＝DC 可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB |＝|BC |得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为A ．（2，2）B ．（－6，0）C ．（4，6）D ．（－4，2）解析：设D （x ，y ），则AB ＝（5，3），DC ＝（－1－x ，3－y ），AD ＝（x ＋2，y －1），BC ＝（－4，－1）.又∵∥，∥，∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0，解得x ＝－6，y ＝0.答案：B4.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：∵2=++，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错.在④中，＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是54，故④正确. 答案：C5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于A ．（－1，25）B ．（1，－25） C ．（－4，10） D ．（4，－10）解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D.答案：D6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 A ．43 B ．4 C ．42 D ．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：a ·e ＝|a ||e |cos 3π＝8×1×21＝4. 答案：B7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵a ⊥b∴a ·b ＝0又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ）∴（2a ＋3b ）·（k a －4 b ）＝0得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2=1解得k ＝6.答案：B8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于A ．（－51,1511） B ．（－1511,51） C ．（－51,154） D ．（51,154） 解析：b ＝（x －1，3x －2）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0即3（x －1）＋4（3x －2）＝0，解得x ＝1511. 答案：C9.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于A ．0B ．1C ．－21D ．－23 解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－23. 答案：D10.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-x C ．y ＝392-x D ．y ＝332+x 解析：把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可得y －2＝31)1(2-+x . 整理得y ＝372+x 答案：A11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：∵a 与b 共线∴a ＝λb （λ∈R ），即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0∵e 1、e 2不共线.∴⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 解得k ＝±1，故选A.答案：A12.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：|a ＋b |＝| a －b |⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b .答案：C二、填空题13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则MN ＝ .解析：-=＝b －a ，∴＝3131=（b －a ）.答案：31（b －a ） 14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .解析：∵（a －b ）2＝7∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7∴a ·b ＝3∴cos θ＝21||||=⋅b a b a ∴θ＝3π. 答案：3π 15.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ . 解析：y ＝－2x 2－4x －1＝－2（x ＋1）2＋1∴y －1＝－2（x ＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a ＝（－1，1）.答案：（－1，1）16.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 3π＝2×1×21＝1 ∴|a +b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2 a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21三、解答题：17.（本小题满分10分）已知A （4，1），B （1，－21），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x . 解：∵AB ＝（－3，－23），BC ＝（x －1，－1） 又∵∥ ∴根据两向量共线的充要条件得－23（x －1）＝3 解得x ＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值.解：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0∴3m a 2＋（5m －3）a ·b －5b 2＝0∴27m ＋3（5m －3）－20＝0解得m ＝4229. 19.（本小题满分12分）已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由已知，（a ＋3b ）·（7 a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2 b ）＝0，即7a 2＋16a ·b －15 b 2＝0 ①7a －30a ·b ＋8 b 2＝0 ②①－②得2a ·b ＝b 2代入①式得a 2＝b 2∴cos θ＝21||21||||22==⋅b b b a b a ， 故a 与b 的夹角为60°.20.（本小题满分12分）已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 证明：∵DC AD AC DC BD BC +=+=,，两式平方相加可得a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2＋2（·＋·） ∵BD ·DC ＋AD ·DC＝|BD ||DC |·cos BDC ＋|AD ||DC |cos CDA ＝0∴a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 21.（本小题满分14分）设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且＝－2i ＋m j ，＝n i ＋j ，＝5i －j ，⊥，求实数m 、n 的值. 解：∵OA ⊥OB ，∴－2n ＋m ＝0①∵A 、B 、C 在同一直线上，∴存在实数λ使AC ＝λAB ， AC ＝OC －OA ＝7i ＋［－（m ＋1）j ］ AB ＝OB －OA ＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，∴7＝λ（n ＋2） m ＋1＝λ（m －1）消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0 ② 由①得m ＝2n 代入②解得m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝23. 22.（本小题满分14分）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A 为圆心，直径P Q ＝2ｒ，问：当P 、Q 取什么位置时，BP ·CQ 有最大值?解：BP ·＝（AB AP -）·（-）＝（-）·（－-）＝－r 2＋AB ·AP AC +·CB设∠BAC ＝α，PA 的延长线与BC 的延长线相交于D ，∠PDB ＝θ，则BP ·CQ ＝－r 2＋cb cos θ＋ra cos θ∵a 、b 、c 、α、r 均为定值，∴当cos θ＝1，即AP ∥BC 时，BP ·有最大值.。