向量同步练习

9.3.3 向量平行的坐标表示（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知()1,m x = ,(),2n x = ,若//m n,则x =( )2．已知向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .若//a b，则实数m =( )A.1B.1-C.9D.9-3．已知向量()2,1a = ,()2,b m m =- ,若//a b,则m =( ).A.4- B.2- C.2D.44．已知向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，则m =( )A.6B.-835．已知向量()1,0a = ,()1,1b =,()()//a b a b λμ+-,则( )A.1λμ+= B.0λμ+= C.1λμ= D.1λμ=-6．已知向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则( )=-2= C.2λμ=- D.2λμ=二、多项选择题7．下列说法中，正确的有( )A.若0a λ=，则0a = B.若ab λ=，则//a bC.若0a b λμ+=，则//a bD.若AB AC λ→→=，则A ，B ，C 三点共线8．已知向量()1,3OA =- ，()2,1OB =- ，()1,2m C m O =+-，若点A ，B ，C能构成三角形，则实数m 可以是( ) C.1 D.－1三、填空题9．若向量()2,3a =- ,()1,2b m =+ ,且//a b,则m =__________.10．已知向量()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,若//a b,则实数x =_____________.11．已知()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b ，则y =___________.四、解答题12．已知向量()1,2a =- ，()3,2b =.(1)若2ka b - 与2a b +垂直，求实数k 的值；(2)已知O ，A ，B ，C 为平面内四点，且2OA a b =+ ，3OB a b =+ ，()3,2OC m m =-.若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值.13．已知向量(3,1)a =- ,(1,2)b =- ,m a kb =+,()k ∈R (1)若向量m 与a垂直,求实数k 的值(2)当k 为何值时,向量m 与a b +平行.参考答案1．答案：C解析：因为()1,m x = ,(),2n x = ,//m n,所以2120x ⨯-=,解得x =故选：C.2．答案：B解析：因为向量()3,a m = ，11,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且//a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.故选：B.3．答案：B解析：()2,1a = ,()2,b m m =-,由//a b可得22m m =-,解得2m =-.故选:B.4．答案：B解析：向量(),4a m = ，()3,2b =- ，且//a b，2430m ∴--⨯=，解得6m =-.故选：B.5．答案：B解析：因为()1,0a = ,()1,1b =,所以()1,a b λλλ+=+ ,()1,a b μμμ-=--,因为()()//a b a b λμ+-,所以()()()110λμλμ+---=,则0λμ+=.故选：B.6．答案：C解析：向量(1,)a λ= ,(,2)b μ=- ,且a 与b共线,则()12λμ⨯-=,所以2λμ=-.7．答案：BD解析：A 选项中0λ=也成立，故错误；B 选项中当0λ=时，0a = ，0 与任一向量平行，当0λ≠时，//a b，故正确；C 选项中0λμ==时不平行，故错误；D 选项依据共线定理可知正确.故选：BD.8．答案：ABD解析：因为(2,1)(1,3)(1,2)AB OB OA =-=---=，(1,2)(1,3)(,1)AC OC OA m m m m =-=+---=+.假设A ，B ，C 三点共线，则()1120m m ⨯+-=，即1m =.所以只要1m ≠，则A ，B ，C 三点即可构成三角形.故选：ABD.9．答案：73-解析：由题意得()314m +=-,解得m =10．答案：解析： //a b ,()1,1a x x =-+ ,()2,1b =- ,1220x x ∴-++=,x ∴=11．答案：3解析：因为()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b，所以4260y -⨯=，则3y =.故答案为：3.12．答案：(1)k =(2)2m =解析：（1）()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=---，则()()()221,23,25,2a b +=-+=-，因为2ka b - 与2a b +垂直，所以()()562420k k ----=，解得k =（2）()()()21,223,27,2OA a b =+=-+=，()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=-，()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=--，()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=---，因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC.所以()()122637m m -⨯--=-⨯-，解得2m =.13．答案：答案：(1)2(2)1解析：(1)由已知可得(3,12)m k k =-+-,因为向量m 与a垂直,所以3(3)1(12)0k k -⨯-++⨯-=,解得2k =;(2)(2,1)a b +=-- ,因为m 与a b +平行,所以2(12)1(3)k k -⨯-=-⨯-+,解得1k =,所以当1k =时,向量m 与a b +平行。

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。

必修4 第二章 向量(二)一、选择题1 若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有 （ ） A 3,5a b ==- B 10a b -+= C 23a b -= D 20a b -=2 下列命题正确的是 （ ） A 单位向量都相等B 若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ||||b a b a -=+，则0a b ⋅=rrD 若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr3 已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=r r （ ）A7 B 10 C 13 D 44 已知向量a r ，b r 满足1,4,a b ==r r且2a b ⋅=r r ,则a r 与b r 的夹角为 （ ）A6πB4πC3πD2π5 若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( ) A )2,4( B )2,4(-- C )3,6(- D )2,4(或)2,4(--6 下列命题中正确的是 （ ）A 若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B 若a ⋅b ＝0，则a ∥bC 若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D 若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)27 已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥rr ，则x = （ ）A 3-B 1-C 1D 38.向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是( )A 0,24B 24,4C 16,0D 4,09．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ） A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e -10 向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r，若ma b +r r 与2a b -r r 平行，则m 等于 （ ）A 2-B 2 C21D 12- 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5 ）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）12．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或 )135,1312(-- D ．)135,1312(±±二、填空题:13 已知向量(cos ,sin )a θθ=r，向量1)b =-r ，则2a b -r r 的最大值是14 若(2,2)a =-r，则与a r 垂直的单位向量的坐标为__________15 若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=r r r r 则||a b +=r r16．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18 求与向量(1,2)a =r ，(2,1)b =r 夹角相等的单位向量c r的坐标19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20 已知(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r，其中0αβπ<<<(1)求证：a b +r r 与a b -rr 互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)。

9.4 向量应用（同步训练）-高中数学苏教版（2019）必修二一、选择题1．已知O 是ABC △2OC OB OC-=+- ABC 一定为( )A.以BC 为底边的等腰三角形B.以AB 为底边的等腰三角形C.以BC 为斜边的直角三角形D.以AB 为斜边的直角三角形2．如图，已知O 是ABC △的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠等于( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:63．如果一架飞机向西飞行400km ，再向东飞行500km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么||s -=a ( )A.800kmB.700kmC.600kmD.500km4．已知，，||||4c a c a ++-=，2650d b d -⋅+= ，则||c d - 的最大值为( )+2+5．某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45︒后的正方形组合而成，已知向量n ，k ，则向量=a ( )||a = |1b = 0a b ⋅=A.23+n kB.(23++n kC.(2(2++n kD.(1(2++n k6．如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，PQR △是圆O 的内接正三角形，若PQR △绕着圆心O 旋转，则AQ OR ⋅的最大值是( )A.2++1+2+二、多项选择题7．已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D 在边AC 上,且3AC AD =,点E 是BC 边上任意一点（包含B ,C .点）,则AE BD ⋅的取值可能是( )A.8．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设ABC △中,点O ､H ､G 分别是外心､垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( )A.2GH OG =B.0GA GB GC ++=C.OH OA OB OC=++ D.OA OB OC== 三、填空题9．一个所受重力大小为20N 的物体从倾斜角为30︒，斜面长1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.10．如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45N ，则物体的重力大小为__________N.11．已知等边ABC △的外接圆O 的面积为36π,动点M 在圆O 上,若MA MB MB MC λ⋅+⋅≤,则实数λ的取值范围为________________.四、解答题12．如图，在ABC △中，已知2AB =，5AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BM 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.13．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.参考答案1．答案：C2OC OB OC-=+-+AC AB -=+ 2AC AB -=+ 2222AB AC AB AC AB AC ⋅=++⋅ ,所以0AB AC ⋅=,则AB AC ⊥,所以ABC △是以BC 为斜边的直角三角形.故选：C.2．答案：A解析：O 是ABC △的垂心，延长，BO ，分别交边AB ，，BC 于点P ，M ，N，如图，则，BM AC ⊥，，BOP BAC ∠=∠，，12tantan 21OP BOP O OC BPBP AP OCAP P AOP ⋅∠===∠⋅==于是得tan :tan :tan ::BOC AOC AOB BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=△△△，又230OA OB OC ++= ，由“奔驰定理”有0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△，即::1:2:3BOC AOC AOB S S S =△△△，所以tan :tan :tan 1:2:3BAC ABC ACB ∠∠∠=，故选：A.3．答案：ACO AO AC CP AB ⊥AN BC ⊥AOP ABC ∠=∠解析：依题意，400500900(km)s =+=，||100km =a ，所以||900100800(km)s -=-=a .故选A.4．答案：C 解析：如图所示，不妨设a OA ==，(0,1)b OB ==，(,)OC m n = ，(,)OD p q = ，1(A ，满足||a =|1b = ，0a b ⋅= ，又||||c a c a ++-=1422||a c A A +==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c ====21y +=，而2650d b d -⋅+= ，即22650p q q +-+=，即，这表明了点D 在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求上面运动，所以不妨设，则||CE ===所以当6sin 12(3)θ-=-=-⨯-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d - 有最大值，max ||226CE +=+=.故选：C.22(3)4p q +-=22(3)4x y +-=(0,3)E 2r =2d OC OD CD CE ED CE =-=≤+=+|CE 21y =(2cos ,sin )C θθ5．答案：D解析：根据题意可得||||=n k .图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转45︒后与原正方形组合而成，如图.由对称性可得||||||||||||AB BC CD DE EQQF =====，|||||||||CE EF FG AB ====n ，点B ，C ，E ，Q共线，点Q ，F ，G 共线，所以(2BQ BC CE EQ =++=k ，(1QG QF FG =+=n ，所以(2(1BQ QG =+=++a k n .故选D.6．答案：D解析：由题意，可得，又由[0,π]AOR ∠∈，所以，又因为2π22cos 23OQ OR ⋅=⨯⨯=- ，所以，所以AQ OR ⋅的最大值为7．答案：AB解析：设BC 的中点为O ,以点O 为坐标原点,BC ,OA 所在直线分别为x ,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,2cos OA OR AOR AOR ⋅=⨯∠=∠[AOR ∠∈-()2[22AQ OR OQ OA OR AOR ⋅=-⋅=--∠∈---+2-+由于ABC △是边长为1的等边三角形,且3AC AD =,所以1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,A ⎛ ⎝,16D ⎛ ⎝设(),0E x ,则1122x -≤≤,所以,AE x ⎛= ⎝,23BD ⎛= ⎝,所以21113222AE BD x x ⎛⎫⋅=--≤≤ ⎪⎝⎭ ,所以521632x -≤-≤即51,66AE BD ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦,故选：AB.8．答案：ABC 解析：如图:根据欧拉线定理可知,点O ､H ､G 共线,且2GH OG =.对于A,2GH OG = ,2GH OG ∴=,故A 正确;对于B,G 是重心,则延长AG 与BC 的交点D 为BC 中点,且2AG GD =,则20GA GB GC GA GD ++==+,故B 正确;对于C,233()3232()33OH OG AG AO AD AO AD AO AO OD AO⎛⎫==-=-=-=+- ⎪⎝⎭2OD AO=-OB OC OA =++,故C 正确;对于D,OA OB OC ==显然不正确.故选:ABC.9．答案：10J解析：因为物体的重力为20N，物体在重力方向上的位移大小是11sin 30(m)2⨯︒=，2010(J)=.10．答案：解析：一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力为，与水平夹角均为，所以由向量加法的平行四边形法可知，所以物体的重力大小为.11．答案：[)72,+∞解析：依题意,设ABC △的外接圆的半径为R ,则2π36πR =,故6R =,在等边ABC △12=,则AB =取线段AC 的中点N ,连接BN ,则9BN AB ==,所以()2MA MB MB MC MB MA MC MB MN ⋅+⋅=⋅+=⋅ ;取线段BN 的中点P ,连接BP ,则O 在线段BN 上,且133ON BN ==,所以93322OP NP ON =-=-=,1||=+G F 1F 2F 45N 12+F F 212cos 45210+=︒=⨯=F F N则2214MB MN MP BN ⋅=- 又()2222362MP MP MO OP ⎛⎫=≤+=+= ⎪⎝⎭ 故225813644MB MN ⋅≤-=,则72λ≥.故答案为：[)72,+∞.12解析： M ，N 分别是BC ，AC 的中点，1()2AM AB AC ∴=+ ，12BN AN AB AC AB =-=- .AM 与BN 的夹角等于MPN ∠，cos ||||AM BNMPN AM BN ⋅∴∠=.11()22AM BN AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 2211114242AB AC AB AC AB AC =⋅-+-⋅2211125cos 60253424=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=，||AM ===，||BN ===，cos MPN ∴∠==13．答案：证明见解析解析：证明：因为,,EF ED DC CF EF EA AB BF ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩所以1()2EF ED DC CF EA AB BF =+++++ .又因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则ED EA +=0 ，CF BF +=0，所以1()2EF AB DC =+ .因为AB ，DC共线且同向，所以1||(||||)2EF AB DC =+ .不妨设(0)AB DC λλ=≠，则11()(1)22EF DC DC DC λλ=+=+ ，所以//EF DC .又EF ，CD 无公共点，所以//EF DC .同理.所以梯形的中位线定理即证.//EF AB。

专题27 平面向量（同步练习）考点一：平面向量的基本概念和表示方法 例1-1．判断对错：(1)两个向量能比较大小。

( ) (2)向量的模是一个正实数。

( ) (3)向量AB 与向量BA 是相等向量。

( ) 变式1-1．有下列说法：①向量AB 和向量BA 长度相等； ②方向不同的两个向量一定不平行； ③向量BC 是有向线段； ④00=；⑤若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同；⑥若向量AB 、CD 满足||||CD AB >，且AB 与CD 同向，则CD AB >； ⑦若||||b a =，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反； ⑧由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行。

其中正确说法的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4 例1-2．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)OA ，使24||=OA ，点A 在点O 北偏东 45； (2)，使4||=AB ，点B 在点A 正东；(3)BC ，使6||=BC ，点C 在点B 北偏东 30。

变式1-2．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后改变方向，向北偏西 40方向行驶了200千AB 米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点。

作出向量AB 、BC 、CD 、AD 。

例1-3．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且a OA =，b OB =，c OC =。

(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a 、b 、c 相等的向量。

变式1-3．本例条件不变，试写出与向量BC 相等的向量。

变式1-4．在本例中，若1||=a ，求正六边形的边长。

考点二：平面向量的运算 例2-1．判断对错：(1)两个向量相加结果可能是一个数量。

( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加。

高中数学 4.1 什么是向量同步练习湘教版必修2 1．下列说法中正确的是( )A．时间、摩擦力、重力都是向量B．向量的模是一个正实数C．相等向量的方向一定相同D．方向不同的两个向量不一定不相等2．如图，△ABC为等边三角形，则与图中AB的长度相等的向量有( )A．2个 B．3个C．4个 D．5个3．设O为△ABC的外心，则AO，BO，CO是( )A．相等向量 B．平行向量C．模相等的向量 D．起点相同的向量4．如下图所示，四边形ABCD中，AB＝DC，则相等的向量是( )A．AD与CBB．OB与ODC．AC与BDD．AO与OC5．在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB和CD的中点，则在以A，B， C，D，M，N 为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数是( )A．9 B．11 C．18 D．246．有下列说法：①向量AB与向量BA长度相等；②向量BC是有向线段；③模不相等的两个向量一定不相等；④若|a|＞|b|，则a＞b.其中正确的说法的序号是__________．7．将平面上所有模等于2的向量的起点移到共同的起点A，那么这些向量的终点所构成的图形是__________．8．已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB相等的向量有______；(2)图中与AB模相等的向量有__________．9．如图所示，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段(E，F分别在AD，BC上)．(1)写出图中的各组同向向量；(2)写出图中的相等向量．10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO，BO相等的向量；(2)写出与AO的模相等的向量；(3)向量AO与CO是否相等？参考答案1.答案：C2.答案：D解析：与AB长度相等的向量是：BA，AC，CA，BC，CB，选D．3.答案：C解析：由于O是△ABC外心，所以OA＝OB＝OC．因此AO，BO，CO的模相等，但它们不是相等向量，选C．4.答案：D解析：依题知四边形ABCD为平行四边形，又|AO|＝|OC|且AO与OC的方向相同，故选D．5.答案：D===，AD=MN=BC，AB＝DC，解析：如下图，由已知可得AM DN MB NC=，有12对相等向量．改变其方向又有12对相等向量．所以共有24 =，MD BNAN MC对相等向量．6.答案：①③7.答案：以A为圆心，以2为半径的圆8.答案：(1)DC，BE(2)BA，DC，CD，AD，DA，BC，CB，BE，EB9.解：(1)DC，EO，OF与EF为同向向量；AO，AC与OC为同向向量；AE，AD与ED为同向向量；BF，BC与FC为同向向量．(2)EO＝OF.10.解：(1)AO＝BF，BO＝AE；(2)|AO|＝|CO|＝|DO|＝|BO|＝|BF|＝|CF|＝|AE|＝|DE|.(3)不相等．欢迎您的下载，资料仅供参考！。

1.2 空间向量基本定理同步练习一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ， 对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ， 对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ， 对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选C2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A【解析】由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-，11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选A ．3．如图，在三棱锥A BCD -中，E ､F 分别是棱AD ､BC 的中点，则向量EF →与,AB CD →→的关系是（ ）A ．1122EF AB CD →→→=+B ．1122EF AB CD →→→=-+C ．1122EF AB CD →→→=-D ．1122EF AB CD →→→=--【答案】C【解析】取AC 的中点M ，连结,EM FM ，,E F 分别是,AD BC 的中点，12ME CD →→∴=，12MF AB →→∴=，1122EF MF ME AB CD →→→→→∴=-=-.故选C .4．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选D ．5．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错． 故选A ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则CM =（ ）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点， 因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+ ()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+.故选D. 7．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =，则AF =（ ） A ．133244AB AC AD +- B ．3344AB AC AD +-C ．533AB AC AD -++D ．111333AB AC AD ++【答案】D【解析】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =， 所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+ ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++.故选D.8．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）A ．,2,3a b cB ．,,a b b c c a +++C ．,,a b c b c c +++D ．2,23,39a b b c a c ++-【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D9．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于（ ）A ．OA OB OC ++ B ．111222OA OB OC ++ C ．111236OA OB OC ++D ．111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】()()211112323333AG AC AB OC OA OB OA OC OB OA ⎛⎫=⋅⋅+=⋅-+-=+- ⎪⎝⎭ 则111333OG AG OA OA OB OC =+=++,故选D. 10．已知在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，45AD AA ='=，，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，则AC '的长为（ ）A ．2B ．53C 58D 53【答案】D【解析】在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，AD 4=, 5AA '=，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，AC AB AD AA ''=++,()22AC AB AD AA '∴=++'222222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+'⋅''91625234cos120235cos6050121553=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=-+=则53AC ='．故选D11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选ABCD.12．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底，则（ ）A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面. 对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.故选BCD三、填空题13．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.【答案】12-【解析】如图，根据条件()12BD BC BS =+ ()12SC SB SB =-- 12SB SC =-+ 102SA SB SC =-+,又BD xSA ySB zSC =++,∴由空间向量基本定理得110122x y z ++=-+=-,故填12-14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60°，且AB =1，|AD |=2，|1AA |=3，则|1AC |等于_____. 【答案】5【解析】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+=12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC =5.故填5.15．已知点M ，N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点，P 为线段MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数λ+μ+γ=_____.【答案】34【解析】如图，连接ON ，在△OMN 中，点P 是MN 中点，由平行四边形法则得．()()111111111222422444OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC =+=+=+⨯+=++, 又OP =λOA +μOB +γOC ，∴111,,444λμγ===，∴34λμγ++=．故填34．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，1113A F AB =，且1DF AB AC AA αβγ=++，则αβγ++=__________．【答案】12-【解析】由题意的：1113A F A B =，1111DF DC C A A F =++=111123CC AC A B -+=1111111233AA AC A B A A -++=1111111233AA AC A B AA -+-=11136AB AC A A -+, 故可得α=13，β=-1，γ=16，可得：αβγ++=1-2.故填1-2.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________【答案】13【解析】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故填1318．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【答案】78【解析】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===，即78x y z ++=．故填78三、解答题19．已知ABCD A B C D -''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB '++，并在图形中标出其结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC B ''的对角线BC '上的点，且:3:1BN NC '=，设MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ的值．【解析】（1）如图所示，取线段AA '中点E ，则12EA AA ''=， BC AD A D ''==， 取23D F D C '''=， ∵AB D C =''，∴2233AB D C D F '''==．则2312AA BC AB EA A D D F EF '''''++=++=．（2）∵ M N MB BN +=124 3BC DB =+'314()()2DA AB BC CC '=+++ 113 244AB AD AA '=++αAB βAD γAA '++=，∴12α=，14β=，34γ=． 20．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】（1）111111111BC BB B C BB A C A B a c b =+=+-=+-∴11cos 11cos602a b a b BAA ︒=∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ==， ∴()222212222BC a c ba cb ac a b c b =+-=++-+-=．（2）因为1AB a b =+，所以()222123AB a b a b a b =+=++=，因为()()22111AB BC a ba cb a ac a b b a c b b =++-=+-++-=，所以1111116cos ,23AB BC AB BC AB BC <>==⨯．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6622．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【解析】（1）连接1A B ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点，∴ ()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒，由（1）可知AC a b =+∴平行四边形11AA CC 中故：11AC AC A b A a c+=+=+ ()()22211C a cb A AC ==++()()()222+++222+a c a b c c b b a =⋅+⋅⋅222+++cos cos cos 606062022b a bc a b c c a ︒+⋅⋅︒+︒=⋅11121+1+1+22222++=⨯⨯⨯6=∴16AC =故：对角线1AC . （3）1AC a b c=++，AB a =又111cos ,a a c AB AC AB AC AB AC b ⋅+⋅==⋅+212311b a a a c+++⋅⋅=+===。

2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。