第10课一次函数的图象与性质

一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。

注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。

（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。

（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。

4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。

三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。

其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。

二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。

分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系。

解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。

例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。

（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。

教学目标：1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象．2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．3．函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．教学重、难点重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．教法及学法指导：本节课我运用多媒体演示教学手段，力求直观，高效，使本节课有趣、形象、事半功倍．在教学中注重培养学生的画图能力，主要是培养学生的看图、识图能力，培养思维能力．指导学生根据概念的直观表象，归纳出概念的性质，运用类比、归纳、数形结合等方法，培养学生分析问题、解决问题的能力．对于学生我采用自主探究、合作交流式教学，学生通过一些不同的问题，讨论、归纳，在与老师之间的交流中学习知识，体验学习的快乐，让学生更有时机体验自己与他人的想法，从而掌握知识．课前准备：多媒体课件，三角板等教具准备．教学过程：一、创设情境，引入新课师：我们已经认识了一次函数和正比例函数，现在老师这里有一题要考考同学们，请看题：〔课件演示〕一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S 〔米〕与小明出发的时间t 〔分〕之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？〔t ≥0〕生：S =80t ，是一次函数也是正比例函数.师：很好！下面的图象能表示上面问题中的S 与t 的关系吗？生：能.师：我们说，上面的图象是函数S =80t 〔t ≥0〕的图象,这就是我们今天要学习的主要Ot 〔分〕S 〔米〕1内容：一次函数的图象的特殊情况即正比例函数的图象.教师板书课题4.3一次函数的图象〔1〕设计意图：通过学生比拟熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的求知欲望，感受图象的价值.二、合作交流，探究新知探究一：函数图象的定义：自学课本83页并能用自己的语言归纳函数图象概念．师：什么叫做函数的图象呢？你能用语言表达吗？生：把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．学生边说，老师边板书“函数的图象〞的概念并附属说明如一次函数2y x =，当1=x 时，对应2=y ．那么我们可在直角坐标系内描出点〔1，2〕，再给x 另一值，对应又一个y ．又可在直角坐标系内描出一个点来，所有这些点组成的图形叫2y x =的图象． 由此可知道：函数的图象是满足函数表达式所有的点的集合师：下面我们就通过具体的例子来真切的认识认识正比例函数图象的“真面目.〞探究二：正比例函数图象的画法例1 请作出正比例函数y=2x 的图象．解：1.列表: x … -2 -1 0 12 … y=2x … -4 -2 02 4 … 说明：(1)列表时教师要问学生x ，y 的取值范围是什么，并引导学生一般情况下x ，y 取哪些值最适宜．还要强调：应注意左右还有无数组数，因此左右应加省略号．(2)列表后教师追问学生列表的目的是什么，让学生明确列表是为了找自变量x 与因变量y 对应值．2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．(-2，-4) 〔-1，-2〕 〔0，0〕 〔1，2〕 〔2，4〕说明：描点要注意x的值作为横坐标，y的值作为纵坐标.3.连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．说明：连线要注意按x的值从小到大的顺序连接.并由学生完成作图．y=2x 2．描点3．连线师：正比例函数图象的形状是什么？生：是一条直线．师：由例1我们发现作一个函数的图象需要哪些步骤？(小组内合作交流体会，教师巡视课堂，随时点拨，诱导学生的思维朝向“教学目标〞.) 师：请小组代表发言说自己小组的感受．〔学生边说老师边板书〕三大步：列表，描点，连线．师：如何列表？x如何取值？生：在函数关系式y=2x中，x的取值范围是全体实数〔包括正数、负数和0〕，为了方便画图，应用整数.设计意图：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．三、动手操作，深化探究做一做〔1〕作出正比例函数y =-3x 的图象．〔2〕在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y =-3x ．〔学生独立画图，教师巡视并及时纠正学生画图中的错误，比方将直线画成线段〕 设计意图：做一做“作出正比例函数y=-3x 的图象〞，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生在作这个函数的图象时，尽量准确，为后面研究函数与图象的对应关系和得出一次函数的图象是一条直线作好铺垫和准备．师：请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．〔1〕满足关系式y =-3x 的x ，y 所对应的点〔x ，y 〕都在正比例函数y =-3x 的图象上吗？〔2〕正比例函数y =-3x 的图象上的点〔x ，y 〕都满足关系式y =-3x 吗？〔3〕正比例函数y=kx 的图象有什么特点？由学生讨论上面的问题.生1：满足关系式的x ，y 所对应(),x y 都在图像上．例如：满足关系式2x =，6y =-即〔2，-6〕就在图像上．满足关系式1x =-，3y =即〔-1，3〕也在图像上等等． 生2：图像上的点都满足关系式，例如：图像上的点〔-2，6〕即当x =-2时y =6就满足关系式，图像上的点(1，-3)即x=1，y =-3也满足关系式，等等．师：大家有什么发现？生3：图像与关系式是对应的．生4：正比例函数的关系式与它的图像是对应的． 师：大家说得非常正确．师生共同概括：由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x ，y 所对应的点〔x ，y 〕都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点〔x ，y 〕都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx 的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx 的图象为直线y=kx ．设计意图：教师对每位答案正确的学生都给予积极的评价和鼓励，进一步调动学生的积极性.通过三个问题的思考与解决，明确正比例函数的图象是一条直线，建立正比例函数的代数表达式与图象之间的“一一对应〞关系，培养了学生小组“合作探究〞的能力和“数形结合〞的意识这就突破了难点.议一议师：既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？生：因为“两点确定一条直线〞，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点〔0，0〕的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过〔0，0〕,〔1，k〕作直线.师：好！下面我们就用两点法作出函数图象.例2 在同一直角坐标系内作出y=x，y=3x，y=-12x，y=-4x的图象．解：1.列表x 0 1y=x 0 1y=3x 0 3y=-12x0 -12y= 4x0 -42.描点：过点〔0，0〕和〔1，1〕作直线，那么这条直线就是y=x的图象．过点〔0，0〕和〔1，3〕作直线，那么这条直线就是y=3x的图象．过点〔0，0〕和〔1，-12〕作直线，那么这条直线就是y=-12x的图象．过点〔0，0〕和〔1，-4〕作直线，那么这条直线就是y=-4x的图象．3.连线.设计意图：做一做“作出这几个正比例函数的图象〞，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象．议一议师：请大家先独思考立，再互相交流得出结论．上述四个函数中，随着x的增大,y的值分别如何变化?〔教师走进学生中间，对学生进行鼓励. 对于学生说的不透、不清的问题进行及时引导．学生四个人一组进行讨论交流，将自己确定的结论自己写在练习本上．不能确定的结论同组进行讨论．〕讨论结束，各小组交流得到的结论：生1：y=x ， y=3x的图象从左向右是上升的，由此我想k>0时，y的值随x的增大而增大．生2：y= -0.5x， y=-4x的图象从左向右是下降的，由此我想k<0时，y的值随x的增大而减小．师：同学们分析的很好，通过上面的讨论你认为正比例函数y=kx图象有何特点？〔在表扬学生的观察力同时，鼓励学生大胆发言，并留给学生一点思考时间．〕生3：我发现当k＞0时，函数图象位于第一、三象限内．如y=x ，y=3x的图象．生4：〔抢答〕当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限内．如 y= -0.5x ， y=-4x 的图象．生5：正比例函数y=kx 的图象是经过原点〔0，0〕的一条直线．师：大家都很有见解，从不同的角度，分析了正比例函数的图像和性质．师生总结出结论：在正比例函数y=kx 中,当k ＞0时，图象在第一、三象限，y 的值随着x 值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的)；当k ＜0时, 图象在第二、四象限，y 的值随着x 值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).〔教师用多媒体展现正比例函数图象的性质．〕 函数 图象 k 大致图象所经象限 函数值变化正比例函数 直线 0k >一、三 y 随x 的增大而增大0k <二、四y 随x 的增大而减小设计意图：通过观察正比例函数图象,归纳概括正比例函数图象特征,探索正比例函数的主要性质．这样的设计能够调动学生学习的积极性，增强学生对知识的理解，同时也培养了学生的观察、归纳能力和合作交流能力.〕请你进一步思考:〔1〕正比例函数y=x 和y=3x 中，随着x 值的增大y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？〔2〕正比例函数y =-12x 和y=-4x 中，随着x 值的增大y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？生1：正比例函数y=x ，当x 增加1时y 增加1，而y=3x 中，当x 增加1时y 增加3，所以y=3x 增加得更快.x y O x y O生2：正比例函数y =-12x ，当x 增加1时y 减少12，而y=-4x 中，当x 增加1时y 减少4，所以y=-4x 减少得更快.师生结合图像总结得出：k 越大，直线越靠近y 轴．四、稳固练习，深化理解1．在同一直角坐标系中分别作出y =13x 与y =-3x 的图象． 设计意图：让学生熟练正比例函数图象的作法.2．以下哪一些点在函数y =-5x 的图象上？〔1，5〕、〔-1，5〕、(0.5，)、(-5，1)提示：逐个带入关系式试一下就可以发现〔-1，5〕(0.5，)这个点满足关系式，所以它在函数图象上．设计意图：通过这个题可以进一步印证“函数关系式和函数图象〞的“一 一对应〞关 系，给学生留下较深的印象．师生归纳：满足一次函数表达式的一组x 、y 所对应的点的坐标〔x 、y 〕就在函数图象上，函数图象上的点的坐标都会满足一次函数表达式.3．对于函数x y 3-=的两个确定的值1x 、2x 来说，当21x x <时，对应的函数值1y 与2y 的关系是( )A. 21y y <B. 21y y =C. 21y y >D. 无法确定设计意图：是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围．效果：学生通过练习，进一步熟练了正比例函数图象的作法，对正比例函数和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识．五、课时小结，回归系统师：本节课我们通过对正比例函数图象的研究的学习，你有哪些收获？还有那些迷惑？ 大家回忆一下本节课所学的内容〔可以借助于板书对本节课所学的进行“梳理〞〕.生1：函数与图象之间是一一对应的关系；生2：正比例函数的图象是一条经过原点的直线；生3：作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出．生4：k ＞0时，函数图象位于第一、三象限内，y 的值随着x 值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的)；当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).设计意图：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识．效果：学生通过对本节学习的回忆和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点，明确了关键．六、课堂检测，矫正评价1．正比例函数5y x=-的图象位于象限，y随着x的增大而 .2．函数y=kx的函数值随x的增大而增大，那么函数的图象经过〔〕A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限3．写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式____4．画出以下正比例函数图象．(1)y=4x； (2) y=-13x．七、布置作业，稳固知识必做题：课本P85 第2题.选做题：课本P85 第4题.设计意图：作业分层，让能力不同的每个学生都能各有所得．板书设计§一次函数的图像〔1〕函数图象的定义：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．作函数图象的步骤：〔1〕列表〔2〕描点〔3〕连线图像特征：一条直线例1练习：教学设计反思成功之处：本节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图象的对应关系有点陌生．在教学过程中我通过提供学生熟悉的生活素材作情景，激发了学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线〞，很快作出正比例函数的图象．培养了学生“数形结合〞的意识，开展了合作探究和总结概括的能力.在稳固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．缺乏之处：由于本节课容量今后应加强细节的设计和全面考虑.学生的讨论与合作学习还需加强，讨论问题还不够深入，多数时间还是以个别答复为主，不会的没有足够的耐心去“等待花开〞，虽然个别答复非常精彩，但仍需注意“让每一个学生都得到开展〞.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。