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数理方程中典型方程和定解条件的推导ppt课件

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第一章 一些典型方程和定解条件的推导

第一章 一些典型方程和定解条件的推导

第一章一些典型方程和定解条件的推导§1.1 基本方程的建立例1弦的振动1、问题的提法给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微笑的横振动，研究弦上各点的运动规律。

2、方程的推导基本假设：（1）弦是均匀的。

弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。

（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。

所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。

（3）弦是柔软的。

它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。

由上述假定推导振动方程。

先讨论不受外力作用时弦的振动。

由Newton第二定律，知作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度于是，在每一个时间段内作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。

为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。

图1.1弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分之一。

跟张力相比，弦的重量完全可以略去。

这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦。

把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u 必随时间t而变，即u有赖于t。

这样，横向位移u是x和t的函数。

用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。

当t固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。

把弦细分为许多极小的小段。

拿区间（x，x+dx）上的小段B为代表加以研究。

B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C 的拉力T 1和T 2。

数理方程第1讲-课件

数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。

数学物理方程 第一章典型方程和定解条件

数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )

数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件

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P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是

数理方程第一章定解问题liu婧-1

数理方程第一章定解问题liu婧-1
utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).

一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ


一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS

数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档

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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)

第一章典型方程与定解条件


B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
不含初始条件，只含边界条件条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y, z, t ) 根据热学中的傅立叶试验定律
S
V
n
M
在dt时间内从dS流入V的热量为： S u 热场 ˆ ˆ dQ k dSdt k u ndSdt ku dSdt n 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 t ˆ dt Q1 ku dS t S 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
2 1
Q1
t2
t1
k 2udV dt
V
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
t2 t1

《数理方程》课件


a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx

第一章 典型方程与定解条件

高斯公式
t2
S
n
S
M
V
热场
kux ku y kuz dV dt x y z t1 V


第一章 典型方程和定解条件的推导
[t1 ,, t2并且 ]中物体 流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 由于时间 t1 , t 2 和区域 V 都是任意选取的 u( x , y, z , t 2 ) 所需吸收热量为 u( x , y, z , t1 ) 温度从 被积函数连续 , 变化到 于是得



确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴 的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂 直外力作用后的运动状态。 u
王元明. 数学物理方程与特殊函数（第四版）. 等教育出版社，2012。
高
课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。
方程的导出和定解问题 行波法 分离变量法 数学物理方程 基本解法 积分变换法 Green函数法 差分法
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
u
F

M
N
ds
M'
T
'
T
gds
其中 f ( x , t )
F ( x, t )

称为自由项.

数理方程部分 第1章 典型方程和定解条件的推导


1.1 波动方程及其定解条件
2）自由端点，即这个端点不受位移方向的外力 （即自由端点的定义），从而这个端点弦在位移 方向的张力为零（导出的结论），由前面的推 导可知边界条件满足： 2
T sin F u x 0
xa
u t 2
( 0, F 0) T
u x
2u [( q y ) y (q y ) y dy ]xzt k 2 xyzt. y
△t时间内沿z方向流入六面体的热量
2u [( qz ) z (qz ) z dz ]yxt k 2 xyzt. x
u k 2 u 0. t c
1.2 热传导方程及其定解条件
如果六面体没有其他热量来源，根据热量守恒定律，净流入
的热量等于介质在此时间内温度升高所需热量，
2u 2u 2u k ( 2 2 2 )xyzt xyz c u x y z
3）整理化简得方程
u k 2 u 0. t c
1）在介质内部隔离出一平行六面体（见图1.3），六个面 都和坐标面重合。
图1.3
[( q y ) y (q y ) y dy ]xzt [( k
1.2 热传导方程及其定解条件
2）分析建立等式
u u 2u ) y dy (k ) y ]xzt k 2 xyzt. y y y
2 0, cos1 1, cos 2 1,
tan 1
u sin 1 tan 1 , 2 x x 1 tan 1 u sin 2 tan 2 2 x 1 tan 2 tan 2 ,
x dx

1.1 波动方程及其定解条件
则方程可以写成
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F m a m r
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Fx m xmdd2tx2
0
.
x
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§ 1.1 基本方程（泛定方程）的建立
不含初始条件 不含边界条件
物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （建立偏微分方程并求解）
本课程将集中解决两个 问题
一、如何建立偏微分方 程 二、如何求解偏微分方 程
.
数数学学物理物方程理与方特殊法函数
第一章
思路
一些典型方程和定解条件的推导
Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions
.
提要：
一. 均匀弦的横振动方程的建立 二. 传输线方程(电报方程)的建立 三. 电磁场方程的建立 四. 热传导方程的建立 五. 举例
T
N
N’
o
x
x+dx
X
.
导数 ——如果差 y的 商极限 x
导数
lx i0m x yx l1 ixm f(xx 11) xf(x)
存在，这函 个 f数 (极 x)在 x 限 点就 的称 导d为 y 数 ，， y或 x.记作
dx
马克思在《数学手稿》中指出：微分是“扬弃了的或消失了的差值”。哲学上的“扬弃” 是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子Δy 和分母Δx 都被 扬弃了，就是说，它们都消失为 0 ，从而有限大小的 Δx 和 Δy 都被克服，差商
目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。
步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。
.
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
y 变成了0
x
0
但是，它们的依赖关系（比值）却保存下来了。 我们记扬弃了的（或消失了的）
xdx
ydy
那末，导数就是
dy f(x) dx
,或是 d. yf(x)dx
导数
——从运动的观点看导数的定义
“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅
表明状态，并且也表明过程：运动。”
••
••
——摘恩格斯.《自然辩证法》
s
in
tg
t
1tg 2
g u xxdx
于是（1）式变为：
TT
代入（2）式变为：
T si n T si nd (u ts t g )
u
u
Txxdx Txxd(u sttg)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T u xxdx T u xxdu stt
. T( u xxdx u xx)dxutt
例:如 dx22xdx
又 u ( x 如 d ,t) x u ( x ： ,t) u ( x ,t)
u ( x ,t d t) u ( x ,t) u ( x ,t)
再如 u (xd ： ,tx )u (x,t)u (x,t)
.
x
x
4、整理化简
T( u xxdx u xx)dx utt
3、忽略与近似
T co T c s o 0 s
(1)
T si T n si n d g sd u tt s (2)
u
M
ds
M
ds.g
T
N
o
x
M
xdx
① 对于小振动：
0; 0
T’
所以有：
c o s 1;c o s1
1tg2se2cc1 o2s1
tg 正是切线的斜率， u即
x
x
.
数学物理方程的建立： 从考察对象中任取一微元，寻找与之有关的力、
热、声、光、电等物理关联——数学表述，并对其 整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。
适用范围： 这是从事科学研究的基本
方法与路径。
—— “一语道破！”
.
物理学中对应微 建分 立方 的程 基本—原 —则
将 物 理 学 中 的 矢，量分方别程向 坐 标 轴 投 影
导数
关于函数的某种形式的极限 函数在某点上的变化率 某点上切线的斜率
（实质） （数学结构） （几何意义）
微分算子
d
增量 改变量
例:如 dx22xdx 又 u ( x 如 d ,t) x u ( x ： ,t) u ( x ,t)
u ( x ,t d t) u ( x ,t) u ( x ,t) 再 . 如 u (xd ： ,tx x )u (x,t)u (x x ,t)
TT
T( u xxdx u xx)dxutt
TT指出，即张 而力 异不 ，随 它地 在 同点 整 一根 数
d sd， x 即 d长 在 s 度 振动过而 程变 中， 不所 随 间 以 时 而 张 间 总之，张 x无 力关 既， t与 无 又关 与，它在是 振一 动个 过常 程
微分算子
d
增量 改变量
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，
不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但
.
极具启发性。
1、建立坐标系 选定微元 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T、T——微d元 S两端所受张力
——细弦的线密长 度度 （内 单的 位质
u
g — —重力加速度
ds M'
T’
'
M
ds.g
隔离物体法
T
N
N’
o
x
x+dx
X
.
1、建立坐标系 选定微元 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T co T c s o 0 s
(1)
T si T n si n d g sd u tt s
(2)
u
ds M'
T’
'
M
ds.g
si n 1tg tg2tg u xx
.
s
in
tg
t
1tg 2
g u xxdx
3、忽略与近似
T co T c s o 0 s
(1)
T si T n si n d g sd u tt s (2)
①对于小振动：
0; 0
c o s 1;c o s1
si n 1tg tg2tg u xx
上式实际上可以明确表示为：
T u (x xd,tx )u (x x,t) dx u tt
Txuxdxdxutt
左边方括号内的表述形式， 依据微分性质，可以写成
u (x x d,tx ) u (x x ,t) u (x d ,tx x ) u (x ,t)