高数8多元函数的极限与连续

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

第十三章 多元函数的极限和连续性§1、平面点集一 邻域、点列的极限定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的平面点集，叫做0M 的ε邻域，记为()0,O M ε。

定义2 设(),nn n Mx y =，()000,Mx y =。

如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。

就称点列{}n M 收敛，并且收敛于M，记为0l i m nn MM→∞=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。

性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →⇔→→。

（2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。

二 开集、闭集、区域设E 是一个平面点集。

1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ⊂，就称0M 是E 的内点。

2． 外点：设1M E ∉，如果存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使得()1,O M E η⋂=Φ，就称1M 是E 的外点。

3． 边界点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。

E 的边界点全体叫做E 的边界。

4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。

5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε，至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。

性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。

6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。

7． 区域：设E 是一个开集，并且E 中任何两点1M 和2M 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E 中，就称E 是区域。

数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。

E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

第五章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。

反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。

这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。