3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:
（1）内点、外点和界点：
内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.
外点：存在)(A U 使φ=E A U )(
界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。E 的边界表示为E ∂
集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .
例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .
例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.
确定集E 的内点、外点和界点集 .
（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:
聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。
孤立点：E A ∈但不是聚点。孤立点必为界点 .
例3 |),( {y x E =} 1sin x
y =. 确定集E 的聚点集 .
解 E 的聚点集] 1 , 1 [-⋃=E .
4．区域：
（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:
E int E =时称E 为开集 , E 的聚点集E ⊂时称E 为闭集.
E int 存在非开非闭集.
2R 和空集φ为既开又闭集. （2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . （3） 有界集与无界集:
（4） 点集的直径)(E d ： 两点的距离) , (21P P ρ.
（5） 三角不等式：
||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.
或),(),(),(323121P P P P P P ρρρ+≤
二. 2R 中的完备性定理:
1． 点列的极限: 设2) , (R y x P n n n ⊂=, 2000) , (R y x P ⊂=.
定义1。 0l i m P P n n =∞
→的定义 ( 用邻域语言 ) ),(,,00εεP U P N n N n ∈>∃>∀或ερ<),(0n P P
例4 ) , (n n y x → ) , (00y x ⇔0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .
例5 设0P 为点集E 的一个聚点 . 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞
→. 2．2R 中的完备性定理：
（1）Cauchy 收敛准则:
.
（2）. 闭域套定理:
（3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理.
（4） 有限复盖定理:
三．二元函数:
1. 二元函数的定义、记法、图象：
2. 定义域：
例6 求定义域：
ⅰ> ),(y x f 192222-+--=
y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 二元函数求值:
例7
),(y x f 232y x -=, 求 ) , 1 ( , ) 1 , 1 (x y f f -. 例8 ),(y x f )1ln(22y x ++=, 求)sin , cos (θρθρf .
4. 三种特殊函数:
⑴ 变量对称函数: ),(y x f ),(x y f =,例8中的函数变量对称.
⑵ 变量分离型函数: ),(y x f )()(y x ψφ=.例如
y x e xy z 32+=, ,22+++=y x xy z ),(y x f 2
)())((xy x xy y xy -+=等 .
但函数y x z +=不是变量分离型函数 .
⑶ 具有奇、偶性的函数
四．n 元函数
二元函数 推广维空间 记作n R
作业 P92 1
—8 .
§ 2 二元函数的极限
一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限
1. 二重极限
定义1 设f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是确定数
若 εδδε<-⋂∈>∃>∀A P f D P U P )(,),(,
0,000则A P f P P =→)(lim 0 或),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =
例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22)
1,2(),(=++→y xy x y x . 例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2
22
0=+→→y x xy y x . 例3
⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(222
2y x y x y x y x xy y x f
证明
0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . ( 用极坐标变换 ) P 94 E2.
2. 归结原则：
定理 1 A P f D
P P P =∈→)(lim 0, ⇔ 对D 的每一个子集E , 只要点0P 是E 的聚点 , 就有A P f E
P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ⊂1, 0P 是1E 的聚点 .若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在 , 则极限)(lim 0P f D
P P P ∈→也不存在 . 推论2 设D E E ⊂21,, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限1)(lim 1
0A P f E P P P =∈→, 2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠, 则极限)(lim 0P f D
P P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D P P P ∈→存在, ⇔ 对D 内任一点列} {n P , 0P P n →但0P P n ≠,
数列)}({n P f 收敛 .
通常为证明极限)(lim 0
P f P P →不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ⇒/ 全面极限存在
例4 ⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.
