二元函数的极限与连续5页word文档

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此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

§2.3 二元函数的极限与连续定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在常数A,,当（即）时，都有则称A是函数当点趋于点时的极限,记作或或或。

必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。

只要P与充分接近, 就能使与A接近到预先任意指定的程度。

注意：点P趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。

这是判断多元函数极限不存在的重要方法之一。

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

例如若有, 其中求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理来计算。

例4 求。

解由于而,根据夹逼定理知 ,所以例5求（a≠0)。

解。

例6求。

解由于且,所以根据夹逼定理知.例7研究函数在点处极限是否存在。

解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于（0，0）的极限，有,。

很显然，对于不同的k 值，可得到不同的极限值,所以极限不存在,但。

注意：的区别, 前面两个求极限方式的本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数。

它关于原点的两个累次极限都不存在,因为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何时,的第一项也不存在极限,但是, 由于, 因此由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。

由例8可知,二重极限存在,但二个累次极限不存在。

我们有下面的结果:定理1若累次极限和二重极限都存在,则三者相等（证明略）。

推论若存在但不相等,则二重极限不存在。

定义设在点的某邻域内有意义,且,则称函数在点处连续,记上式称为函数(值)的全增量。

二元函数极限证明二元函数极限证明第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．教学建议：要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限：limf时，f法则。

类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。

为了叙述上的方便, 对它的特殊情形= ) 作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。

二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数值的变化趋势。

是高等数学中一个极其重要的问题。

但是, 一般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还是证明都具有更大的难度。

本文就二元函数极限的问题作如下探讨。

第四篇：二元函数的极限与连续§3 二元函数的极限与连续定义设二元函数有意义, 若存在常数a,都有则称a是函数当点趋于点或或趋于点时的极限,记作。

的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或必须注意这个极限值与点论p以什么方向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能使。

只要p与充与a 接近到预先任意指定的程度。

注意：点p趋于点点方式可有无穷多种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限在该点存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。

极限不存在。

这是判断多一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。

二元函数的极限是高等数学中重要的极限思想数学思想0()lim ().x x f x A x x f x A →→→=在时，，则但我们在高等数学上册中讨论函数连极续限时性，主要是的思维..实际上也是非常重要例如狄利离散思维克雷函数0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.{}1=D x x 令为无理数，01lim ()0.x x D D x →=在上，1()0;D D x ≡则在上，02lim () 1.x x D D x →=在上，0lim ()x x D x →不存在.{}2=D x x 为有理数，2()1;D D x ≡在上，0(+)x ∀∈-∞∞因此对，有，⎫⎬⎭0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.00x x x 任何邻域内要实现，则的都应该有无数个点.属于所讨论的点集.这样的点称为点的聚点集E1.E p 为平面点集.如果点的任何定义邻域内都有E E p 无数个点属于，则称为的聚点.E E 可能属于，可能不显然聚点也属于，.012.x D D 是和例中的聚点子比如上面000,(,)D .()2.z f x y p x y 设为二元函数定=的定义域的义聚点000,o p p D δεδ∀>∃>∈ （）若对，，当点时，恒有(,)f x y A ε-<0(,)A f x y p 在点二重极限的为成立，则称，记为0000(,)(,)lim (,)=A lim (,)=A.x x x y x y y y f x y f x y →→→，或者注：二重极限一元函由于定义与定义本质上数极限完全相同.因此一元函数极限的很多性质在二重极限中都成立：如极限的唯一性；四则运算法则；夹逼准则；等价无穷小代换；有界函数与无穷小乘积仍为无穷小等.222222200sin()(1lim .ln(1())1x y x y x y x y →→+⋅-+++例求22222222001()2=lim ()x y x y x y x y →→+⋅++解：（ 原式1=.2证明函数极限不存在注：的方法.或者取极限值两种不同的路线存在但不相等，二重极则函数限不存在.（若，不能说明极限注意相：等存在.）若取，函数的一种特定的路线极限不存在，222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在（0,0）点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22200||1,lim 0,x y x y x y →→≤=+(1)由于且解：00lim (,)0.x y f x y →→=从而2200(2)lim (,)m 1,2li 2y x y x x f x y x =→=→==000200lim (,)l m ,0i =0x y x y f x y y ==→→=+而00lim (,)x y f x y →→从而不存在.2022220lim (,)lim 1y k y kx x kx k f x y x k x k=→=→==++，00lim (,)x y f x y →→从而不存在.0(0)y kx k =→≠第二题也可以取注：222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在(0,0)点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩。

幻灯片 1(,),U a δ与一元函数极限类似地，从几何直观,引入二元函数极限.幻灯片 2的定义0(,)U P δ幻灯片 32(x xy +((2,1),1)U 0,要使:2(x xy ++(7x <-分析法讲证明,幻灯片 4,1y δ-((2,1),U 不等式与邻域部分(白)分层讲幻灯片 5,0y δ-((0,0),U 分析法讲证明, 不等式与邻域部分(白)分层讲.幻灯片 6=2y 时，+-2)0x ((0,0), U幻灯片 7分析法讲证明幻灯片 822x y +((0,0),U 不等式与邻域部分(白)分层讲.幻灯片 9)D ∈；如果0(,)U P D δ，有：在D 上当P →(,)x y D ∈不致产生误解时，也可简记为：)P A =， 或无穷远点的情况0,,y R δ<>时分二层讲,无穷远点的极限.片10幻灯片11定理1及其推论的证明,与一元函数极限的海涅归结原理相似.幻灯片12片13幻灯片14Page.95例3幻灯片15.的极限存在(,x y当点Page.95例4片16 不存在．6, 12kk+=幻灯片17播放播放幻灯片18二元函数函数极限具有与一元函数极限类似的运算性质.求下列极限:222(0,0)(,)(3,0)2(0,0)(,)(0,0)sinlim, ).lim,11ln(1lim, ).limx yx yx y xyiix y yxyivxy x→→→++-+22x yx≤+xy x重极限的计算方法,(1)四则运算法则,(2)两边夹定理…片 19幻灯片 20u uu sin lim 0→,1=幻灯片 21)D ∈；0(,)U P D δ，有：),lim ,)x y f x y =+∞-∞) ∞白色部分,分三层讲非正常极限.幻灯片 222y δ+<((0,0),U 分析法讲授,幻灯片 23幻灯片 24二类累次极限,平行地分二层次讲授.幻灯片25y≠当时幻灯片2612.设(f x:0y≠当时此例中全面幻灯片2713.设(,f x :0y≠当时(,f x0≤(,)(0,0)limx y→∴幻灯片28先请同学们,总结归纳关系.幻灯片290x<-又当幻灯片30推论1全面极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等。