多元函数的极限与连续性

多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。

本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。

一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。

具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。

需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。

二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。

换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。

相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。

一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。

具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。

三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。

只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。

2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。

z
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
当x0 y0 2k (k 0,1,)时, f (x, y)间断.
例3 证明
f
(x,
y)
x2 y x4 y2
0
x4 y2 0 x4 y2 0
在点(0,0)处沿此点的每条射线
x t cos, y t sin ,0 t
连续,
即lim f (t cos,t sin ) f (0,0). t 0
要证
例2 设
f
(
x,
y)
exy 1, x y
1,
讨论 f(x, y)的连续性.
sin
x x
sin y
y
,
x y x y x y
解 当x y时, f (x, y)连续. 下面讨论在直线x y上的情形.
在直线x y上任取一点(x , y ), 00
f (x, y)在直线x y上任一点沿x y连续.
一切多元初等函数在定义区域内连续
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义 • 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续

y→2 y→2
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面

多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。

本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。

一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。

在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。

我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。

即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。

二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。

具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。

三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。

其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。

四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。

但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。

根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。

五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。

具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。

41多元函数的极限与连续性一、函数的极限1.1极限的定义对于函数y=f(x)，当自变量x无限接近其中一个确定值x0时，若因变量y有一个确定的极限值A，则称函数y=f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。

1.2函数极限的性质（1）唯一性：若函数y=f(x)极限存在，那么极限值是唯一的。

（2）局部有界性：若函数y=f(x)以x0为极限，则存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，f(x)，有一个有界区间。

（3）局部保号性：若函数y=f(x)以x0为极限，且f(x0)>0，那么存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，f(x)>0；或者f(x0)<0，那么存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，f(x)<0。

（4）保不等式性：若函数y=f(x）以x0为极限，且存在一个正数δ，当0<，x-x0，<δ时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，其中g(x)和h(x)也以x0为极限，则lim(x→x0)f(x)≤lim(x→x0)g(x)≤lim(x→x0)h(x)。

1.3函数极限的运算法则（1）定理1.函数的极限的四则运算法则若函数y=f(x)以x0为极限，且g(x)、h(x)以x0为极限，那么有以下四则运算法则：①lim(x→x0)(g(x)±h(x))=lim(x→x0)g(x)±lim(x→x0)h(x)②lim(x→x0)(g(x)h(x))=lim(x→x0)g(x)·lim(x→x0)h(x)③若lim(x→x0)h(x)≠0，那么lim(x→x0)(g(x)/h(x))=lim(x→x0)g(x)/lim(x→x0)h(x)（2）定理2.复合函数的极限性质若函数y=f(g(x))以x0为极限，且lim(x→x0)g(x)=A，lim(y→A)f(y)=B，则lim(x→x0)f(g(x))=B。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。

多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。

多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。

与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。

根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。

多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。

如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。

与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。

第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。

偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。

通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。

与偏导数相关的概念是全导数和全微分。

全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。

全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。

第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。

通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。

多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。

通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。

第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。

与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。

多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。

通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。

第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。

与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

返回 2
一、二重极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时, 有非正常极限 , 记作 lim f ( x, y) ,
( x, y ) ( x0 , y0 )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos, y r sin. 这时
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
| f (x, y) 0 |
x2 y2 xy x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
y2 y
lim lim
lim
lim( y 1) 1,
y0 x0
x y
y0 y
y0
x2 y2 x y
x2 x
lim lim
lim
lim( x 1) 1.
x0 y0
x y
x0 x
x0
当沿斜率不同的直线 y mx, ( x, y) (0, 0) 时, 有
x2 y2 x y 1 m
x)
lim ( x 1)
x0
1,
( y x2x)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系

大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。

多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。

一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。

与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。

在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。

对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。

常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。

这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。

与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。

具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。

如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。

连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。

三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。

首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。

通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。

其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。

例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。

多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。

一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。

对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。

我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。

类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。

多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。

但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。

3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。

4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。

对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。

类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。

多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。

分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。

因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。

本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。

接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。

1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。

与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。

首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。

点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。

此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。

当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。

2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。

与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。

如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。

为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。

具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。

此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。

3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。

在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。

为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。

在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。

若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。

数组(x, y, z)时, 三维欧氏空间3中的点集
S {( x, y, z) | z f ( x, y),( x, y) D} R3
就是二元函数 f 的图象. 通常z f (x, y)的图象是一空 间曲面, f 的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
R 2 ( x, y ) x , y .
C ( x, y) x 2 y 2 r 2 .
S ( x, y ) a x b, c y d .


第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
n n n
n 0. 也等价于 lim n
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
定理16.1(柯西准则) 平面点列{Pn}收敛的充要条件 是: 任给正数, 存在正整数N, 使得当nN时, 对一切 正整数p, 都有
Pn , Pn p .
E U (O; r )
其中O是坐标原点, 则称E是有界点集. 否则就是 无界点集.
第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续
§1 平面点集与多元函数
点集E的直径—点集E的直径就是
d ( E) sup P 1, P 2 ,
P 1, P 2 E
其中 (P1, P2)表示P1与P2两点之间的距离, 当P1, P2的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)时, 有
由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域 邻域”泛指这两种形状的邻域, 并以记号U(A; )或 U(A)来表示.

在点 P0( x0 , y0 ) 处极限不存在．
例 证明：极限 lim xy +1 −1 不存在。 ( x, y)→(0,0) x + y
( ) 分析： ∵ xy +1 −1 =
xy
x + y ( x + y) xy +1 +1
证： P( x, y)沿任意直线 y = kx(k ≠ −1) 趋于
(0,0) 时，
则称 A 为函数 f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0 , y0 ) 时的
极限， 记为
lim f ( x, y) = A
( x, y )→( x0 , y0 )
或
f ( x, y) → A (( x, y) → ( x0 , y0 )),
也可记为
lim f (P) = A 或
P → P0
是其聚点且 P0 ∈ D,
如果 lim P → P0
f (P) =
f (P0 ),
则称 n元函数 f (P)在 点 P0处连续。
设 P0 是函数 f (P) 的定义域的聚点，如果
f (P)在点 P0 处不连续，则称 P0是函数 f (P)的
间断点。
若函数 f (P) 在 D内每一点都连续， 则称
函数 f (P)在 D上连续。
1 在(0,0)的连续性．
0 解 lim f ( x, y) =
-1 ( x, y)→(0,0)
⎛
(
x
,
lim
y )→( 0,0 )
⎜⎝
x sin
1 y
+
y sin
1 ⎞1 0x.5⎟⎠
-1
=-(0x.,5yl)i→m(0,0)

大学数学多元函数的极限与连续性一、引言在大学数学课程中，多元函数的极限与连续性是基础且重要的概念之一。

本文将探讨多元函数的极限以及连续性的概念、性质和应用。

二、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于一个确定的常数。

要确定一个多元函数的极限，需要考虑不同的自变量趋近方式。

1. 非路径问题对于一般的多元函数，当自变量趋于某一点时，可以用数列方法来讨论极限的存在与求解。

可以分别取函数中的两个或多个自变量构成一个数列，并分别求出数列的极限，若这些极限都相等，则可以确定该点处的极限存在，并且该极限就是所得的值。

2. 路径问题当自变量趋近于某一点的路径是任意的，需要考虑使用极限的定义来求解。

通过逐步逼近，可以确定多元函数在该点处的极限存在，并求出极限值。

三、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意一点满足极限存在且与该点处函数值相等。

连续性可以用一元函数的连续性来理解，即函数在某一点处的左右极限存在且相等。

1. 连续函数的性质若一个多元函数在其定义域内每一点处都连续，则称该函数为连续函数。

连续函数具有以下性质：- 两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 两个连续函数的商（分母不为零）仍为连续函数；- 连续函数经过有界闭区间上时，一定可以达到最大值和最小值。

2. 连续函数的应用连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学、经济学等领域中，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为多元函数的极限与连续性问题，进而对问题进行分析和求解。

四、多元函数的极限与连续性的例题分析为加深对多元函数的极限与连续性概念的理解，我们选取几个例题进行分析。

1. 例题一求函数$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$在点$(0,0)$处的极限。

首先考虑非路径问题的求解方法，我们可以分别取$(x,y)$沿直线$x=y$和$x=0$的极限。

通过计算可以得到两条直线上的函数极限都为0，并且相等，因此可以确定函数在$(0,0)$处的极限为0。

多元函数极限与连续性例题和知识点总结在高等数学中，多元函数的极限与连续性是一个重要的概念和知识点。

理解它们对于解决许多数学问题以及在其他学科中的应用都具有关键意义。

下面我们将通过一些例题来深入探讨这一主题，并对相关知识点进行总结。

一、多元函数极限的概念多元函数的极限是指当自变量在定义域内以任意方式趋近于某个点时，函数值趋近于一个确定的常数。

设函数＄z ＝ f(x,y)＄的定义域为＄D$，＄P_0(x_0,y_0)＄是＄D$ 的聚点。

如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正数＄＼delta$，使得当点＄P(x,y) ＼in D$ 且满足＄0 ＜＼sqrt{（x x_0)＾2 ＋（y y_0)＾2} ＜＼delta$ 时，都有＄｜f(x,y) A| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称常数＄A$ 为函数＄f(x,y)＄当＄（x,y) ＼to （x_0,y_0)＄时的极限，记作＄＄＼lim_{（x,y) ＼to （x_0,y_0)｝ f(x,y) ＝ A$＄二、多元函数连续性的概念若函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处的极限存在，且等于该点的函数值＄f(x_0,y_0)＄，则称函数＄f(x,y)＄在点＄（x_0,y_0)＄处连续。

三、例题分析例 1：求极限＄＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} 1}＄解：＼＼begin{align}＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{x^2 ＋ y^2}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} 1} ＼cdot ＼frac{＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1}｛＼sqrt{x^2 ＋y^2 ＋ 1} ＋ 1}＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝＼frac{（x^2 ＋ y^2)（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)｝｛（x^2 ＋ y^2)｝＼＼＝＆＼lim_{（x,y) ＼to （0,0)｝（＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ 1} ＋ 1)＼＼＝＆2＼end{align}＼例 2：讨论函数＄f(x,y) ＝＼begin{cases} ＼frac{xy}｛x^2 ＋ y^2}，＆（x,y) ＼neq （0,0) ＼＼ 0, ＆（x,y) ＝（0,0) ＼end{cases}＄在点＄（0,0)＄处的连续性。

多元函数极限与连续性的性质及求解方法在数学中，多元函数极限与连续性是非常重要的概念。

了解多元函数的极限与连续性的性质，以及相关的求解方法，对于深入理解和应用多元函数的数学知识具有重要意义。

一、多元函数极限的性质与求解方法1.1 多元函数极限的定义多元函数极限是指当自变量趋于某个确定值时，函数变量的极限。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果存在常数L，对于任意给定的ε>0，总存在另一个正数δ，当0<(|x1−a1|+|x2−a2|+⋯+|xn−an|)<δ时，总有|f(x1, x2, ..., xn)−L|<ε成立，则称L是函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限。

1.2 多元函数极限的性质(1) 多元函数极限存在性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它是唯一的。

(2) 多元函数极限的局部性：如果多元函数f在点(x1, x2, ..., xn)处的极限存在，那么它在点(x1, x2, ..., xn)的某个邻域内必然存在。

(3) 多元函数极限与一元函数极限之间的关系：多元函数可以分解为一元函数，所以多元函数极限可以通过一元函数极限的方法来求解。

1.3 多元函数极限的求解方法(1) 代数运算法：利用多元函数的代数运算性质，如加减乘除、乘幂、复合函数等，将多元函数转化为一元函数，然后利用一元函数的极限求解方式来求解多元函数的极限。

(2) 两变量函数的二次折线法：对于两个变量的多元函数，可以采用二次折线法来求解。

具体步骤是：首先取一个路径，沿该路径逼近极限点，然后通过二次折线逼近法构造两个逼近值，如果这两个逼近值相等，则可得到极限值；如果不等，则重新选择路径再进行逼近。

(3) 极坐标法：对于特定形式的多元函数，可以采用极坐标法来求解。

具体步骤是：将自变量用极坐标表示，然后将多元函数转化为单变量极坐标函数，再利用一元函数的极限求解方法来求解。