数的开方复习

数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。

a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平 方 根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a7).平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 。

（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算 （4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。

第16章 数的开方复习（1）一、知识点1、平方根：如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。

正数a 的平方根是a ±；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作a ；0的算术平方根是0。

3、立方根：如果x 3=a ，那x 叫做a 的立方根。

（1）a a =33；（2）33a a -=-4、形如a （a>0）的式子叫做二次根式。

5、二次根式a 的性质：（1）a>0； （2）a ≥0；（3）（a ）2=a （a>0）； （4）2a ＝a =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥)0()0(a a a a6、二次根式的乘除法:7、最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

8、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

9、二次根式相加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

合并同类二次根式与合并同类项类似，是同类二次根式的不能合并。

10、无限不循环小数叫做无理数。

11、有理数和无理数统称为实数。

12、实数与数轴上的点一一对应。

数轴上的点与实数是 的。

也就是说，数轴上的任一点必定表示一个 数（包括 数和 数）；反过来，每一个实数（ 数和 数）也都可以用数轴上的点来表示。

二、巩固练习1、0.49的平方根是 ；16的平方根是 ；25= 。

2、81的平方根是 ；()32-的立方根是3、若4+x 有意义，x .4、等式3392-∙+=-x x x 成立的条件是 。

5、使112112++=++x x x x 成立的条件是 . 6、当0≥a ，（a ）2= , 2a = 。

7、已知一个正方体的体积是1252cm ，则它的棱长为 cm 。

8、直接写出下列各式的计算结果 （1）=-2)3( ；（2）()=223 ；（3）=∙5213（4）=÷32311 ；（5）=7219、23-的相反数是 ，绝对值是 。

平方根（一）平方根的定义：例1：求下列各数的平方根（1）25 （2）0.49 （3）641（4）16 例2：求下列各式中的x 的值（1）9x 2-25=0， （2）4（2x-1）2=36跟踪练习：1：求下列各数的平方根（1）2.56 （2）12125 （3）9 （4）（-100）2 （5）（±25）22.若a 的平方根是±3，那么a=3.解方程（1）3 x 2=27 （2）4（x-1）2=9（二）平方根的的性质：例3：已知一个正数的两个平方根是2m-4和3m-1,求这个正数。

跟踪练习：1.若3m-4和2m 是同一个数的平方根，求m 的值是多少？2.一个正数的平方根是2a-1和-a-5,求a 和这个正数。

(三)算术平方根例：说出下列各式的意义，并化简①16 ②±96.1 ③-9例：当x 为何值时，下列各式有意义？ ①1+x②x - ③32+x④11-+x x例：已知：a 、b 满足21｜a-1|+b+3 =0,求a 2+b 的值例 ：已知a 是5的整数部分，b 是5的小数部分，求a(b-5)的值。

跟踪练习：1.一个数的算术平方根是a ，比这个数大1的数为（ ） A.a+1 B.a +1 C. a -1 D.a 2+1 2.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是（ ） A.0 B.1 C.0或1 D.±1或03.若2)3(x -=x-3，则x 的取值范围为（ ）A.x ＞3B.x ≤3C.x ≥3D.x 为任意数4.估计88大小应在（ ）A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间 5.定义“*”的运算法则为：x*y=4+xy ，那么（2*6）*8值为（ ）A.3B.4C.5D.66.当a= 时，3+2+a 的最小值为7.若x =3，则x= ，若2x =3，则x=8.若x -4+｜3x-y|=0，则 x+y=9.计算27-2)15(-+81-3×97210.已知m 是2+13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值。

数的开方复习教案教学目标：1. 理解数的开方的概念和性质；2. 掌握数的开方的基本运算法则；3. 能够运用数的开方解决实际问题。

教学内容：一、数的开方的概念和性质1. 引入数的开方概念，解释平方根、立方根等；2. 探讨数的开方的性质，如正数的开方是正数，负数的开方是负数等。

二、数的开方的基本运算法则1. 介绍数的开方的基本运算法则，如同底数幂的除法、乘法等；2. 通过例题讲解和练习，使学生熟练掌握这些法则。

三、数的开方在实际问题中的应用1. 引入实际问题，如计算面积、体积等；2. 演示如何运用数的开方解决这些实际问题；3. 学生练习解决类似问题。

四、数的开方与乘方的关系1. 探讨数的开方与乘方的关系，如平方根与平方的关系等；2. 通过例题和练习，使学生理解并能够运用这种关系。

五、数的开方在各数域中的应用1. 介绍数的开方在实数域中的应用，如物理、化学等；2. 引导学生思考数的开方在复数域中的应用。

1. 采用讲解和练习相结合的方式，让学生掌握数的开方的概念和性质；2. 通过例题和实际问题，引导学生运用数的开方解决实际问题；3. 提供充足的练习机会，帮助学生巩固数的开方的基本运算法则。

教学评估：1. 课堂练习：及时检查学生对数的开方的理解和掌握程度；2. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生的学习成果；3. 单元测试：定期进行测试，评估学生对数的开方的掌握情况。

教学资源：1. 教学PPT：展示数的开方的概念、性质和运算法则；2. 练习题库：提供充足的练习题，供学生巩固学习内容；3. 实际问题案例：用于引导学生运用数的开方解决实际问题。

教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：1. 引入：通过数轴或实物展示，引导学生回顾数的开方的概念和性质；2. 讲解：讲解数的开方的基本运算法则，并通过例题进行演示；3. 练习：学生练习解决一些数的开方的问题，教师进行指导和解答；4. 应用：引入实际问题，引导学生运用数的开方解决这些问题；扩展活动：1. 组织小组讨论，探讨数的开方在实际问题中的应用；2. 布置研究性学习任务，让学生深入研究数的开方在各数域中的应用。

第12章 数的开方一、知识点1．平方根⑴定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。

即如果a x =2，则x 叫做a 的平方根,记作a x ±=。

⑵平方根的性质：①任何一个正数．．的平方根有两个．．，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根. 2．算术平方根⑴定义：正数．．a 的正的平方根．．．．．叫做a 的算术平方根,记作a ；0的算术平方根是0。

只有非负数．．．．．才有算术平方根．．．．．．．。

⑵算术平方根的性质：①算术平方根为非负数,即)0(0≥≥a a ； ②)0()(2≥=a a a .⑶a 的意义：①0≥a ；②0≥a 。

4．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①定义小同；②个数不同：一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±,正数a 的算术平方根表示为a ；④值的范围不同：正数的算术平方根一定是正数,正数的平方根是一正一负.（2）联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③O 的平方根与算术平方根都是0。

5．开平方：求一个非负数的平方根的运算．．叫做开平方。

6．注意分清±a 、a 、－a 7．立方根⑴定义:如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根,记作3a 。

⑵立方根的性质：①正数有一个正的立方根;②负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。

8．熟记以下整数的平方和立方400203611928917256162251519614169131441212111222222222=========，，，，，，，，729951283437216612556442738211625255762433333333322===========，，，，，，，，，，9．无理数⑴定义：无限不循环小数叫做无理数。

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】 解：∵36a -<<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x﹣y ﹣3|．【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】 解：∵＜＜，∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣| =7﹣．【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.【答案】1;2117a b a b +=-=-；提示：由题意可知113a =-，411b =-.4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．求10−π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】先求出10−π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416＜10−π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10−π＜0.0208， ∴10−π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1）， ∴（）2=（3+k ）2， ∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题： （1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a m ＜a+1，且m=a 2+b m ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．【答案】（1）6.08；（2）．解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2， ∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k ，解得k ≈， ∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a ＜m ＜a+1，且m=a 2+b ，则m ≈a+．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0， 解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ， 求23a b c --的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－13∴点B到点A的距离为13则点C到点A的距离也为13，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=13∴x=－23【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。