6.2 反馈控制与极点配置
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综合性实验 极点配置全状态反馈控制指导书
综合性实验 极点配置全状态反馈控制一、实验目的1．学习并掌握用极点配置方法设计全状态反馈控制系统的方法。
2．用电路模拟与软件仿真方法研究参数对系统性能的影响。
二、实验内容1．设计典型二阶系统的极点配置全状态反馈控制系统，并进行电路模拟与软件仿真研究。
2．设计典型三阶系统的极点配置全状态反馈控制系统，并进行电路模拟与软件仿真研究。
三、实验前准备工作1 推导图1的数学模型（状态空间表达式），分析系统的能控性。
2 若系统期望的性能指标为：超调量25%p M ≤，峰值时间0.5p t ≤，求出期望的极点值。
根据以上性能指标要求设计出状态反馈控制器。
3 推导图2的数学模型（传递函数），求出其单位阶跃响应的动态性能指标（超调量、调节时间、静态速度误差系数）。
4 推导图4的数学模型（状态空间表达式），分析系统的能控性。
5考虑系统稳定性等要求，选择理想极点为：S 1＝－9，S 2 ＝－2＋j2，S 3＝－2－j2， 根据以上性能指标要求思考如何设计状态反馈控制器。
6 推导图7的数学模型（传递函数）。
四、实验步骤1．典型二阶系统（1）对一已知二阶系统（见图1）用极点配置方法设计全状态反馈系数。
（2）见图2和图3，利用实验箱上的电路单元U9、U11、U12和U8，按设计参数设计并连接成系统模拟电路，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
（3）改变系统模拟电路接线，使系统恢复到图1所示情况，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
（4）对实验结果进行比较、分析，并完成实验报告。
2．典型三阶系统（1）对一已知三阶系统（见图4）用极点配置方法设计全状态反馈系数。
（2）见图5和图7，利用实验箱上的电路单元U9、U11、U12、U15和U8，按设计参数设计并连接成系统模拟电路，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
（3）改变系统模拟电路接线，使系统恢复到图5所示情况，测取阶跃响应，并与软件仿真结果比较。
软件仿真直接在MATLAB 中实现。
反馈控制与极点配置
下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈 能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关 结论。
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理
这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
极点配置的原理
极点配置的原理今天来聊聊极点配置的原理。
我不是一开始就接触到极点配置这个概念的，之前做项目的时候遇到了控制系统的性能优化问题，就开始研究起它来了。
极点配置就像是给控制系统这个大机器调音一样。
咱们先从生活现象说起，想象一下开车。
汽车有个速度控制系统，我们想要汽车的速度按照我们期望的方式变化，比如说快速稳定地达到一个设定速度，并且在遇到一些小干扰（像路面有点小坡度）的时候还能保持稳定。
这个时候极点配置就像调整汽车的“脾气秉性”的工具一样。
在控制系统里，系统的特性跟极点的位置密切相关。
从原理上讲呢，极点就是系统传递函数分母等于零的根。
我记得第一次接触这个理论公式的时候，觉得满脑袋都是浆糊。
比如说一个简单的二阶系统，它的极点会影响系统的响应速度和稳定性，就像一个跷跷板，两个极点要处于一个合适的位置，系统才会又快又稳。
这可是我琢磨了好久才有点理解的地方。
说到这里，你可能会问，这个极点怎么才能配置到我们想要的位置呢？这就要用到反馈控制理论了。
就像我们在训练宠物一样，通过反馈（知道宠物做的好不好，然后奖惩）来让系统的特性符合我们的要求。
比如说，通过调整反馈增益，就可以改变极点的位置。
老实说，我一开始也不明白极点配置到底为啥这么重要。
后来遇到好多实际例子才恍然大悟。
实际在航空航天领域，飞行器的姿态控制系统要很精确才行，极点配置就大有用武之地。
合理的极点配置能让飞行器快速准确地调整姿态且保持稳定，就像杂技演员总能在高空钢丝上保持平衡一样。
再讲讲相关的注意事项吧。
极点配置虽然很强大，但并不是随心所欲的，要考虑系统的物理可实现性以及对于外部干扰和不确定性的鲁棒性。
比如说，不能要求汽车做到像火箭那样的加速能力，因为汽车有它的物理限制。
这就像我们人一样，虽然有潜力可以挖掘，但是也有自身的极限。
我觉得极点配置这个原理还有很多可以延伸思考的地方。
比如如何在更加复杂多变的环境下进行适当地极点配置，这就像在不断变化的天气下管理一个大农场，要根据不同情况调整策略。
SISO线性定常系统的极点配置
step4.
1..
p [ An1b,....b. ].a..n..1............
0 0 1 1 0 0 72 18 1
6
1
018
1
0 12
1
0
a1...........an1,1
1
0 072 18 1 1
Uo
c(
A
c
BK)
11
2 2
不满秩，
系统不能观
2019/6/16
北科大信息工程学院自动化系
6
6.2 SISO线性定常系统的极点配置
一、问题的提法
系统期望性能指标
稳定性,动态和静态指标
一组期望极点
λ1 λ2,…, λn
设计反馈控制系统
确定K,H使得A-BK或 A-BHC的特征根为
u
det
Ac
bc 0
kc
A12
bc A
c
k c
0
det Ac bc kc
det A c
0
不能控部分的特征根无法改变 不能任意配置极点，矛盾。
2019/6/16
北科大信息工程学院自动化系
11
C
(
A
BHC)
n1
2019/6/16
北科大信息工程学院自动化系
5
例6.1
设系统的状态空间表达式如下，引入反馈增益矩阵K 3 1
的状态反馈，试讨论开环系统与闭环系统的能控性和能观性。
极点配置
ans = 3
rank(Qo)
ans = 3
系统能 控能观！ 控能观！
利用MATLAB进行辅助运算 进行辅助运算 利用
6、求矩阵的行列式 、 det(Qc)
ans = 194
7、传递函数和状态空间实现的转换 、 [num,den]=ss2tf(A,B,C)
num = 0 den = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000 0.0000 -5.0000 37.0000
极点配置
例如对于单输入系统
x = Ax + B u
1 0 0 0 0 1 A= ... ... ... 0 0 0 − a0 − a1 −a2 ... 0 ... 0 ... ... ... 1 ... −an−1
0 0 B = ... 0 1
1 0 0 0 0 1 A−B = ... K ... ... 0 0 0 −a0 −k1 −a −k2 −a2 −k3 1 ... ... ... 1 ... −an−1 −kn ... ... 0 0
则闭环系统的特征多项式为 ψ(s) = det(sI − A+ B ) = sn +(an−1 +kn)sn−1 +L+(a1 +k2)s +(a0 +k1) K 令其与希望的闭环特征多项式相等， 令其与希望的闭环特征多项式相等，可得 ki = ai* 1 −ai−1，则 −
u = Ck xk + D y k
动态反馈
闭环系统为
• x A+ B kC B k x D C • = BC x A xk k k k
rank(Qo)
ans = 3
系统能 控能观！ 控能观！
利用MATLAB进行辅助运算 进行辅助运算 利用
6、求矩阵的行列式 、 det(Qc)
ans = 194
7、传递函数和状态空间实现的转换 、 [num,den]=ss2tf(A,B,C)
num = 0 den = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000 0.0000 -5.0000 37.0000
极点配置
例如对于单输入系统
x = Ax + B u
1 0 0 0 0 1 A= ... ... ... 0 0 0 − a0 − a1 −a2 ... 0 ... 0 ... ... ... 1 ... −an−1
0 0 B = ... 0 1
1 0 0 0 0 1 A−B = ... K ... ... 0 0 0 −a0 −k1 −a −k2 −a2 −k3 1 ... ... ... 1 ... −an−1 −kn ... ... 0 0
则闭环系统的特征多项式为 ψ(s) = det(sI − A+ B ) = sn +(an−1 +kn)sn−1 +L+(a1 +k2)s +(a0 +k1) K 令其与希望的闭环特征多项式相等， 令其与希望的闭环特征多项式相等，可得 ki = ai* 1 −ai−1，则 −
u = Ck xk + D y k
动态反馈
闭环系统为
• x A+ B kC B k x D C • = BC x A xk k k k
极点配置状态反馈控制器的设计
极点配置状态反馈控制器的设计王俊伟于新海(河套学院机电工程系)摘要围绕双级倒立摆案例，对极点配置状态反馈控制器的设计方法展开讨论，对最终的计算结果进行仿真,并通过仿真结果分析了系统的稳定性、动态性能和稳态误差情况。
倒立摆的开环系统状态空间模型状态不稳定且动态性能较差，通过引进极点配置状态反馈控制器，倒立摆的闭环系统状态达到稳定，而且动态性能得到改善。
关键词状态反馈控制器双级倒立摆极点配置能控标准型爱克曼公式动态特性稳态误差中图分类号TH865文献标识码B文章编号1000-3932(2021)01-0015-05极点配置状态反馈控制器设计得好坏直接决定了控制系统动态性能的优劣！配置极点的目的不仅是使系统稳定还要使系统的动态性能满足控制要求[1]!在配置状态反馈控制器时，根据被控制对象的要求，可以采用3种方法实现:极点配置状态反馈控制器的直接法、极点配置状态反馈控制器的变换法和爱克曼公式[2]'这3种方法仅适用于单输入系统，优点是只要系统能控，就可以实现极点配置的状态反馈，缺点是不能用于多输入系统的极点配置状态反馈控制器。
对于单输入系统，如果系统能控可以实现极点的任意配置,改善动态性能，但有可能使闭环控制系统的稳态误差变大[3]!1极点配置状态反馈控制器的直接法线性时不变系统如下:x=Ax+Bu(])'=Cx其中,X是系统的*维状态向量;*是状态向量对时间的导数;u是状态反馈控制律；#、B和C是适当维数的已知常数矩阵;'是系统的输出。
采用的状态反馈控制律是:u=-kx+v(2)其中，-是一维外部输入;k是反馈增益矩阵。
将式(2)代入式(1)得到闭环系统状态方程：*二(.-Bk)x+B-(3)极点配置状态反馈控制器的直接法分5步实现⑷。
第1步,检验系统(1)的能控性,如果系统能控,进行第2步。
第2步，计算闭环系统特征多项式：)et[!0—(#—Bk)]二！*+(3*_]+k*_14!*i1--------(3]+k])!+30+,0(4)其中，！是闭环极点。
线性系统状态反馈与极点配置
实验报告课程名称：现代控制理论实验名称：线性系统状态反馈与极点配置一、实验目的1. 学习并掌握利用MATLAB编程平台进行控制系统设计与仿真的方法。
2. 通过仿真实验，研究并总结线性定常系统状态反馈对系统控制性能影响的规律。
3. 通过仿真实验，研究并总结状态反馈对状态不完全能控系统控制性能影响的规律。
二、实验内容（一）实验任务：1. 自行选择一个状态完全能控型SISO系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求计算期望的极点并进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；2. 自行选择一个状态不完全能控型SISO系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；根据实验结果，总结各自的规律。
三、实验设计1.实验条件1.利用本学期所学的现代控制理论的知识为基础。
2.笔记本电脑，matlab四、实验过程1.设计状态完全能控型SISO系统模型及参数：X=(0101)X+(01)Xy=(11)Xa)首先判断系统的能控性[X XX] = [0111]，是Rack([B AB]) = 2，因此此系统为可控的系统。
可以进行任意极点配置。
则期望极点配置二重根1。
b)再求状态反馈阵K=(X0 ,X1)：X(x)=det[λI−(A+bK)]=X2−X1X−X0c)根据给定的极点，得到期望特征多项式：X∗(X)=(X−1)(X−1)d)比较X(x)和X∗(X)各对应项系数，可解得：X0=−1X1=2K=(−12)e)即状态反馈控制器：u=-K*x状态反馈闭环系统空间表达式x=A-B*K*xA1 = A – B*K = [0 1；1 -2]2.设计状态不完全能控型SISO系统模型及参数：X=(1001)X+(1)Xy=(11)Xa)首先判断系统的能控性[X XX] = [1100], Rank([B AB]) = 1，因此系统是不完全能控的，不能进行任意极点配置。
线性系统理论精简版-——-控制系统的综合
（4）令f (s)=f*(s)，比较等式两端同次幂的系数，可得全维观测器
的反馈矩阵为：
8.5
L
32
可得全维观测器的状态方程为：
xˆ ( A LC ) xˆ Bu Ly
18 64
1
2
xˆ
0
1
u
8.5
32
y
受控系统及其全维观测器的模拟结构图如图所示。
u
x2
2
32/8.5
xˆ2
令 f (s) f *(s) ，比较等式两端同次幂的系数，可得
k1 1
k2 1
状态反馈阵为： K 1 1
例6-2 已知受控系统的状态方程为
1 0 0 0
x
0
0 1 x 0u
0 3 1 1
试分析能否采用状态反馈将闭环极点配置为以下 两组极点：
（1）{-1，-2，-2}； （2）{-2 ，-2 ，-3}。
3. 实际中，反馈系统的直接反馈变量必须是能够有 效测量的。状态变量选择的多样性和复杂性，可能使 系统的有些状态变量不能够有效测量。在这种情况下， 如果采用状态反馈，就需要引入状态观测器来对真实 状态进行估计或重构，状态观测器的引入会增大闭环 系统的维数。而系统的输出通常都是可以测量的，可 以直接反馈。
xˆ ( A LC ) xˆ Bu Ly
存在的充要条件是，不能观测部分的极点都具有负实部。
说明：不可任意配置
例6-3 已知受控系统为
x
1
0
1
2
x
0
1
u
y
2
0x
试设计全维观测器，使其极点为-10，-10。
误差状态方程的极点 也是观测器的极点
解：
状态反馈和状态观测器
定理1：状态反馈不改变受控系统 0 ( A, B,C) 的能控性，但却不一定保持系
统的能观测性。
定理2：输出反馈系统不改变原受控系统0的能控性和能观测性。
6
证明： 假定开环系统能控，A，b可为能控标准形
0 1 0 0
A
0
0
1
0
1
a0
a1
a
n
1
K K0 K1 Kn1
0 0 则 bK K0 K1
6.2.3 输出反馈极点配置
输出反馈有两种方式，下面均以多输入单输出受控对象为例来 讨论。
（1）输出反馈至状态微分，系统的结构图如下
u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
18
该受控系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx
则输出反馈闭环系统为
x Ax Bu Hy
y Cx
第六章 状态反馈和状态观测器
6.1 状态反馈和输出反馈 6.2 极点配置问题 6.3 状态观测器 6.4 带状态观测器的状态反馈系统
1
在自动控制系统中，反馈控制是最主要的控制方式，状态空间设计也不 例外。因此本章主要讨论在状态空间设计中两种常用的设计方法：状态反馈 和输出反馈。
6.1 状态反馈和输出反馈
输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端， 构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈 就是这种反馈，其结构图如下 ：
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
4
图中受控系统的状态空间表达式为 ( A, B,C)的状态空间表达式为 0 x Ax Bu
也就是观测器的响应速度越快。 （3）其极点还决定了观测器的抗干扰能力。响应速度越快，观测器的频带 越宽，抗干扰的能力越差。
统的能观测性。
定理2：输出反馈系统不改变原受控系统0的能控性和能观测性。
6
证明： 假定开环系统能控，A，b可为能控标准形
0 1 0 0
A
0
0
1
0
1
a0
a1
a
n
1
K K0 K1 Kn1
0 0 则 bK K0 K1
6.2.3 输出反馈极点配置
输出反馈有两种方式，下面均以多输入单输出受控对象为例来 讨论。
（1）输出反馈至状态微分，系统的结构图如下
u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
18
该受控系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx
则输出反馈闭环系统为
x Ax Bu Hy
y Cx
第六章 状态反馈和状态观测器
6.1 状态反馈和输出反馈 6.2 极点配置问题 6.3 状态观测器 6.4 带状态观测器的状态反馈系统
1
在自动控制系统中，反馈控制是最主要的控制方式，状态空间设计也不 例外。因此本章主要讨论在状态空间设计中两种常用的设计方法：状态反馈 和输出反馈。
6.1 状态反馈和输出反馈
输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端， 构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈 就是这种反馈，其结构图如下 ：
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
H
4
图中受控系统的状态空间表达式为 ( A, B,C)的状态空间表达式为 0 x Ax Bu
也就是观测器的响应速度越快。 （3）其极点还决定了观测器的抗干扰能力。响应速度越快，观测器的频带 越宽，抗干扰的能力越差。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a) FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
现代控制理论(22-24讲：第6章知识点)
22
6-3 系统的镇定问题
在系统综合中,有时仅要求改变不稳 定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇 定(stabilization)。
镇定问题是极点配置问题的一个特殊 情况，其目的是使系统的所有极点位于根 平面的左半平面，而不要求它们的确切位 置； 清楚地：一个完全能控的系统一定是 能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是 能控的。
f ( ) ( 1 )( 2 )......( n )
n a1 n 1 a1 a (2) n 0
欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式 即可得到：
11
k 1 a a0 k 2 a a1k n a
19
1、由要求的超调量和调整时间决定期望 闭环极点: 给定的品质指标为：ζ ；ts 。 故
% e
1 210ຫໍສະໝຸດ %nts (2%)
4
n
从而，期望主导极点即为:
1,2 n jn 1 2 jd
20
而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极 点离虚轴的距离，即
此时，闭环系统的特征多项式为：
10
f ( ) det( I - ( A B K )) n (an1 k n ) n1 (a1 k 2 ) (a0 k 1 )(1)
_ _ _
_
_ _
（3）设闭环系统的期望极点为λ 1,λ 2,… λ n ， 则期望特征多项式
（3）期望特征多项式为：
f ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 4 2 6 4
（4）比较上两式的系数，即得到： K=[4 3 1] （5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：
6-3 系统的镇定问题
在系统综合中,有时仅要求改变不稳 定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇 定(stabilization)。
镇定问题是极点配置问题的一个特殊 情况，其目的是使系统的所有极点位于根 平面的左半平面，而不要求它们的确切位 置； 清楚地：一个完全能控的系统一定是 能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是 能控的。
f ( ) ( 1 )( 2 )......( n )
n a1 n 1 a1 a (2) n 0
欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式 即可得到：
11
k 1 a a0 k 2 a a1k n a
19
1、由要求的超调量和调整时间决定期望 闭环极点: 给定的品质指标为：ζ ；ts 。 故
% e
1 210ຫໍສະໝຸດ %nts (2%)
4
n
从而，期望主导极点即为:
1,2 n jn 1 2 jd
20
而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极 点离虚轴的距离，即
此时，闭环系统的特征多项式为：
10
f ( ) det( I - ( A B K )) n (an1 k n ) n1 (a1 k 2 ) (a0 k 1 )(1)
_ _ _
_
_ _
（3）设闭环系统的期望极点为λ 1,λ 2,… λ n ， 则期望特征多项式
（3）期望特征多项式为：
f ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 4 2 6 4
（4）比较上两式的系数，即得到： K=[4 3 1] （5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：
极点配置
Q [ B AB A 2 B ] 0 1 1 6 6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
极点配置状态反馈控制器设计方法
极点配置状态反馈控制器设计方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊极点配置状态反馈控制器设计方法。
这玩意儿啊，就像是给一个系统装上了精准的导航仪，能让它乖乖地按照咱的想法走。
你看啊，一个系统就好比是一辆汽车，而极点配置状态反馈控制器就是那个掌握方向盘的司机。
咱得通过巧妙的设计，让这个司机能精准地操控汽车，该加速的时候加速，该转弯的时候转弯，不能有一点儿含糊。
设计这个控制器就像是搭积木，一块一块地拼凑起来。
咱得先了解系统的特性，就像了解汽车的性能一样。
然后呢，根据这些特性来选择合适的参数，这可不能马虎，得仔细琢磨。
比如说，要是参数没选好，那可就糟糕啦！就像司机开车老是开歪一样，系统也会变得不稳定，那可不行！咱得让系统稳稳当当的，该干啥干啥。
这其中的学问可大着呢！就好像做菜一样，各种调料得搭配得恰到好处，才能做出美味的菜肴。
极点配置状态反馈控制器的设计也是如此，每个环节都得精心处理。
而且哦，这个设计方法可不是一成不变的。
不同的系统就像不同口味的人，得用不同的方法去对待。
有时候得灵活一点，不能太死板啦。
想想看，如果所有系统都用一种方法去设计控制器，那多无趣啊！就像所有人都穿一样的衣服，那还有啥意思呢？咱得根据实际情况来调整，找到最适合的方案。
在实际应用中，这可真是帮了大忙啦！它能让那些复杂的系统乖乖听话，按照我们的要求运行。
这多厉害呀！难道不是吗？
所以啊，极点配置状态反馈控制器设计方法可真是个宝贝！咱可得好好研究，好好利用。
让它为我们的各种系统服务，让它们变得更智能、更高效。
怎么样，是不是觉得很有意思呢？别犹豫啦，赶紧去试试吧！。
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为
系统状态完全可观测
30
例： 设系统的状态空间表达式为 1 1 0 1 状态方程同前 1 1 0 x 0 u x 面极点配置例 0 1 3 0
4
状态反馈系统的状态方 程为 ( A BK ) x Br x yCx
状态反馈系统的传递函 数为 G ( s ) C ( sI A BK ) 1 B
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性 注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
自动控制原理
控制系统分析与设计的
状态空间方法2 ——综合与设计
（第八章）
1
状态空间法综合的基本概念
综合问题的三大要素:
受控系统、性能指标、反馈控制律
综合与设计的主要特点:
以采用状态反馈为主 具有较系统的综合理论 基于非优化型指标的极点配置方法 基于优化类性能指标的目标函数极值法
2
主要内容
通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为
1 2 3 1
15
解： 状态反馈系统的特征多项式为
f ( s ) det[ sI A BK ] s 3 ( k 1 3 )s 2 ( k 2 2 k 1 2 )s ( k 3 3 k 2 3 k 1 6 )
r
-
u
B
x
∫
A
x
C
y
H
6
3.
状态反馈与输出反馈比较
反馈功能： 状态反馈——完全反馈 输出反馈——不完全反馈
反馈作用： 两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值； 输出反馈可视为状态反馈的一种特例。
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状态反馈极点配置定理(3/11) 状态反馈极点配置定理
下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可完 全类似于SISO的情况完成证明过程. 证明过程的思路为: 分别求出开 环与闭环系 统的传递函 数阵 比较两传 递函数阵 的特征多 项式 建立可 极点配 置的条 件
状态反馈极点配置定理(4/11) 状态反馈极点配置定理
状态反馈极点配置定理(11/11) 状态反馈极点配置定理
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的. 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性. 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状态能观性.
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(1/10) 系统状态反馈极点配置方法
其中
[ K1 K 2 ] = KPc
状态反馈极点配置定理(9/11) 状态反馈极点配置定理
~ 由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A22 的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置. ~ 虽然状态完全能控子系统的 A11的特征值可以任意配 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 的特 征值个数. 因此,系统 ∑( A, B, C ) 的所有极点并不是都能任意配置.
... 0 ... ... ... 1 ... - a1 - k n
相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为 b1s n 1 + ... + bn Gk ( s ) = n s + (a1 + k n ) s n 1 + ... + (an + k1 )
f k( s ) = s n + (a1 + k n ) s n 1 + ... + (an + k1 )
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点. 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法.
反馈控制与极点配置(2/5)
对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的. 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的,具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的. 这样的控制系统设计方法称为极点配置. 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还 是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法. 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上.
b1s n 1 + ... + bn G(s) = n s + a1s n 1 + ... + an
状态反馈极点配置定理(5/11) 状态反馈极点配置定理
若SISO被控系统∑(A,B,C)的状态反馈阵K为 K=[k1 k2 … kn] 则闭环系统∑K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为
1 0 ... ... A - BK = 0 0 - a - k - a - k n 1 2 n 1
状态反馈极点配置定理(8/11) 状态反馈极点配置定理
证明过程: 证明过程 被控系统∑(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc x ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
x1′ A11 x′ = 2 0 A12 x1 B1 + u x2 0 A22
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(2/10) 系统状态反馈极点配置方法
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x, 将系统∑(A,B)变换成能控规范II形 ∑( A, B) ,即有
Ch.6 线性系统综合
目录(1/1) 目录(1/1)
目
录
概述 6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 反馈控制与极点配置 6.3 系统镇定 6.4 系统解耦 6.5 状态观测器 6.6 带状态观测器的闭环控制系统 6.7 Matlab问题 问题 本章小结
反馈控制与极点配置(1/5)
6.2 反馈控制与极点配置
p2 p1 p3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统
x = Ax + Bu
确定反馈控制律
u = Kx + v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
λi ( A BK ) = si* ,
* k i = a n i +1 a n i +1
状态反馈极点配置定理(7/11) 状态反馈极点配置定理
(2) 再证必要性 结论条件 . 再证必要性(结论 条件). 结论 即证明,若被控系统∑(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系 统是状态完全能控的. 采用反证法. 采用反证法. 即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任 即证明 意的极点配置. 证明过程的思路为: 证明过程的思路为 对状态不完 全能控开环 系统进行能 控分解 对能控分 解后的系 统进行状 态反馈 其完全不能 控子系统不 能进行极点 配置 与假设 矛盾,必 要性得 证
~ * K = KTc1 = [a2 - a2 2
* a1 - a1 ]Tc1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1 - 1 2 = [5 - (-5) 2 - (-2)] × 6 - 1 8 = [- 7 / 3 26 / 3]
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(6/10) 系统状态反馈极点配置方法
2 - 4 [ B AB] = 1 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置. 2. 求能控规范 形: 求能控规范II形
T1 = [0 1][ B
1 c2
AB]1 = [ 1 / 6 1 / 3]
T1 1 1 2 T = = T1 A 6 1 8 0 1 ~ 1 A = Tc 2 ATc 2 = 5 2
反馈控制与极点配置(3/5)
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数; 3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求.
由于线性变换不改变系统特征值,因此系统∑(A,B,C)的极 点并不是都能任意配置的. 这与前面假设矛盾,即证明被控系统∑可任意极点配置,则 是状态完全能控的. 故必要性得证.
状态反馈极点配置定理(10/11) 状态反馈极点配置定理
由能控规范II形的状态反馈闭环系统的传递函数 b1s n 1 + ... + bn Gk ( s ) = n s + (a1 + k n ) s n 1 + ... + (an + k1 ) 表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点. 当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置. 因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重 合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象. 根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态 不能观.
A = Tc1 ATc 2 2 B = Tc1 B 2
对能控规范II形∑~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下 * * * K = an an an 1 an 1 a1 a1 因此,原系统∑的相应状态反馈阵K为
K = KTc 2
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(3/10)—例2 系统状态反馈极点配置方法
状态反馈极点配置定理(6/11) 状态反馈极点配置定理
如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为 f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an* 那么,只需令fK(s)=f*(s),即取 a1+kn=a1* … an+k1=an* 则可将状态反馈闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点配置在特征 多项式f*(s)所规定的极点上. 即证明了充分性. 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为 K=[k1 k2 … kn] 其中
证明过程: 证明过程 设SISO被控系统∑(A,B,C)为能控规范II形,则其各矩阵分 别为
1 0 ... ... A= 0 0 a a n 1 n C = [bn bn 1 ...
且其传递函数为
... 0 ... ... ... 1 ... a1 b1 ]
0 ... B= 0 1
在进行极点配置时,存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的. 下面的定理就回答了该问题.
状态反馈极点配置定理(2/11) 状态反馈极点配置定理
定理3-22 对线性定常系统∑(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能 使闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为 被控系统∑(A,B,C)状态完全能控. □ 先证充分性(条件 结论). 条件 证明 (1) 先证充分性 条件结论 . 即证明,若被控系统∑(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统∑K(A-BK,B,C)必能任意配置极点. 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统∑(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形. 不失一般性,下面仅对能控规范II形证明充分性.
2 1 11 58 x′ = x + 1 u 3 4 17
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求.