机械振动基础 第一章 导论

固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程

设频率比为有理数 1 2
m n
T2 m T1 n
1 2
u(t T0 ) u1(t T0 ) u2 (t T0 )
记mT1 nT2 T0
u1(t mT1) u2 (t nT2 )
u1(t) u2 (t) u(t)
无阻尼单自由度系统的自由振动
u1
u2
u
一个拍
A
B
t t Ct
u2
k1
u1
fA
Bf k2
u2
ke
fA
u1 Bfຫໍສະໝຸດ f1 k1(u1 u2 ) f2 k2 (u1 u2 )
f f1 f2 (k1 k2 )(u1 u2 ) f ke (u1 u2 )
ke k1 k2
振动系统的组成
u3
u2
u1
f
A
k2
B
u3
f
ku11
C
f
f
A
ke
C
1 u1 u2 f / k1 2 u2 u3 f / k2
简谐激励下无阻尼系统的受迫振动
1.如果 n
特解： u* (t) C1 sin t C2 cos t
u(t )
2 n
u(t
)
f0 m
sin t
待定常数：
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05
aent
u1
u2
t1
t2
= 10rad/s, = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
u3 t3
u4 t4
u5 t5
u, m
-0.10
-0.15 -0.20
aent

振动工程研究所
1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
振动工程研究所
方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
u
(t
)
0a
s
in(
0t
2
)
注意位移、速 度、加速度之间 得相位关系
u(t)
2 0
a
s
in(
0
t
)
2 0
u
(t
)
振动工程研究所
旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im
P
Q
u
a 0t
0
O
Re
Im
Im
a
0
a 0a
0
O
Re
a2 0
O
Re
a
b
c
– 复数法 z aej e j0t aej(0t )
振动工程研究所
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
振动工程研究所
• 不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
关键
u1(t) a1 sin(1t 1) 整数倍数 u2 (t) a2 sin(2t 2 )
证
1 m
明 2 n
T2 m , T1 n
T0 T1m T2n
mu(t) ku(t) 0

当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时 的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质 点系，各质点的位移可用3n个直角坐标 来描述。当有r个约束条件，约束方程为：
( x1, y1, z1 ,...,xn , yn , zn )
f k ( x1 , y1 , z1 ,..., xn , yn , zn ) 0 k 1,2,...,r
为了确定各质点的位置，可选取N＝3n-r个独立 的坐标： q j q j ( x1 , y1 , z1 ,...,xn , yn , zn )
j 1,2,3,...,N
来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。 在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的 坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动， 其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数 N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条 件的形式。
有两个不同频率的简谐振动
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin 2t
若
1 2
x x1 x2 A1 sin 1t A2 sin 2t
则合成运动为：
对于 A2 A1 ，这时有
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin(1 )t
从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质 量来表示。根据牛顿第二定律，有：
d x F m 2 dt
质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基 本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理 参数。
2
典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产 生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs＝ Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为 线性函数时，即 Fs＝－kx