（共计15分）
故系统的周期为 2.重物m 1悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物m 2 从高度为h 处自由落到m i 上无弹跳，如图2所示，求其后的运动。（共
计15分） 解：根据题意，取M=M 1+m 2所处的平衡位置为原点，向下为正，得系 统运动的微分方程为: =詈cos （pZ t ） jl^sin （pZ t ）
k
m 1 m 2
. k
. m, m 2
3.如图3所示系统两个圆盘的半径为r ,设
I 1 I 2 I,k 1 k 2 k,k 3 3k,求系统的固有频率和振型。（共计15分） 解：取1, 2为系
统的广义坐标， 系统的动能为
E T
I 1 12 212 22 11 （ 12 22）
振动分析与实验基础课程考试
3答案
1.求如图1所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂,
且k 2
2k 〔 ， k g k
〔
o
解:
等效刚度二一1—
1 1 (-—)
k 1 k 2
k 3
永1
5k 1
k m 3m
解得 x x 0cos n t —°sin n t
n
T 乙2 n
2).
1 2
1 2 1 2
U 尹i (r
J 2
步(「! r 2)2 尹(「2)2
系统的特征方程为:
在频率比/ n = , 2时，恒有X A
2).在/ n V 、2 , X/A 随E 增大而减小，而在
/ n > 2 , X/A 随
E 增大而增大
(共计15分) 证明：1).因—<1
(2
/ n )2|H()
A^
1 故当 / n =
2 时，
|H(W )| .—.
V 1 (2 J 2)2
所以，X 1 (2 2 )2
1,故无论阻尼比E 取何值恒有 X/A
A
；1 (2 厨
(2 / n )2 ( / n )2 2( / n )2 1 (2
/ n )2 (1 ( / n )2)2 (2
/ n )2'2
系统的势能为 从而可得
k 1r 2
k 2r 2
k 2r 2
k 2r 2 k 2r 2
k 3r 2
2kr 2 kr 2 kr 2
4kr 2
得 W 12 (3 .2)牛
(3
其振型分别为：U 1 u 2
4.
H( )| 1 (2
/ n )2,
|H( )| 1/ . 1-(
/ n )
2 2
(2 / n )2 证明:
1).无论阻尼比E 取何值,
i i
故当/ n V 2时，哇V 0,从而X/A 随E 增大而减小
d
而当/ n >• 2时，竺丸> 0,故X/A 随E 增大而增大。
d
原理求t> t o 后的响应。(共计15分)
则由叠加原理可得，t t o 时,
6.如图5所示，由弹簧耦合的双摆，杆长为 1).写出系统的刚度矩阵，质量矩阵和频率方程 2).求出固有频率和振型
解：1).建立二个独立坐标
5. 一个高F o ，宽T o 的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上, 个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和, 如图
T-2.43 所示, 把这
用叠加
系统的动能为:
E T
1
ml 2 12
2 1
-ml 2
厶匕
能
1 2 U ^k(a 1 a 2)
mgl (1 cos 1)
(
1 cos 2)
2
E T
可得
解：设
f i (t)
F o ,
x(t)=
F o “
2
COS 3n (t m 3 n
t o )
COS 3 n t
3).讨论k 值改变对固有频率的影响。
(共计15分)
ml20 “ ka2 M , K
0 ml2mgl cos 1
ka2
ka2
2 ka mgl cos 2
因1, 2很小，故可得cos 1
1, 1,C0S 2
ml20 0 ml2ka2 mgl
ka2ka2
ka2
mgl
其频率方程为:
2) . 2ka2 mgl
ml2
2ka2
ml2
相应振型分别为:
3）. 当k变化时, 312没有变化, 0) 22产生变
化。
当k变小时, 32将变小，且32与31接近。
当k变大时, «2将变大，且5与31间距变大
7.证明相关系数的绝对值小于或等于1•，
即
证明：因
E XY
xy
xy
（共计10
分）
考虑到
2
y
2
y
2E X
2E
从而
xy 0, xy
