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旋转体的体积试题解析 高数常考题目PPT

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大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算

大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算

体积元素为
dV
y 2 dx
r h
2
x
dx
o
P(h,r) x x+dx x
所求体积为
V
h 0
r h
x
2
dx
1 3
r
2h
◆旋转体的体积例题选举
2
2
2
例2 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转
体的体积。
A1
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转
y=f (x)
Vx
b y2dx
a
b f (x)2 dx
a
2、旋转轴为 y 轴（演示）
a
b
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c< d, g (y)>0)所围成的曲边
梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 d
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy
b
A a f (x) dx
(a b)
2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为
b
A a f (x) g(x) dx
(a b)
3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所围平面图形的面积为
d
A c ( y) dy
(c d)
◆平面图形的面积例题选举
示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。
x 可选取适当坐标系，使旋转轴为 轴或 y 轴。 x 最基本的情形是曲边梯形绕 轴或 y 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式

11.1.5旋转体-人教B版(2019)高中数学必修(第四册)课件(共29张PPT)

11.1.5旋转体-人教B版(2019)高中数学必修(第四册)课件(共29张PPT)

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形 成的几何体叫做球体。
球心：半圆的圆心叫做球的球心。
半径：半圆的半径叫做球的半径。 直径：半圆的直径叫做球的直径。
球面可以看成空间 中到定点的距离等 于定长的点的集合.
球的表示：用球心字母表示。如：球O A
球心
直径
O
C
半径
B
尝试与发现
当用刀去切一个球形的西瓜时，所 得到的截面是什么形状？一般地， 一个平面与一个球面相截，所得交 线的形状是怎样的?
内切球的半径为 OJ＝a ； 2
②正方体的棱切球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，故其
棱切球的半径为 OG＝
2a； 2
③正方体的外接球：截面图为矩形 ACC1A1 的外接圆，故其
外接球的半径为 OA1＝
3a 2
.
教材P81 练习A 3
已知一个球的半径为3，求这个球的表面积.
答案：4π×32 = 36π
教材P81练习A5
分别求出底面半径为1cm,高为3cm的圆柱和圆锥的表面积.
教材P51练习B 1
一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为30º，求圆锥的高.
P
30°
答案1：0 3
A
O
B
教材81页练习A 4
❹一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,求圆柱轴截面的面积.
答案：20
能力提升：教材P81 练习B 5．
（2）写出圆锥中任意两条母线的位置关系，任意一条母线 与底面的位置关系？
（3）写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线 与底面的位置关系？
解：由圆柱、圆锥和圆台的定义可知 （1）圆柱中任意两条母线平行，母线与底面相交，两底面平行；

绕x轴旋转体的体积17页PPT

绕x轴旋转体的体积17页PPT
绕x轴旋转体的体积
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。

大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算

大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
1 0
x12dy
1
0
x2
2
dy
1
ydy
1 y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0

旋转体的体积ppt课件

旋转体的体积ppt课件

的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体
d
积为
d
V yc
x2d yd c
g(y)2d y
c
x=g (y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
2 .若 f ( x ) x n f ' ( x ) n x n -1 ( n R )
3 .若 f ( x ) s in x f ' ( x ) c o s x
4 .若 f ( x ) c o s x f ' ( x ) - s in x
5 .若 f ( x ) a x f ' ( x ) a x ln a
（演示）。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)>0)所围成
的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
b
V xa
y2d xb a
f(x)2d x
y=f (x)
2、旋转轴为 y 轴（演示）
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)>0)所a 围成b
10
V1
V2
最新版整理ppt
返7 回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x 3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 y x 3 , y 1 , x 0
1
绕x轴旋转一周

旋转体的体积

旋转体的体积

五、求 x 2 y 2 a 2 绕 x b ( b a 0) 旋转所成旋转 体的体积 .
六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴 长分别为 2 A , 2B 和2a , 2b ,高为 h ，求这截锥体 的体积 .
七、设直线 y ax b与直线x 0 ，x 1 及y 0 所围 成梯形面积等于A ，试求a , b 使这个梯形 绕 y 轴 旋转所得体积最小 .
a
a
y 2dx
a a
b2 a2
(a 2x 2)dx
O
b2 a2
[a
2x
1 3
x
3
]aa
4 3
a
b
2．
ax
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
a3 .
例3
计算由椭圆 x2 a2
y2 b2
1
所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积．
解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2 a
及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．
体积元素为 dV y 2dx ，

旋转体的体积【创意版】.ppt


1
0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
1
Vy
0
3 y 2 dy 2
5
y
.,
y=x3 1
y=x3
9
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
绕x轴旋转一周
V 2
1
x2 1 2 dx 22
2 1
0
2 x4dx
32 2 3 2
0
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
x3, y 1, x 0
绕x轴旋转一周
y=x3 x1
1
Vx
1
dx
0
1
x6dx
6
0
7
.,
y=x3
x
1
8
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 y x3, y 1, y 轴
1
绕y轴旋转一周
y
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy
.,
c
x=g 5(y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
y P(h,r)
解 ：如图所示
直线OP的方程为 y r x ，
旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴。
可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴
最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。

绕x轴旋转体的体积课件


应用场景
当一个平面图形绕x轴 旋转时，可以形成圆锥 体。例如，将一个直角 三角形绕x轴旋转一周， 可以得到一个圆锥体。
计算方法
将圆锥体的底面半径和 高代入公式即可计算出 体积。
圆台体体积公式的应用
1 2 3
圆台体体积公式 V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)，其中R是上底面半 径，r是下底面半径，h是高。
详细描述
圆台体的体积计算公式为 V = (1/3) × (π × r^2 × h - π × R^2 × H)，其中 r 是下 底面圆的半径，R 是上底面圆的半径，h 是圆台的高，H 是上底面到圆台顶面的高 度。这个公式适用于计算圆台体的体积。
圆柱体体积公式的推导
圆柱体体积公式
V = πr²h，其中r是底面圆的半径，h是高。
详细描述
对于一些更复杂的绕x轴旋转体，如不规则 旋转体，其体积计算需要使用更复杂的公式。 这些公式通常涉及到积分运算，需要使用微 积分的知识进行计算。在进行计算时，需要 注意旋转体的边界条件和形状，以确保计算 结果的准确性。
THANK YOU
圆台体体积公式的推导
圆台体体积公式
V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)，其中R和r分别为上底面和下底面的半径，h为高。
推导过程
将圆台体分割成无数个小的圆台体，每个小圆台体的体积为(1/3)πh(R² + r² + Rr)，其中h为小圆台体 的高，R和r分别为上底面和下底面的半径。将所有小圆台体的体积相加，得到整个圆台体的体积。
绕y轴旋转体
平面曲线绕y轴旋转形成的立体图形。
旋转体体积的计算意义
实际应用
计算旋转体的体积有助于解决实际问题，如求物体的质量、 重心等。

旋转体的体积试题解析高数常考题目


可看作平面图OABC 与OBC
x = x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy =
2a
x
2
2
(
y)dy
-
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
= a2 (t - sin t)2 a sin tdt 2 - a2 (t - sin t)2 a sin tdt 0
= a3 2 (t - sin t)2 sin tdt = 63a3 . 0
例 7 求由曲线 y = 4 - x2及 y = 0所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
解 取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
P
dy Q M
dV = [PM 2 - QM 2 ]dy 3 = [(3 4 - y)2 - (3 - 4 - y)2]dy
= 12 4 - ydy,
i =1
S(x)dx
a
例 1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
-R
底圆方程为
o
y
x2 y2 = R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) = 1 (R2 - x2 )tan ,
2
立体体积 V = 1 R (R2 - x2 )tandx = 2 R3 tan .
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台

旋转体的体积计算(课堂PPT)


曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
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5
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
6
旋转体： 由连续曲线 y=f (x)、直
线 x=a 、a=b 及 x 轴所围成 y 的曲边梯形绕 x轴旋转一周 而成的立体。
讨论：
Oa
旋转体的体积怎样求？
y=f (x) bx
7
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x) 、
B x = x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
x = x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy =
2a
x
2
2
(
y)dy
-
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
= a2 (t - sin t)2 a sin tdt 2 - a2 (t - sin t)2 a sin tdt 0
x = ( y) 、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V = d [ ( y)]2 dy c
d
x = ( y)
c
o
x
13
例 6 求摆线 x = a(t - sin t)，y = a(1 - cos t)的
一拱与 y = 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
Vx =
2a y2 ( x)dx
0
a 2a
= 2 a2 (1 - cos t)2 a(1 - cos t)dt 0
= a3
2
(1 -
3cos t
3 cos2
t
- cos3
t )dt
=
52a3 .
0
14
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
i =1
S(x)dx
a
3
例 1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
-R
底圆方程为
o
y
x2 y2 = R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) = 1 (R2 - x2 )tan ,
2
立体体积 V = 1 R (R2 - x2 )tandx = 2 R3 tan .
O a x1
xi-1 xi
xn b x
2
(2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成 n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)xi。
将n个小薄片体积的近似值相加3) 立体体积为
n
b
V=
lim
T 0
S(xi ) =
旋转体的体积为 V = b [ f ( x)]2 dx a
8
曲线y=f(x)绕
x
轴旋转而成的立体体积：V
=
b
a
[f(x)]2dx。
例3
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
=1
绕x轴旋转产生的旋转体的体
b y y = b a2 - x2 a
积。 解：椭圆绕 x 轴旋转产生
O
ax
的旋转体的体积：
a
Vx =2 0
= a3 2 (t - sin t)2 sin tdt = 63a3 . 0
15
例 7 求由曲线 y = 4 - x2及 y = 0所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积.
解 取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
P
dy Q M
dV = [PM 2 - QM 2 ]dy 3 = [(3 4 - y)2 - (3 - 4 - y)2]dy
§2由平行截面面积求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积 二、旋转体的体积
三、小结
场地设计（作图题）解析
一、已知平行截面面积的立体的体积
设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴 的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。
(1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2< <xn-1<xn=b，
y2dx =2 a b 2 (a 2 -x 2 )dx
0 a2
= 2 b 2 (a 2 x - x 3 ) a = 4 ab2 。
a2
30 3
9
下页
例 4 连接坐标原点O 及点 P(h, r)的直线、直线
x = h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆
2 -R
3
4
例 2 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 = R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) = h y = h R2 - x2
立体体积
V
=
h R -R
R2 - x2dx = 1 R2h. 2
直线x = a 、x = b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y = f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV = [ f ( x)]2 dx
锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
y= x
h
r
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
10
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
y
dV
=
r h
x
2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V =
h 0
r h
x
2
dx
=
r 2 h2
x3 h 3 0
= 12 4 - ydy,
4
V = 120 4 - ydy = 64.
16
三、小结
绕 x轴旋转一周
旋转体的体积
绕 y轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
17
=
hr2 3
.
11
2
2
2
例 5 求星形线 x 3 y 3 = a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 = a3 - x3,
y2
=
2 a 3
-
2
x3
3
-a
x [-a, a]
o
ax
旋转体的体积
V =
-aa
a
2 3
-
2
x3
3
dx
=
32 105
a3 .
12
类似地，如果旋转体是由连续曲线